Abychom ov\u011b\u0159ili, zda program funguje spr\u00e1vn\u011b, vytvo\u0159\u00edme pole vzork\u016f jako sou\u010det dvou sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vlo\u017e\u00edme je do programu. Program nakreslil n\u00e1sleduj\u00edc\u00ed:
\n
![\"Fourierova](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Obr.1 Graf \u010dasov\u00e9 funkce sign\u00e1lu<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Obr.2 Graf spektra sign\u00e1lu<\/p><\/div>\n <\/p>\n There are two harmonick\u00e9<\/a> na spektr\u00e1ln\u00edm grafu – 5 Hz s amplitudou 0,5 V a 10 Hz s amplitudou 1 V, v\u0161e odpov\u00edd\u00e1 vzorci p\u016fvodn\u00edho sign\u00e1lu. V\u0161e je v po\u0159\u00e1dku, program funguje spr\u00e1vn\u011b.<\/p>\n To znamen\u00e1, \u017ee pokud na vstup ADC p\u0159ivedeme re\u00e1ln\u00fd sign\u00e1l ze sm\u011bsi dvou sinusovek, dostaneme podobn\u00e9 spektrum slo\u017een\u00e9 ze dvou harmonick\u00fdch.<\/p>\n Tak\u017ee na\u0161e skute\u010dn\u00e9 <\/span><\/b><\/strong>m\u011b\u0159en\u00fd sign\u00e1l o d\u00e9lce 5 sekund<\/span><\/b><\/strong>, digitalizovan\u00e9 pomoc\u00ed ADC, tj. reprezentovan\u00e9 diskr\u00e9tn\u00ed <\/span><\/b><\/strong>vzork\u016f, m\u00e1 diskr\u00e9tn\u00ed neperiodick\u00e9 <\/span><\/b><\/strong>spektrum. Nyn\u00ed zkus\u00edme m\u011b\u0159it stejn\u00fd sign\u00e1l po dobu 0,5 s.<\/p>\n Obr.3 Graf funkce sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pro periodu m\u011b\u0159en\u00ed 0,5 s.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Obr.4 Spektrum funkce<\/p><\/div>\n <\/p>\n N\u011bco je \u0161patn\u011b! Harmonick\u00e1 na 10 Hz je vykreslena norm\u00e1ln\u011b a m\u00edsto harmonick\u00e9 na 5 Hz jsou zde nejasn\u00e9 harmonick\u00e9.<\/p>\n Na internetu se p\u00ed\u0161e, \u017ee je t\u0159eba p\u0159idat nuly na konec vzorku a spektrum se vykresl\u00ed norm\u00e1ln\u011b.<\/p>\n Obr.5 Do vzorku jsme p\u0159idali nuly a\u017e do 5 s.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Obr.6. Z\u00edskan\u00e9 spektrum.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Tak to v\u016fbec nen\u00ed. Budu se muset zab\u00fdvat teori\u00ed. P\u0159ejd\u011bme k Wikipedie<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– zdroj pozn\u00e1n\u00ed.<\/p>\n Matematicky je n\u00e1\u0161 sign\u00e1l s dobou trv\u00e1n\u00ed T sekund n\u011bjak\u00e1 funkce f(x) zadan\u00e1 na intervalu {0, T} (X je v tomto p\u0159\u00edpad\u011b \u010das). Takovou funkci lze v\u017edy reprezentovat jako sou\u010det harmonick\u00fdch funkc\u00ed (sinus nebo kosinus) ve tvaru:<\/p>\n \u00a0(1), kde:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k je \u010d\u00edslo trigonometrick\u00e9 funkce ( \u010d\u00edslo harmonick\u00e9 slo\u017eky, \u010d\u00edslo harmonick\u00e9). (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n kde <\/p>\n nebo<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Vztah mezi koeficienty (1) a (3) je vyj\u00e1d\u0159en n\u00e1sleduj\u00edc\u00edmi vzorci:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n V\u0161imn\u011bte si, \u017ee v\u0161echny tyto t\u0159i reprezentace Fourierovy \u0159ady jsou zcela ekvivalentn\u00ed. N\u011bkdy je p\u0159i pr\u00e1ci s Fourierovou \u0159adou pohodln\u011bj\u0161\u00ed pou\u017e\u00edvat exponenty s imagin\u00e1rn\u00edm argumentem nam\u00edsto sinus\u016f a kosinus\u016f, tedy pou\u017e\u00edvat Fourierovu transformaci v komplexn\u00edm tvaru. Pro n\u00e1s je v\u0161ak v\u00fdhodn\u00e9 pou\u017e\u00edvat vzorec (1), kde je Fourierova \u0159ada reprezentov\u00e1na jako sou\u010det kosinus\u016f s p\u0159\u00edslu\u0161n\u00fdmi amplitudami a f\u00e1zemi. P\u0159\u00edsn\u011b vzato Fourierova transformace re\u00e1ln\u00e9ho sign\u00e1lu skute\u010dn\u011b vytv\u00e1\u0159\u00ed komplexn\u00ed koeficienty (tvar (3)): ka\u017ed\u00fd koeficient nese amplitudu i f\u00e1zi sv\u00e9 harmonick\u00e9 slo\u017eky. U re\u00e1ln\u00e9ho sign\u00e1lu maj\u00ed tyto komplexn\u00ed koeficienty sdru\u017eenou (Hermitovskou) symetrii \u2014 z\u00e1porn\u00e1 frekven\u010dn\u00ed polovina pouze zrcadl\u00ed kladnou frekven\u010dn\u00ed polovinu a nenese \u017e\u00e1dnou dodate\u010dnou informaci. Proto m\u016f\u017eeme z komplexn\u00edch koeficient\u016f v\u017edy p\u0159ej\u00edt k re\u00e1ln\u00fdm nez\u00e1porn\u00fdm amplitud\u00e1m Ak a f\u00e1z\u00edm \u03b8k ze vzorce (1) \u2014 a pr\u00e1v\u011b toto amplitudov\u00e9 spektrum vykresluj\u00ed analytick\u00e9 programy.<\/p>\n <\/p>\n Podtr\u017eeno a se\u010dteno:<\/span><\/b><\/u><\/strong> V\u0161imn\u011bte si n\u011bkolika dal\u0161\u00edch bod\u016f, jejich\u017e pochopen\u00ed je nezbytn\u00e9 pro spr\u00e1vn\u00e9 pou\u017eit\u00ed Fourierovy transformace p\u0159i anal\u00fdze sign\u00e1l\u016f. Uva\u017eujeme-li Fourierovu \u0159adu (sou\u010det sinusovek) na cel\u00e9 ose X, zjist\u00edme, \u017ee mimo interval {0, T} bude funkce Fourierovy \u0159ady periodicky opakovat na\u0161i funkci.<\/p>\n Nap\u0159\u00edklad v grafu na obr. 7 je p\u016fvodn\u00ed funkce definov\u00e1na na intervalu {-T\\2, +T\\2} a Fourierova \u0159ada p\u0159edstavuje periodickou funkci definovanou na cel\u00e9 ose x.<\/p>\n Je to proto, \u017ee samotn\u00e9 sinusoidy jsou periodick\u00e9 funkce, tak\u017ee jejich sou\u010det bude tak\u00e9 periodick\u00e1 funkce.<\/p>\n Obr\u00e1zek 7 Zobrazen\u00ed neperiodick\u00e9 zdrojov\u00e9 funkce pomoc\u00ed Fourierovy \u0159ady<\/p><\/div>\n Tedy:<\/p>\n Na\u0161e p\u016fvodn\u00ed funkce je spojit\u00e1 neperiodick\u00e1 funkce definovan\u00e1 na \u00faseku d\u00e9lky T. Dal\u0161\u00ed.<\/p>\n Periody harmonick\u00fdch slo\u017eek jsou n\u00e1sobky intervalu {0, T}, na kter\u00e9m je definov\u00e1na po\u010d\u00e1te\u010dn\u00ed funkce f(x). Jin\u00fdmi slovy, periody harmonick\u00fdch slo\u017eek jsou n\u00e1sobky doby trv\u00e1n\u00ed m\u011b\u0159en\u00ed sign\u00e1lu. Nap\u0159\u00edklad perioda prvn\u00ed harmonick\u00e9 ve Fourierov\u011b \u0159ad\u011b je rovna intervalu T, na kter\u00e9m je definov\u00e1na funkce f(x). Perioda druh\u00e9 harmonick\u00e9 ve Fourierov\u011b \u0159ad\u011b je rovna intervalu T\/2. A tak d\u00e1le (viz obr\u00e1zek 8).<\/p>\n Obr. 8 Periody (frekvence) harmonick\u00fdch slo\u017eek Fourierovy \u0159ady (zde T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Frekvence harmonick\u00fdch slo\u017eek jsou proto n\u00e1sobky 1\/T. To znamen\u00e1, \u017ee frekvence harmonick\u00fdch slo\u017eek Fk jsou Fk= k\\T, kde k nab\u00fdv\u00e1 hodnot od 0 do \u221e, nap\u0159\u00edklad k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;..... Fk= k\\T (p\u0159i nulov\u00e9 frekvenci, konstantn\u00ed slo\u017eka).<\/p>\n Nech\u0165 na\u0161e po\u010d\u00e1te\u010dn\u00ed funkce je sign\u00e1l zaznamenan\u00fd b\u011bhem T=1 s. Pak perioda prvn\u00ed harmonick\u00e9 bude rovna dob\u011b trv\u00e1n\u00ed na\u0161eho sign\u00e1lu T1=T=1 sec a frekvence harmonick\u00e9 je rovna 1 Hz. Perioda druh\u00e9 harmonick\u00e9 se bude rovnat dob\u011b trv\u00e1n\u00ed na\u0161eho sign\u00e1lu d\u011blen\u00e9 2 (T2=T\/2=0,5 s) a frekvence je rovna 2 Hz. Pro t\u0159et\u00ed harmonickou plat\u00ed, \u017ee T3=T\/3 s a frekvence je rovna 3 Hz. A tak d\u00e1le.<\/p>\n Krok mezi harmonick\u00fdmi je v tomto p\u0159\u00edpad\u011b 1 Hz.<\/p>\n Sign\u00e1l s dobou trv\u00e1n\u00ed 1 s lze tedy rozlo\u017eit na harmonick\u00e9 slo\u017eky (a z\u00edskat tak spektrum) s frekven\u010dn\u00edm rozli\u0161en\u00edm 1 Hz. Existuje zp\u016fsob, jak um\u011ble prodlou\u017eit dobu trv\u00e1n\u00ed sign\u00e1lu p\u0159id\u00e1n\u00edm nul do pole vzork\u016f. T\u00edm se v\u0161ak nezv\u00fd\u0161\u00ed skute\u010dn\u00e9 frekven\u010dn\u00ed rozli\u0161en\u00ed.<\/p>\n S rozvojem digit\u00e1ln\u00ed technologie se zm\u011bnily zp\u016fsoby ukl\u00e1d\u00e1n\u00ed m\u011b\u0159en\u00fdch dat (sign\u00e1l\u016f). Zat\u00edmco d\u0159\u00edve bylo mo\u017en\u00e9 sign\u00e1l zaznamenat na magnetofon a ulo\u017eit na p\u00e1sku v analogov\u00e9 podob\u011b, nyn\u00ed jsou sign\u00e1ly digitalizov\u00e1ny a ukl\u00e1d\u00e1ny do soubor\u016f v pam\u011bti po\u010d\u00edta\u010de jako soubor \u010d\u00edsel (po\u010dt\u016f).<\/p>\n Obvykl\u00e9 sch\u00e9ma m\u011b\u0159en\u00ed a digitalizace sign\u00e1lu vypad\u00e1 n\u00e1sledovn\u011b.<\/p>\n M\u011b\u0159ic\u00ed p\u0159evodn\u00edk —- Normaliz\u00e1tor sign\u00e1lu —- ADC – Po\u010d\u00edta\u010d <\/span><\/i><\/em><\/p>\n Sign\u00e1l z m\u011b\u0159ic\u00edho sn\u00edma\u010de p\u0159ech\u00e1z\u00ed do ADC po dobu T. \u00dadaje o sign\u00e1lu (vzorkov\u00e1n\u00ed) z\u00edskan\u00e9 b\u011bhem doby T jsou p\u0159en\u00e1\u0161eny do po\u010d\u00edta\u010de a ukl\u00e1d\u00e1ny do pam\u011bti.<\/p>\n Obr.10 Digitalizovan\u00fd sign\u00e1l – N vzork\u016f p\u0159ijat\u00fdch pro \u010das T<\/p><\/div>\n Jak\u00e9 jsou po\u017eadavky na parametry digitalizace sign\u00e1lu? Za\u0159\u00edzen\u00ed, kter\u00e9 p\u0159ev\u00e1d\u00ed vstupn\u00ed analogov\u00fd sign\u00e1l na diskr\u00e9tn\u00ed k\u00f3d (digit\u00e1ln\u00ed sign\u00e1l), se naz\u00fdv\u00e1 analogov\u011b-digit\u00e1ln\u00ed p\u0159evodn\u00edk (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Jedn\u00edm ze z\u00e1kladn\u00edch parametr\u016f ADC je maxim\u00e1ln\u00ed vzorkovac\u00ed frekvence - frekvence vzorkov\u00e1n\u00ed sign\u00e1lu, kter\u00fd je spojit\u00fd v \u010dase. Vzorkovac\u00ed frekvence se m\u011b\u0159\u00ed v hertz\u00edch. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Podle Kotelnikova teor\u00e9mu, pokud m\u00e1 spojit\u00fd sign\u00e1l spektrum omezen\u00e9 frekvenc\u00ed Fmax, lze jej pln\u011b a jednozna\u010dn\u011b rekonstruovat z diskr\u00e9tn\u00edch vzork\u016f odebran\u00fdch v \u010dasov\u00fdch intervalech \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), tj. se vzorkovac\u00ed frekvenc\u00ed Fd \u2265 2*Fmax, kde Fd – vzorkovac\u00ed frekvence; Fmax – maxim\u00e1ln\u00ed frekvence spektra sign\u00e1lu. Jin\u00fdmi slovy, frekvence digitalizace sign\u00e1lu (vzorkovac\u00ed frekvence ADC) mus\u00ed b\u00fdt alespo\u0148 dvojn\u00e1sobkem maxim\u00e1ln\u00ed frekvence sign\u00e1lu, kter\u00fd chceme m\u011b\u0159it.<\/p>\n A co se stane, kdy\u017e budeme br\u00e1t vzorky s ni\u017e\u0161\u00ed frekvenc\u00ed, ne\u017e vy\u017eaduje Kotelnikovova v\u011bta?<\/p>\n V tomto p\u0159\u00edpad\u011b se jedn\u00e1 o “aliasov\u00e1n\u00ed<\/a>V tomto p\u0159\u00edpad\u011b doch\u00e1z\u00ed k \"aliasing\" efektu (tzv. stroboskopick\u00fd efekt, moir\u00e9 efekt), kdy se vysokofrekven\u010dn\u00ed sign\u00e1l po digitalizaci zm\u011bn\u00ed na n\u00edzkofrekven\u010dn\u00ed sign\u00e1l, kter\u00fd ve skute\u010dnosti neexistuje. Na obr. 11 je \u010derven\u00e1 sinusoida vysok\u00e9 frekvence skute\u010dn\u00fdm sign\u00e1lem. Modr\u00e1 sinusoida ni\u017e\u0161\u00ed frekvence je fiktivn\u00ed sign\u00e1l, kter\u00fd vznik\u00e1 v d\u016fsledku toho, \u017ee b\u011bhem doby vzorkov\u00e1n\u00ed stihne proj\u00edt v\u00edce ne\u017e polovina periody vysokofrekven\u010dn\u00edho sign\u00e1lu.<\/p>\n Obr. 11. Vznik fale\u0161n\u00e9ho n\u00edzkofrekven\u010dn\u00edho sign\u00e1lu p\u0159i nedostate\u010dn\u011b vysok\u00e9 vzorkovac\u00ed frekvenci<\/p><\/div>\n <\/p>\n Aby se zabr\u00e1nilo vzniku aliasingu, pou\u017e\u00edv\u00e1 se speci\u00e1ln\u00ed filtr proti aliasingu (dolnopropustn\u00fd filtr<\/a>) je um\u00edst\u011bn p\u0159ed ADC. Propou\u0161t\u00ed frekvence ni\u017e\u0161\u00ed ne\u017e polovina vzorkovac\u00ed frekvence ADC a odfiltruje vy\u0161\u0161\u00ed frekvence.<\/p>\n Aby bylo mo\u017en\u00e9 vypo\u010d\u00edtat spektrum sign\u00e1lu na z\u00e1klad\u011b jeho diskr\u00e9tn\u00edch vzork\u016f, diskr\u00e9tn\u00ed Fourierova transformace (DFT)<\/a> se pou\u017e\u00edv\u00e1. Je t\u0159eba znovu p\u0159ipomenout, \u017ee spektrum diskr\u00e9tn\u00edho sign\u00e1lu je “ze sv\u00e9 podstaty” omezeno na frekvenci Fmax, kter\u00e1 je men\u0161\u00ed ne\u017e polovina vzorkovac\u00ed frekvence Fd. Spektrum diskr\u00e9tn\u00edho sign\u00e1lu lze proto vyj\u00e1d\u0159it jako sou\u010det a kone\u010dn\u00fd <\/u>po\u010det harmonick\u00fdch, na rozd\u00edl od nekone\u010dn\u00e9ho sou\u010dtu Fourierovy \u0159ady spojit\u00e9ho sign\u00e1lu, jeho\u017e spektrum m\u016f\u017ee b\u00fdt neomezen\u00e9. Podle Kotelnikovovy v\u011bty mus\u00ed b\u00fdt maxim\u00e1ln\u00ed frekvence harmonick\u00e9 takov\u00e1, aby na ni p\u0159ipadaly alespo\u0148 dva vzorky, tak\u017ee po\u010det harmonick\u00fdch je roven polovin\u011b po\u010dtu vzork\u016f diskr\u00e9tn\u00edho sign\u00e1lu. To znamen\u00e1, \u017ee pokud je ve vzorku N vzork\u016f, po\u010det harmonick\u00fdch ve spektru bude N\/2.<\/p>\n Uva\u017eujme nyn\u00ed diskr\u00e9tn\u00ed Fourierovu transformaci (DFT).<\/p>\n Srovn\u00e1n\u00ed s Fourierovou \u0159adou<\/p>\n <\/p>\n Jak vid\u00edme, shoduj\u00ed se, a\u017e na to, \u017ee \u010das ve FFT je diskr\u00e9tn\u00ed a po\u010det harmonick\u00fdch je omezen na N\/2, co\u017e je polovina po\u010dtu vzork\u016f.<\/p>\n Vzorce DFT se zapisuj\u00ed v bezrozm\u011brn\u00fdch celo\u010d\u00edseln\u00fdch prom\u011bnn\u00fdch k, s, kde k je po\u010det vzork\u016f sign\u00e1lu, s je po\u010det spektr\u00e1ln\u00edch slo\u017eek. Jak ji\u017e bylo \u0159e\u010deno v\u00fd\u0161e, p\u0159i rozkladu neperiodick\u00e9 funkce (na\u0161eho sign\u00e1lu) na Fourierovy \u0159ady odpov\u00edd\u00e1 v\u00fdsledn\u00e1 Fourierova \u0159ada vlastn\u011b periodick\u00e9 funkci s periodou T (obr. 12).<\/p>\n <\/p>\n Obr.12. Periodick\u00e1 funkce f(x) s periodou T0, s periodou T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Jak je patrn\u00e9 z obr. 12, funkce f(x) je periodick\u00e1 s periodou T0. Jeliko\u017e se v\u0161ak d\u00e9lka m\u011b\u0159en\u00e9ho \u00faseku T neshoduje s periodou funkce T0, m\u00e1 funkce z\u00edskan\u00e1 jako Fourier\u016fv \u0159ad v bod\u011b T nespojitost. V d\u016fsledku toho bude spektrum t\u00e9to funkce obsahovat velk\u00e9 mno\u017estv\u00ed vysokofrekven\u010dn\u00edch harmonick\u00fdch. Tento jev je zn\u00e1m\u00fd jako spektr\u00e1ln\u00ed \u00fanik<\/a>, a v praxi se sni\u017euje o okenov\u00e1n\u00ed<\/a> sign\u00e1l p\u0159ed transformac\u00ed. Pokud by se d\u00e9lka m\u011b\u0159ic\u00edho vzorku T shodovala s periodou funkce T0, pak by spektrum z\u00edskan\u00e9 po Fourierov\u011b transformaci obsahovalo pouze prvn\u00ed harmonickou (sinusoidu s periodou rovnou d\u00e9lce vzorku), proto\u017ee funkce f(x) je sinusoida.<\/p>\n Jin\u00fdmi slovy, program DFT \"nev\u00ed\", \u017ee n\u00e1\u0161 sign\u00e1l je \"\u0159ez sinusovky\", ale sna\u017e\u00ed se reprezentovat jako s\u00e9rii periodickou funkci, kter\u00e1 m\u00e1 nespojitost v d\u016fsledku nespojitosti jednotliv\u00fdch \u010d\u00e1st\u00ed sinusovky.<\/p>\n V d\u016fsledku toho se ve spektru objevuj\u00ed harmonick\u00e9, kter\u00e9 by m\u011bly celkov\u011b reprezentovat tvar funkce v\u010detn\u011b t\u00e9to nespojitosti.<\/p>\n Proto, abychom z\u00edskali \"spr\u00e1vn\u00e9\" spektrum sign\u00e1lu, kter\u00fd je sou\u010dtem n\u011bkolika sinusoid s r\u016fzn\u00fdmi periodami, je nutn\u00e9, aby se v n\u011bm nach\u00e1zelo celo\u010d\u00edseln\u00fd po\u010det obdob\u00ed <\/u>ka\u017ed\u00e1 sinusoida by m\u011bla b\u00fdt p\u0159\u00edtomna v m\u011b\u0159ic\u00ed period\u011b sign\u00e1lu. V praxi lze tuto podm\u00ednku splnit p\u0159i dostate\u010dn\u011b dlouh\u00e9 dob\u011b m\u011b\u0159en\u00ed sign\u00e1lu.<\/p>\n <\/p>\n Obr.13 P\u0159\u00edklad funkce a spektra sign\u00e1lu kinematick\u00e9 chyby p\u0159evodovky<\/p><\/div>\n <\/p>\n P\u0159i krat\u0161\u00edm trv\u00e1n\u00ed bude obraz vypadat \"h\u016f\u0159e\":<\/p>\n <\/p>\n Obr.14 P\u0159\u00edklad vibra\u010dn\u00ed funkce a spektra rotoru<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n V praxi m\u016f\u017ee b\u00fdt obt\u00ed\u017en\u00e9 pochopit, kde se nach\u00e1zej\u00ed \"skute\u010dn\u00e9 slo\u017eky\" a kde \"artefakty\" zp\u016fsoben\u00e9 nesouladem period slo\u017eek a dob trv\u00e1n\u00ed vzorkov\u00e1n\u00ed sign\u00e1lu nebo \"skoky a zlomy\" v pr\u016fb\u011bhu. Slova \"skute\u010dn\u00e9 slo\u017eky\" a \"artefakty\" jsou samoz\u0159ejm\u011b v uvozovk\u00e1ch z n\u011bjak\u00e9ho d\u016fvodu. P\u0159\u00edtomnost mnoha harmonick\u00fdch slo\u017eek na grafu spektra neznamen\u00e1, \u017ee se z nich n\u00e1\u0161 sign\u00e1l skute\u010dn\u011b skl\u00e1d\u00e1. Je to jako myslet si, \u017ee \u010d\u00edslo 7 se \"skl\u00e1d\u00e1\" z \u010d\u00edsel 3 a 4. \u010c\u00edslo 7 si m\u016f\u017eeme p\u0159edstavit jako sou\u010det \u010d\u00edsel 3 a 4 - to je spr\u00e1vn\u011b.<\/p>\n Tak\u017ee i n\u00e1\u0161 sign\u00e1l... nebo sp\u00ed\u0161e ani ne \"n\u00e1\u0161 sign\u00e1l\", ale periodickou funkci slo\u017eenou z opakov\u00e1n\u00ed na\u0161eho sign\u00e1lu (vzorku) lze reprezentovat jako sou\u010det harmonick\u00fdch (sinusovek) s ur\u010dit\u00fdmi amplitudami a f\u00e1zemi. V mnoha p\u0159\u00edpadech d\u016fle\u017eit\u00fdch pro praxi (viz obr\u00e1zky v\u00fd\u0161e) je v\u0161ak skute\u010dn\u011b mo\u017en\u00e9 vztahovat harmonick\u00e9 z\u00edskan\u00e9 ve spektru tak\u00e9 k re\u00e1ln\u00fdm proces\u016fm, kter\u00e9 maj\u00ed cyklick\u00fd charakter a v\u00fdznamn\u011b se pod\u00edlej\u00ed na podob\u011b sign\u00e1lu.<\/p>\n 1. Re\u00e1ln\u00fd m\u011b\u0159en\u00fd sign\u00e1l o trv\u00e1n\u00ed T s digitalizovan\u00fd ADC, tj. reprezentovan\u00fd souborem diskr\u00e9tn\u00edch vzork\u016f (N kus\u016f), m\u00e1 diskr\u00e9tn\u00ed neperiodick\u00e9 spektrum reprezentovan\u00e9 souborem harmonick\u00fdch (N\/2 kus\u016f).<\/p>\n 2. Sign\u00e1l je reprezentov\u00e1n souborem re\u00e1ln\u00fdch hodnot. Jeho spektrum DFT je souborem komplexn\u00edch koeficient\u016f se sdru\u017eenou symetri\u00ed; z nich se z\u00edsk\u00e1v\u00e1 amplitudov\u00e9 spektrum \u2014 soubor re\u00e1ln\u00fdch nez\u00e1porn\u00fdch amplitud (a f\u00e1z\u00ed) na kladn\u00fdch frekvenc\u00edch \u2014 a pr\u00e1v\u011b toto jednostrann\u00e9 amplitudov\u00e9 spektrum se v praxi vykresluje. Oboustrann\u00fd komplexn\u00ed tvar se z\u00e1porn\u00fdmi frekvencemi a jednostrann\u00fd tvar amplituda\/f\u00e1ze jsou ekvivalentn\u00ed reprezentace t\u00e9ho\u017e spektra \u2014 pro anal\u00fdzu sign\u00e1lu je obvykle pohodln\u011bj\u0161\u00ed pracovat s jednostrann\u00fdm amplitudov\u00fdm spektrem.<\/p>\n 3. Sign\u00e1l nam\u011b\u0159en\u00fd v \u010dase T je ur\u010den pouze v \u010dase T. Co se stalo p\u0159edt\u00edm, ne\u017e jsme za\u010dali sign\u00e1l m\u011b\u0159it, a co se stane potom, nen\u00ed v\u011bd\u011b zn\u00e1mo. A v na\u0161em p\u0159\u00edpad\u011b to nen\u00ed zaj\u00edmav\u00e9. FFT \u010dasov\u011b omezen\u00e9ho sign\u00e1lu poskytuje jeho \"skute\u010dn\u00e9\" spektrum v tom smyslu, \u017ee za ur\u010dit\u00fdch podm\u00ednek umo\u017e\u0148uje vypo\u010d\u00edtat amplitudu a frekvenci jeho slo\u017eek.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/cs\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"Obr.2](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US779.webp\")
\nZ matematick\u00e9ho hlediska – kolik chyb je v t\u00e9to v\u011bt\u011b? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Obr.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Obr.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Spojit\u00e1 funkce a jej\u00ed reprezentace Fourierovou \u0159adou<\/h2>\n
\nT – \u00fasek, kde je funkce definov\u00e1na (doba trv\u00e1n\u00ed sign\u00e1lu)
\nAk - amplituda k-t\u00e9 harmonick\u00e9 slo\u017eky,
\n\u03b8k- po\u010d\u00e1te\u010dn\u00ed f\u00e1ze k-t\u00e9 harmonick\u00e9 slo\u017eky
\nCo znamen\u00e1 \"reprezentovat funkci jako sou\u010det \u0159ad\"? Znamen\u00e1 to, \u017ee se\u010dten\u00edm hodnot harmonick\u00fdch slo\u017eek Fourierovy \u0159ady v ka\u017ed\u00e9m bod\u011b z\u00edsk\u00e1me hodnotu na\u0161\u00ed funkce v tomto bod\u011b.
\n(P\u0159esn\u011bji \u0159e\u010deno, st\u0159edn\u00ed kvadratick\u00e1 odchylka \u0159ady od funkce f(x) bude sm\u011b\u0159ovat k nule, ale navzdory st\u0159edn\u00ed kvadratick\u00e9 konvergenci k n\u00ed Fourierova \u0159ada funkce obecn\u011b nemus\u00ed bod po bodu konvergovat. )
\nTuto \u0159adu lze tak\u00e9 zapsat ve tvaru:<\/p>\n![\"Fourierova](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, k-t\u00e1 komplexn\u00ed amplituda.<\/p>\n<\/p>\n
![\"Vzorec](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>Matematick\u00fdm z\u00e1kladem spektr\u00e1ln\u00ed anal\u00fdzy sign\u00e1l\u016f je Fourierova transformace.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fourierova transformace umo\u017e\u0148uje reprezentovat spojitou funkci f(x) (sign\u00e1l) definovanou na intervalu {0, T} jako sou\u010det nekone\u010dn\u00e9ho po\u010dtu (nekone\u010dn\u00e9 \u0159ady) trigonometrick\u00fdch funkc\u00ed (sinus a\/nebo kosinus) s ur\u010dit\u00fdmi amplitudami a f\u00e1zemi uva\u017eovan\u00fdmi rovn\u011b\u017e na intervalu {0, T}. Takov\u00e1 \u0159ada se naz\u00fdv\u00e1 Fourierova \u0159ada.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n
\nSpektrum t\u00e9to funkce je diskr\u00e9tn\u00ed, tj. je reprezentov\u00e1no jako nekone\u010dn\u00e1 \u0159ada harmonick\u00fdch slo\u017eek - Fourierova \u0159ada.
\nVe skute\u010dnosti Fourierova \u0159ada definuje n\u011bjakou periodickou funkci, kter\u00e1 se shoduje s na\u0161\u00ed funkc\u00ed na intervalu {0, T}, ale pro n\u00e1s tato periodi\u010dnost nen\u00ed podstatn\u00e1.<\/p>\n
\nChcete-li zv\u00fd\u0161it rozli\u0161en\u00ed dvakr\u00e1t na 0,5 Hz, je nutn\u00e9 prodlou\u017eit dobu m\u011b\u0159en\u00ed dvakr\u00e1t na 2 sekundy. Desetisekundov\u00fd sign\u00e1l lze rozlo\u017eit na harmonick\u00e9 slo\u017eky (spektrum) s frekven\u010dn\u00edm rozli\u0161en\u00edm 0,1 Hz. Neexistuj\u00ed \u017e\u00e1dn\u00e9 jin\u00e9 zp\u016fsoby, jak zv\u00fd\u0161it frekven\u010dn\u00ed rozli\u0161en\u00ed. Tuto souvislost si m\u016f\u017eete vyzkou\u0161et pomoc\u00ed na\u0161eho Kalkula\u010dka rozli\u0161en\u00ed FFT<\/a>.<\/p>\nDiskr\u00e9tn\u00ed sign\u00e1ly a diskr\u00e9tn\u00ed Fourierova transformace<\/h2>\n
\n(Obr.9 Sch\u00e9ma m\u011b\u0159ic\u00edho kan\u00e1lu)<\/p>\n![\"Obr.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Obr.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
<\/p>\n
<\/p>\n
\nHodnota s ud\u00e1v\u00e1 po\u010det pln\u00fdch harmonick\u00fdch kmit\u016f za periodu T (doba trv\u00e1n\u00ed m\u011b\u0159en\u00ed sign\u00e1lu). Diskr\u00e9tn\u00ed Fourierova transformace se pou\u017e\u00edv\u00e1 k numerick\u00e9mu zji\u0161t\u011bn\u00ed amplitud a f\u00e1z\u00ed harmonick\u00fdch kmit\u016f, tj. \"na po\u010d\u00edta\u010di\".<\/p>\n![\"Obr.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
N\u011bkter\u00e9 v\u00fdsledky<\/h2>\n