For at tjekke, om programmet fungerer korrekt, danner vi et array af pr\u00f8ver som en sum af to sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) og sender det ind i programmet. Programmet tegnede f\u00f8lgende:
\n
![\"Fourier-transformation](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 Grafen for signalets tidsfunktion<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 Grafen over signalspektret<\/p><\/div>\n <\/p>\n Der er to harmoniske<\/a> p\u00e5 spektrumgrafen \u2013 5 Hz med en amplitude p\u00e5 0,5 V og 10 Hz med en amplitude p\u00e5 1 V; alt stemmer overens med formlen for det oprindelige signal. Alt er i orden, programmet fungerer korrekt.<\/p>\n Det betyder, at hvis vi sender et reelt signal fra en blanding af to sinusoider til ADC-indgangen, vil vi f\u00e5 et lignende spektrum best\u00e5ende af to harmoniske.<\/p>\n S\u00e5 vores \u00e6gte <\/span><\/b><\/strong>m\u00e5lt signal af 5 sekunders varighed<\/span><\/b><\/strong>digitaliseret af ADC, dvs. repr\u00e6senteret ved af diskrete <\/span><\/b><\/strong>pr\u00f8ver, har en diskret ikke-periodisk <\/span><\/b><\/strong>spektrum. Lad os nu pr\u00f8ve at m\u00e5le det samme signal i 0,5 sek.<\/p>\n Fig.3 Grafen for funktionen sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) for en m\u00e5leperiode p\u00e5 0,5 sek.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Spektrum af funktionen<\/p><\/div>\n <\/p>\n Der er noget galt her! Den harmoniske ved 10 Hz er tegnet normalt, og i stedet for den harmoniske ved 5 Hz er der nogle uklare harmoniske.<\/p>\n P\u00e5 internettet siger de, at det er n\u00f8dvendigt at tilf\u00f8je nuller til slutningen af pr\u00f8ven, og at spektret vil blive tegnet normalt.<\/p>\n Fig.5 Vi har tilf\u00f8jet nuller til pr\u00f8ven op til 5 sek.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Det opn\u00e5ede spektrum.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Det er slet ikke det. Jeg bliver n\u00f8dt til at forholde mig til teorien. Lad os g\u00e5 til Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0- kilden til viden.<\/p>\n Matematisk set er vores signal med en varighed p\u00e5 T sekunder en funktion f(x) givet p\u00e5 intervallet {0, T} (X er i dette tilf\u00e6lde tid). En s\u00e5dan funktion kan altid repr\u00e6senteres som en sum af harmoniske funktioner (sinus eller cosinus) af formen:<\/p>\n \u00a0(1), hvor:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k er nummeret p\u00e5 den trigonometriske funktion ( nummeret p\u00e5 den harmoniske komponent, nummeret p\u00e5 den harmoniske) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n hvor <\/p>\n eller<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Forholdet mellem koefficienterne (1) og (3) er udtrykt ved f\u00f8lgende formler:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Bem\u00e6rk, at alle disse tre repr\u00e6sentationer af Fourier-r\u00e6kker er fuldst\u00e6ndig \u00e6kvivalente. Nogle gange er det, n\u00e5r man arbejder med Fourier-r\u00e6kker, mere bekvemt at bruge eksponenter med imagin\u00e6rt argument i stedet for sinus og cosinus, dvs. at bruge Fourier-transformationen p\u00e5 kompleks form. Men for os er det praktisk at bruge formel (1), hvor Fourier-r\u00e6kken er repr\u00e6senteret som en sum af cosinusser med tilsvarende amplituder og faser. Strengt taget frembringer Fourier-transformationen af et reelt signal komplekse koefficienter (form (3)): hver koefficient b\u00e6rer b\u00e5de amplituden og fasen for sin harmoniske komponent. For et reelt signal har disse komplekse koefficienter konjugeret (Hermitisk) symmetri \u2014 den negative frekvenshalvdel spejler blot den positive frekvenshalvdel og indeholder ingen ekstra information. Derfor kan vi altid ud fra de komplekse koefficienter g\u00e5 over til de reelle ikke-negative amplituder Ak og faser \u03b8k i formel (1) \u2014 og det er netop dette amplitudespektrum, analyseprogrammer plotter.<\/p>\n <\/p>\n Det korte af det lange:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Bem\u00e6rk nogle flere punkter, hvis forst\u00e5else er n\u00f8dvendig for korrekt anvendelse af Fourier-transformationen til signalanalyse. Hvis vi betragter Fourier-serien (summen af sinusoider) p\u00e5 hele X-aksen, vil vi se, at uden for intervallet {0, T} vil Fourier-seriens funktion periodisk gentage vores funktion.<\/p>\n I grafen i fig. 7 er den oprindelige funktion f.eks. defineret p\u00e5 intervallet {-T\\2, +T\\2}, og Fourier-serien repr\u00e6senterer en periodisk funktion defineret p\u00e5 hele x-aksen.<\/p>\n Det skyldes, at sinusoiderne i sig selv er periodiske funktioner, s\u00e5 deres sum vil ogs\u00e5 v\u00e6re en periodisk funktion.<\/p>\n Figur 7 Repr\u00e6sentation af en ikke-periodisk kildefunktion med en Fourier-serie<\/p><\/div>\n S\u00e5ledes:<\/p>\n Vores oprindelige funktion er en kontinuerlig, ikke-periodisk funktion defineret p\u00e5 et segment med l\u00e6ngden T. N\u00e6ste.<\/p>\n Perioderne for de harmoniske komponenter er multipla af intervallet {0, T}, hvor den oprindelige funktion f(x) er defineret. Med andre ord er de harmoniske komponenters perioder multipler af varigheden af signalm\u00e5lingen. For eksempel er perioden for den f\u00f8rste harmoniske i en Fourier-serie lig med intervallet T, hvor funktionen f(x) er defineret. Perioden for den anden harmoniske i en Fourier-serie er lig med intervallet T\/2. Og s\u00e5 videre (se figur 8).<\/p>\n Fig. 8 Perioder (frekvenser) af harmoniske komponenter i Fourier-serien (her T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n F\u00f8lgelig er frekvenserne af harmoniske komponenter multipler af 1\/T. Det vil sige, at frekvenserne af de harmoniske komponenter Fk er Fk= k\\T, hvor k har v\u00e6rdier fra 0 til \u221e, for eksempel k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (ved nul frekvens, en konstant komponent).<\/p>\n Lad vores startfunktion v\u00e6re et signal, der er optaget i l\u00f8bet af T=1 sek. S\u00e5 vil perioden for den f\u00f8rste harmoniske v\u00e6re lig med varigheden af vores signal T1=T=1 sek, og frekvensen af den harmoniske er lig med 1 Hz. Perioden for den anden harmoniske vil v\u00e6re lig med varigheden af vores signal divideret med 2 (T2=T\/2=0,5 sek.), og frekvensen er lig med 2 Hz. For den tredje harmoniske er T3=T\/3 sek., og frekvensen er 3 Hz. Og s\u00e5 videre.<\/p>\n Skridtet mellem overtonerne er i dette tilf\u00e6lde 1 Hz.<\/p>\n S\u00e5ledes kan et signal med en varighed p\u00e5 1 sek. dekomponeres i harmoniske komponenter (for at f\u00e5 et spektrum) med en frekvensopl\u00f8sning p\u00e5 1 Hz. Der er en m\u00e5de, hvorp\u00e5 man kunstigt kan \u00f8ge signalets varighed ved at tilf\u00f8je nuller til r\u00e6kken af samples. Men det \u00f8ger ikke den reelle frekvensopl\u00f8sning.<\/p>\n Med udviklingen af digital teknologi har m\u00e5den, man lagrer m\u00e5ledata (signaler) p\u00e5, \u00e6ndret sig. Hvor et signal tidligere kunne optages p\u00e5 en b\u00e5ndoptager og lagres p\u00e5 et b\u00e5nd i analog form, digitaliseres signaler nu og lagres i filer i computerens hukommelse som et s\u00e6t tal (counts).<\/p>\n Det s\u00e6dvanlige skema for signalm\u00e5ling og -digitalisering ser ud som f\u00f8lger.<\/p>\n M\u00e5letransducer —- Signalnormalisator —- ADC —– Computer <\/span><\/i><\/em><\/p>\n Signalet fra m\u00e5letransduceren g\u00e5r til ADC'en i et tidsrum T. De signalafl\u00e6sninger (sampling), der modtages i tidsrummet T, overf\u00f8res til computeren og gemmes i hukommelsen.<\/p>\n Fig.10 Digitaliseret signal - N pr\u00f8ver modtaget i tiden T<\/p><\/div>\n Hvilke krav er der til parametrene for signaldigitalisering? En enhed, der konverterer det analoge indgangssignal til en diskret kode (digitalt signal), kaldes en analog-til-digital-konverter (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n En af de grundl\u00e6ggende parametre for ADC er den maksimale samplinghastighed - frekvensen for sampling af et signal, som er kontinuerligt i tid. Sampleraten m\u00e5les i hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n If\u00f8lge Kotelnikovs teorem kan et kontinuert signal med et frekvensspektrum begr\u00e6nset af frekvensen Fmax fuldt og entydigt rekonstrueres ud fra dets diskrete pr\u00f8ver taget med tidsintervaller \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), dvs. med en pr\u00f8vetagningsfrekvens Fd \u2265 2*Fmax, hvor Fd – pr\u00f8vetagningsfrekvens; Fmax – den maksimale frekvens i signal-spektret. Med andre ord skal frekvensen for signal-digitalisering (ADC's pr\u00f8vetagningsfrekvens) v\u00e6re mindst dobbelt s\u00e5 h\u00f8j som den maksimale frekvens af det signal, vi \u00f8nsker at m\u00e5le.<\/p>\n Og hvad sker der, hvis vi tager pr\u00f8ver med lavere frekvens, end Kotelnikovs teorem kr\u00e6ver?<\/p>\n I dette tilf\u00e6lde er der en “aliasing<\/a>I dette tilf\u00e6lde er der en \"aliasing\"-effekt (ogs\u00e5 kaldet stroboskopisk effekt, moir\u00e9-effekt), hvor et h\u00f8jfrekvent signal efter digitalisering bliver til et lavfrekvent signal, som i virkeligheden ikke eksisterer. I fig. 11 er den r\u00f8de sinuskurve med h\u00f8j frekvens det virkelige signal. Den bl\u00e5 sinuskurve med lavere frekvens er et fiktivt signal, der opst\u00e5r, fordi der i l\u00f8bet af samplingstiden er g\u00e5et mere end en halv periode af det h\u00f8jfrekvente signal.<\/p>\n Fig. 11. Fremkomst af et spuri\u00f8st lavfrekvent signal ved en utilstr\u00e6kkelig h\u00f8j samplinghastighed<\/p><\/div>\n <\/p>\n For at undg\u00e5 aliasing-effekten anvendes et specielt anti-aliasing-filter (Lavpasfilter<\/a>) er placeret foran ADC'en. Det lader frekvenser, der er lavere end halvdelen af ADC'ens samplingsfrekvens, passere og afsk\u00e6rer de h\u00f8jere frekvenser.<\/p>\n For at beregne signalspektret ud fra dets diskrete pr\u00f8ver skal den diskrete Fourier-transformation (DFT)<\/a> anvendes. Bem\u00e6rk endnu en gang, at spektret for et diskret signal \u00bbper definition\u00ab er begr\u00e6nset til en frekvens Fmax, der er mindre end halvdelen af samplingsfrekvensen Fd. Derfor kan spektret for et diskret signal udtrykkes som summen af en endelig <\/u>antal harmoniske, i mods\u00e6tning til den uendelige sum for Fourier-serien af et kontinuerligt signal, hvis spektrum kan v\u00e6re ubegr\u00e6nset. If\u00f8lge Kotelnikovs teorem skal den maksimale frekvens for en harmonisk v\u00e6re s\u00e5dan, at den udg\u00f8r mindst to samples, s\u00e5 antallet af harmoniske er lig med halvdelen af antallet af samples i et diskret signal. Det vil sige, at hvis der er N samples i samplet, vil antallet af overtoner i spektret v\u00e6re N\/2.<\/p>\n Betragt nu den diskrete Fourier-transformation (DFT).<\/p>\n Hvis man sammenligner det med Fourier-serien<\/p>\n <\/p>\n Som vi kan se, er de sammenfaldende, bortset fra at tiden i FFT'en er diskret, og antallet af harmoniske er begr\u00e6nset til N\/2, som er halvdelen af antallet af samples.<\/p>\n DFT-formler skrives i dimensionsl\u00f8se heltalsvariabler k, s, hvor k er antallet af signalpr\u00f8ver, og s er antallet af spektralkomponenter. Som det allerede blev sagt ovenfor, n\u00e5r man dekomponerer en ikke-periodisk funktion (vores signal) i Fourier-serier, svarer den resulterende Fourier-serie faktisk til en periodisk funktion med periode T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig. 12. Periodisk funktion f(x) med periode T0, med periode T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Som det fremg\u00e5r af fig. 12, er funktionen f(x) periodisk med perioden T0. Da m\u00e5lepr\u00f8vel\u00e6ngden T imidlertid ikke er lig med funktionens periode T0, har den funktion, der fremkommer som en Fourier-r\u00e6kke, et brudpunkt ved punktet T. Som f\u00f8lge heraf vil denne funktions spektrum indeholde et stort antal h\u00f8jfrekvente harmoniske. Dette f\u00e6nomen kaldes spektral l\u00e6kage<\/a>, og i praksis reduceres den med vinduesinddeling<\/a> signalet f\u00f8r transformationen. Hvis varigheden af m\u00e5lepr\u00f8ven T faldt sammen med perioden for funktionen T0, ville det spektrum, der blev opn\u00e5et efter Fourier-transformationen, kun indeholde den f\u00f8rste harmoniske (en sinuskurve med en periode svarende til pr\u00f8vens varighed), da funktionen f(x) er en sinuskurve.<\/p>\n Med andre ord \"ved\" DFT-programmet ikke, at vores signal er et \"udsnit af en sinuskurve\", men fors\u00f8ger at repr\u00e6sentere en periodisk funktion som en serie, der har en diskontinuitet p\u00e5 grund af diskontinuiteten i de enkelte stykker af sinuskurven.<\/p>\n Resultatet er, at der opst\u00e5r overtoner i spektret, som samlet set skal repr\u00e6sentere funktionens form, inklusive denne diskontinuitet.<\/p>\n For at f\u00e5 et \"korrekt\" spektrum af et signal, der er en sum af flere sinusoider med forskellige perioder, er det s\u00e5ledes n\u00f8dvendigt, at en heltalligt antal perioder af <\/u>hver sinuskurve skal v\u00e6re til stede i signalets m\u00e5leperiode. I praksis kan denne betingelse opfyldes med en tilstr\u00e6kkelig lang varighed af signalm\u00e5ling.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Eksempel p\u00e5 det kinematiske fejlsignals funktion og spektrum for en gearkasse<\/p><\/div>\n <\/p>\n Ved kortere varighed vil billedet se \"v\u00e6rre\" ud:<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Eksempel p\u00e5 rotorsvingningsfunktion og -spektrum<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n I praksis kan det v\u00e6re sv\u00e6rt at forst\u00e5, hvor de \"rigtige komponenter\" er, og hvor \"artefakterne\" er for\u00e5rsaget af uoverensstemmelse mellem komponentperioder og signalets samplingvarighed eller \"spring og brud\" i b\u00f8lgeformen. Der er selvf\u00f8lgelig en grund til, at ordene \"\u00e6gte komponenter\" og \"artefakter\" er sat i anf\u00f8rselstegn. Tilstedev\u00e6relsen af mange overtoner p\u00e5 spektrumgrafen betyder ikke, at vores signal faktisk best\u00e5r af dem. Det er som at tro, at tallet 7 \"best\u00e5r\" af tallene 3 og 4. Tallet 7 kan opfattes som summen af 3 og 4 - det er korrekt.<\/p>\n S\u00e5 vores signal... eller rettere ikke engang \"vores signal\", men en periodisk funktion, der er sammensat ved at gentage vores signal (sample), kan ogs\u00e5 repr\u00e6senteres som en sum af harmoniske (sinusb\u00f8lger) med bestemte amplituder og faser. Men i mange tilf\u00e6lde, der er vigtige for praksis (se figurerne ovenfor), er det faktisk muligt at relatere de harmoniske, der opn\u00e5s i spektret, til reelle processer, der har cyklisk karakter og bidrager v\u00e6sentligt til signalets form.<\/p>\n 1. Et reelt m\u00e5lt signal med en varighed p\u00e5 T sekunder digitaliseret af ADC, dvs. repr\u00e6senteret af et s\u00e6t diskrete samples (N stykker), har et diskret ikke-periodisk spektrum repr\u00e6senteret af et s\u00e6t harmoniske (N\/2 stykker).<\/p>\n 2. Signalet repr\u00e6senteres af et s\u00e6t reelle v\u00e6rdier. Dets DFT-spektrum er et s\u00e6t komplekse koefficienter med konjugeret symmetri; herfra f\u00e5s amplitudespektret \u2014 et s\u00e6t reelle ikke-negative amplituder (og faser) ved positive frekvenser, og det er dette ensidige amplitudespektrum, der plottes i praksis. Den tosidige komplekse form med negative frekvenser og den ensidige amplitude-\/faseform er \u00e6kvivalente repr\u00e6sentationer af det samme spektrum \u2014 ved signalanalyse er det normalt mere bekvemt at arbejde med det ensidige amplitudespektrum.<\/p>\n 3. Signalet m\u00e5lt p\u00e5 tidspunkt T er kun bestemt p\u00e5 tidspunkt T. Hvad der skete, f\u00f8r vi begyndte at m\u00e5le signalet, og hvad der vil ske derefter, er ukendt for videnskaben. Og i vores tilf\u00e6lde er det ikke interessant. FFT af det tidsbegr\u00e6nsede signal giver dets \"rigtige\" spektrum i den forstand, at det under visse betingelser g\u00f8r det muligt at beregne amplituden og frekvensen af dets komponenter.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/da\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"Fig.2](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US779.webp\")
\nFra et matematisk synspunkt - hvor mange fejl er der i denne s\u00e6tning? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Kontinuerlig funktion og dens Fourier-serie-repr\u00e6sentation<\/h2>\n
![\"Kontinuerlig](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT - segment, hvor funktionen er defineret (signalets varighed)
\nAk- amplitude af den k'te harmoniske komponent,
\n\u03b8k- den indledende fase af den k'te harmoniske komponent
\nHvad betyder det at \"repr\u00e6sentere funktionen som summen af serierne\"? Det betyder, at ved at addere v\u00e6rdierne af de harmoniske komponenter i Fourier-serien i hvert punkt, f\u00e5r vi v\u00e6rdien af vores funktion i det punkt.
\n(Mere pr\u00e6cist vil seriens gennemsnitlige kvadratafvigelse fra funktionen f(x) g\u00e5 mod nul, men p\u00e5 trods af den gennemsnitlige kvadratkonvergens beh\u00f8ver Fourier-serien af en funktion generelt set ikke at konvergere til den punkt for punkt. )
\nDenne serie kan ogs\u00e5 skrives i formen:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Fourier-transformationsligning](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, den k. komplekse amplitude.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"Formel](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"Fourier-seriens](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>Det matematiske grundlag for spektralanalyse af signaler er Fourier-transformationen.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fouriertransformationen g\u00f8r det muligt at repr\u00e6sentere en kontinuerlig funktion f(x) (signal) defineret p\u00e5 intervallet {0, T} som en sum af uendeligt mange (uendelige serier) trigonometriske funktioner (sinus og\/eller cosinus) med bestemte amplituder og faser, der ogs\u00e5 betragtes p\u00e5 intervallet {0, T}. En s\u00e5dan serie kaldes en Fourier-serie.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figur](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nSpektret for denne funktion er diskret, dvs. det er repr\u00e6senteret som en uendelig serie af harmoniske komponenter - en Fourier-serie.
\nFaktisk definerer Fourier-serien en periodisk funktion, som falder sammen med vores funktion p\u00e5 intervallet {0, T}, men for os er denne periodicitet ikke afg\u00f8rende.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nFor at fordoble opl\u00f8sningen til 0,5 Hz er det n\u00f8dvendigt at fordoble m\u00e5letiden til 2 sekunder. Et 10-sekunders signal kan nedbrydes i harmoniske komponenter (spektrum) med en frekvensopl\u00f8sning p\u00e5 0,1 Hz. Der findes ingen andre m\u00e5der at \u00f8ge frekvensopl\u00f8sningen p\u00e5. Du kan udforske dette forhold med vores FFT-opl\u00f8sningsberegner<\/a>.<\/p>\nDiskrete signaler og diskret Fourier-transformation<\/h2>\n
\n(Fig.9 Skematisk oversigt over m\u00e5lekanalen)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Diskret](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"Diskret](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nV\u00e6rdien s viser antallet af fulde harmoniske svingninger pr. periode T (signalm\u00e5lingens varighed). Den diskrete Fourier-transformation bruges til at finde de harmoniske svingningers amplituder og faser numerisk, dvs. \"p\u00e5 computeren\".<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Nogle resultater<\/h2>\n