Um zu pr\u00fcfen, ob das Programm korrekt funktioniert, bilden wir ein Array von Stichproben als Summe von zwei sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) und geben es in das Programm ein. Das Programm zeichnete das Folgende:
\n
![\"Fouriertransformation](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Abb.1 Das Diagramm der Zeitfunktion des Signals<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Abb.2 Das Diagramm des Signalspektrums<\/p><\/div>\n <\/p>\n Es gibt zwei Harmonische<\/a> Auf dem Spektrumdiagramm \u2013 5 Hz mit einer Amplitude von 0,5 V und 10 Hz mit einer Amplitude von 1 V \u2013 entspricht alles der Formel des Originalsignals. Alles ist in Ordnung, das Programm funktioniert einwandfrei.<\/p>\n Das hei\u00dft, wenn wir ein reales Signal aus einer Mischung von zwei Sinuskurven in den ADC-Eingang einspeisen, erhalten wir ein \u00e4hnliches Spektrum, das aus zwei Oberwellen besteht.<\/p>\n Also, unser real <\/span><\/b><\/strong>gemessenes Signal von 5 Sek. Dauer<\/span><\/b><\/strong>digitalisiert durch ADC, d.h. dargestellt in diskreter Form <\/span><\/b><\/strong>Proben, hat eine diskret nichtperiodisch <\/span><\/b><\/strong>Spektrum. Versuchen wir nun, das gleiche Signal 0,5 Sekunden lang zu messen.<\/p>\n Abb.3 Der Graph der Funktion sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) f\u00fcr eine Messperiode von 0,5 s<\/p><\/div>\n <\/p>\n Abb.4 Spektrum der Funktion<\/p><\/div>\n <\/p>\n Hier stimmt etwas nicht! Die Oberschwingung bei 10 Hz wird normal gezeichnet, und statt der Oberschwingung bei 5 Hz gibt es einige unklare Oberschwingungen.<\/p>\n Im Internet hei\u00dft es, man m\u00fcsse am Ende der Probe Nullen hinzuf\u00fcgen, und das Spektrum werde normal gezeichnet.<\/p>\n Abb.5 Wir haben der Probe bis zu 5 Sekunden Nullen hinzugef\u00fcgt.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Abb.6. Erhaltenes Spektrum.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Das ist es ganz und gar nicht. Ich werde mich mit der Theorie befassen m\u00fcssen. Gehen wir zu wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– die Quelle des Wissens.<\/p>\n Mathematisch gesehen ist unser Signal mit einer Dauer von T Sekunden eine Funktion f(x), die auf dem Intervall {0, T} gegeben ist (X ist in diesem Fall die Zeit). Eine solche Funktion kann immer als Summe von harmonischen Funktionen (Sinus oder Kosinus) der Form dargestellt werden:<\/p>\n \u00a0(1), wobei:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k ist die Nummer der trigonometrischen Funktion (die Nummer der harmonischen Komponente, die Nummer der Oberschwingung) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n wobei <\/p>\n oder<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Die Beziehung zwischen den Koeffizienten (1) und (3) wird durch die folgenden Formeln ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Beachten Sie, dass alle drei Darstellungen der Fourier-Reihe vollkommen \u00e4quivalent sind. Bei der Arbeit mit Fourier-Reihen ist es manchmal bequemer, Exponenten mit imagin\u00e4rem Argument anstelle von Sinus und Kosinus zu verwenden, also die Fourier-Transformation in komplexer Form. F\u00fcr uns ist jedoch Formel (1) praktisch, in der die Fourier-Reihe als Summe von Kosinusfunktionen mit den zugeh\u00f6rigen Amplituden und Phasen dargestellt wird. Streng genommen liefert die Fourier-Transformation eines reellen Signals tats\u00e4chlich komplexe Koeffizienten (Form (3)): Jeder Koeffizient enth\u00e4lt sowohl die Amplitude als auch die Phase seiner Harmonischen. F\u00fcr ein reelles Signal besitzen diese komplexen Koeffizienten konjugierte (hermitesche) Symmetrie - die negative Frequenzh\u00e4lfte spiegelt lediglich die positive Frequenzh\u00e4lfte und enth\u00e4lt keine zus\u00e4tzlichen Informationen. Deshalb k\u00f6nnen wir von den komplexen Koeffizienten immer zu den reellen nichtnegativen Amplituden Ak und Phasen \u03b8k aus Formel (1) \u00fcbergehen - und genau dieses Amplitudenspektrum stellen Analyseprogramme grafisch dar.<\/p>\n <\/p>\n Unterm Strich:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Beachten Sie einige weitere Punkte, deren Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die korrekte Anwendung der Fourier-Transformation auf die Signalanalyse erforderlich ist. Wenn wir die Fourier-Reihe (Summe der Sinuskurven) auf der gesamten X-Achse betrachten, werden wir sehen, dass die Fourier-Reihenfunktion au\u00dferhalb des Intervalls {0, T} unsere Funktion periodisch wiederholt.<\/p>\n In der Grafik in Abb. 7 ist die urspr\u00fcngliche Funktion beispielsweise auf dem Intervall {-T\\2, +T\\2} definiert, und die Fourier-Reihe stellt eine periodische Funktion dar, die auf der gesamten x-Achse definiert ist.<\/p>\n Das liegt daran, dass die Sinuskurven selbst periodische Funktionen sind, so dass ihre Summe ebenfalls eine periodische Funktion ist.<\/p>\n Abbildung 7 Darstellung einer nichtperiodischen Quellenfunktion durch eine Fourier-Reihe<\/p><\/div>\n So:<\/p>\n Unsere urspr\u00fcngliche Funktion ist eine kontinuierliche, nicht-periodische Funktion, die auf einem Segment der L\u00e4nge T definiert ist. Weiter.<\/p>\n Die Perioden der harmonischen Komponenten sind Vielfache des Intervalls {0, T}, auf dem die Ausgangsfunktion f(x) definiert ist. Mit anderen Worten, die Perioden der Oberschwingungen sind Vielfache der Dauer der Signalmessung. Die Periode der ersten Harmonischen in einer Fourier-Reihe ist beispielsweise gleich dem Intervall T, in dem die Funktion f(x) definiert ist. Die Periode der zweiten Harmonischen in einer Fourier-Reihe ist gleich dem Intervall T\/2. Und so weiter (siehe Abbildung 8).<\/p>\n Abb. 8 Perioden (Frequenzen) der harmonischen Komponenten der Fourier-Reihe (hier T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Dementsprechend sind die Frequenzen der harmonischen Komponenten Vielfache von 1\/T. Das hei\u00dft, die Frequenzen der harmonischen Komponenten Fk sind Fk= k\\T, wobei k Werte von 0 bis \u221e annimmt, zum Beispiel k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (bei der Frequenz Null, eine konstante Komponente).<\/p>\n Nehmen wir an, unsere Ausgangsfunktion sei ein Signal, das w\u00e4hrend T=1 Sekunde aufgezeichnet wurde. Dann ist die Periode der ersten Harmonischen gleich der Dauer unseres Signals T1=T=1 sec und die Frequenz der Harmonischen ist gleich 1 Hz. Die Periode der zweiten Harmonischen ist gleich der Dauer unseres Signals geteilt durch 2 (T2=T\/2=0,5 Sek.) und die Frequenz ist gleich 2 Hz. F\u00fcr die dritte Harmonische gilt T3=T\/3 sec und die Frequenz betr\u00e4gt 3 Hz. Und so weiter.<\/p>\n Der Abstand zwischen den Oberwellen betr\u00e4gt in diesem Fall 1 Hz.<\/p>\n So kann ein Signal mit einer Dauer von 1 Sekunde in harmonische Komponenten zerlegt werden (um ein Spektrum zu erhalten) mit einer Frequenzaufl\u00f6sung von 1 Hz. Es gibt eine M\u00f6glichkeit, die Signaldauer k\u00fcnstlich zu verl\u00e4ngern, indem man Nullen zu der Reihe von Abtastwerten hinzuf\u00fcgt. Dadurch wird jedoch die tats\u00e4chliche Frequenzaufl\u00f6sung nicht erh\u00f6ht.<\/p>\n Mit der Entwicklung der Digitaltechnik haben sich die M\u00f6glichkeiten der Speicherung von Messdaten (Signalen) ge\u00e4ndert. W\u00e4hrend fr\u00fcher ein Signal auf einem Tonbandger\u00e4t aufgezeichnet und auf einem Band in analoger Form gespeichert werden konnte, werden die Signale jetzt digitalisiert und in Dateien im Computerspeicher als eine Reihe von Zahlen (Z\u00e4hlungen) gespeichert.<\/p>\n Das \u00fcbliche Schema der Signalmessung und -digitalisierung sieht wie folgt aus.<\/p>\n Messwandler — Signalnormierer — ADC — Computer <\/span><\/i><\/em><\/p>\n Das Signal des Messwandlers wird f\u00fcr eine Zeitspanne T an den ADC weitergeleitet. Die w\u00e4hrend der Zeitspanne T empfangenen Signalwerte (Abtastung) werden an den Computer \u00fcbertragen und im Speicher abgelegt.<\/p>\n Abb.10 Digitalisiertes Signal – N Abtastwerte f\u00fcr die Zeit T empfangen<\/p><\/div>\n Was sind die Anforderungen an die Digitalisierungsparameter eines Signals? Ein Ger\u00e4t, das das analoge Eingangssignal in einen diskreten Code (digitales Signal) umwandelt, wird Analog-Digital-Wandler (ADC) genannt (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Einer der grundlegenden Parameter des ADC ist die maximale Abtastrate – die H\u00e4ufigkeit der Abtastung eines zeitlich kontinuierlichen Signals. Die Abtastrate wird in Hertz gemessen. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Nach dem Kotelnikow-Theorem kann ein kontinuierliches Signal, dessen Spektrum durch die Frequenz Fmax begrenzt ist, aus seinen diskreten Abtastwerten, die in Zeitabst\u00e4nden \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax) aufgenommen wurden, vollst\u00e4ndig und eindeutig rekonstruiert werden, d. h. bei einer Abtastfrequenz Fd \u2265 2*Fmax, wobei Fd die Abtastfrequenz und Fmax die maximale Frequenz des Signalspektrums ist. Mit anderen Worten: Die Frequenz der Signaldigitalisierung (Abtastfrequenz des ADC) muss mindestens doppelt so hoch sein wie die maximale Frequenz des Signals, das wir messen wollen.<\/p>\n Und was passiert, wenn wir Abtastwerte mit einer geringeren Frequenz nehmen als im Kotelnikov-Theorem gefordert?<\/p>\n In diesem Fall gibt es ein \u201eAliasing<\/a>In diesem Fall kommt es zu einem \"Aliasing\"-Effekt (auch bekannt als Stroboskopeffekt, Moir\u00e9-Effekt), bei dem sich ein hochfrequentes Signal nach der Digitalisierung in ein niederfrequentes Signal verwandelt, das in Wirklichkeit gar nicht existiert. In Abb. 11 ist die rote Sinuskurve mit hoher Frequenz das echte Signal. Die blaue Sinuskurve mit niedriger Frequenz ist ein fiktives Signal, das dadurch entsteht, dass w\u00e4hrend der Abtastzeit mehr als eine halbe Periode des hochfrequenten Signals vergeht.<\/p>\n Abb. 11. Auftreten eines st\u00f6renden niederfrequenten Signals bei einer unzureichend hohen Abtastrate<\/p><\/div>\n <\/p>\n Um den Aliasing-Effekt zu vermeiden, wird ein spezieller Anti-Aliasing-Filter (Tiefpassfilter<\/a>) wird vor dem ADC geschaltet. Er l\u00e4sst Frequenzen durch, die unter der H\u00e4lfte der Abtastfrequenz des ADC liegen, und filtert h\u00f6here Frequenzen ab.<\/p>\n Um das Signalspektrum anhand seiner diskreten Abtastwerte zu berechnen, wird das diskrete Fourier-Transformation (DFT)<\/a> verwendet wird. Beachten Sie erneut, dass das Spektrum eines diskreten Signals \u201eper Definition\u201c auf eine Frequenz Fmax begrenzt ist, die kleiner ist als die H\u00e4lfte der Abtastfrequenz Fd. Daher l\u00e4sst sich das Spektrum eines diskreten Signals durch die Summe von eine endliche <\/u>Anzahl der Oberschwingungen, im Gegensatz zur unendlichen Summe der Fourier-Reihe eines kontinuierlichen Signals, dessen Spektrum unbegrenzt sein kann. Nach dem Kotelnikov-Theorem muss die maximale Frequenz einer Harmonischen so beschaffen sein, dass sie mindestens zwei Abtastwerte ausmacht, so dass die Anzahl der Harmonischen der H\u00e4lfte der Anzahl der Abtastwerte eines diskreten Signals entspricht. Das hei\u00dft, wenn es N Abtastwerte in der Probe gibt, ist die Anzahl der Oberwellen im Spektrum N\/2.<\/p>\n Betrachten wir nun die diskrete Fourier-Transformation (DFT).<\/p>\n Vergleich mit der Fourier-Reihe<\/p>\n <\/p>\n Wie man sieht, stimmen sie \u00fcberein, abgesehen von der Tatsache, dass die Zeit in der FFT diskret ist und die Anzahl der Oberschwingungen auf N\/2 begrenzt ist, was der H\u00e4lfte der Anzahl der Abtastwerte entspricht.<\/p>\n DFT-Formeln werden in dimensionslosen ganzzahligen Variablen k, s geschrieben, wobei k die Anzahl der Signalabtastwerte und s die Anzahl der Spektralkomponenten ist. Wie bereits erw\u00e4hnt, entspricht die Zerlegung einer nichtperiodischen Funktion (unseres Signals) in Fourier-Reihen einer periodischen Funktion mit der Periode T (Abb.12).<\/p>\n <\/p>\n Abb.12. Periodische Funktion f(x) mit Periode T0, mit Periode T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Wie aus Abb. 12 ersichtlich ist, ist die Funktion f(x) periodisch mit der Periode T0. Da jedoch die Messabtastl\u00e4nge T nicht der Funktionsperiode T0 entspricht, weist die als Fourier-Reihe erhaltene Funktion am Punkt T eine Unstetigkeit auf. Infolgedessen enth\u00e4lt das Spektrum dieser Funktion eine gro\u00dfe Anzahl hochfrequenter Oberschwingungen. Dieses Ph\u00e4nomen ist bekannt als Leckeffekt<\/a>, und in der Praxis wird sie um Fensterung<\/a> das Signal vor der Transformation. Wenn die Dauer des Messwerts T mit der Periode der Funktion T0 \u00fcbereinstimmte, w\u00fcrde das nach der Fourier-Transformation erhaltene Spektrum nur die erste Harmonische enthalten (eine Sinuskurve mit einer Periode, die der Dauer des Messwerts entspricht), da die Funktion f(x) eine Sinuskurve ist.<\/p>\n Mit anderen Worten: Das DFT-Programm \"wei\u00df\" nicht, dass unser Signal ein \"St\u00fcck einer Sinuswelle\" ist, sondern versucht, eine periodische Funktion als Reihe darzustellen, die aufgrund der Unstetigkeit der einzelnen Teile der Sinuswelle eine Unstetigkeit aufweist.<\/p>\n Infolgedessen erscheinen Oberschwingungen im Spektrum, die insgesamt die Form der Funktion, einschlie\u00dflich dieser Unstetigkeit, darstellen sollten.<\/p>\n Um ein “richtiges” Spektrum eines Signals zu erhalten, das eine Summe mehrerer Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Perioden ist, ist es daher erforderlich, dass ein ganzzahlige Anzahl von Perioden von <\/u>jede Sinuskurve sollte w\u00e4hrend der Messperiode des Signals vorhanden sein. In der Praxis kann diese Bedingung mit einer ausreichend langen Dauer der Signalmessung erf\u00fcllt werden.<\/p>\n <\/p>\n Abb.13 Beispiel f\u00fcr die kinematische Fehlersignalfunktion und das Spektrum eines Getriebes<\/p><\/div>\n <\/p>\n Bei k\u00fcrzerer Dauer wird das Bild “schlechter” aussehen:<\/p>\n <\/p>\n Abb.14 Beispiel einer Rotorschwingungsfunktion und eines Spektrums<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n In der Praxis kann es schwierig sein zu erkennen, wo die “echten Komponenten” und wo die “Artefakte” liegen, die durch die Inkonsistenz der Perioden der Komponenten und der Dauer der Signalabtastung oder durch “Spr\u00fcnge und Br\u00fcche” in der Wellenform verursacht werden. Die Worte “echte Komponenten” und “Artefakte” sind nat\u00fcrlich nicht ohne Grund in Anf\u00fchrungszeichen gesetzt. Das Vorhandensein vieler Oberschwingungen in der Spektralkurve bedeutet nicht, dass unser Signal tats\u00e4chlich aus ihnen besteht. Das ist so, als w\u00fcrde man denken, dass die Zahl 7 aus den Zahlen 3 und 4 “besteht”. Man kann sich die Zahl 7 als die Summe von 3 und 4 vorstellen - das ist richtig.<\/p>\n So kann auch unser Signal... oder besser gesagt nicht einmal “unser Signal”, sondern eine periodische Funktion, die sich aus der Wiederholung unseres Signals (Sample) zusammensetzt, als Summe von Oberschwingungen (Sinuswellen) mit bestimmten Amplituden und Phasen dargestellt werden. Aber in vielen f\u00fcr die Praxis wichtigen F\u00e4llen (siehe Abbildungen oben) ist es tats\u00e4chlich m\u00f6glich, die im Spektrum erhaltenen Oberschwingungen auch mit realen Prozessen in Verbindung zu bringen, die zyklischen Charakter haben und wesentlich zur Form des Signals beitragen.<\/p>\n 1. Ein reales Messsignal mit einer Dauer von T Sekunden, das durch einen ADC digitalisiert, d. h. durch eine Menge diskreter Abtastwerte (N St\u00fccke) dargestellt wird, hat ein diskretes nichtperiodisches Spektrum, das durch eine Menge von Oberwellen (N\/2 St\u00fccke) dargestellt wird.<\/p>\n 2. Das Signal wird durch eine Menge reeller Werte dargestellt. Sein DFT-Spektrum ist eine Menge komplexer Koeffizienten mit konjugierter Symmetrie; daraus wird das Amplitudenspektrum gewonnen - eine Menge reeller nichtnegativer Amplituden (und Phasen) bei positiven Frequenzen, und genau dieses einseitige Amplitudenspektrum wird in der Praxis dargestellt. Die zweiseitige komplexe Form mit negativen Frequenzen und die einseitige Amplituden-\/Phasenform sind \u00e4quivalente Darstellungen desselben Spektrums - f\u00fcr die Signalanalyse ist es in der Regel bequemer, mit dem einseitigen Amplitudenspektrum zu arbeiten.<\/p>\n 3. Das zum Zeitpunkt T gemessene Signal ist nur zum Zeitpunkt T bestimmt. Was vor der Messung des Signals geschah und was danach geschehen wird, ist der Wissenschaft unbekannt. Und in unserem Fall ist es uninteressant. Die FFT des zeitlich begrenzten Signals liefert sein \"echtes\" Spektrum in dem Sinne, dass sie unter bestimmten Bedingungen die Amplitude und Frequenz seiner Komponenten berechnen kann.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. 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\nWie viele Fehler sind – mathematisch gesehen – in diesem Satz enthalten? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Abb.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Abb.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Abb.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Abb.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Kontinuierliche Funktion und ihre Darstellung in Fourier-Reihen<\/h2>\n
![\"Kontinuierliche](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT – Segment, in dem die Funktion definiert ist (die Dauer des Signals)
\nAk- Amplitude der k-ten harmonischen Komponente,
\n\u03b8k- die Anfangsphase der k-ten harmonischen Komponente
\nWas bedeutet es, “die Funktion als die Summe der Reihen darzustellen”? Es bedeutet, dass wir durch Addition der Werte der harmonischen Komponenten der Fourier-Reihe an jedem Punkt den Wert unserer Funktion an diesem Punkt erhalten.
\n(Genauer gesagt, die mittlere quadratische Abweichung der Reihe von der Funktion f(x) tendiert gegen Null, aber trotz der mittleren quadratischen Konvergenz muss die Fourier-Reihe einer Funktion im Allgemeinen nicht Punkt f\u00fcr Punkt zu ihr konvergieren. )
\nDiese Reihe kann auch in der Form geschrieben werden:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Fourier-Transformationsgleichung](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
die k-te komplexe Amplitude.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"Formel](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"Formel](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>Die mathematische Grundlage f\u00fcr die Spektralanalyse von Signalen ist die Fourier-Transformation.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Die Fourier-Transformation erm\u00f6glicht die Darstellung einer kontinuierlichen Funktion f(x) (Signal), die auf dem Intervall {0, T} definiert ist, als Summe einer unendlichen Anzahl (unendliche Reihe) trigonometrischer Funktionen (Sinus und\/oder Kosinus) mit bestimmten Amplituden und Phasen, die ebenfalls auf dem Intervall {0, T} betrachtet werden. Eine solche Reihe wird Fourier-Reihe genannt.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Abbildung](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nDas Spektrum dieser Funktion ist diskret, d.h. es wird als eine unendliche Reihe von harmonischen Komponenten dargestellt – eine Fourier-Reihe.
\nIn der Tat definiert die Fourier-Reihe eine periodische Funktion, die mit unserer Funktion im Intervall {0, T} \u00fcbereinstimmt, aber f\u00fcr uns ist diese Periodizit\u00e4t nicht wesentlich.<\/p>\n![\"Abb.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nUm die Aufl\u00f6sung um den Faktor 2 auf 0,5 Hz zu erh\u00f6hen, muss die Messdauer um den Faktor 2 auf 2 Sekunden verl\u00e4ngert werden. Ein 10-Sekunden-Signal l\u00e4sst sich mit einer Frequenzaufl\u00f6sung von 0,1 Hz in harmonische Komponenten (Spektrum) zerlegen. Es gibt keine anderen M\u00f6glichkeiten, die Frequenzaufl\u00f6sung zu erh\u00f6hen. Sie k\u00f6nnen diesen Zusammenhang mit unserem FFT-Aufl\u00f6sungsrechner<\/a>.<\/p>\nDiskrete Signale und diskrete Fourier-Transformation<\/h2>\n
\n(Abb.9 Schematische Darstellung des Messkanals)<\/p>\n![\"Abb.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Abb.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Gleichung](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"Formel](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nDer Wert s gibt die Anzahl der vollen Oberschwingungen pro Periode T (Dauer der Signalmessung) an. Die diskrete Fourier-Transformation wird verwendet, um die Amplituden und Phasen der Oberschwingungen numerisch, d. h. \"am Computer\", zu ermitteln.<\/p>\n![\"Abb.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Abb.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Abb.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Einige Ergebnisse<\/h2>\n