Para verificar si el programa funciona correctamente, formamos una matriz de muestras como una suma de dos sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la alimentamos al programa. El programa dibuj\u00f3 lo siguiente:
\n
![\"Transformada](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 La gr\u00e1fica de la funci\u00f3n temporal de la se\u00f1al<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 La gr\u00e1fica del espectro de la se\u00f1al<\/p><\/div>\n <\/p>\n Hay dos arm\u00f3nicos<\/a> en la gr\u00e1fica del espectro – 5 Hz con una amplitud de 0.5 V y 10 Hz con una amplitud de 1 V, todo es como en la f\u00f3rmula de la se\u00f1al original. Todo est\u00e1 bien, el programa funciona correctamente.<\/p>\n Esto significa que si alimentamos una se\u00f1al real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar que consiste en dos arm\u00f3nicos.<\/p>\n Entonces, nuestra se\u00f1al real <\/span><\/b><\/strong>medida de 5 seg. de duraci\u00f3n<\/span><\/b><\/strong>, digitalizada por el ADC, es decir, representada por muestras discretas <\/span><\/b><\/strong>, tiene un espectro discreto no peri\u00f3dico <\/span><\/b><\/strong>espectro. Ahora intentemos medir la misma se\u00f1al durante 0.5 seg.<\/p>\n Fig.3 La gr\u00e1fica de la funci\u00f3n sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) para un per\u00edodo de medici\u00f3n de 0.5 seg<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Espectro de la funci\u00f3n<\/p><\/div>\n <\/p>\n \u00a1Algo est\u00e1 mal aqu\u00ed! El arm\u00f3nico a 10 Hz se dibuja normalmente, y en lugar del arm\u00f3nico a 5 Hz hay algunos arm\u00f3nicos poco claros.<\/p>\n En Internet dicen que es necesario agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujar\u00e1 normalmente.<\/p>\n Fig.5 Hemos agregado ceros a la muestra hasta 5 seg<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Espectro obtenido.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Eso no es nada. Tendr\u00e9 que ocuparme de la teor\u00eda. Vamos a wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– la fuente de conocimiento.<\/p>\n Matem\u00e1ticamente, nuestra se\u00f1al con una duraci\u00f3n de T segundos es alguna funci\u00f3n f(x) dada en el intervalo {0, T} (X en este caso es el tiempo). Tal funci\u00f3n siempre se puede representar como una suma de funciones arm\u00f3nicas (seno o coseno) de la forma:<\/p>\n \u00a0(1), donde:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k es el n\u00famero de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica (el n\u00famero del componente arm\u00f3nico, el n\u00famero del arm\u00f3nico) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n donde <\/p>\n o<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n La relaci\u00f3n entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes f\u00f3rmulas:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie de Fourier son perfectamente equivalentes. A veces, al trabajar con series de Fourier, es m\u00e1s conveniente usar exponentes de argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, usar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero es conveniente para nosotros usar la f\u00f3rmula (1), donde la serie de Fourier est\u00e1 representada como una suma de cosenos con amplitudes y fases correspondientes. Estrictamente hablando, la transformada de Fourier de una se\u00f1al real s\u00ed produce coeficientes complejos (forma (3)): cada coeficiente lleva tanto la amplitud como la fase de su arm\u00f3nico. Para una se\u00f1al real, estos coeficientes complejos poseen simetr\u00eda conjugada (hermitiana): la mitad de frecuencia negativa simplemente refleja la mitad de frecuencia positiva y no aporta informaci\u00f3n adicional. Es por eso que, a partir de los coeficientes complejos, siempre podemos pasar a las amplitudes reales no negativas Ak y las fases \u03b8k de la f\u00f3rmula (1), y es exactamente este espectro de amplitud el que trazan los programas de an\u00e1lisis.<\/p>\n <\/p>\n En resumen:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Tenga en cuenta algunos puntos m\u00e1s, cuya comprensi\u00f3n es necesaria para la aplicaci\u00f3n correcta de la transformada de Fourier al an\u00e1lisis de se\u00f1ales. Si consideramos la serie de Fourier (suma de sinusoides) en todo el eje X, veremos que fuera del intervalo {0, T} la funci\u00f3n de la serie de Fourier repetir\u00e1 peri\u00f3dicamente nuestra funci\u00f3n.<\/p>\n Por ejemplo, en la gr\u00e1fica de la Fig. 7, la funci\u00f3n original est\u00e1 definida en el intervalo {-T\\2, +T\\2}, y la serie de Fourier representa una funci\u00f3n peri\u00f3dica definida en todo el eje x.<\/p>\n Esto se debe a que las sinusoides en s\u00ed mismas son funciones peri\u00f3dicas, por lo que su suma tambi\u00e9n ser\u00e1 una funci\u00f3n peri\u00f3dica.<\/p>\n Figura 7 Representaci\u00f3n de una funci\u00f3n fuente no peri\u00f3dica mediante una serie de Fourier<\/p><\/div>\n Por lo tanto:<\/p>\n Nuestra funci\u00f3n original es una funci\u00f3n continua y no peri\u00f3dica definida en alg\u00fan segmento de longitud T. A continuaci\u00f3n.<\/p>\n Los per\u00edodos de las componentes arm\u00f3nicas son m\u00faltiplos del intervalo {0, T}, en el que est\u00e1 definida la funci\u00f3n inicial f(x). En otras palabras, los per\u00edodos de los arm\u00f3nicos son m\u00faltiplos de la duraci\u00f3n de la medici\u00f3n de la se\u00f1al. Por ejemplo, el per\u00edodo del primer arm\u00f3nico en una serie de Fourier es igual al intervalo T en el que est\u00e1 definida la funci\u00f3n f(x). El per\u00edodo del segundo arm\u00f3nico en una serie de Fourier es igual al intervalo T\/2. Y as\u00ed sucesivamente (v\u00e9ase la Figura 8).<\/p>\n Fig. 8 Per\u00edodos (frecuencias) de las componentes arm\u00f3nicas de la serie de Fourier (aqu\u00ed T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n En consecuencia, las frecuencias de las componentes arm\u00f3nicas son m\u00faltiplos de 1\/T. Es decir, las frecuencias de las componentes arm\u00f3nicas Fk son Fk= k\\T, donde k toma valores de 0 a \u221e, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (a frecuencia cero, una componente constante).<\/p>\n Supongamos que nuestra funci\u00f3n inicial es una se\u00f1al registrada durante T=1 seg. Entonces, el per\u00edodo del primer arm\u00f3nico ser\u00e1 igual a la duraci\u00f3n de nuestra se\u00f1al T1=T=1 seg y la frecuencia del arm\u00f3nico ser\u00e1 igual a 1 Hz. El per\u00edodo del segundo arm\u00f3nico ser\u00e1 igual a la duraci\u00f3n de nuestra se\u00f1al dividida por 2 (T2=T\/2=0.5 seg.) y la frecuencia ser\u00e1 igual a 2 Hz. Para el tercer arm\u00f3nico, T3=T\/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n El paso entre arm\u00f3nicos en este caso es de 1 Hz.<\/p>\n Por lo tanto, una se\u00f1al con una duraci\u00f3n de 1 seg puede descomponerse en componentes arm\u00f3nicas (para obtener un espectro) con una resoluci\u00f3n de frecuencia de 1 Hz. Existe una forma de aumentar artificialmente la duraci\u00f3n de la se\u00f1al agregando ceros a la matriz de muestras. Pero esto no aumenta la resoluci\u00f3n de frecuencia real.<\/p>\n Con el desarrollo de la tecnolog\u00eda digital, las formas de almacenamiento de datos de medici\u00f3n (se\u00f1ales) han cambiado. Mientras que anteriormente una se\u00f1al pod\u00eda grabarse en una grabadora de cinta y almacenarse en una cinta en forma anal\u00f3gica, ahora las se\u00f1ales se digitalizan y se almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de n\u00fameros (conteos).<\/p>\n El esquema habitual de medici\u00f3n y digitalizaci\u00f3n de se\u00f1ales es el siguiente.<\/p>\n Transductor de medici\u00f3n —- Normalizador de se\u00f1al —- ADC —– Computadora <\/span><\/i><\/em><\/p>\n La se\u00f1al del transductor de medici\u00f3n va al ADC durante un per\u00edodo de tiempo T. Las lecturas de la se\u00f1al (muestreo) recibidas durante el tiempo T se transmiten a la computadora y se guardan en la memoria.<\/p>\n Fig.10 Se\u00f1al digitalizada – N muestras recibidas en el tiempo T<\/p><\/div>\n \u00bfCu\u00e1les son los requisitos para los par\u00e1metros de digitalizaci\u00f3n de la se\u00f1al? Un dispositivo que convierte la se\u00f1al anal\u00f3gica de entrada en un c\u00f3digo discreto (se\u00f1al digital) se llama convertidor anal\u00f3gico-digital (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Uno de los par\u00e1metros b\u00e1sicos del ADC es la tasa de muestreo m\u00e1xima – la frecuencia de muestreo de una se\u00f1al que es continua en el tiempo. La tasa de muestreo se mide en hercios. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Seg\u00fan el teorema de Kotelnikov, si una se\u00f1al continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, puede reconstruirse completamente y de manera \u00fanica a partir de sus muestras discretas tomadas en intervalos de tiempo \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), es decir, con una frecuencia de muestreo Fd \u2265 2*Fmax, donde Fd – frecuencia de muestreo; Fmax – la frecuencia m\u00e1xima del espectro de la se\u00f1al. En otras palabras, la frecuencia de digitalizaci\u00f3n de la se\u00f1al (frecuencia de muestreo del ADC) debe ser al menos el doble de la frecuencia m\u00e1xima de la se\u00f1al que queremos medir.<\/p>\n \u00bfY qu\u00e9 suceder\u00e1 si tomamos muestras con una frecuencia menor que la requerida por el teorema de Kotelnikov?<\/p>\n En este caso hay un “aliasing<\/a>” (tambi\u00e9n conocido como efecto estrobosc\u00f3pico, efecto moir\u00e9), en el cual una se\u00f1al de alta frecuencia, despu\u00e9s de la digitalizaci\u00f3n, se convierte en una se\u00f1al de baja frecuencia, que en realidad no existe. En la Fig. 11, la onda sinusoidal roja de alta frecuencia es la se\u00f1al real. La onda sinusoidal azul de menor frecuencia es una se\u00f1al ficticia, que surge debido a que durante el tiempo de muestreo ha pasado m\u00e1s de la mitad del per\u00edodo de la se\u00f1al de alta frecuencia.<\/p>\n Fig. 11. Aparici\u00f3n de una se\u00f1al espuria de baja frecuencia a una tasa de muestreo insuficientemente alta<\/p><\/div>\n <\/p>\n Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-alias especial (filtro paso bajo<\/a>) antes del ADC. Este pasa las frecuencias inferiores a la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias m\u00e1s altas.<\/p>\n Para calcular el espectro de la se\u00f1al a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT)<\/a> Nuevamente, tenga en cuenta que el espectro de una se\u00f1al discreta est\u00e1 “por definici\u00f3n” limitado a una frecuencia Fmax menor que la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una se\u00f1al discreta puede representarse mediante la suma de un n\u00famero finito <\/u>de arm\u00f3nicos, en contraste con la suma infinita para la serie de Fourier de una se\u00f1al continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Seg\u00fan el teorema de Kotelnikov, la frecuencia m\u00e1xima de un arm\u00f3nico debe ser tal que tenga en cuenta al menos dos muestras, por lo que el n\u00famero de arm\u00f3nicos es igual a la mitad del n\u00famero de muestras de una se\u00f1al discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, el n\u00famero de arm\u00f3nicos en el espectro ser\u00e1 N\/2.<\/p>\n Consideremos ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).<\/p>\n Compar\u00e1ndola con la serie de Fourier<\/p>\n <\/p>\n Como podemos ver, coinciden, excepto por el hecho de que el tiempo en la FFT es discreto y el n\u00famero de arm\u00f3nicos est\u00e1 limitado a N\/2, que es la mitad del n\u00famero de muestras.<\/p>\n Las f\u00f3rmulas de la DFT se escriben en variables enteras adimensionales k, s, donde k es el n\u00famero de muestras de la se\u00f1al, s es el n\u00famero de componentes espectrales. Como ya se dijo anteriormente, al descomponer una funci\u00f3n no peri\u00f3dica (nuestra se\u00f1al) en serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una funci\u00f3n peri\u00f3dica con per\u00edodo T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig.12. Funci\u00f3n peri\u00f3dica f(x) con per\u00edodo T0, con per\u00edodo T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Como se puede ver en la Fig. 12, la funci\u00f3n f(x) es peri\u00f3dica con un per\u00edodo T0. Sin embargo, debido a que la longitud de la muestra de medici\u00f3n T no es igual al per\u00edodo de la funci\u00f3n T0, la funci\u00f3n obtenida como una serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta funci\u00f3n contendr\u00e1 una gran cantidad de arm\u00f3nicos de alta frecuencia. Este fen\u00f3meno se conoce como fuga espectral<\/a>, y en la pr\u00e1ctica se reduce mediante ventaneado<\/a> la se\u00f1al antes de la transformada. Si la duraci\u00f3n de la muestra de medici\u00f3n T coincidiera con el per\u00edodo de la funci\u00f3n T0, entonces el espectro obtenido despu\u00e9s de la transformada de Fourier contendr\u00eda solo el primer arm\u00f3nico (una sinusoides con un per\u00edodo igual a la duraci\u00f3n de la muestra), porque la funci\u00f3n f(x) es una sinusoides.<\/p>\n En otras palabras, el programa de DFT “no sabe” que nuestra se\u00f1al es un “fragmento de una onda sinusoidal”, pero intenta representar como una serie una funci\u00f3n peri\u00f3dica que tiene una discontinuidad debido a la discontinuidad de los fragmentos separados de la onda sinusoidal.<\/p>\n Como resultado, aparecen arm\u00f3nicos en el espectro, que en total deben representar la forma de la funci\u00f3n, incluida esta discontinuidad.<\/p>\n Por lo tanto, para obtener un espectro “correcto” de una se\u00f1al que es una suma de varias sinusoides con diferentes per\u00edodos, es necesario que un n\u00famero entero de per\u00edodos de <\/u>cada sinusoide est\u00e9 presente en el per\u00edodo de medici\u00f3n de la se\u00f1al. En la pr\u00e1ctica, esta condici\u00f3n puede cumplirse con una duraci\u00f3n suficientemente larga de la medici\u00f3n de la se\u00f1al.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Ejemplo de la funci\u00f3n de se\u00f1al de error cinem\u00e1tico y espectro de una caja de cambios<\/p><\/div>\n <\/p>\n Con una duraci\u00f3n m\u00e1s corta, la imagen se ver\u00e1 “peor”:<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Ejemplo de funci\u00f3n de vibraci\u00f3n del rotor y espectro<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n En la pr\u00e1ctica, puede ser dif\u00edcil entender d\u00f3nde est\u00e1n las “componentes reales” y d\u00f3nde est\u00e1n los “artefactos” causados por la inconsistencia de los per\u00edodos de las componentes y las duraciones de muestreo de la se\u00f1al o “saltos y rupturas” en la forma de onda. Por supuesto, las palabras “componentes reales” y “artefactos” van entre comillas por una raz\u00f3n. La presencia de muchos arm\u00f3nicos en la gr\u00e1fica del espectro no significa que nuestra se\u00f1al est\u00e9 realmente compuesta por ellos. Es como pensar que el n\u00famero 7 “consiste” en los n\u00fameros 3 y 4. El n\u00famero 7 puede pensarse como la suma de 3 y 4 – eso es correcto.<\/p>\n As\u00ed tambi\u00e9n nuestra se\u00f1al… o mejor dicho, ni siquiera “nuestra se\u00f1al”, sino una funci\u00f3n peri\u00f3dica compuesta por la repetici\u00f3n de nuestra se\u00f1al (muestra) puede representarse como una suma de arm\u00f3nicos (ondas sinusoidales) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la pr\u00e1ctica (v\u00e9anse las figuras anteriores), de hecho, es posible relacionar los arm\u00f3nicos obtenidos en el espectro tambi\u00e9n con procesos reales que tienen car\u00e1cter c\u00edclico y contribuyen significativamente a la forma de la se\u00f1al.<\/p>\n 1. Una se\u00f1al real medida con una duraci\u00f3n de T segundos, digitalizada por un ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no peri\u00f3dico representado por un conjunto de arm\u00f3nicos (N\/2 piezas).<\/p>\n 2. La se\u00f1al est\u00e1 representada por un conjunto de valores reales. Su espectro DFT es un conjunto de coeficientes complejos con simetr\u00eda conjugada; a partir de ellos se obtiene el espectro de amplitud: un conjunto de amplitudes reales no negativas (y fases) en frecuencias positivas, y es este espectro de amplitud unilateral el que se traza en la pr\u00e1ctica. La forma compleja bilateral con frecuencias negativas y la forma de amplitud\/fase unilateral son representaciones equivalentes del mismo espectro: para el an\u00e1lisis de se\u00f1ales, generalmente es m\u00e1s conveniente trabajar con el espectro de amplitud unilateral.<\/p>\n 3. La se\u00f1al medida en el tiempo T est\u00e1 determinada \u00fanicamente en el tiempo T. Lo que ocurri\u00f3 antes de comenzar a medir la se\u00f1al y lo que ocurrir\u00e1 despu\u00e9s es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso no nos interesa. La FFT de la se\u00f1al limitada en el tiempo proporciona su espectro “real”, en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y la frecuencia de sus componentes.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. 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\nDesde un punto de vista matem\u00e1tico – \u00bfcu\u00e1ntos errores hay en esta frase? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Funci\u00f3n continua y su representaci\u00f3n en serie de Fourier<\/h2>\n
![\"Funci\u00f3n](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT – segmento donde la funci\u00f3n est\u00e1 definida (la duraci\u00f3n de la se\u00f1al)
\nAk- amplitud del k-\u00e9simo componente arm\u00f3nico,
\n\u03b8k- la fase inicial del k-\u00e9simo componente arm\u00f3nico
\n\u00bfQu\u00e9 significa \u00abrepresentar la funci\u00f3n como la suma de la serie\u00bb? Significa que al sumar los valores de los componentes arm\u00f3nicos de la serie de Fourier en cada punto, obtenemos el valor de nuestra funci\u00f3n en ese punto.
\n(M\u00e1s estrictamente, la desviaci\u00f3n cuadr\u00e1tica media de la serie respecto a la funci\u00f3n f(x) tender\u00e1 a cero, pero a pesar de la convergencia en media cuadr\u00e1tica, la serie de Fourier de una funci\u00f3n no necesariamente converge a ella punto por punto, en general. )
\nEsta serie tambi\u00e9n se puede escribir en la forma:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Fourier](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, la k-\u00e9sima amplitud compleja.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"Formula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"Fourier](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>La base matem\u00e1tica para el an\u00e1lisis espectral de se\u00f1ales es la transformada de Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>La transformada de Fourier permite representar una funci\u00f3n continua f(x) (se\u00f1al) definida en el intervalo {0, T} como una suma de un n\u00famero infinito (serie infinita) de funciones trigonom\u00e9tricas (seno y\/o coseno) con amplitudes y fases definidas, tambi\u00e9n consideradas en el intervalo {0, T}. A tal serie se le llama serie de Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figura](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nEl espectro de esta funci\u00f3n es discreto, es decir, se representa como una serie infinita de componentes arm\u00f3nicas – una serie de Fourier.
\nDe hecho, la serie de Fourier define cierta funci\u00f3n peri\u00f3dica, que coincide con nuestra funci\u00f3n en el intervalo {0, T}, pero para nosotros esta periodicidad no es esencial.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nPara aumentar la resoluci\u00f3n por un factor de 2 hasta 0.5 Hz, es necesario aumentar la duraci\u00f3n de la medici\u00f3n por un factor de 2 hasta 2 segundos. Una se\u00f1al de 10 segundos puede descomponerse en componentes arm\u00f3nicos (espectro) con una resoluci\u00f3n de frecuencia de 0.1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resoluci\u00f3n de frecuencia. Puede explorar esta relaci\u00f3n con nuestro Calculadora de resoluci\u00f3n FFT<\/a>.<\/p>\nSe\u00f1ales discretas y transformada discreta de Fourier<\/h2>\n
\n(Fig.9 Esquema del canal de medici\u00f3n)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Discrete](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"Discrete](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nEl valor s muestra el n\u00famero de oscilaciones arm\u00f3nicas completas por per\u00edodo T (duraci\u00f3n de la medici\u00f3n de la se\u00f1al). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de los arm\u00f3nicos num\u00e9ricamente, es decir, “en la computadora”.<\/p>\n![\"Fig.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Algunos resultados<\/h2>\n