Para comprobar si el programa funciona correctamente, formamos una matriz de muestras como suma de dos sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) y la introducimos en el programa. El programa dibuja lo siguiente:
\n
![\"Transformada](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 Gr\u00e1fico de la funci\u00f3n temporal de la se\u00f1al<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 Gr\u00e1fico del espectro de la se\u00f1al<\/p><\/div>\n <\/p>\n There are two arm\u00f3nicos<\/a> En el gr\u00e1fico del espectro: 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz con una amplitud de 1 V; todo se ajusta a la f\u00f3rmula de la se\u00f1al original. Todo est\u00e1 bien, el programa funciona correctamente.<\/p>\n Esto significa que si alimentamos una se\u00f1al real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar formado por dos arm\u00f3nicos.<\/p>\n Por lo tanto, nuestro real <\/span><\/b><\/strong>se\u00f1al medida de 5 seg. de duraci\u00f3n<\/span><\/b><\/strong>digitalizado por el ADC, es decir, representado por discreto <\/span><\/b><\/strong>muestras, tiene un discreto no peri\u00f3dico <\/span><\/b><\/strong>espectro. Ahora vamos a intentar medir la misma se\u00f1al durante 0,5 seg.<\/p>\n Fig.3 Gr\u00e1fico de la funci\u00f3n sen(10*2*pi*x)+0,5*sen(5*2*pi*x) para un periodo de medici\u00f3n de 0,5 seg.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Espectro de la funci\u00f3n<\/p><\/div>\n <\/p>\n Aqu\u00ed hay algo que no funciona. El arm\u00f3nico a 10 Hz se dibuja normalmente, y en lugar del arm\u00f3nico a 5 Hz hay algunos arm\u00f3nicos poco claros.<\/p>\n En Internet dicen que es necesario a\u00f1adir ceros al final de la muestra y el espectro se dibujar\u00e1 normalmente.<\/p>\n Fig.5 Hemos a\u00f1adido ceros a la muestra hasta 5 seg.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Espectro obtenido.<\/p><\/div>\n <\/p>\n No es eso en absoluto. Tendr\u00e9 que ocuparme de la teor\u00eda. Vamos a Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– la fuente del conocimiento.<\/p>\n Matem\u00e1ticamente, nuestra se\u00f1al con una duraci\u00f3n de T segundos es una funci\u00f3n f(x) dada en el intervalo {0, T} (X en este caso es el tiempo). Dicha funci\u00f3n siempre se puede representar como una suma de funciones arm\u00f3nicas (seno o coseno) de la forma:<\/p>\n \u00a0(1), donde:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k es el n\u00famero de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica ( el n\u00famero del componente arm\u00f3nico, el n\u00famero del arm\u00f3nico) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n donde <\/p>\n o<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n La relaci\u00f3n entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes f\u00f3rmulas:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Tenga en cuenta que estas tres representaciones de la serie de Fourier son perfectamente equivalentes. A veces, al trabajar con series de Fourier, resulta m\u00e1s c\u00f3modo usar exponentes de argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, usar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero a nosotros nos resulta conveniente usar la f\u00f3rmula (1), donde la serie de Fourier se representa como una suma de cosenos con sus amplitudes y fases correspondientes. En sentido estricto, la transformada de Fourier de una se\u00f1al real s\u00ed produce coeficientes complejos (forma (3)): cada coeficiente contiene tanto la amplitud como la fase de su arm\u00f3nico. Para una se\u00f1al real, estos coeficientes complejos presentan simetr\u00eda conjugada (herm\u00edtica): la mitad de frecuencias negativas simplemente refleja la mitad de frecuencias positivas y no aporta informaci\u00f3n adicional. Por eso, a partir de los coeficientes complejos, siempre podemos pasar a las amplitudes reales no negativas Ak y a las fases \u03b8k de la f\u00f3rmula (1) \u2014 y es exactamente este espectro de amplitud el que representan los programas de an\u00e1lisis.<\/p>\n <\/p>\n Conclusi\u00f3n:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Observe algunos puntos m\u00e1s, cuya comprensi\u00f3n es necesaria para la correcta aplicaci\u00f3n de la transformada de Fourier al an\u00e1lisis de se\u00f1ales. Si consideramos la serie de Fourier (suma de sinusoides) en todo el eje X veremos que fuera del intervalo {0, T} la funci\u00f3n de la serie de Fourier repetir\u00e1 peri\u00f3dicamente nuestra funci\u00f3n.<\/p>\n Por ejemplo, en el gr\u00e1fico de la Fig. 7, la funci\u00f3n original est\u00e1 definida en el intervalo {-T\\2, +T\\2}, y la serie de Fourier representa una funci\u00f3n peri\u00f3dica definida en todo el eje x.<\/p>\n Esto se debe a que las propias sinusoides son funciones peri\u00f3dicas, por lo que su suma tambi\u00e9n ser\u00e1 una funci\u00f3n peri\u00f3dica.<\/p>\n Figura 7 Representaci\u00f3n de una funci\u00f3n fuente no peri\u00f3dica mediante una serie de Fourier<\/p><\/div>\n As\u00ed:<\/p>\n Nuestra funci\u00f3n original es una funci\u00f3n continua no peri\u00f3dica definida en un segmento de longitud T. Siguiente.<\/p>\n Los periodos de los componentes arm\u00f3nicos son m\u00faltiplos del intervalo {0, T}, en el que se define la funci\u00f3n inicial f(x). En otras palabras, los periodos de los arm\u00f3nicos son m\u00faltiplos de la duraci\u00f3n de la medida de la se\u00f1al. Por ejemplo, el periodo del primer arm\u00f3nico en una serie de Fourier es igual al intervalo T en el que est\u00e1 definida la funci\u00f3n f(x). El periodo del segundo arm\u00f3nico de una serie de Fourier es igual al intervalo T\/2. Y as\u00ed sucesivamente (v\u00e9ase la figura 8).<\/p>\n Fig. 8 Per\u00edodos (frecuencias) de los componentes arm\u00f3nicos de la serie de Fourier (aqu\u00ed T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n En consecuencia, las frecuencias de los componentes arm\u00f3nicos son m\u00faltiplos de 1\/T. Es decir, las frecuencias de los componentes arm\u00f3nicos Fk son Fk= k\\T, donde k tiene valores de 0 a \u221e, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (a frecuencia cero, componente constante).<\/p>\n Sea nuestra funci\u00f3n inicial, una se\u00f1al registrada durante T=1 seg. Entonces el periodo del primer arm\u00f3nico ser\u00e1 igual a la duraci\u00f3n de nuestra se\u00f1al T1=T=1 seg y la frecuencia del arm\u00f3nico es igual a 1 Hz. El periodo del segundo arm\u00f3nico ser\u00e1 igual a la duraci\u00f3n de nuestra se\u00f1al dividida por 2 (T2=T\/2=0,5 seg.) y la frecuencia es igual a 2 Hz. Para el tercer arm\u00f3nico, T3=T\/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n El paso entre arm\u00f3nicos en este caso es de 1 Hz.<\/p>\n As\u00ed, una se\u00f1al con una duraci\u00f3n de 1 segundo puede descomponerse en componentes arm\u00f3nicos (para obtener un espectro) con una resoluci\u00f3n de frecuencia de 1 Hz. Existe una forma de aumentar artificialmente la duraci\u00f3n de la se\u00f1al a\u00f1adiendo ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resoluci\u00f3n de frecuencia real.<\/p>\n Con el desarrollo de la tecnolog\u00eda digital han cambiado las formas de almacenamiento de los datos de medici\u00f3n (se\u00f1ales). Mientras que antes una se\u00f1al pod\u00eda grabarse en un magnet\u00f3fono y almacenarse en una cinta de forma anal\u00f3gica, ahora las se\u00f1ales se digitalizan y almacenan en archivos en la memoria de un ordenador como un conjunto de n\u00fameros (muestras).<\/p>\n El esquema habitual de medici\u00f3n y digitalizaci\u00f3n de se\u00f1ales es el siguiente.<\/p>\n Transductor de medida —- Normalizador de se\u00f1al —– ADC —– Ordenador <\/span><\/i><\/em><\/p>\n La se\u00f1al del transductor de medici\u00f3n pasa al ADC durante un periodo de tiempo T. Las lecturas de la se\u00f1al (muestreo) recibidas durante el tiempo T se transmiten al ordenador y se guardan en la memoria.<\/p>\n Fig.10 Se\u00f1al digitalizada – N muestras recibidas para el tiempo T<\/p><\/div>\n \u00bfCu\u00e1les son los requisitos de los par\u00e1metros de digitalizaci\u00f3n de se\u00f1ales? Un dispositivo que convierte la se\u00f1al anal\u00f3gica de entrada en un c\u00f3digo discreto (se\u00f1al digital) se denomina convertidor anal\u00f3gico-digital (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Uno de los par\u00e1metros b\u00e1sicos de los ADC es la frecuencia m\u00e1xima de muestreo, es decir, la frecuencia de muestreo de una se\u00f1al continua en el tiempo. La frecuencia de muestreo se mide en hercios. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Seg\u00fan el teorema de Kotelnikov, si una se\u00f1al continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, puede reconstruirse completa y un\u00edvocamente a partir de sus muestras discretas tomadas a intervalos de tiempo \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), es decir, con una frecuencia de muestreo Fd \u2265 2*Fmax, donde Fd \u2014 frecuencia de muestreo; Fmax \u2014 frecuencia m\u00e1xima del espectro de la se\u00f1al. En otras palabras, la frecuencia de digitalizaci\u00f3n de la se\u00f1al (frecuencia de muestreo del ADC) debe ser al menos el doble de la frecuencia m\u00e1xima de la se\u00f1al que queremos medir.<\/p>\n \u00bfY qu\u00e9 ocurrir\u00e1 si tomamos muestras con una frecuencia inferior a la exigida por el teorema de Kotelnikov?<\/p>\n En este caso hay un \u00abaliasing<\/a>En este caso se produce un efecto de \"aliasing\" (tambi\u00e9n conocido como efecto estrobosc\u00f3pico, efecto muar\u00e9), en el que una se\u00f1al de alta frecuencia tras la digitalizaci\u00f3n se convierte en una se\u00f1al de baja frecuencia, que en realidad no existe. En la Fig. 11, la onda sinusoidal roja de alta frecuencia es la se\u00f1al real. La onda sinusoidal azul de baja frecuencia es una se\u00f1al ficticia, que surge debido al hecho de que durante el tiempo de muestreo tiene tiempo de pasar m\u00e1s de la mitad de un per\u00edodo de la se\u00f1al de alta frecuencia.<\/p>\n Fig. 11. Aparici\u00f3n de una se\u00f1al espuria de baja frecuencia a una frecuencia de muestreo insuficientemente alta<\/p><\/div>\n <\/p>\n Para evitar el efecto de aliasing, se utiliza un filtro antialiasing especial (filtro de paso bajo<\/a>) se coloca antes del ADC. Deja pasar las frecuencias inferiores a la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias m\u00e1s altas.<\/p>\n Para calcular el espectro de una se\u00f1al a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier Transformada de Fourier Discreta (DFT)<\/a> se utiliza. Cabe recordar que el espectro de una se\u00f1al discreta est\u00e1 \u00abpor definici\u00f3n\u00bb limitado a una frecuencia Fm\u00e1x inferior a la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una se\u00f1al discreta puede representarse como la suma de un finito <\/u>n\u00famero de arm\u00f3nicos, a diferencia de la suma infinita de la serie de Fourier de una se\u00f1al continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Seg\u00fan el teorema de Kotelnikov, la frecuencia m\u00e1xima de un arm\u00f3nico debe ser tal que d\u00e9 cuenta de al menos dos muestras, por lo que el n\u00famero de arm\u00f3nicos es igual a la mitad del n\u00famero de muestras de una se\u00f1al discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, el n\u00famero de arm\u00f3nicos en el espectro ser\u00e1 N\/2.<\/p>\n Consideremos ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).<\/p>\n Compar\u00e1ndola con la serie de Fourier<\/p>\n <\/p>\n Como vemos, coinciden, salvo por el hecho de que el tiempo en la FFT es discreto y el n\u00famero de arm\u00f3nicos est\u00e1 limitado a N\/2, que es la mitad del n\u00famero de muestras.<\/p>\n Las f\u00f3rmulas DFT se escriben en variables enteras adimensionales k, s, donde k es el n\u00famero de muestras de la se\u00f1al, s es el n\u00famero de componentes espectrales. Como ya se ha dicho anteriormente, al descomponer una funci\u00f3n no peri\u00f3dica (nuestra se\u00f1al) en series de Fourier, la serie de Fourier resultante corresponde en realidad a una funci\u00f3n peri\u00f3dica con periodo T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig.12. Funci\u00f3n peri\u00f3dica f(x) con per\u00edodo T0, con per\u00edodo T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Como se puede observar en la figura 12, la funci\u00f3n f(x) es peri\u00f3dica con un per\u00edodo T\u2080. Sin embargo, dado que la longitud de la muestra de medici\u00f3n T no es igual al per\u00edodo de la funci\u00f3n T\u2080, la funci\u00f3n obtenida como serie de Fourier presenta una discontinuidad en el punto T. Como consecuencia, el espectro de esta funci\u00f3n contendr\u00e1 un gran n\u00famero de arm\u00f3nicos de alta frecuencia. Este fen\u00f3meno se conoce como fuga espectral<\/a>, y en la pr\u00e1ctica se reduce en ventanas<\/a> la se\u00f1al antes de la transformada. Si la duraci\u00f3n de la muestra de medici\u00f3n T coincidiera con el per\u00edodo de la funci\u00f3n T0, el espectro obtenido tras la transformada de Fourier contendr\u00eda \u00fanicamente el primer arm\u00f3nico (una sinusoide con un per\u00edodo igual a la duraci\u00f3n de la muestra), ya que la funci\u00f3n f(x) es una sinusoide.<\/p>\n En otras palabras, el programa DFT \"no sabe\" que nuestra se\u00f1al es un \"trozo de una onda sinusoidal\", sino que intenta representar como una serie una funci\u00f3n peri\u00f3dica que tiene una discontinuidad debida a la discontinuidad de trozos separados de la onda sinusoidal.<\/p>\n Como resultado, aparecen arm\u00f3nicos en el espectro que, en total, deber\u00edan representar la forma de la funci\u00f3n, incluida esta discontinuidad.<\/p>\n As\u00ed, para obtener un espectro \"correcto\" de una se\u00f1al que es una suma de varias sinusoides con periodos diferentes, es necesario que un n\u00famero entero de periodos de <\/u>cada sinusoide debe estar presente en el periodo de medici\u00f3n de la se\u00f1al. En la pr\u00e1ctica, esta condici\u00f3n puede cumplirse con una duraci\u00f3n suficientemente larga de la medici\u00f3n de la se\u00f1al.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Ejemplo de funci\u00f3n de se\u00f1al de error cinem\u00e1tico y espectro de una caja de cambios<\/p><\/div>\n <\/p>\n A menor duraci\u00f3n, la imagen se ver\u00e1 \"peor\":<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Ejemplo de funci\u00f3n y espectro de vibraci\u00f3n del rotor<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n En la pr\u00e1ctica, puede ser dif\u00edcil entender d\u00f3nde est\u00e1n los \"componentes reales\" y d\u00f3nde los \"artefactos\" causados por la incoherencia de los periodos de los componentes y las duraciones de muestreo de la se\u00f1al o los \"saltos y rupturas\" en la forma de onda. Por supuesto, las palabras \"componentes reales\" y \"artefactos\" se ponen entre comillas por una raz\u00f3n. La presencia de muchos arm\u00f3nicos en el gr\u00e1fico del espectro no significa que nuestra se\u00f1al est\u00e9 realmente formada por ellos. Es como pensar que el n\u00famero 7 \"est\u00e1 formado\" por los n\u00fameros 3 y 4. El n\u00famero 7 puede considerarse la suma de 3 y 4, lo cual es correcto.<\/p>\n As\u00ed que tambi\u00e9n nuestra se\u00f1al... o m\u00e1s bien ni siquiera \"nuestra se\u00f1al\", sino una funci\u00f3n peri\u00f3dica compuesta por la repetici\u00f3n de nuestra se\u00f1al (muestra) puede representarse como una suma de arm\u00f3nicos (ondas sinusoidales) con determinadas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la pr\u00e1ctica (v\u00e9anse las figuras anteriores) es posible relacionar los arm\u00f3nicos obtenidos en el espectro tambi\u00e9n con procesos reales que tienen car\u00e1cter c\u00edclico y contribuyen significativamente a la forma de la se\u00f1al.<\/p>\n 1. Una se\u00f1al real medida con una duraci\u00f3n de T seg. digitalizada por el ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no peri\u00f3dico representado por un conjunto de arm\u00f3nicos (N\/2 piezas).<\/p>\n 2. La se\u00f1al se representa mediante un conjunto de valores reales. Su espectro DFT es un conjunto de coeficientes complejos con simetr\u00eda conjugada; de ellos se obtiene el espectro de amplitud: un conjunto de amplitudes reales no negativas (y fases) en frecuencias positivas, y es este espectro de amplitud unilateral el que se representa en la pr\u00e1ctica. La forma compleja bilateral con frecuencias negativas y la forma unilateral de amplitud\/fase son representaciones equivalentes del mismo espectro; para el an\u00e1lisis de se\u00f1ales suele ser m\u00e1s c\u00f3modo trabajar con el espectro de amplitud unilateral.<\/p>\n 3. La se\u00f1al medida en el tiempo T se determina s\u00f3lo en el tiempo T. Lo que ocurri\u00f3 antes de que empez\u00e1ramos a medir la se\u00f1al y lo que ocurrir\u00e1 despu\u00e9s es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso no es interesante. La FFT de la se\u00f1al limitada en el tiempo da su espectro \"real\", en el sentido de que en determinadas condiciones permite calcular la amplitud y la frecuencia de sus componentes.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. 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\nDesde un punto de vista matem\u00e1tico, \u00bfcu\u00e1ntos errores hay en esta frase? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Funci\u00f3n continua y su representaci\u00f3n en serie de Fourier<\/h2>\n
![\"Funci\u00f3n](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT – segmento donde se define la funci\u00f3n (la duraci\u00f3n de la se\u00f1al)
\nAk- amplitud de la componente arm\u00f3nica k-\u00e9sima,
\n\u03b8k- la fase inicial del k-\u00e9simo componente arm\u00f3nico
\n\u00bfQu\u00e9 significa “representar la funci\u00f3n como la suma de las series”? Significa que sumando los valores de las componentes arm\u00f3nicas de la serie de Fourier en cada punto, obtenemos el valor de nuestra funci\u00f3n en ese punto.
\n(M\u00e1s estrictamente, la desviaci\u00f3n cuadr\u00e1tica media de la serie respecto a la funci\u00f3n f(x) tender\u00e1 a cero, pero a pesar de la convergencia cuadr\u00e1tica media, la serie de Fourier de una funci\u00f3n no tiene por qu\u00e9 converger, en general, a ella punto por punto. )
\nEsta serie tambi\u00e9n se puede escribir de la forma:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Ecuaci\u00f3n](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, la k-\u00e9sima amplitud compleja.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>La base matem\u00e1tica del an\u00e1lisis espectral de se\u00f1ales es la transformada de Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>La transformada de Fourier permite representar una funci\u00f3n continua f(x) (se\u00f1al) definida en el intervalo {0, T} como una suma de un n\u00famero infinito (serie infinita) de funciones trigonom\u00e9tricas (seno y\/o coseno) con amplitudes y fases definidas tambi\u00e9n consideradas en el intervalo {0, T}. Dicha serie se denomina serie de Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figura](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nEl espectro de esta funci\u00f3n es discreto, es decir, se representa como una serie infinita de componentes arm\u00f3nicos: una serie de Fourier.
\nDe hecho, las series de Fourier definen alguna funci\u00f3n peri\u00f3dica, que coincide con nuestra funci\u00f3n en el intervalo {0, T}, pero para nosotros esta periodicidad no es esencial.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nPara duplicar la resoluci\u00f3n hasta alcanzar los 0,5 Hz, es necesario duplicar la duraci\u00f3n de la medici\u00f3n hasta los 2 segundos. Una se\u00f1al de 10 segundos puede descomponerse en componentes arm\u00f3nicos (espectro) con una resoluci\u00f3n de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resoluci\u00f3n de frecuencia. Puede explorar esta relaci\u00f3n con nuestro Calculadora de resoluci\u00f3n FFT<\/a>.<\/p>\nSe\u00f1ales discretas y transformada de Fourier discreta<\/h2>\n
\n(Fig.9 Esquema del canal de medici\u00f3n)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Ecuaci\u00f3n](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nEl valor s indica el n\u00famero de oscilaciones arm\u00f3nicas completas por periodo T (duraci\u00f3n de la medici\u00f3n de la se\u00f1al). La transformada discreta de Fourier se utiliza para hallar las amplitudes y fases de los arm\u00f3nicos num\u00e9ricamente, es decir, \"en el ordenador\".<\/p>\n![\"Fig.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Algunos resultados<\/h2>\n