{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"fourier-muunnoksen-soveltaminen-varahtelysignaalien-analysointiin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"Fourier-muunnoksen soveltaminen v\u00e4r\u00e4htelysignaalien analysointiin."},"content":{"rendered":"

Fourier-muunnoksen soveltaminen t\u00e4rin\u00e4signaalien analysointiin<\/h1>\n

Andrei Shelkovenko. Yksi Vibromeran kehitt\u00e4jist\u00e4 ja perustaja.
\nArtikkelin k\u00e4\u00e4nn\u00f6s saattaa sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 ep\u00e4tarkkuuksia.<\/p>\n

Fourier-muunnos ja signaalin spektri<\/h2>\n

Useissa tapauksissa teht\u00e4v\u00e4n\u00e4 on saada (laskea) spektri<\/a> signaalin on seuraava. Siin\u00e4 on ADC, joka n\u00e4ytteenottamalla taajuus<\/a> Fd muuntaa jatkuvan signaalin, joka saapuu sen tuloon ajan T kuluessa, digitaalisiksi n\u00e4ytteiksi \u2013 yhteens\u00e4 N kappaletta. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen t\u00e4m\u00e4 n\u00e4ytetietojono sy\u00f6tet\u00e4\u00e4n johonkin ohjelmaan (esimerkiksi FourierScope<\/a><\/span>), joka tuottaa N\/2 numeerista arvoa.<\/p>\n

Tarkistaaksemme, toimiiko ohjelma oikein, muodostamme n\u00e4ytejoukon kahden sinifunktion sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) summana ja sy\u00f6t\u00e4mme sen ohjelmaan. Ohjelma piirsi seuraavan:
\n

\"Fourier-muunnos

Kuva 1 Signaalin ajan funktiona oleva kuvaaja.<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 2 Signaalin spektrin kuvaaja<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

There are two yliaallot<\/a> spektrikaaviossa \u2013 5 Hz amplitudilla 0,5 V ja 10 Hz amplitudilla 1 V, kaikki on alkuper\u00e4isen signaalin kaavan mukaista. Kaikki on kunnossa, ohjelma toimii oikein.<\/p>\n

T\u00e4m\u00e4 tarkoittaa sit\u00e4, ett\u00e4 jos sy\u00f6t\u00e4mme ADC:n tuloon kahden sinimuotoisen signaalin sekoituksen, saamme samanlaisen spektrin, joka koostuu kahdesta harmonisesta.<\/p>\n

Joten, meid\u00e4n todellinen <\/span><\/b><\/strong>mitattu signaali kesto 5 sekuntia<\/span><\/b><\/strong>, joka on digitoitu ADC:ll\u00e4, toisin sanoen esitettyn\u00e4 diskreetein <\/span><\/b><\/strong>n\u00e4ytteit\u00e4, on diskreetti ei-jaksollinen <\/span><\/b><\/strong>spektri.
\nMatemaattisesta n\u00e4k\u00f6kulmasta – kuinka monta virhett\u00e4 t\u00e4ss\u00e4 lauseessa on? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Yritet\u00e4\u00e4n nyt mitata samaa signaalia 0,5 sekunnin ajan.<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 3 Funktion sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) kuvaaja 0,5 sekunnin mittausjaksolla.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 4 Funktion spektri<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Jokin on vialla! Harmoninen 10 Hz:n taajuudella piirtyy normaalisti, ja 5 Hz:n taajuudella olevan harmonisen taajuuden sijasta on joitakin ep\u00e4selvi\u00e4 harmonisia taajuuksia.<\/p>\n

Internetiss\u00e4 sanotaan, ett\u00e4 n\u00e4ytteen loppuun on lis\u00e4tt\u00e4v\u00e4 nollia, ja spektri piirtyy normaalisti.<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 5 Olemme lis\u00e4nneet nollia n\u00e4ytteeseen 5 sekuntiin asti.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 6. Saatu spektri.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Se ei ole lainkaan sit\u00e4. Minun on k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4 teoriaa. Menn\u00e4\u00e4n Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– tiedon l\u00e4hde.<\/p>\n

Jatkuva funktio ja sen Fourier-sarjan esitys<\/h2>\n

Matemaattisesti tarkasteltuna signaalimme, jonka kesto on T sekuntia, on jokin funktio f(x), joka on annettu aikav\u00e4lill\u00e4 {0, T} (X on t\u00e4ss\u00e4 tapauksessa aika). T\u00e4llainen funktio voidaan aina esitt\u00e4\u00e4 harmonisten funktioiden (sini tai kosini) summana:<\/p>\n

\"Jatkuva

\u00a0(1), jossa:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k on trigonometrisen funktion numero ( harmonisen komponentin numero, harmonisen numero).
\nT – segmentti, jossa funktio on m\u00e4\u00e4ritelty (signaalin kesto).
\nAk- k:nnen harmonisen komponentin amplitudi,
\n\u03b8k- k:nnen harmonisen komponentin alkuvaihe
\nMit\u00e4 tarkoittaa “esitt\u00e4\u00e4 funktio sarjojen summana”? Se tarkoittaa, ett\u00e4 laskemalla Fourier-sarjan harmonisten komponenttien arvot yhteen kussakin pisteess\u00e4 saamme funktion arvon kyseisess\u00e4 pisteess\u00e4.
\n(Tarkemmin sanottuna sarjan keskim\u00e4\u00e4r\u00e4inen neli\u00f6llinen poikkeama funktiosta f(x) pyrkii nollaan, mutta keskim\u00e4\u00e4r\u00e4isest\u00e4 neli\u00f6llisest\u00e4 konvergenssista huolimatta funktion Fourier-sarjan ei yleens\u00e4 tarvitse konvergoida siihen pisteest\u00e4 pisteeseen.)
\nT\u00e4m\u00e4 sarja voidaan kirjoittaa my\u00f6s muodossa:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

jossa \"Fourier-muunnosyht\u00e4l\u00f6 , k:nnen kompleksinen amplitudi.<\/p>\n

 <\/p>\n

tai<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Kertoimien (1) ja (3) v\u00e4linen suhde ilmaistaan seuraavilla kaavoilla:<\/p>\n

\"Kaava,<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fourier-sarjan<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Huomaa, ett\u00e4 kaikki n\u00e4m\u00e4 kolme Fourier-sarjan esitystapaa ovat t\u00e4ysin ekvivalentteja. Joskus Fourier-sarjojen kanssa ty\u00f6skennelt\u00e4ess\u00e4 on k\u00e4tev\u00e4mp\u00e4\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 imaginaariargumentin eksponentteja sinien ja kosinien sijasta eli k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 Fourier-muunnosta kompleksimuodossa. Meille on kuitenkin k\u00e4tev\u00e4\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 kaavaa (1), jossa Fourier-sarja esitet\u00e4\u00e4n kosinien summana vastaavine amplitudeineen ja vaiheineen. Tarkasti ottaen reaalisignaalin Fourier-muunnos tuottaa kompleksikertoimia (muoto (3)): jokainen kerroin sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 sek\u00e4 harmonisen amplitudin ett\u00e4 vaiheen. Reaalisignaalilla n\u00e4ill\u00e4 kompleksikertoimilla on konjugaatti- (Hermite-) symmetria \u2014 negatiivisten taajuuksien puolisko vain peilaa positiivisten taajuuksien puoliskoa eik\u00e4 sis\u00e4ll\u00e4 lis\u00e4informaatiota. Siksi kompleksikertoimista voidaan aina siirty\u00e4 kaavan (1) reaalisiin, ei-negatiivisiin amplitudeihin Ak ja vaiheisiin \u03b8k \u2014 ja juuri t\u00e4m\u00e4n amplitudispektrin analyysiohjelmat piirt\u00e4v\u00e4t.<\/p>\n

 <\/p>\n

Lopputulos:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Signaalien spektrianalyysin matemaattinen perusta on Fourier-muunnos.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fourier-muunnoksen avulla voidaan esitt\u00e4\u00e4 jatkuva funktio f(x) (signaali), joka on m\u00e4\u00e4ritelty aikav\u00e4lill\u00e4 {0, T}, \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n m\u00e4\u00e4r\u00e4n (\u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n sarjan) trigonometristen funktioiden (sini ja\/tai kosinus) summana, joilla on m\u00e4\u00e4r\u00e4tyt amplitudit ja vaiheet my\u00f6s aikav\u00e4lill\u00e4 {0, T}. T\u00e4llaista sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Huomaa viel\u00e4 joitakin seikkoja, joiden ymm\u00e4rt\u00e4minen on v\u00e4ltt\u00e4m\u00e4t\u00f6nt\u00e4, jotta Fourier-muunnosta voidaan soveltaa oikein signaalianalyysiss\u00e4. Jos tarkastelemme Fourier-sarjaa (sinusoidien summaa) koko X-akselilla, huomaamme, ett\u00e4 intervallin {0, T} ulkopuolella Fourier-sarjan funktio toistaa jaksoittain funktiotamme.<\/p>\n

Esimerkiksi kuvan 7 kuvaajassa alkuper\u00e4inen funktio on m\u00e4\u00e4ritelty v\u00e4lille {-T\\2, +T\\2}, ja Fourier-sarja edustaa jaksollista funktiota, joka on m\u00e4\u00e4ritelty koko x-akselille.<\/p>\n

T\u00e4m\u00e4 johtuu siit\u00e4, ett\u00e4 sinusoidit itsess\u00e4\u00e4n ovat jaksollisia funktioita, joten niiden summa on my\u00f6s jaksollinen funktio.<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 7 Ep\u00e4periodisen l\u00e4hdefunktion esitt\u00e4minen Fourier-sarjalla.<\/p><\/div>\n

Niinp\u00e4:<\/p>\n

Alkuper\u00e4inen funktiomme on jatkuva, ei-jaksollinen funktio, joka on m\u00e4\u00e4ritelty jollekin segmentille, jonka pituus on T.
\nT\u00e4m\u00e4n funktion spektri on diskreetti, eli se esitet\u00e4\u00e4n \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n\u00e4 sarjana harmonisia komponentteja – Fourier-sarjana.
\nItse asiassa Fourier-sarjat m\u00e4\u00e4rittelev\u00e4t jonkin jaksollisen funktion, joka on yhtenev\u00e4inen meid\u00e4n funktiomme kanssa v\u00e4lill\u00e4 {0, T}, mutta meille t\u00e4m\u00e4 jaksollisuus ei ole olennaista.<\/p>\n

Seuraava.<\/p>\n

Harmonisten komponenttien jaksot ovat monikertoja intervallista {0, T}, jolla alkuper\u00e4inen funktio f(x) on m\u00e4\u00e4ritelty. Toisin sanoen harmonisten komponenttien jaksot ovat signaalin mittauksen keston kertalukuja. Esimerkiksi Fourier-sarjan ensimm\u00e4isen harmonisen jakso on yht\u00e4 suuri kuin v\u00e4li T, jolla funktio f(x) on m\u00e4\u00e4ritelty. Fourier-sarjan toisen harmonisen jakso on yht\u00e4 suuri kuin v\u00e4li T\/2. Ja niin edelleen (ks. kuva 8).<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 8 Fourier-sarjan harmonisten komponenttien jaksot (taajuudet) (t\u00e4ss\u00e4 T=2\u03c0).<\/p><\/div>\n

N\u00e4in ollen harmonisten komponenttien taajuudet ovat 1\/T:n moninkertaisia. Toisin sanoen harmonisten komponenttien Fk taajuudet ovat Fk= k\\T, jossa k:n arvot ovat 0:sta \u221e:\u00e4\u00e4n, esimerkiksi k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (nollataajuudella vakiokomponentti).<\/p>\n

Olkoon alkutoimintomme T=1 sekunnin aikana tallennettu signaali. Ensimm\u00e4isen harmonisen jakso on yht\u00e4 pitk\u00e4 kuin signaalin kesto T1=T=1 sekuntia ja harmonisen taajuus on 1 Hz. Toisen harmonisen jakso on yht\u00e4 pitk\u00e4 kuin signaalin kesto jaettuna kahdella (T2=T\/2=0,5 sekuntia) ja taajuus on 2 Hz. Kolmannen harmonisen taajuuden T3=T\/3 sekuntia ja taajuus on 3 Hz. Ja niin edelleen.<\/p>\n

T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa harmonisten yliaaltojen v\u00e4linen askel on 1 Hz.<\/p>\n

N\u00e4in ollen signaali, jonka kesto on 1 sekunti, voidaan hajottaa harmonisiin komponentteihin (spektrin saamiseksi) 1 Hz:n taajuuserotuksella.
\nJotta taajuusresoluutiota voitaisiin kaksinkertaistaa 0,5 Hz:iin, mittauksen kestoa on pidennett\u00e4v\u00e4 kaksinkertaiseksi eli 2 sekuntiin. 10 sekunnin pituinen signaali voidaan hajottaa harmonisiin komponentteihin (spektriin) 0,1 Hz:n taajuusresoluutiolla. Muita tapoja taajuusresoluution parantamiseksi ei ole. Voit tutkia t\u00e4t\u00e4 suhdetta k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 FFT-resoluutiolaskuri<\/a>.<\/p>\n

Signaalin kestoa voidaan keinotekoisesti pident\u00e4\u00e4 lis\u00e4\u00e4m\u00e4ll\u00e4 nollia n\u00e4ytteiden joukkoon. Se ei kuitenkaan lis\u00e4\u00e4 todellista taajuusresoluutiota.<\/p>\n

Diskreetit signaalit ja diskreetti Fourier-muunnos<\/h2>\n

Digitaalitekniikan kehittymisen my\u00f6t\u00e4 mittaustietojen (signaalien) tallennustavat ovat muuttuneet. Kun aiemmin signaali voitiin tallentaa nauhuriin ja tallentaa nauhalle analogisessa muodossa, nyky\u00e4\u00e4n signaalit digitalisoidaan ja tallennetaan tiedostoihin tietokoneen muistiin numerosarjoina (lukum\u00e4\u00e4rin\u00e4).<\/p>\n

Tavallinen signaalin mittauksen ja digitalisoinnin j\u00e4rjestelm\u00e4 n\u00e4ytt\u00e4\u00e4 seuraavalta.<\/p>\n

Mittausanturi —- Signaalin normalisoija —- ADC —– Tietokone
\n(Kuva 9 Kaavio mittauskanavasta)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Mittausanturista tuleva signaali siirtyy ADC:hen ajaksi T. Ajan T aikana saadut signaalilukemat (n\u00e4ytteenotto) siirret\u00e4\u00e4n tietokoneeseen ja tallennetaan muistiin.<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 10 Digitoitu signaali – N n\u00e4ytett\u00e4 vastaanotettu ajalla T<\/p><\/div>\n

Mitk\u00e4 ovat signaalin digitalisointiparametreja koskevat vaatimukset? Laitetta, joka muuntaa sy\u00f6tetyn analogisen signaalin diskreetiksi koodiksi (digitaaliseksi signaaliksi), kutsutaan analogi-digitaalimuuntimeksi (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

Yksi ADC:n perusparametreista on suurin n\u00e4ytteenottotaajuus – ajallisesti jatkuvan signaalin n\u00e4ytteenottotaajuus. N\u00e4ytteenottotaajuus mitataan hertsein\u00e4. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals\u00a0\u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd \u2265 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.<\/p>\n

Ent\u00e4 mit\u00e4 tapahtuu, jos otamme n\u00e4ytteit\u00e4 pienemm\u00e4ll\u00e4 taajuudella kuin Kotelnikovin teoreema edellytt\u00e4\u00e4?<\/p>\n

T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa on olemassa “aliasointi<\/a>T\u00e4ll\u00f6in syntyy \"aliasing\"-efekti (alias stroboskooppi-ilmi\u00f6, moir\u00e9-ilmi\u00f6), jossa korkeataajuinen signaali muuttuu digitalisoinnin j\u00e4lkeen matalataajuiseksi signaaliksi, jota ei itse asiassa ole olemassa. Kuvassa 11 punainen korkeataajuinen siniaalto on todellinen signaali. Sininen matalamman taajuuden siniaalto on kuvitteellinen signaali, joka johtuu siit\u00e4, ett\u00e4 n\u00e4ytteenottoaikana on ehtinyt kulua yli puolet korkeataajuisen signaalin jaksosta.<\/p>\n

\"Kuva

Kuva 11. Matalataajuisen v\u00e4\u00e4r\u00e4nlaisen signaalin esiintyminen liian alhaisella n\u00e4ytteenottotaajuudella.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Aliasing-ilmi\u00f6n v\u00e4ltt\u00e4miseksi k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n erityist\u00e4 anti-aliasing-suodatinta (alip\u00e4\u00e4st\u00f6suodatin<\/a>) sijoitetaan ADC:n eteen. Se p\u00e4\u00e4st\u00e4\u00e4 l\u00e4pi taajuudet, jotka ovat alle puolet ADC:n n\u00e4ytetaajuudesta, ja suodattaa pois korkeammat taajuudet.<\/p>\n

Jotta signaalin spektri voitaisiin laskea sen diskreettien n\u00e4ytteiden perusteella, diskreetti Fourier-muunnos (DFT)<\/a> k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n. Huomaa j\u00e4lleen, ett\u00e4 diskreetin signaalin spektri rajoittuu “m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4n mukaan” taajuuteen Fmax, joka on pienempi kuin puolet n\u00e4ytetaajuudesta Fd. Siksi diskreetin signaalin spektri voidaan esitt\u00e4\u00e4 summana \u00e4\u00e4rellinen <\/u>harmonisten yliaaltojen m\u00e4\u00e4r\u00e4, toisin kuin jatkuvan signaalin Fourier-sarjassa, jonka spektri voi olla rajaton. Kotelnikovin lauseen mukaan harmonisen taajuuden maksimitaajuuden on oltava sellainen, ett\u00e4 se vastaa v\u00e4hint\u00e4\u00e4n kahta n\u00e4ytett\u00e4, joten harmonisten lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n on oltava puolet diskreetin signaalin n\u00e4ytteiden lukum\u00e4\u00e4r\u00e4st\u00e4. Toisin sanoen, jos n\u00e4ytteess\u00e4 on N n\u00e4ytett\u00e4, harmonisten yliaaltojen m\u00e4\u00e4r\u00e4 spektriss\u00e4 on N\/2.<\/p>\n

Tarkastellaan nyt diskreetti\u00e4 Fourier-muunnosta (DFT).<\/p>\n

\"Diskreetti<\/p>\n

Verrataan sit\u00e4 Fourier-sarjaan<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Diskreetti<\/p>\n

Kuten n\u00e4emme, ne ovat yhtenev\u00e4iset, paitsi ett\u00e4 FFT:ss\u00e4 aika on diskreetti ja harmonisten yliaaltojen m\u00e4\u00e4r\u00e4 on rajoitettu N\/2:een, joka on puolet n\u00e4ytteiden m\u00e4\u00e4r\u00e4st\u00e4.<\/p>\n

DFT-kaavat kirjoitetaan dimensiottomina kokonaislukumuuttujina k, s, jossa k on signaalin\u00e4ytteiden lukum\u00e4\u00e4r\u00e4 ja s on spektrikomponenttien lukum\u00e4\u00e4r\u00e4.
\nArvo s ilmaisee t\u00e4ysharmonisten v\u00e4r\u00e4htelyjen lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n jaksoa T kohti (signaalin mittauksen kesto). Diskreettia Fourier-muunnosta k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n harmonisten v\u00e4r\u00e4htelyjen amplitudien ja vaiheiden m\u00e4\u00e4ritt\u00e4miseen numeerisesti eli “tietokoneella”.<\/p>\n

Kuten edell\u00e4 todettiin, kun ei-jaksollinen funktio (signaalimme) hajotetaan Fourier-sarjoiksi, tuloksena saatava Fourier-sarja vastaa itse asiassa jaksollista funktiota, jonka jakso on T (kuva 12).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 12. Jaksollinen funktio f(x) jaksolla T0, jaksolla T>T0.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Kuten kuvasta 12 n\u00e4kyy, funktio f(x) on jaksollinen jaksolla T0. Koska mitattavan n\u00e4ytteen pituus T ei kuitenkaan ole yht\u00e4 suuri kuin funktion jakso T0, Fourier-sarjana saadussa funktiossa on ep\u00e4jatkuvuus pisteess\u00e4 T. T\u00e4m\u00e4n seurauksena t\u00e4m\u00e4n funktion spektri sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 suuren m\u00e4\u00e4r\u00e4n korkeataajuisia harmonisia. T\u00e4t\u00e4 ilmi\u00f6t\u00e4 kutsutaan spektraalinen vuoto<\/a>, ja k\u00e4yt\u00e4nn\u00f6ss\u00e4 se pienenee ikkunointi<\/a> signaali ennen muunnosta. Jos mittausn\u00e4ytteen T kesto olisi sama kuin funktion T0 jakso, Fourier-muunnoksen j\u00e4lkeen saatu spektri sis\u00e4lt\u00e4isi vain ensimm\u00e4isen harmonisen (siniaallon, jonka jakso on yht\u00e4 pitk\u00e4 kuin n\u00e4ytteen kesto), koska funktio f(x) on siniaalto.<\/p>\n

Toisin sanoen DFT-ohjelma “ei tied\u00e4”, ett\u00e4 signaalimme on “viipale siniaaltoa”, vaan se yritt\u00e4\u00e4 esitt\u00e4\u00e4 sarjana jaksollisen funktion, jonka ep\u00e4jatkuvuus johtuu siniaallon erillisten osien ep\u00e4jatkuvuudesta.<\/p>\n

T\u00e4m\u00e4n seurauksena spektriin ilmestyy harmonisia yliaaltoja, joiden pit\u00e4isi kokonaisuudessaan edustaa funktion muotoa, t\u00e4m\u00e4 ep\u00e4jatkuvuus mukaan lukien.<\/p>\n

Jotta saadaan “oikea” spektri signaalista, joka on useiden eri jaksoissa olevien sinusoidien summa, on v\u00e4ltt\u00e4m\u00e4t\u00f6nt\u00e4, ett\u00e4 kokonaislukuinen m\u00e4\u00e4r\u00e4 jaksoja <\/u>jokaisen sinimuotoisen signaalin pit\u00e4isi olla l\u00e4sn\u00e4 signaalin mittausjaksolla. K\u00e4yt\u00e4nn\u00f6ss\u00e4 t\u00e4m\u00e4 ehto voidaan t\u00e4ytt\u00e4\u00e4, jos signaalin mittauksen kesto on riitt\u00e4v\u00e4n pitk\u00e4.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 13 Esimerkki vaihdelaatikon kinemaattisen virhesignaalin funktiosta ja spektrist\u00e4.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Lyhyemm\u00e4ll\u00e4 kestolla kuva n\u00e4ytt\u00e4\u00e4 “huonommalta”:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Kuva

Kuva 14 Esimerkki roottorin v\u00e4r\u00e4htelyfunktiosta ja -spektrist\u00e4.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

K\u00e4yt\u00e4nn\u00f6ss\u00e4 voi olla vaikea ymm\u00e4rt\u00e4\u00e4, miss\u00e4 ovat “todelliset komponentit” ja miss\u00e4 “artefaktit”, jotka johtuvat komponenttien jaksojen ja signaalin n\u00e4ytteenottoaikojen ep\u00e4johdonmukaisuudesta tai aaltomuodon “hyppyist\u00e4 ja katkoksista”. Sanat “todelliset komponentit” ja “artefaktit” on tietysti pantu lainausmerkkeihin syyst\u00e4. Se, ett\u00e4 spektrikuvassa on monia harmonisia yliaaltoja, ei tarkoita, ett\u00e4 signaalimme todella koostuisi niist\u00e4. Se on kuin ajattelisi, ett\u00e4 numero 7 “koostuu” numeroista 3 ja 4. Luku 7 voidaan ajatella numeroiden 3 ja 4 summana – se on oikein.<\/p>\n

Niinp\u00e4 my\u00f6s signaalimme… tai oikeastaan ei edes “signaalimme”, vaan jaksollinen funktio, joka muodostuu toistamalla signaalimme (n\u00e4yte), voidaan esitt\u00e4\u00e4 harmonisten (siniaaltojen) summana, joilla on tietyt amplitudit ja vaiheet. Mutta monissa k\u00e4yt\u00e4nn\u00f6n kannalta t\u00e4rkeiss\u00e4 tapauksissa (ks. edell\u00e4 olevat kuvat) on todellakin mahdollista liitt\u00e4\u00e4 spektriss\u00e4 saadut harmoniset my\u00f6s todellisiin prosesseihin, joilla on syklinen luonne ja jotka vaikuttavat merkitt\u00e4v\u00e4sti signaalin muotoon.<\/p>\n

Joitakin tuloksia<\/h2>\n

1. Todellisella mitatulla signaalilla, jonka kesto on T sekuntia ja joka on digitoitu ADC:ll\u00e4 eli jota edustaa joukko erillisi\u00e4 n\u00e4ytteit\u00e4 (N kappaletta), on erillinen ei-jaksollinen spektri, jota edustaa joukko harmonisia (N\/2 kappaletta).<\/p>\n

2. Signaali esitet\u00e4\u00e4n joukkona reaalisia arvoja. Sen DFT-spektri on joukko kompleksikertoimia, joilla on konjugaattisymmetria; niist\u00e4 saadaan amplitudispektri \u2014 joukko reaalisia, ei-negatiivisia amplitudeja (ja vaiheita) positiivisilla taajuuksilla, ja juuri t\u00e4m\u00e4 yksipuolinen amplitudispektri esitet\u00e4\u00e4n k\u00e4yt\u00e4nn\u00f6ss\u00e4. Kaksipuolinen kompleksimuoto negatiivisine taajuuksineen ja yksipuolinen amplitudi-\/vaihemuoto ovat saman spektrin ekvivalentteja esityksi\u00e4 \u2014 signaalianalyysissa on yleens\u00e4 k\u00e4tev\u00e4mp\u00e4\u00e4 ty\u00f6skennell\u00e4 yksipuolisen amplitudispektrin kanssa.<\/p>\n

3. Aikav\u00e4lill\u00e4 T mitattu signaali on m\u00e4\u00e4ritelty vain aikav\u00e4lill\u00e4 T. Mit\u00e4 tapahtui ennen kuin aloitimme signaalin mittaamisen ja mit\u00e4 tapahtuu sen j\u00e4lkeen, on tieteelle tuntematonta. Ja meid\u00e4n tapauksessamme se ei ole kiinnostavaa. Aikarajoitetun signaalin FFT antaa sen “todellisen” spektrin siin\u00e4 mieless\u00e4, ett\u00e4 tietyiss\u00e4 olosuhteissa sen avulla voidaan laskea sen komponenttien amplitudi ja taajuus.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fi\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}