{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"application-de-la-transformee-de-fourier-a-lanalyse-des-signaux-vibratoires","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"Application de la transform\u00e9e de Fourier \u00e0 l'analyse des signaux de vibration."},"content":{"rendered":"

Application de la transform\u00e9e de Fourier \u00e0 l'analyse des signaux vibratoires<\/h1>\n

Andrei Shelkovenko. L'un des d\u00e9veloppeurs et fondateurs de Vibromera.
\nLa traduction de l'article peut contenir des inexactitudes.<\/p>\n

Transform\u00e9e de Fourier et spectre du signal<\/h2>\n

Dans de nombreux cas, la t\u00e2che consistant \u00e0 obtenir (calculer) le spectre<\/a> d'un signal est la suivante. Il y a un convertisseur analogique-num\u00e9rique (CAN) qui, par \u00e9chantillonnage fr\u00e9quence<\/a> Le Fd transforme le signal continu, qui lui est transmis pendant la dur\u00e9e T, en \u00e9chantillons num\u00e9riques \u2013 au nombre de N. Ce tableau d'\u00e9chantillons est ensuite transmis \u00e0 un programme (par exemple FourierScope<\/a><\/span>) qui produit N\/2 valeurs num\u00e9riques.<\/p>\n

Pour v\u00e9rifier si le programme fonctionne correctement, nous formons un tableau d'\u00e9chantillons sous la forme d'une somme de deux sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) et nous l'introduisons dans le programme. Le programme a dessin\u00e9 ce qui suit :
\n

\"Transform\u00e9e

Fig.1 Le graphique de la fonction temporelle du signal<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fig.2

Fig.2 Le graphique du spectre du signal<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Il existe deux harmoniques<\/a> sur le graphique du spectre \u2013 5 Hz avec une amplitude de 0,5 V et 10 Hz avec une amplitude de 1 V, tout correspond \u00e0 la formule du signal d'origine. Tout va bien, le programme fonctionne correctement.<\/p>\n

Cela signifie que si nous envoyons un signal r\u00e9el provenant d'un m\u00e9lange de deux sinuso\u00efdes \u00e0 l'entr\u00e9e du CAN, nous obtiendrons un spectre similaire compos\u00e9 de deux harmoniques.<\/p>\n

Ainsi, notre r\u00e9el <\/span><\/b><\/strong>signal mesur\u00e9 d'une dur\u00e9e de 5 secondes<\/span><\/b><\/strong>, num\u00e9ris\u00e9 par le CAN, c'est-\u00e0-dire repr\u00e9sent\u00e9 par des <\/span><\/b><\/strong>\u00e9chantillons discrets, pr\u00e9sente un discret non p\u00e9riodique <\/span><\/b><\/strong>spectre.
\nD'un point de vue math\u00e9matique – combien d'erreurs cette phrase contient-elle ? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Essayons maintenant de mesurer le m\u00eame signal pendant 0,5 seconde.<\/p>\n

\"Fig.3

Fig.3 Le graphique de la fonction sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pour une p\u00e9riode de mesure de 0,5 sec.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Fig.4

Fig.4 Spectre de la fonction<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Il y a quelque chose qui ne va pas ! L'harmonique \u00e0 10 Hz est dessin\u00e9e normalement, et au lieu de l'harmonique \u00e0 5 Hz, il y a des harmoniques peu claires.<\/p>\n

Sur Internet, on dit qu'il faut ajouter des z\u00e9ros \u00e0 la fin de l'\u00e9chantillon et que le spectre sera dessin\u00e9 normalement.<\/p>\n

\"Fig.5

Fig.5 Nous avons ajout\u00e9 des z\u00e9ros \u00e0 l'\u00e9chantillon jusqu'\u00e0 5 secondes.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Fig.6.

Fig.6. Spectre obtenu.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Ce n'est pas du tout cela. Je vais devoir m'occuper de la th\u00e9orie. Allons \u00e0 Wikip\u00e9dia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– la source de la connaissance.<\/p>\n

Fonction continue et sa repr\u00e9sentation en s\u00e9rie de Fourier<\/h2>\n

Math\u00e9matiquement, notre signal d'une dur\u00e9e de T secondes est une fonction f(x) donn\u00e9e sur l'intervalle {0, T} (X \u00e9tant ici le temps). Une telle fonction peut toujours \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9e comme une somme de fonctions harmoniques (sinus ou cosinus) de la forme :<\/p>\n

\"Fonction

\u00a0(1), o\u00f9 :<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k est le nombre de la fonction trigonom\u00e9trique (le nombre de la composante harmonique, le nombre de l'harmonique)
\nT – segment o\u00f9 la fonction est d\u00e9finie (dur\u00e9e du signal)
\nAk- amplitude de la k-i\u00e8me composante harmonique,
\n\u03b8k- la phase initiale de la k\u00e8me composante harmonique
\nQue signifie “repr\u00e9senter la fonction comme la somme des s\u00e9ries” ? Cela signifie qu'en ajoutant les valeurs des composantes harmoniques de la s\u00e9rie de Fourier en chaque point, nous obtenons la valeur de notre fonction en ce point.
\n(Plus strictement, l'\u00e9cart quadratique moyen de la s\u00e9rie par rapport \u00e0 la fonction f(x) tendra vers z\u00e9ro, mais malgr\u00e9 la convergence quadratique moyenne, la s\u00e9rie de Fourier d'une fonction n'a pas besoin, en g\u00e9n\u00e9ral, de converger vers elle point par point. )
\nCette s\u00e9rie peut \u00e9galement \u00eatre \u00e9crite sous la forme :<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

o\u00f9 \"\u00c9quation , la ki\u00e8me amplitude complexe.<\/p>\n

 <\/p>\n

ou<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

La relation entre les coefficients (1) et (3) est exprim\u00e9e par les formules suivantes :<\/p>\n

\"Formule<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Formule<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Notons que ces trois repr\u00e9sentations de la s\u00e9rie de Fourier sont parfaitement \u00e9quivalentes. Il est parfois plus commode, lorsqu'on travaille avec les s\u00e9ries de Fourier, d'utiliser des exponentielles \u00e0 argument imaginaire plut\u00f4t que des sinus et des cosinus, c'est-\u00e0-dire d'utiliser la transform\u00e9e de Fourier sous forme complexe. Mais il nous est plus pratique d'utiliser la formule (1), o\u00f9 la s\u00e9rie de Fourier est repr\u00e9sent\u00e9e comme une somme de cosinus avec les amplitudes et les phases correspondantes. \u00c0 proprement parler, la transform\u00e9e de Fourier d'un signal r\u00e9el produit bien des coefficients complexes (forme (3)) : chaque coefficient porte \u00e0 la fois l'amplitude et la phase de son harmonique. Pour un signal r\u00e9el, ces coefficients complexes poss\u00e8dent une sym\u00e9trie conjugu\u00e9e (hermitienne) \u2014 la moiti\u00e9 des fr\u00e9quences n\u00e9gatives ne fait que refl\u00e9ter la moiti\u00e9 des fr\u00e9quences positives et ne porte aucune information suppl\u00e9mentaire. C'est pourquoi, \u00e0 partir des coefficients complexes, on peut toujours passer aux amplitudes r\u00e9elles non n\u00e9gatives Ak et aux phases \u03b8k de la formule (1) \u2014 et c'est pr\u00e9cis\u00e9ment ce spectre d'amplitude que tracent les logiciels d'analyse.<\/p>\n

 <\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9 :<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>La base math\u00e9matique de l'analyse spectrale des signaux est la transform\u00e9e de Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>La transform\u00e9e de Fourier permet de repr\u00e9senter une fonction continue f(x) (signal) d\u00e9finie sur l'intervalle {0, T} comme une somme d'un nombre infini (s\u00e9rie infinie) de fonctions trigonom\u00e9triques (sinus et\/ou cosinus) avec des amplitudes et des phases d\u00e9finies \u00e9galement consid\u00e9r\u00e9es sur l'intervalle {0, T}. Une telle s\u00e9rie est appel\u00e9e s\u00e9rie de Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Notons encore quelques points dont la compr\u00e9hension est n\u00e9cessaire \u00e0 l'application correcte de la transform\u00e9e de Fourier \u00e0 l'analyse des signaux. Si nous consid\u00e9rons la s\u00e9rie de Fourier (somme des sinuso\u00efdes) sur l'ensemble de l'axe X, nous constatons qu'en dehors de l'intervalle {0, T}, la fonction de la s\u00e9rie de Fourier r\u00e9p\u00e8te p\u00e9riodiquement notre fonction.<\/p>\n

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction originale est d\u00e9finie sur l'intervalle {-T\\2, +T\\2}, et la s\u00e9rie de Fourier repr\u00e9sente une fonction p\u00e9riodique d\u00e9finie sur l'ensemble de l'axe des abscisses.<\/p>\n

En effet, les sinuso\u00efdes \u00e9tant elles-m\u00eames des fonctions p\u00e9riodiques, leur somme sera \u00e9galement une fonction p\u00e9riodique.<\/p>\n

\"Figure

Figure 7 Repr\u00e9sentation d'une fonction source non p\u00e9riodique par une s\u00e9rie de Fourier<\/p><\/div>\n

Ainsi :<\/p>\n

Notre fonction d'origine est une fonction continue, non p\u00e9riodique, d\u00e9finie sur un segment de longueur T.
\nLe spectre de cette fonction est discret, c'est-\u00e0-dire qu'il est repr\u00e9sent\u00e9 par une s\u00e9rie infinie de composantes harmoniques – une s\u00e9rie de Fourier.
\nEn fait, la s\u00e9rie de Fourier d\u00e9finit une fonction p\u00e9riodique, qui co\u00efncide avec notre fonction sur l'intervalle {0, T}, mais cette p\u00e9riodicit\u00e9 n'est pas essentielle pour nous.<\/p>\n

Suivant.<\/p>\n

Les p\u00e9riodes des composantes harmoniques sont des multiples de l'intervalle {0, T}, sur lequel la fonction initiale f(x) est d\u00e9finie. En d'autres termes, les p\u00e9riodes des harmoniques sont des multiples de la dur\u00e9e de la mesure du signal. Par exemple, la p\u00e9riode de la premi\u00e8re harmonique d'une s\u00e9rie de Fourier est \u00e9gale \u00e0 l'intervalle T dans lequel la fonction f(x) est d\u00e9finie. La p\u00e9riode de la deuxi\u00e8me harmonique d'une s\u00e9rie de Fourier est \u00e9gale \u00e0 l'intervalle T\/2. Et ainsi de suite (voir figure 8).<\/p>\n

\"Fig.

Fig. 8 P\u00e9riodes (fr\u00e9quences) des composantes harmoniques de la s\u00e9rie de Fourier (ici T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

En cons\u00e9quence, les fr\u00e9quences des composantes harmoniques sont des multiples de 1\/T. Autrement dit, les fr\u00e9quences des composantes harmoniques Fk sont Fk= k\\T, o\u00f9 k prend des valeurs comprises entre 0 et \u221e, par exemple, k=0 F0=0 ; k=1 F1=1\\T ; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T ;.... Fk= k\\T (\u00e0 fr\u00e9quence nulle, une composante constante).<\/p>\n

Soit notre fonction initiale, un signal enregistr\u00e9 pendant T=1 sec. Alors la p\u00e9riode de la premi\u00e8re harmonique sera \u00e9gale \u00e0 la dur\u00e9e de notre signal T1=T=1 sec et la fr\u00e9quence de l'harmonique est \u00e9gale \u00e0 1 Hz. La p\u00e9riode de la deuxi\u00e8me harmonique sera \u00e9gale \u00e0 la dur\u00e9e de notre signal divis\u00e9e par 2 (T2=T\/2=0,5 sec.) et la fr\u00e9quence est \u00e9gale \u00e0 2 Hz. Pour la troisi\u00e8me harmonique, T3=T\/3 sec et la fr\u00e9quence est de 3 Hz. Et ainsi de suite.<\/p>\n

Dans ce cas, le pas entre les harmoniques est de 1 Hz.<\/p>\n

Ainsi, un signal d'une dur\u00e9e de 1 seconde peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9 en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une r\u00e9solution de fr\u00e9quence de 1 Hz.
\nPour doubler la r\u00e9solution et atteindre 0,5 Hz, il faut doubler la dur\u00e9e de la mesure pour la porter \u00e0 2 secondes. Un signal de 10 secondes peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9 en composantes harmoniques (spectre) avec une r\u00e9solution en fr\u00e9quence de 0,1 Hz. Il n'existe pas d'autre moyen d'augmenter la r\u00e9solution en fr\u00e9quence. Vous pouvez explorer cette relation \u00e0 l'aide de notre Calculateur de r\u00e9solution FFT<\/a>.<\/p>\n

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la dur\u00e9e du signal en ajoutant des z\u00e9ros au tableau d'\u00e9chantillons. Mais cela n'augmente pas la r\u00e9solution de la fr\u00e9quence r\u00e9elle.<\/p>\n

Signaux discrets et transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te<\/h2>\n

Avec le d\u00e9veloppement de la technologie num\u00e9rique, les modes de stockage des donn\u00e9es de mesure (signaux) ont chang\u00e9. Alors qu'auparavant un signal pouvait \u00eatre enregistr\u00e9 sur un magn\u00e9tophone et stock\u00e9 sur une bande sous forme analogique, les signaux sont aujourd'hui num\u00e9ris\u00e9s et stock\u00e9s dans des fichiers de la m\u00e9moire d'un ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (valeurs).<\/p>\n

Le sch\u00e9ma habituel de mesure et de num\u00e9risation des signaux est le suivant.<\/p>\n

Transducteur de mesure — Normalisateur de signal — ADC —– Ordinateur
\n(Fig.9 Sch\u00e9ma du canal de mesure)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Le signal provenant du transducteur de mesure est transmis \u00e0 l'ADC pendant une p\u00e9riode de temps T. Les lectures du signal (\u00e9chantillonnage) re\u00e7ues pendant le temps T sont transmises \u00e0 l'ordinateur et enregistr\u00e9es dans la m\u00e9moire.<\/p>\n

\"Fig.10

Fig.10 Signal num\u00e9ris\u00e9 – N \u00e9chantillons re\u00e7us pendant le temps T<\/p><\/div>\n

Quelles sont les exigences relatives aux param\u00e8tres de num\u00e9risation du signal ? Un dispositif qui convertit le signal analogique d'entr\u00e9e en un code discret (signal num\u00e9rique) est appel\u00e9 convertisseur analogique-num\u00e9rique (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

L'un des param\u00e8tres fondamentaux de l'ADC est le taux d'\u00e9chantillonnage maximal – la fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage d'un signal continu dans le temps. La fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage est mesur\u00e9e en hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

Selon le th\u00e9or\u00e8me de Kotelnikov’s, si un signal continu poss\u00e8de un spectre limit\u00e9 par la fr\u00e9quence Fmax, il peut \u00eatre enti\u00e8rement et sans ambigu\u00eft\u00e9 reconstruit \u00e0 partir de ses \u00e9chantillons discrets pr\u00e9lev\u00e9s \u00e0 des intervalles de temps \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), c'est-\u00e0-dire avec une fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage Fd \u2265 2*Fmax, o\u00f9 Fd – fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage ; Fmax – la fr\u00e9quence maximale du spectre du signal. Autrement dit, la fr\u00e9quence de num\u00e9risation du signal (fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage du CAN) doit \u00eatre au moins le double de la fr\u00e9quence maximale du signal que l'on souhaite mesurer.<\/p>\n

Et que se passera-t-il si nous pr\u00e9levons des \u00e9chantillons \u00e0 une fr\u00e9quence inf\u00e9rieure \u00e0 celle requise par le th\u00e9or\u00e8me de Kotelnikov’ ?<\/p>\n

Dans ce cas, il y a un \u00abaliasing<\/a>Dans ce cas, il y a un effet de \"repliement\" (alias effet stroboscopique, effet moir\u00e9), dans lequel un signal haute fr\u00e9quence apr\u00e8s num\u00e9risation se transforme en un signal basse fr\u00e9quence, qui en fait n'existe pas. Dans la figure 11, l'onde sinuso\u00efdale rouge de haute fr\u00e9quence est le signal r\u00e9el. L'onde sinuso\u00efdale bleue de fr\u00e9quence plus basse est un signal fictif, d\u00fb au fait que pendant le temps d'\u00e9chantillonnage, il s'est \u00e9coul\u00e9 plus d'une demi-p\u00e9riode du signal \u00e0 haute fr\u00e9quence.<\/p>\n

\"Fig.

Fig. 11. Apparition d'un signal parasite de basse fr\u00e9quence \u00e0 un taux d'\u00e9chantillonnage insuffisamment \u00e9lev\u00e9<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Pour \u00e9viter l'effet d'aliasing, un filtre anti-aliasing sp\u00e9cial (filtre passe-bas<\/a>) est plac\u00e9 en amont du convertisseur analogique-num\u00e9rique (CAN). Il laisse passer les fr\u00e9quences inf\u00e9rieures \u00e0 la moiti\u00e9 de la fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage du CAN et coupe les fr\u00e9quences sup\u00e9rieures.<\/p>\n

Afin de calculer le spectre d'un signal \u00e0 partir de ses \u00e9chantillons discrets, le Transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te (DFT)<\/a> est utilis\u00e9. Notons \u00e0 nouveau que le spectre d'un signal discret est, \u00ab par d\u00e9finition \u00bb, limit\u00e9 \u00e0 une fr\u00e9quence Fmax inf\u00e9rieure \u00e0 la moiti\u00e9 de la fr\u00e9quence d'\u00e9chantillonnage Fd. Par cons\u00e9quent, le spectre d'un signal discret peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par la somme de un fini <\/u>nombre d'harmoniques, contrairement \u00e0 la somme infinie de la s\u00e9rie de Fourier d'un signal continu, dont le spectre peut \u00eatre illimit\u00e9. Selon le th\u00e9or\u00e8me de Kotelnikov, la fr\u00e9quence maximale d'une harmonique doit \u00eatre telle qu'elle repr\u00e9sente au moins deux \u00e9chantillons, de sorte que le nombre d'harmoniques est \u00e9gal \u00e0 la moiti\u00e9 du nombre d'\u00e9chantillons d'un signal discret. Autrement dit, s'il y a N \u00e9chantillons dans l'\u00e9chantillon, le nombre d'harmoniques dans le spectre sera de N\/2.<\/p>\n

Consid\u00e9rons maintenant la transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te (DFT).<\/p>\n

\"\u00c9quation<\/p>\n

Comparaison avec la s\u00e9rie de Fourier<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Formule<\/p>\n

Comme on peut le voir, elles co\u00efncident, \u00e0 l'exception du fait que le temps dans la FFT est discret et que le nombre d'harmoniques est limit\u00e9 \u00e0 N\/2, qui est la moiti\u00e9 du nombre d'\u00e9chantillons.<\/p>\n

Les formules DFT sont \u00e9crites en variables enti\u00e8res sans dimension k, s, o\u00f9 k est le nombre d'\u00e9chantillons du signal, s est le nombre de composantes spectrales.
\nLa valeur s indique le nombre d'oscillations harmoniques compl\u00e8tes par p\u00e9riode T (dur\u00e9e de mesure du signal). La transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te est utilis\u00e9e pour trouver les amplitudes et les phases des harmoniques num\u00e9riquement, c'est-\u00e0-dire “sur l'ordinateur”.<\/p>\n

Comme il a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 dit plus haut, lorsqu'on d\u00e9compose une fonction non p\u00e9riodique (notre signal) en s\u00e9ries de Fourier, la s\u00e9rie de Fourier r\u00e9sultante correspond en fait \u00e0 une fonction p\u00e9riodique de p\u00e9riode T (Fig.12).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fig.12.

Fig.12. Fonction p\u00e9riodique f(x) avec p\u00e9riode T0, avec p\u00e9riode T>T0<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Comme le montre la figure 12, la fonction f(x) est p\u00e9riodique avec une p\u00e9riode T\u2080. Cependant, comme la longueur de l'\u00e9chantillon de mesure T n'est pas \u00e9gale \u00e0 la p\u00e9riode de la fonction T\u2080, la fonction obtenue sous forme de s\u00e9rie de Fourier pr\u00e9sente une discontinuit\u00e9 au point T. Par cons\u00e9quent, le spectre de cette fonction contiendra un grand nombre d'harmoniques \u00e0 haute fr\u00e9quence. Ce ph\u00e9nom\u00e8ne est connu sous le nom de fuite spectrale<\/a>, et dans la pratique, elle est r\u00e9duite par fen\u00eatrage<\/a> le signal avant la transformation. Si la dur\u00e9e de l'\u00e9chantillon de mesure T co\u00efncidait avec la p\u00e9riode de la fonction T\u2080, alors le spectre obtenu apr\u00e8s la transformation de Fourier ne contiendrait que la premi\u00e8re harmonique (une sinuso\u00efde dont la p\u00e9riode est \u00e9gale \u00e0 la dur\u00e9e de l'\u00e9chantillon), car la fonction f(x) est une sinuso\u00efde.<\/p>\n

En d'autres termes, le programme DFT \"ne sait pas\" que notre signal est une \"tranche d'onde sinuso\u00efdale\", mais il tente de repr\u00e9senter sous forme de s\u00e9rie une fonction p\u00e9riodique qui pr\u00e9sente une discontinuit\u00e9 due \u00e0 la discontinuit\u00e9 de morceaux distincts de l'onde sinuso\u00efdale.<\/p>\n

En cons\u00e9quence, des harmoniques apparaissent dans le spectre, qui devrait, au total, repr\u00e9senter la forme de la fonction, y compris cette discontinuit\u00e9.<\/p>\n

Ainsi, pour obtenir un spectre \"correct\" d'un signal qui est une somme de plusieurs sinuso\u00efdes de p\u00e9riodes diff\u00e9rentes, il est n\u00e9cessaire qu'un nombre entier de p\u00e9riodes de <\/u>chaque sinuso\u00efde doit \u00eatre pr\u00e9sente sur la p\u00e9riode de mesure du signal. Dans la pratique, cette condition peut \u00eatre remplie avec une dur\u00e9e de mesure du signal suffisamment longue.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fig.13

Fig.13 Exemple de la fonction du signal d'erreur cin\u00e9matique et du spectre d'une bo\u00eete de vitesses<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Si la dur\u00e9e est plus courte, l'image sera plus \"mauvaise\" :<\/p>\n

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\"Fig.14

Fig.14 Exemple de fonction et de spectre de vibration du rotor<\/p><\/div>\n

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Dans la pratique, il peut \u00eatre difficile de comprendre o\u00f9 sont les \"composants r\u00e9els\" et o\u00f9 sont les \"artefacts\" caus\u00e9s par l'incoh\u00e9rence des p\u00e9riodes des composants et des dur\u00e9es d'\u00e9chantillonnage du signal ou par des \"sauts et des ruptures\" dans la forme d'onde. Bien entendu, les mots \"composantes r\u00e9elles\" et \"artefacts\" ne sont pas mis entre guillemets sans raison. La pr\u00e9sence de nombreuses harmoniques sur le graphique du spectre ne signifie pas que notre signal en est r\u00e9ellement constitu\u00e9. C'est comme si l'on pensait que le chiffre 7 \"se compose\" des chiffres 3 et 4. Le nombre 7 peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme la somme de 3 et 4 - c'est exact.<\/p>\n

Ainsi, notre signal... ou plut\u00f4t pas \"notre signal\", mais une fonction p\u00e9riodique compos\u00e9e par la r\u00e9p\u00e9tition de notre signal (\u00e9chantillon) peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9e comme une somme d'harmoniques (ondes sinuso\u00efdales) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est en effet possible de relier les harmoniques obtenues dans le spectre \u00e0 des processus r\u00e9els ayant un caract\u00e8re cyclique et contribuant de mani\u00e8re significative \u00e0 la forme du signal.<\/p>\n

Quelques r\u00e9sultats<\/h2>\n

1. Un signal r\u00e9el mesur\u00e9 d'une dur\u00e9e de T secondes num\u00e9ris\u00e9 par un CAN, c'est-\u00e0-dire repr\u00e9sent\u00e9 par un ensemble d'\u00e9chantillons discrets (N pi\u00e8ces), poss\u00e8de un spectre discret non p\u00e9riodique repr\u00e9sent\u00e9 par un ensemble d'harmoniques (N\/2 pi\u00e8ces).<\/p>\n

2. Le signal est repr\u00e9sent\u00e9 par un ensemble de valeurs r\u00e9elles. Son spectre DFT est un ensemble de coefficients complexes \u00e0 sym\u00e9trie conjugu\u00e9e ; \u00e0 partir de ceux-ci, on obtient le spectre d'amplitude \u2014 un ensemble d'amplitudes r\u00e9elles non n\u00e9gatives (et de phases) aux fr\u00e9quences positives, et c'est ce spectre d'amplitude unilat\u00e9ral qui est trac\u00e9 en pratique. La forme complexe bilat\u00e9rale avec fr\u00e9quences n\u00e9gatives et la forme amplitude\/phase unilat\u00e9rale sont des repr\u00e9sentations \u00e9quivalentes du m\u00eame spectre \u2014 pour l'analyse du signal, il est g\u00e9n\u00e9ralement plus pratique de travailler avec le spectre d'amplitude unilat\u00e9ral.<\/p>\n

3. Le signal mesur\u00e9 \u00e0 l'instant T n'est d\u00e9termin\u00e9 qu'\u00e0 l'instant T. Ce qui s'est pass\u00e9 avant que nous ne commencions \u00e0 mesurer le signal et ce qui se passera ensuite sont inconnus de la science. Et dans notre cas, ce n'est pas int\u00e9ressant. La FFT du signal limit\u00e9 dans le temps donne son spectre \"r\u00e9el\", en ce sens que, sous certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fr\u00e9quence de ses composantes.<\/p>\n

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Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}