{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"a-fourier-transzformacio-alkalmazasa-rezgesjelek-elemzesere","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"A Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 alkalmaz\u00e1sa rezg\u00e9sjelek elemz\u00e9s\u00e9re."},"content":{"rendered":"

A Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 alkalmaz\u00e1sa a rezg\u00e9sjelek elemz\u00e9s\u00e9ben<\/h1>\n

Andrej Shelkovenko. A Vibromera egyik fejleszt\u0151je \u00e9s alap\u00edt\u00f3ja.
\nA cikk ford\u00edt\u00e1sa pontatlans\u00e1gokat tartalmazhat.<\/p>\n

Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 \u00e9s jelspektrum<\/h2>\n

Sok esetben a spektrum<\/a> A jel feldolgoz\u00e1sa a k\u00f6vetkez\u0151k\u00e9ppen t\u00f6rt\u00e9nik. Van egy ADC, amely mintav\u00e9telez\u00e9ssel frekvencia<\/a> Az Fd a T id\u0151tartam alatt a bemenet\u00e9re \u00e9rkez\u0151 folyamatos jelet N darab digit\u00e1lis mint\u00e1v\u00e1 alak\u00edtja \u00e1t. Ezut\u00e1n ezt a mintat\u00f6mb\u00f6t tov\u00e1bb\u00edtja egy programnak (p\u00e9ld\u00e1ul FourierScope<\/a><\/span>), amely N\/2 numerikus \u00e9rt\u00e9ket ad ki.<\/p>\n

Hogy ellen\u0151rizz\u00fck, hogy a program helyesen m\u0171k\u00f6dik-e, k\u00e9pezz\u00fcnk egy mintat\u00f6mb\u00f6t k\u00e9t sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) \u00f6sszegek\u00e9nt, \u00e9s t\u00e1pl\u00e1ljuk be a programba. A program a k\u00f6vetkez\u0151ket rajzolta ki:
\n

\"Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3

1. \u00e1bra A jel id\u0151f\u00fcggv\u00e9ny\u00e9nek grafikonja<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"2.

2. \u00e1bra A jel spektrum\u00e1nak grafikonja<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

There are two felharmonikusok<\/a> a spektrumgrafikonon \u2013 5 Hz-es, 0,5 V-os amplit\u00fad\u00f3val, \u00e9s 10 Hz-es, 1 V-os amplit\u00fad\u00f3val; minden pontosan az eredeti jel k\u00e9plet\u00e9nek megfelel\u0151en alakul. Minden rendben van, a program megfelel\u0151en m\u0171k\u00f6dik.<\/p>\n

Ez azt jelenti, hogy ha k\u00e9t szinuszoid kever\u00e9k\u00e9b\u0151l \u00e1ll\u00f3 val\u00f3s jelet t\u00e1pl\u00e1lunk az ADC bemenet\u00e9re, akkor egy hasonl\u00f3, k\u00e9t felharmonikusb\u00f3l \u00e1ll\u00f3 spektrumot kapunk.<\/p>\n

Teh\u00e1t, a mi val\u00f3di <\/span><\/b><\/strong>m\u00e9rt jel 5 m\u00e1sodperces id\u0151tartam\u00fa<\/span><\/b><\/strong>, az ADC \u00e1ltal digitaliz\u00e1lva, azaz \u00e1br\u00e1zolva diszkr\u00e9ten <\/span><\/b><\/strong>mint\u00e1k, van egy diszkr\u00e9t nem periodikus <\/span><\/b><\/strong>spektrum.
\nMatematikai szempontb\u00f3l - h\u00e1ny hiba van ebben a mondatban? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Most pr\u00f3b\u00e1ljuk meg ugyanazt a jelet 0,5 m\u00e1sodpercig m\u00e9rni.<\/p>\n

\"3.

3. \u00e1bra A sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) f\u00fcggv\u00e9ny grafikonja 0,5 m\u00e1sodperces m\u00e9r\u00e9si peri\u00f3dus eset\u00e9n<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"4.

4. \u00e1bra A f\u00fcggv\u00e9ny spektruma<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Itt valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus norm\u00e1lisan kirajzol\u00f3dik, \u00e9s az 5 Hz-es felharmonikus helyett n\u00e9h\u00e1ny tiszt\u00e1zatlan felharmonikus van.<\/p>\n

Az interneten azt mondj\u00e1k, hogy a minta v\u00e9g\u00e9hez null\u00e1kat kell hozz\u00e1adni, \u00e9s a spektrum norm\u00e1lisan kirajzol\u00f3dik.<\/p>\n

\"5.

5. \u00e1bra A mint\u00e1hoz 5 m\u00e1sodpercig null\u00e1kat adtunk hozz\u00e1.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"6.

6. \u00e1bra. A kapott spektrum.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Egy\u00e1ltal\u00e1n nem err\u0151l van sz\u00f3. Az elm\u00e9lettel kell foglalkoznom. Menj\u00fcnk a wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0- a tud\u00e1s forr\u00e1sa.<\/p>\n

Folyamatos f\u00fcggv\u00e9ny \u00e9s Fourier-soros \u00e1br\u00e1zol\u00e1sa<\/h2>\n

Matematikailag a T m\u00e1sodperces id\u0151tartam\u00fa jel\u00fcnk egy f(x) f\u00fcggv\u00e9ny, amely a {0, T} intervallumon van megadva (X ebben az esetben az id\u0151). Egy ilyen f\u00fcggv\u00e9ny mindig \u00e1br\u00e1zolhat\u00f3 harmonikus f\u00fcggv\u00e9nyek (szinusz vagy koszinusz) \u00f6sszegek\u00e9nt:<\/p>\n

\"Folyamatos

\u00a0(1), ahol:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k a trigonometrikus f\u00fcggv\u00e9ny sz\u00e1ma ( a harmonikus komponens sz\u00e1ma, a harmonikus sz\u00e1ma)
\nT - szegmens, ahol a f\u00fcggv\u00e9nyt defini\u00e1lj\u00e1k (a jel id\u0151tartama)
\nAk- a k-adik harmonikus komponens amplit\u00fad\u00f3ja,
\n\u03b8k- a k-edik harmonikus komponens kezdeti f\u00e1zisa
\nMit jelent az, hogy “a f\u00fcggv\u00e9nyt a sorozatok \u00f6sszegek\u00e9nt \u00e1br\u00e1zoljuk”? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sorozat harmonikus komponenseinek \u00e9rt\u00e9keit minden egyes pontban \u00f6sszeadva megkapjuk a f\u00fcggv\u00e9ny\u00fcnk \u00e9rt\u00e9k\u00e9t az adott pontban.
\n(Sz\u0171kebb \u00e9rtelemben a sorozat f(x) f\u00fcggv\u00e9nyt\u0151l val\u00f3 \u00e1tlagos n\u00e9gyzetes elt\u00e9r\u00e9se null\u00e1hoz fog tend\u00e1lni, de az \u00e1tlagos n\u00e9gyzetes konvergencia ellen\u00e9re egy f\u00fcggv\u00e9ny Fourier-sorozat\u00e1nak \u00e1ltal\u00e1ban nem kell pontr\u00f3l pontra konverg\u00e1lnia hozz\u00e1. )
\nEz a sorozat a k\u00f6vetkez\u0151 form\u00e1ban is le\u00edrhat\u00f3:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

ahol \"Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 , a k-adik komplex amplit\u00fad\u00f3.<\/p>\n

 <\/p>\n

vagy<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Az (1) \u00e9s (3) egy\u00fctthat\u00f3k k\u00f6z\u00f6tti kapcsolatot a k\u00f6vetkez\u0151 k\u00e9pletek fejezik ki:<\/p>\n

\"A<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fourier-sor<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Vegy\u00fck \u00e9szre, hogy a Fourier-sor mindh\u00e1rom \u00e1br\u00e1zol\u00e1sa teljesen egyen\u00e9rt\u00e9k\u0171. A Fourier-sorokkal v\u00e9gzett munka sor\u00e1n n\u00e9ha k\u00e9nyelmesebb a k\u00e9pzetes argumentum\u00fa exponenseket haszn\u00e1lni szinuszok \u00e9s koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 komplex alakj\u00e1t alkalmazni. Sz\u00e1munkra azonban k\u00e9nyelmes a (1) k\u00e9plet haszn\u00e1lata, ahol a Fourier-sor a megfelel\u0151 amplit\u00fad\u00f3j\u00fa \u00e9s f\u00e1zis\u00fa koszinuszok \u00f6sszegek\u00e9nt szerepel. Szigor\u00faan v\u00e9ve egy val\u00f3s jel Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3ja val\u00f3ban komplex egy\u00fctthat\u00f3kat ad (3. alak): minden egy\u00fctthat\u00f3 hordozza a saj\u00e1t harmonikus\u00e1nak amplit\u00fad\u00f3j\u00e1t \u00e9s f\u00e1zis\u00e1t. Val\u00f3s jel eset\u00e9n ezek a komplex egy\u00fctthat\u00f3k konjug\u00e1lt (Hermit-f\u00e9le) szimmetri\u00e1val rendelkeznek \u2014 a negat\u00edv frekvenci\u00e1s f\u00e9l egyszer\u0171en t\u00fckr\u00f6zi a pozit\u00edv frekvenci\u00e1s felet, \u00e9s nem hordoz t\u00f6bbletinform\u00e1ci\u00f3t. Ez\u00e9rt a komplex egy\u00fctthat\u00f3kb\u00f3l mindig \u00e1t lehet t\u00e9rni az (1) k\u00e9plet val\u00f3s, nem negat\u00edv Ak amplit\u00fad\u00f3ira \u00e9s \u03b8k f\u00e1zisaira \u2014 \u00e9s pontosan ezt az amplit\u00fad\u00f3spektrumot \u00e1br\u00e1zolj\u00e1k az elemz\u0151programok.<\/p>\n

 <\/p>\n

A l\u00e9nyeg:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>A jelek spektr\u00e1lis elemz\u00e9s\u00e9nek matematikai alapja a Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>A Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 lehet\u0151v\u00e9 teszi, hogy a {0, T} intervallumon defini\u00e1lt f(x) folytonos f\u00fcggv\u00e9nyt (jelet) a szint\u00e9n a {0, T} intervallumon meghat\u00e1rozott amplit\u00fad\u00f3val \u00e9s f\u00e1zissal rendelkez\u0151, v\u00e9gtelen sz\u00e1m\u00fa (v\u00e9gtelen sorozat) trigonometrikus f\u00fcggv\u00e9ny (szinusz \u00e9s\/vagy koszinusz) \u00f6sszegek\u00e9nt \u00e1br\u00e1zoljuk. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezz\u00fck.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Megjegyz\u00fcnk m\u00e9g n\u00e9h\u00e1ny pontot, amelyek meg\u00e9rt\u00e9se sz\u00fcks\u00e9ges a Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 helyes alkalmaz\u00e1s\u00e1hoz a jelelemz\u00e9sben. Ha a Fourier-sorozatot (szinuszok \u00f6sszeg\u00e9t) a teljes X-tengelyen vizsg\u00e1ljuk, akkor azt l\u00e1tjuk, hogy a {0, T} intervallumon k\u00edv\u00fcl a Fourier-sorozat f\u00fcggv\u00e9nye periodikusan ism\u00e9tli a f\u00fcggv\u00e9ny\u00fcnket.<\/p>\n

P\u00e9ld\u00e1ul a 7. \u00e1br\u00e1n l\u00e1that\u00f3 grafikonon az eredeti f\u00fcggv\u00e9nyt a {-T\\2, +T\\2} intervallumon defini\u00e1ljuk, \u00e9s a Fourier-sorozat egy periodikus f\u00fcggv\u00e9nyt reprezent\u00e1l, amelyet a teljes x-tengelyen defini\u00e1lunk.<\/p>\n

Ez az\u00e9rt van \u00edgy, mert maguk a szinuszoidok periodikus f\u00fcggv\u00e9nyek, \u00edgy \u00f6sszeg\u00fck is periodikus f\u00fcggv\u00e9ny lesz.<\/p>\n

\"7.

7. \u00e1bra Egy nem periodikus forr\u00e1sf\u00fcggv\u00e9ny \u00e1br\u00e1zol\u00e1sa Fourier-sorozattal<\/p><\/div>\n

\u00cdgy:<\/p>\n

Az eredeti f\u00fcggv\u00e9ny\u00fcnk egy folytonos, nem periodikus f\u00fcggv\u00e9ny, amelyet egy T hossz\u00fas\u00e1g\u00fa szakaszon defini\u00e1lunk.
\nEnnek a f\u00fcggv\u00e9nynek a spektruma diszkr\u00e9t, azaz harmonikus \u00f6sszetev\u0151k v\u00e9gtelen sorozatak\u00e9nt - Fourier-sorozatk\u00e9nt - jelenik meg.
\nVal\u00f3j\u00e1ban a Fourier-sorok defini\u00e1lnak egy periodikus f\u00fcggv\u00e9nyt, amely egybeesik a mi f\u00fcggv\u00e9ny\u00fcnkkel a {0, T} intervallumon, de sz\u00e1munkra ez a periodicit\u00e1s nem l\u00e9nyeges.<\/p>\n

K\u00f6vetkez\u0151.<\/p>\n

A harmonikus komponensek peri\u00f3dusai a {0, T} intervallum t\u00f6bbsz\u00f6r\u00f6sei, amelyen a kezdeti f(x) f\u00fcggv\u00e9nyt defini\u00e1ljuk. M\u00e1s sz\u00f3val, a harmonikusok peri\u00f3dusai a jelm\u00e9r\u00e9s id\u0151tartam\u00e1nak t\u00f6bbsz\u00f6r\u00f6sei. P\u00e9ld\u00e1ul egy Fourier-sorozat els\u0151 harmonikus\u00e1nak peri\u00f3dusa egyenl\u0151 azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) f\u00fcggv\u00e9nyt defini\u00e1lt\u00e1k. A Fourier-sorozat m\u00e1sodik harmonikus\u00e1nak peri\u00f3dusa egyenl\u0151 a T\/2 intervallummal. \u00c9s \u00edgy tov\u00e1bb (l\u00e1sd a 8. \u00e1br\u00e1t).<\/p>\n

\"8.

8. \u00e1bra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek peri\u00f3dusai (frekvenci\u00e1i) (itt T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

Ennek megfelel\u0151en a harmonikus komponensek frekvenci\u00e1i az 1\/T t\u00f6bbsz\u00f6r\u00f6sei. Vagyis az Fk harmonikus komponensek frekvenci\u00e1ja Fk= k\\T, ahol k 0-t\u00f3l \u221e-ig terjed, p\u00e9ld\u00e1ul k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;..... Fk= k\\T (nulla frekvenci\u00e1n, \u00e1lland\u00f3 komponens).<\/p>\n

Legyen a kezdeti f\u00fcggv\u00e9ny\u00fcnk egy T=1 sec alatt r\u00f6gz\u00edtett jel. Ekkor az els\u0151 harmonikus peri\u00f3dusa megegyezik a T1=T=1 sec jel\u00fcnk id\u0151tartam\u00e1val, a harmonikus frekvenci\u00e1ja pedig 1 Hz. A m\u00e1sodik harmonikus peri\u00f3dusa egyenl\u0151 lesz a jel\u00fcnk id\u0151tartam\u00e1val osztva 2-vel (T2=T\/2=0,5 sec), \u00e9s a frekvencia 2 Hz. A harmadik harmonikus eset\u00e9ben T3=T\/3 sec, \u00e9s a frekvencia 3 Hz. \u00c9s \u00edgy tov\u00e1bb.<\/p>\n

A harmonikusok k\u00f6z\u00f6tti l\u00e9p\u00e9s ebben az esetben 1 Hz.<\/p>\n

\u00cdgy egy 1 m\u00e1sodperces id\u0151tartam\u00fa jel 1 Hz-es frekvenciafelbont\u00e1ssal harmonikus \u00f6sszetev\u0151kre bonthat\u00f3 (spektrumot kapunk).
\nAhhoz, hogy a felbont\u00e1st k\u00e9tszeres\u00e9re, 0,5 Hz-re n\u00f6velj\u00fck, a m\u00e9r\u00e9s id\u0151tartam\u00e1t is k\u00e9tszeres\u00e9re, 2 m\u00e1sodpercre kell n\u00f6velni. Egy 10 m\u00e1sodperces jel 0,1 Hz-es frekvenciafelbont\u00e1ssal harmonikus komponensekre (spektrumra) bonthat\u00f3. A frekvenciafelbont\u00e1s n\u00f6vel\u00e9s\u00e9re nincs m\u00e1s m\u00f3dszer. Ezt az \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9st a mi FFT felbont\u00e1s kalkul\u00e1tor<\/a>.<\/p>\n

A jel id\u0151tartam\u00e1t mesters\u00e9gesen megn\u00f6velhetj\u00fck \u00fagy, hogy null\u00e1kat adunk hozz\u00e1 a mint\u00e1k sor\u00e1hoz. Ez azonban nem n\u00f6veli a val\u00f3s frekvenciafelbont\u00e1st.<\/p>\n

Diszkr\u00e9t jelek \u00e9s diszkr\u00e9t Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3<\/h2>\n

A digit\u00e1lis technol\u00f3gia fejl\u0151d\u00e9s\u00e9vel a m\u00e9r\u00e9si adatok (jelek) t\u00e1rol\u00e1s\u00e1nak m\u00f3dja megv\u00e1ltozott. M\u00edg kor\u00e1bban egy jelet magn\u00f3szalagra lehetett r\u00f6gz\u00edteni \u00e9s anal\u00f3g form\u00e1ban szalagon t\u00e1rolni, ma m\u00e1r a jeleket digitaliz\u00e1lj\u00e1k \u00e9s sz\u00e1mok (mintav\u00e9teli \u00e9rt\u00e9kek) halmazak\u00e9nt f\u00e1jlokban t\u00e1rolj\u00e1k a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p mem\u00f3ri\u00e1j\u00e1ban.<\/p>\n

A jelm\u00e9r\u00e9s \u00e9s a digitaliz\u00e1l\u00e1s szok\u00e1sos s\u00e9m\u00e1ja a k\u00f6vetkez\u0151k\u00e9ppen n\u00e9z ki.<\/p>\n

M\u00e9r\u0151\u00e1talak\u00edt\u00f3 -- Jel normaliz\u00e1l\u00f3 -- ADC -- Sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p
\n(9. \u00e1bra A m\u00e9r\u0151csatorna v\u00e1zlata)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

A m\u00e9r\u0151\u00e1talak\u00edt\u00f3b\u00f3l \u00e9rkez\u0151 jel T ideig az ADC-be ker\u00fcl. A T id\u0151 alatt kapott jel\u00e9rt\u00e9keket (mintav\u00e9telez\u00e9s) a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pbe tov\u00e1bb\u00edtj\u00e1k, \u00e9s a mem\u00f3ri\u00e1ban t\u00e1rolj\u00e1k.<\/p>\n

\"10.

10. \u00e1bra Digitaliz\u00e1lt jel - N minta a T id\u0151 alatt<\/p><\/div>\n

Milyen k\u00f6vetelm\u00e9nyek vonatkoznak a jel digitaliz\u00e1l\u00e1si param\u00e9tereire? A bemeneti anal\u00f3g jelet diszkr\u00e9t k\u00f3dd\u00e1 (digit\u00e1lis jell\u00e9) alak\u00edt\u00f3 eszk\u00f6zt anal\u00f3g-digit\u00e1lis \u00e1talak\u00edt\u00f3nak (ADC) nevezz\u00fck (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

Az ADC egyik alapvet\u0151 param\u00e9tere a maxim\u00e1lis mintav\u00e9teli sebess\u00e9g - az id\u0151ben folyamatos jel mintav\u00e9telez\u00e9s\u00e9nek gyakoris\u00e1ga. A mintav\u00e9teli sebess\u00e9get hertzben m\u00e9rik. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals\u00a0\u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd \u2265 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.<\/p>\n

\u00c9s mi t\u00f6rt\u00e9nik, ha a Kotelnyikov-t\u00e9tel \u00e1ltal el\u0151\u00edrtn\u00e1l kisebb frekvenci\u00e1val vesz\u00fcnk mint\u00e1t?<\/p>\n

Ebben az esetben van egy \u201ealiasing<\/a>Ebben az esetben \"aliasing\" hat\u00e1s (m\u00e1s n\u00e9ven stroboszk\u00f3pikus hat\u00e1s, moir\u00e9 hat\u00e1s) l\u00e9p fel, amelyben a magas frekvenci\u00e1j\u00fa jel a digitaliz\u00e1l\u00e1s ut\u00e1n olyan alacsony frekvenci\u00e1j\u00fa jell\u00e9 alakul \u00e1t, amely val\u00f3j\u00e1ban nem is l\u00e9tezik. A 11. \u00e1br\u00e1n a magas frekvenci\u00e1j\u00fa piros szinuszhull\u00e1m a val\u00f3di jel. Az alacsonyabb frekvenci\u00e1j\u00fa k\u00e9k szinuszhull\u00e1m egy fikt\u00edv jel, amely az\u00e9rt keletkezik, mert a mintav\u00e9telez\u00e9si id\u0151 alatt a nagyfrekvenci\u00e1s jelnek t\u00f6bb mint f\u00e9l peri\u00f3dusa van ideje eltelni.<\/p>\n

\"11.

11. \u00e1bra. Alacsony frekvenci\u00e1j\u00fa zavar\u00f3 jel megjelen\u00e9se nem megfelel\u0151en magas mintav\u00e9teli frekvencia eset\u00e9n<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Az aliasing-hat\u00e1s elker\u00fcl\u00e9se \u00e9rdek\u00e9ben egy speci\u00e1lis anti-alias sz\u0171r\u0151 (alul\u00e1tereszt\u0151 sz\u0171r\u0151<\/a>) az ADC el\u00e9 van helyezve. Ez \u00e1tengedi az ADC mintav\u00e9teli frekvenci\u00e1j\u00e1nak fel\u00e9n\u00e9l alacsonyabb frekvenci\u00e1kat, a magasabbakat pedig kisz\u0171ri.<\/p>\n

A jel spektrum\u00e1nak a diszkr\u00e9t mint\u00e1k alapj\u00e1n t\u00f6rt\u00e9n\u0151 kisz\u00e1m\u00edt\u00e1s\u00e1hoz a diszkr\u00e9t Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 (DFT)<\/a> haszn\u00e1ljuk. Ism\u00e9telten megjegyezz\u00fck, hogy egy diszkr\u00e9t jel spektruma \u201edefin\u00edci\u00f3 szerint\u201d egy Fmax frekvenci\u00e1ra korl\u00e1toz\u00f3dik, amely kisebb, mint a mintav\u00e9teli frekvencia Fd fele. Ez\u00e9rt egy diszkr\u00e9t jel spektruma a k\u00f6vetkez\u0151 \u00f6sszeggel \u00e1br\u00e1zolhat\u00f3 egy v\u00e9ges <\/u>felharmonikusok sz\u00e1ma, ellent\u00e9tben egy folytonos jel Fourier-sorozat\u00e1nak v\u00e9gtelen \u00f6sszeg\u00e9vel, amelynek spektruma korl\u00e1tlan lehet. Kotelnyikov t\u00e9tele szerint egy felharmonikus maxim\u00e1lis frekvenci\u00e1j\u00e1nak olyannak kell lennie, hogy legal\u00e1bb k\u00e9t mint\u00e1t tegyen ki, \u00edgy a felharmonikusok sz\u00e1ma megegyezik a diszkr\u00e9t jel mint\u00e1inak fel\u00e9vel. Vagyis ha a mint\u00e1ban N minta van, akkor a spektrumban a felharmonikusok sz\u00e1ma N\/2 lesz.<\/p>\n

Tekints\u00fck most a diszkr\u00e9t Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3t (DFT).<\/p>\n

\"Diszkr\u00e9t<\/p>\n

\u00d6sszehasonl\u00edtva a Fourier-sorozattal<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Diszkr\u00e9t<\/p>\n

Amint l\u00e1thatjuk, egybeesnek, kiv\u00e9ve azt a t\u00e9nyt, hogy az FFT-ben az id\u0151 diszkr\u00e9t, \u00e9s a felharmonikusok sz\u00e1ma N\/2-re korl\u00e1toz\u00f3dik, ami a mint\u00e1k sz\u00e1m\u00e1nak fele.<\/p>\n

A DFT-k\u00e9pleteket dimenzi\u00f3tlan eg\u00e9sz sz\u00e1m\u00fa k, s v\u00e1ltoz\u00f3kban \u00edrjuk fel, ahol k a jelmint\u00e1k sz\u00e1ma, s a spektr\u00e1lis komponensek sz\u00e1ma.
\nAz s \u00e9rt\u00e9k a teljes harmonikus rezg\u00e9sek sz\u00e1m\u00e1t mutatja T peri\u00f3dusonk\u00e9nt (a jelm\u00e9r\u00e9s id\u0151tartama). A diszkr\u00e9t Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3t a harmonikusok amplit\u00fad\u00f3inak \u00e9s f\u00e1zisainak numerikusan, azaz \"a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pen\" t\u00f6rt\u00e9n\u0151 meghat\u00e1roz\u00e1s\u00e1ra haszn\u00e1lj\u00e1k.<\/p>\n

Mint fentebb m\u00e1r eml\u00edtett\u00fck, amikor egy nem periodikus f\u00fcggv\u00e9nyt (a jel\u00fcnket) Fourier-sorozatokra bontunk, az \u00edgy kapott Fourier-sorozat val\u00f3j\u00e1ban egy T peri\u00f3dus\u00fa periodikus f\u00fcggv\u00e9nynek felel meg (12. \u00e1bra).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"12.

12. \u00e1bra. Periodikus f(x) f\u00fcggv\u00e9ny T0 peri\u00f3dussal, T>T0 peri\u00f3dussal<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Amint az a 12. \u00e1br\u00e1n l\u00e1that\u00f3, az f(x) f\u00fcggv\u00e9ny T\u2080 peri\u00f3dussal periodikus. Mivel azonban a m\u00e9r\u00e9si minta hossza T nem egyezik meg a f\u00fcggv\u00e9ny peri\u00f3dus\u00e1val T\u2080, a Fourier-sorozatk\u00e9nt kapott f\u00fcggv\u00e9nynek a T pontban van folytonoss\u00e1gi hi\u00e1nya. Ennek k\u00f6vetkezt\u00e9ben a f\u00fcggv\u00e9ny spektruma nagysz\u00e1m\u00fa magas frekvenci\u00e1j\u00fa harmonik\u00e1t fog tartalmazni. Ezt a jelens\u00e9get spektr\u00e1lis sziv\u00e1rg\u00e1s<\/a>, \u00e9s a gyakorlatban ezt cs\u00f6kkentj\u00fck ablakoz\u00e1s<\/a> a transzform\u00e1ci\u00f3 el\u0151tti jel. Ha a T m\u00e9r\u00e9si minta id\u0151tartama egybeesett a T0 f\u00fcggv\u00e9ny peri\u00f3dus\u00e1val, akkor a Fourier-transzform\u00e1ci\u00f3 ut\u00e1n kapott spektrum csak az els\u0151 harmonik\u00e1t tartalmazn\u00e1 (egy olyan szinuszg\u00f6rb\u00e9t, amelynek peri\u00f3dusa megegyezik a minta id\u0151tartam\u00e1val), mivel az f(x) f\u00fcggv\u00e9ny szinuszg\u00f6rbe.<\/p>\n

M\u00e1s sz\u00f3val, a DFT program \"nem tudja\", hogy a jel\u00fcnk egy \"szinuszhull\u00e1m szelete\", hanem megpr\u00f3b\u00e1l egy periodikus f\u00fcggv\u00e9nyt sorozatban \u00e1br\u00e1zolni, amely a szinuszhull\u00e1m k\u00fcl\u00f6n\u00e1ll\u00f3 darabjainak szakadozotts\u00e1ga miatt diszkontinuit\u00e1st mutat.<\/p>\n

Ennek eredm\u00e9nyek\u00e9ppen a spektrumban harmonikusok jelennek meg, amelyeknek \u00f6sszess\u00e9g\u00e9ben a f\u00fcggv\u00e9ny alakj\u00e1t kell reprezent\u00e1lniuk, bele\u00e9rtve ezt a diszkontinuit\u00e1st is.<\/p>\n

\u00cdgy ahhoz, hogy egy olyan jel \"helyes\" spektrum\u00e1t kapjuk, amely t\u00f6bb k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 peri\u00f3dus\u00fa szinuszoid \u00f6sszeg\u00e9b\u0151l \u00e1ll, sz\u00fcks\u00e9ges, hogy egy eg\u00e9sz sz\u00e1m\u00fa peri\u00f3dusa <\/u>minden egyes szinusznak jelen kell lennie a jel m\u00e9r\u00e9si peri\u00f3dus\u00e1ban. A gyakorlatban ez a felt\u00e9tel a jelm\u00e9r\u00e9s kell\u0151en hossz\u00fa id\u0151tartam\u00e1val teljes\u00edthet\u0151.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"13.

13. \u00e1bra P\u00e9lda egy sebess\u00e9gv\u00e1lt\u00f3 kinematikai hibajelf\u00fcggv\u00e9ny\u00e9re \u00e9s spektrum\u00e1ra<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

R\u00f6videbb id\u0151tartamn\u00e1l a k\u00e9p \"rosszabbul\" fog kin\u00e9zni:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"14.

14. \u00e1bra P\u00e9lda a rotor rezg\u00e9si f\u00fcggv\u00e9ny\u00e9re \u00e9s spektrum\u00e1ra<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

A gyakorlatban neh\u00e9z lehet meg\u00e9rteni, hogy hol vannak a \"val\u00f3di komponensek\" \u00e9s hol a \"m\u0171term\u00e9kek\", amelyeket a komponensek peri\u00f3dusainak \u00e9s a jel mintav\u00e9telez\u00e9si id\u0151tartam\u00e1nak k\u00f6vetkezetlens\u00e9ge vagy a hull\u00e1mforma \"ugr\u00e1sai \u00e9s sz\u00fcnetei\" okoznak. Term\u00e9szetesen a \"val\u00f3di komponensek\" \u00e9s a \"m\u0171term\u00e9kek\" szavak nem v\u00e9letlen\u00fcl vannak id\u00e9z\u0151jelben. A sok felharmonikus jelenl\u00e9te a spektrumgrafikonon nem jelenti azt, hogy a jel\u00fcnk val\u00f3ban ezekb\u0151l \u00e1ll. Ez olyan, mintha azt gondoln\u00e1nk, hogy a 7-es sz\u00e1m a 3-as \u00e9s 4-es sz\u00e1mokb\u00f3l \"\u00e1ll\". A 7-es sz\u00e1mot a 3 \u00e9s a 4 \u00f6sszegek\u00e9nt lehet elk\u00e9pzelni - ez \u00edgy van rendj\u00e9n.<\/p>\n

Teh\u00e1t a jel\u00fcnk is... vagy ink\u00e1bb nem is \"a mi jel\u00fcnk\", hanem a jel\u00fcnk (mint\u00e1nk) ism\u00e9tl\u00e9s\u00e9b\u0151l \u00f6ssze\u00e1ll\u00edtott periodikus f\u00fcggv\u00e9ny bizonyos amplit\u00fad\u00f3kkal \u00e9s f\u00e1zisokkal rendelkez\u0151 felharmonikusok (szinuszok) \u00f6sszegek\u00e9nt \u00e1br\u00e1zolhat\u00f3. De sok, a gyakorlat szempontj\u00e1b\u00f3l fontos esetben (l\u00e1sd a fenti \u00e1br\u00e1kat) val\u00f3ban lehets\u00e9ges a spektrumban kapott felharmonikusokat a jel alakj\u00e1hoz jelent\u0151sen hozz\u00e1j\u00e1rul\u00f3, ciklikus jelleg\u0171 val\u00f3s folyamatokhoz is kapcsolni.<\/p>\n

N\u00e9h\u00e1ny eredm\u00e9ny<\/h2>\n

1. A T m\u00e1sodperces id\u0151tartam\u00fa, ADC \u00e1ltal digitaliz\u00e1lt, azaz diszkr\u00e9t mint\u00e1k (N darab) \u00e1ltal reprezent\u00e1lt val\u00f3s m\u00e9rt jelnek van egy diszkr\u00e9t, nem periodikus spektruma, amelyet a harmonikusok (N\/2 darab) halmaza reprezent\u00e1l.<\/p>\n

2. A jelet val\u00f3s \u00e9rt\u00e9kek halmaza reprezent\u00e1lja. A DFT-spektruma konjug\u00e1lt szimmetri\u00e1j\u00fa komplex egy\u00fctthat\u00f3k halmaza; ezekb\u0151l \u00e1ll el\u0151 az amplit\u00fad\u00f3spektrum \u2014 a pozit\u00edv frekvenci\u00e1khoz tartoz\u00f3 val\u00f3s, nem negat\u00edv amplit\u00fad\u00f3k (\u00e9s f\u00e1zisok) halmaza, \u00e9s a gyakorlatban ezt az egyoldalas amplit\u00fad\u00f3spektrumot \u00e1br\u00e1zolj\u00e1k. A negat\u00edv frekvenci\u00e1kat is tartalmaz\u00f3 k\u00e9toldalas komplex alak \u00e9s az egyoldalas amplit\u00fad\u00f3-\/f\u00e1zisalak ugyanannak a spektrumnak egyen\u00e9rt\u00e9k\u0171 reprezent\u00e1ci\u00f3i \u2014 jelelemz\u00e9shez \u00e1ltal\u00e1ban k\u00e9nyelmesebb az egyoldalas amplit\u00fad\u00f3spektrummal dolgozni.<\/p>\n

3. A T id\u0151pontban m\u00e9rt jelet csak a T id\u0151pontban hat\u00e1rozzuk meg. Hogy mi t\u00f6rt\u00e9nt a jel m\u00e9r\u00e9se el\u0151tt, \u00e9s mi fog t\u00f6rt\u00e9nni ut\u00e1na, azt a tudom\u00e1ny nem ismeri. \u00c9s a mi eset\u00fcnkben nem is \u00e9rdekes. Az id\u0151ben korl\u00e1tozott jel FFT-je megadja annak \"val\u00f3di\" spektrum\u00e1t, abban az \u00e9rtelemben, hogy bizonyos felt\u00e9telek mellett lehet\u0151v\u00e9 teszi az \u00f6sszetev\u0151k amplit\u00fad\u00f3j\u00e1nak \u00e9s frekvenci\u00e1j\u00e1nak kisz\u00e1m\u00edt\u00e1s\u00e1t.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/hu\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"munkaf\u00fczet","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}