Per verificare se il programma funziona correttamente, formiamo una matrice di campioni come somma di due sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) e la inseriamo nel programma. Il programma ha disegnato quanto segue:
\n
![\"Trasformata](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 Il grafico della funzione temporale del segnale<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 Il grafico dello spettro del segnale<\/p><\/div>\n <\/p>\n There are two armoniche<\/a> nel grafico dello spettro \u2013 5 Hz con un'ampiezza di 0,5 V e 10 Hz con un'ampiezza di 1 V, tutto corrisponde alla formula del segnale originale. Va tutto bene, il programma funziona correttamente.<\/p>\n Ci\u00f2 significa che se alimentiamo un segnale reale di una miscela di due sinusoidi all'ingresso dell'ADC, otterremo uno spettro simile costituito da due armoniche.<\/p>\n Quindi, il nostro reale <\/span><\/b><\/strong>segnale misurato della durata di 5 secondi<\/span><\/b><\/strong>, digitalizzata dall'ADC, cio\u00e8 rappresentata da discreto <\/span><\/b><\/strong>campioni, ha un discreto non periodico <\/span><\/b><\/strong>spettro. Ora proviamo a misurare lo stesso segnale per 0,5 secondi.<\/p>\n Fig.3 Il grafico della funzione sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) per un periodo di misura di 0,5 sec.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Spettro della funzione<\/p><\/div>\n <\/p>\n Qui c'\u00e8 qualcosa di sbagliato! L'armonica a 10 Hz viene disegnata normalmente, mentre al posto dell'armonica a 5 Hz ci sono alcune armoniche poco chiare.<\/p>\n Su Internet si dice che \u00e8 necessario aggiungere degli zeri alla fine del campione e lo spettro verr\u00e0 disegnato normalmente.<\/p>\n Fig.5 Abbiamo aggiunto zeri al campione fino a 5 sec.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Spettro ottenuto.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Non \u00e8 affatto cos\u00ec. Dovr\u00f2 occuparmi della teoria. Andiamo a Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0- la fonte della conoscenza.<\/p>\n Matematicamente, il nostro segnale con durata T secondi \u00e8 una funzione f(x) data sull'intervallo {0, T} (X in questo caso \u00e8 il tempo). Tale funzione pu\u00f2 sempre essere rappresentata come una somma di funzioni armoniche (seno o coseno) della forma:<\/p>\n \u00a0(1), dove:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k \u00e8 il numero della funzione trigonometrica (il numero della componente armonica, il numero dell'armonica) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n dove <\/p>\n o<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n La relazione tra i coefficienti (1) e (3) \u00e8 espressa dalle seguenti formule:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Si noti che tutte e tre queste rappresentazioni della serie di Fourier sono perfettamente equivalenti. Talvolta, lavorando con le serie di Fourier, \u00e8 pi\u00f9 comodo usare esponenti con argomento immaginario invece di seni e coseni, cio\u00e8 utilizzare la trasformata di Fourier in forma complessa. Per noi, per\u00f2, \u00e8 comodo usare la formula (1), in cui la serie di Fourier \u00e8 rappresentata come somma di coseni con le corrispondenti ampiezze e fasi. A rigore, la trasformata di Fourier di un segnale reale produce coefficienti complessi (forma (3)): ogni coefficiente contiene sia l'ampiezza sia la fase della sua armonica. Per un segnale reale questi coefficienti complessi presentano simmetria coniugata (ermitiana) \u2014 la met\u00e0 a frequenze negative rispecchia semplicemente quella a frequenze positive e non contiene informazioni aggiuntive. Per questo, dai coefficienti complessi possiamo sempre passare alle ampiezze reali non negative Ak e alle fasi \u03b8k della formula (1) \u2014 ed \u00e8 proprio questo spettro di ampiezza che i programmi di analisi rappresentano graficamente.<\/p>\n <\/p>\n In conclusione:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Si notino ancora alcuni punti, la cui comprensione \u00e8 necessaria per una corretta applicazione della trasformata di Fourier all'analisi dei segnali. Se consideriamo la serie di Fourier (somma di sinusoidi) sull'intero asse X, vedremo che al di fuori dell'intervallo {0, T} la funzione della serie di Fourier ripeter\u00e0 periodicamente la nostra funzione.<\/p>\n Ad esempio, nel grafico di Fig. 7, la funzione originale \u00e8 definita sull'intervallo {-T\\2, +T\\2} e la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica definita sull'intero asse delle ascisse.<\/p>\n Questo perch\u00e9 le sinusoidi stesse sono funzioni periodiche, quindi anche la loro somma sar\u00e0 una funzione periodica.<\/p>\n Figura 7 Rappresentazione di una funzione sorgente non periodica mediante una serie di Fourier<\/p><\/div>\n Cos\u00ec:<\/p>\n La nostra funzione originaria \u00e8 una funzione continua e non periodica definita su un segmento di lunghezza T. Il prossimo.<\/p>\n I periodi delle componenti armoniche sono multipli dell'intervallo {0, T}, su cui \u00e8 definita la funzione iniziale f(x). In altre parole, i periodi delle armoniche sono multipli della durata della misura del segnale. Ad esempio, il periodo della prima armonica in una serie di Fourier \u00e8 uguale all'intervallo T in cui \u00e8 definita la funzione f(x). Il periodo della seconda armonica in una serie di Fourier \u00e8 uguale all'intervallo T\/2. E cos\u00ec via (si veda la Figura 8).<\/p>\n Fig. 8 Periodi (frequenze) delle componenti armoniche della serie di Fourier (qui T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Di conseguenza, le frequenze delle componenti armoniche sono multipli di 1\/T. Cio\u00e8, le frequenze delle componenti armoniche Fk sono Fk= k\\T, dove k assume valori da 0 a \u221e, ad esempio, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (a frequenza zero, una componente costante).<\/p>\n Sia la nostra funzione iniziale un segnale registrato durante T=1 sec. Il periodo della prima armonica sar\u00e0 pari alla durata del nostro segnale T1=T=1 sec. e la frequenza dell'armonica sar\u00e0 pari a 1 Hz. Il periodo della seconda armonica sar\u00e0 pari alla durata del nostro segnale diviso per 2 (T2=T\/2=0,5 sec.) e la frequenza \u00e8 pari a 2 Hz. Per la terza armonica, T3=T\/3 sec. e la frequenza \u00e8 di 3 Hz. E cos\u00ec via.<\/p>\n Il passo tra le armoniche in questo caso \u00e8 di 1 Hz.<\/p>\n Pertanto, un segnale della durata di 1 secondo pu\u00f2 essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 1 Hz. Esiste un modo per aumentare artificialmente la durata del segnale aggiungendo zeri all'array di campioni. Ma questo non aumenta la risoluzione della frequenza reale.<\/p>\n Con lo sviluppo della tecnologia digitale sono cambiate le modalit\u00e0 di memorizzazione dei dati di misura (segnali). Mentre prima un segnale poteva essere registrato su un registratore e memorizzato su un nastro in forma analogica, ora i segnali sono digitalizzati e memorizzati in file nella memoria di un computer come un insieme di numeri (conteggi).<\/p>\n Lo schema usuale di misurazione e digitalizzazione del segnale \u00e8 il seguente.<\/p>\n Trasduttore di misura -- Normalizzatore di segnale -- ADC -- Computer <\/span><\/i><\/em><\/p>\n Il segnale proveniente dal trasduttore di misura passa all'ADC per un periodo di tempo T. Le letture del segnale (campionamento) ricevute durante il tempo T vengono trasmesse al computer e salvate nella memoria.<\/p>\n Fig.10 Segnale digitalizzato – N campioni ricevuti per il tempo T<\/p><\/div>\n Quali sono i requisiti dei parametri di digitalizzazione del segnale? Un dispositivo che converte il segnale analogico in ingresso in un codice discreto (segnale digitale) \u00e8 chiamato convertitore analogico-digitale (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Uno dei parametri fondamentali dell'ADC \u00e8 la frequenza di campionamento massima, ovvero la frequenza di campionamento di un segnale continuo nel tempo. La frequenza di campionamento si misura in hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Secondo il teorema di Kotelnikov, se un segnale continuo ha uno spettro limitato dalla frequenza Fmax, pu\u00f2 essere ricostruito completamente e univocamente dai suoi campioni discreti prelevati a intervalli di tempo \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), cio\u00e8 con una frequenza di campionamento Fd \u2265 2*Fmax, dove Fd \u00e8 la frequenza di campionamento e Fmax \u00e8 la frequenza massima dello spettro del segnale. In altre parole, la frequenza di digitalizzazione del segnale (frequenza di campionamento dell\u2019ADC) deve essere almeno doppia rispetto alla frequenza massima del segnale che vogliamo misurare.<\/p>\n E cosa succede se prendiamo campioni con una frequenza inferiore a quella richiesta dal teorema di Kotelnikov?<\/p>\n In questo caso c'\u00e8 un \u201caliasing<\/a>In questo caso si verifica un effetto \"aliasing\" (anche detto effetto stroboscopico, effetto moir\u00e9), in cui un segnale ad alta frequenza dopo la digitalizzazione si trasforma in un segnale a bassa frequenza, che in realt\u00e0 non esiste. Nella Fig. 11 l'onda sinusoidale rossa ad alta frequenza \u00e8 il segnale reale. L'onda sinusoidale blu di frequenza inferiore \u00e8 un segnale fittizio, dovuto al fatto che durante il tempo di campionamento \u00e8 passato pi\u00f9 di mezzo periodo del segnale ad alta frequenza.<\/p>\n Fig. 11. Comparsa di un segnale spurio a bassa frequenza con una frequenza di campionamento non sufficientemente elevata<\/p><\/div>\n <\/p>\n Per evitare l'effetto aliasing, viene posizionato prima dell'ADC uno speciale filtro anti-alias (filtro passa-basso<\/a>) \u00e8 posizionato a monte dell'ADC. Lascia passare le frequenze inferiori alla met\u00e0 della frequenza di campionamento dell'ADC e elimina quelle pi\u00f9 alte.<\/p>\n Per calcolare lo spettro del segnale a partire dai suoi campioni discreti, il Trasformata di Fourier (DFT)<\/a> viene utilizzato. Si noti ancora una volta che lo spettro di un segnale discreto \u00e8, \u00abper definizione\u00bb, limitato a una frequenza Fmax inferiore alla met\u00e0 della frequenza di campionamento Fd. Pertanto, lo spettro di un segnale discreto pu\u00f2 essere rappresentato dalla somma di a finito <\/u>numero di armoniche, a differenza della somma infinita per la serie di Fourier di un segnale continuo, il cui spettro pu\u00f2 essere illimitato. Secondo il teorema di Kotelnikov, la frequenza massima di un'armonica deve essere tale da rappresentare almeno due campioni, quindi il numero di armoniche \u00e8 pari alla met\u00e0 del numero di campioni di un segnale discreto. Cio\u00e8, se ci sono N campioni nel campione, il numero di armoniche nello spettro sar\u00e0 N\/2.<\/p>\n Consideriamo ora la trasformata discreta di Fourier (DFT).<\/p>\n Il confronto con la serie di Fourier<\/p>\n <\/p>\n Come si vede, coincidono, tranne per il fatto che il tempo nella FFT \u00e8 discreto e il numero di armoniche \u00e8 limitato a N\/2, che \u00e8 la met\u00e0 del numero di campioni.<\/p>\n Le formule DFT sono scritte in variabili intere adimensionali k, s, dove k \u00e8 il numero di campioni del segnale, s \u00e8 il numero di componenti spettrali. Come gi\u00e0 detto in precedenza, quando si decompone una funzione non periodica (il nostro segnale) in serie di Fourier, la serie di Fourier risultante corrisponde in realt\u00e0 a una funzione periodica con periodo T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig.12. Funzione periodica f(x) con periodo T0, con periodo T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Come si pu\u00f2 vedere nella Fig. 12, la funzione f(x) \u00e8 periodica con periodo T\u2080. Tuttavia, poich\u00e9 la lunghezza del campione di misurazione T non \u00e8 uguale al periodo della funzione T\u2080, la funzione ottenuta come serie di Fourier presenta una discontinuit\u00e0 nel punto T. Di conseguenza, lo spettro di questa funzione conterr\u00e0 un gran numero di armoniche ad alta frequenza. Questo fenomeno \u00e8 noto come perdita spettrale<\/a>, e in pratica viene ridotto mediante finestratura<\/a> il segnale prima della trasformata. Se la durata del campione di misurazione T coincidesse con il periodo della funzione T0, lo spettro ottenuto dopo la trasformata di Fourier conterrebbe solo la prima armonica (una sinusoide con periodo pari alla durata del campione), poich\u00e9 la funzione f(x) \u00e8 una sinusoide.<\/p>\n In altre parole, il programma DFT \"non sa\" che il nostro segnale \u00e8 una \"fetta di onda sinusoidale\", ma cerca di rappresentare in serie una funzione periodica che presenta una discontinuit\u00e0 dovuta alla discontinuit\u00e0 di pezzi separati dell'onda sinusoidale.<\/p>\n Di conseguenza, nello spettro compaiono delle armoniche, che dovrebbero rappresentare complessivamente la forma della funzione, compresa questa discontinuit\u00e0.<\/p>\n Quindi, per ottenere uno spettro \"corretto\" di un segnale che \u00e8 una somma di pi\u00f9 sinusoidi con periodi diversi, \u00e8 necessario che un numero intero di periodi di ogni sinusoide sia presente nel periodo di misurazione del segnale. In pratica, questa condizione pu\u00f2 essere soddisfatta con una durata di misurazione del segnale sufficientemente lunga. numero intero di periodi di <\/u>ogni sinusoide deve essere presente nel periodo di misurazione del segnale. In pratica, questa condizione pu\u00f2 essere soddisfatta con una durata di misurazione del segnale sufficientemente lunga.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Esempio di funzione e spettro del segnale di errore cinematico di un riduttore<\/p><\/div>\n <\/p>\n Con una durata inferiore l'immagine apparir\u00e0 \"peggiore\":<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Esempio di funzione e spettro di vibrazione del rotore<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n In pratica, pu\u00f2 essere difficile capire dove si trovano i \"componenti reali\" e dove gli \"artefatti\" causati dall'incoerenza dei periodi dei componenti e delle durate di campionamento del segnale o da \"salti e interruzioni\" nella forma d'onda. Naturalmente, le parole \"componenti reali\" e \"artefatti\" sono messe tra virgolette per un motivo. La presenza di molte armoniche sul grafico dello spettro non significa che il nostro segnale ne sia effettivamente composto. \u00c8 come pensare che il numero 7 sia \"composto\" dai numeri 3 e 4. Il numero 7 pu\u00f2 essere considerato come la somma di 3 e 4: \u00e8 corretto.<\/p>\n Cos\u00ec anche il nostro segnale... o meglio nemmeno il \"nostro segnale\", ma una funzione periodica composta dalla ripetizione del nostro segnale (campione) pu\u00f2 essere rappresentata come una somma di armoniche (sinusoidi) con determinate ampiezze e fasi. Ma in molti casi importanti per la pratica (si vedano le figure precedenti) \u00e8 effettivamente possibile mettere in relazione le armoniche ottenute nello spettro anche con processi reali a carattere ciclico che contribuiscono in modo significativo alla forma del segnale.<\/p>\n 1. Un segnale reale misurato con durata T sec. digitalizzato dall'ADC, cio\u00e8 rappresentato da un insieme di campioni discreti (N pezzi), ha uno spettro discreto non periodico rappresentato da un insieme di armoniche (N\/2 pezzi).<\/p>\n 2. Il segnale \u00e8 rappresentato da un insieme di valori reali. Il suo spettro DFT \u00e8 un insieme di coefficienti complessi con simmetria coniugata; da essi si ottiene lo spettro di ampiezza \u2014 un insieme di ampiezze reali non negative (e fasi) alle frequenze positive, ed \u00e8 questo spettro di ampiezza monolaterale che viene rappresentato in pratica. La forma complessa bilaterale con frequenze negative e la forma monolaterale ampiezza\/fase sono rappresentazioni equivalenti dello stesso spettro \u2014 per l'analisi del segnale di solito \u00e8 pi\u00f9 comodo lavorare con lo spettro di ampiezza monolaterale.<\/p>\n 3. Il segnale misurato al tempo T \u00e8 determinato solo al tempo T. Ci\u00f2 che \u00e8 accaduto prima di iniziare a misurare il segnale e ci\u00f2 che accadr\u00e0 dopo \u00e8 sconosciuto alla scienza. E nel nostro caso non \u00e8 interessante. La FFT del segnale limitato nel tempo fornisce il suo spettro \"reale\", nel senso che in determinate condizioni permette di calcolare l'ampiezza e la frequenza delle sue componenti.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. 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\nDa un punto di vista matematico, quanti errori ci sono in questa frase? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Funzione continua e sua rappresentazione in serie di Fourier<\/h2>\n
![\"Funzione](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT - segmento in cui \u00e8 definita la funzione (la durata del segnale)
\nAk- ampiezza della componente armonica k-esima,
\n\u03b8k- la fase iniziale della kesima componente armonica
\nCosa significa \"rappresentare la funzione come somma delle serie\"? Significa che sommando i valori delle componenti armoniche della serie di Fourier in ogni punto, otteniamo il valore della nostra funzione in quel punto.
\n(In senso pi\u00f9 stretto, lo scarto quadratico medio della serie dalla funzione f(x) tender\u00e0 a zero, ma nonostante la convergenza quadratica media, la serie di Fourier di una funzione non deve necessariamente, in generale, convergere ad essa punto per punto). )
\nQuesta serie pu\u00f2 essere scritta anche nella forma:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Equazione](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, l'ampiezza complessa k-esima.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"Formula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"Formula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>La base matematica dell'analisi spettrale dei segnali \u00e8 la trasformata di Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>La trasformata di Fourier consente di rappresentare una funzione continua f(x) (segnale) definita sull'intervallo {0, T} come somma di un numero infinito (serie infinita) di funzioni trigonometriche (seno e\/o coseno) con ampiezze e fasi definite, anch'esse considerate sull'intervallo {0, T}. Tale serie \u00e8 detta serie di Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figura](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nLo spettro di questa funzione \u00e8 discreto, cio\u00e8 \u00e8 rappresentato da una serie infinita di componenti armoniche - una serie di Fourier.
\nIn effetti, la serie di Fourier definisce una funzione periodica, che coincide con la nostra funzione sull'intervallo {0, T}, ma per noi questa periodicit\u00e0 non \u00e8 essenziale.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nPer raddoppiare la risoluzione portandola a 0,5 Hz, \u00e8 necessario raddoppiare la durata della misurazione portandola a 2 secondi. Un segnale di 10 secondi pu\u00f2 essere scomposto in componenti armoniche (spettro) con una risoluzione di frequenza di 0,1 Hz. Non esistono altri modi per aumentare la risoluzione di frequenza. \u00c8 possibile approfondire questa relazione con il nostro Calcolatore di risoluzione FFT<\/a>.<\/p>\nSegnali discreti e trasformata di Fourier discreta<\/h2>\n
\n(Fig.9 Schema del canale di misura)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Equazione](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"Formula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nIl valore s indica il numero di oscillazioni armoniche complete per periodo T (durata della misura del segnale). La trasformata discreta di Fourier viene utilizzata per trovare le ampiezze e le fasi delle armoniche in modo numerico, cio\u00e8 \"al computer\".<\/p>\n![\"Fig.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Alcuni risultati<\/h2>\n