{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"furje-transformacijos-taikymas-vibracijos-signalu-analizei","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"Furj\u0117 transformacijos taikymas vibracijos signal\u0173 analizei."},"content":{"rendered":"

Fourierio transformacijos taikymas vibracijos signal\u0173 analizei<\/h1>\n

Andrejus \u0160elkovenko. Vienas i\u0161 \"Vibromera\" k\u016br\u0117j\u0173 ir \u012fk\u016br\u0117j\u0173.
\nStraipsnio vertime gali b\u016bti netikslum\u0173.<\/p>\n

Furj\u0117 transformacija ir signalo spektras<\/h2>\n

Daugeliu atvej\u0173 u\u017eduotis gauti (apskai\u010diuoti) spektras<\/a> signalo yra toks. Yra analoginis-skaitmeninis keitiklis (ADC), kuris, atliekant diskretizavim\u0105 da\u017enis<\/a> Fd paver\u010dia nepertraukiam\u0105 signal\u0105, kuris per laik\u0105 T patenka \u012f jo \u012f\u0117jim\u0105, \u012f skaitmeninius atskaitos ta\u0161kus \u2013 N vienet\u0173. Tada \u0161is atskaitos ta\u0161k\u0173 masyvas perduodamas \u012f koki\u0105 nors program\u0105 (pavyzd\u017eiui FourierScope<\/a><\/span>), kuris i\u0161veda N\/2 tam tikr\u0173 skaitini\u0173 ver\u010di\u0173.<\/p>\n

Nor\u0117dami patikrinti, ar programa veikia teisingai, suformuojame im\u010di\u0173 masyv\u0105 kaip dviej\u0173 sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) sum\u0105 ir paduodame j\u012f \u012f program\u0105. Programa nubrai\u017e\u0117 taip:
\n

\"Furj\u0117

1 pav.1 Signalo laiko funkcijos grafikas<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"2

2 pav.2 Signalo spektro grafikas<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

There are two harmonikos<\/a> spektro diagramoje \u2013 5 Hz su 0,5 V amplitud\u0117s signalu ir 10 Hz su 1 V amplitud\u0117s signalu, viskas atitinka pradinio signalo formul\u0119. Viskas gerai, programa veikia tinkamai.<\/p>\n

Tai rei\u0161kia, kad jei \u012f ADC \u012f\u0117jim\u0105 paduodame real\u0173 dviej\u0173 sinusoid\u017ei\u0173 mi\u0161inio signal\u0105, gausime pana\u0161\u0173 spektr\u0105, sudaryt\u0105 i\u0161 dviej\u0173 harmonik\u0173.<\/p>\n

Taigi, m\u016bs\u0173 tikras <\/span><\/b><\/strong>i\u0161matuotas signalas 5 sek. trukm\u0117s<\/span><\/b><\/strong>, suskaitmenintas ADC, t. y. pavaizduotas pagal diskretin\u012f <\/span><\/b><\/strong>m\u0117gini\u0173, turi diskreti\u0161kas neperiodinis <\/span><\/b><\/strong>spektras.
\nKiek klaid\u0173 \u0161ioje fraz\u0117je yra matematiniu po\u017ei\u016briu? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Dabar pabandykime i\u0161matuoti t\u0105 pat\u012f signal\u0105 0,5 sek.<\/p>\n

\"3

3 pav.3 Funkcijos sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) grafikas, kai matavimo periodas yra 0,5 sek.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"4

4 pav.4 Funkcijos spektras<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Ka\u017ekas \u010dia ne taip! 10 Hz da\u017enio harmonika br\u0117\u017eiama normaliai, o vietoj 5 Hz da\u017enio harmonikos yra keletas neai\u0161ki\u0173 harmonik\u0173.<\/p>\n

Internete sakoma, kad reikia prid\u0117ti nulius prie m\u0117ginio pabaigos ir spektras bus sudarytas normaliai.<\/p>\n

\"5

5 pav.5 \u012e imt\u012f prid\u0117jome nuli\u0173 iki 5 sek.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"6

6 pav. Gautas spektras.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Tai visai ne tai. Tur\u0117siu susidoroti su teorija. Eikime \u012f Vikipedija<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0- \u017eini\u0173 \u0161altinis.<\/p>\n

Tolydi funkcija ir jos Furj\u0117 eilu\u010di\u0173 atvaizdavimas<\/h2>\n

Matemati\u0161kai m\u016bs\u0173 signalas, kurio trukm\u0117 T sekund\u017ei\u0173, yra tam tikra funkcija f(x), duota intervale {0, T} (X \u0161iuo atveju yra laikas). Toki\u0105 funkcij\u0105 visada galima pavaizduoti kaip harmonini\u0173 funkcij\u0173 (sinuso arba kosinuso) sum\u0105:<\/p>\n

\"Tolydi

\u00a0(1), kur:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k - trigonometrin\u0117s funkcijos numeris (harmonin\u0117s sudedamosios dalies numeris, harmonin\u0117s dalies numeris)
\nT - segmentas, kuriame apibr\u0117\u017eiama funkcija (signalo trukm\u0117)
\nAk - k-osios harmonin\u0117s komponent\u0117s amplitud\u0117,
\n\u03b8k- pradin\u0117 k-tosios harmonin\u0117s komponent\u0117s faz\u0117
\nK\u0105 rei\u0161kia \"pavaizduoti funkcij\u0105 kaip eilu\u010di\u0173 sum\u0105\"? Tai rei\u0161kia, kad sud\u0117jus Furj\u0117 eil\u0117s harmonini\u0173 komponen\u010di\u0173 vertes kiekviename ta\u0161ke, gauname m\u016bs\u0173 funkcijos vert\u0119 tame ta\u0161ke.
\n(Grie\u017e\u010diau tariant, eil\u0117s vidutinis kvadratinis nuokrypis nuo funkcijos f(x) bus link\u0119s \u012f nul\u012f, ta\u010diau, nepaisant vidutinio kvadratinio nuokrypio, funkcijos Furj\u0117 eilut\u0117 apskritai neprivalo konverguoti \u012f j\u0105 ta\u0161kas po ta\u0161ko. )
\n\u0160i\u0105 eilut\u0119 taip pat galima u\u017era\u0161yti tokia forma:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

kur \"Furj\u0117 k-oji kompleksin\u0117 amplitud\u0117.<\/p>\n

 <\/p>\n

arba<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Ry\u0161ys tarp koeficient\u0173 (1) ir (3) i\u0161rei\u0161kiamas \u0161iomis formul\u0117mis:<\/p>\n

\"Formul\u0117,<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Furj\u0117<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Atkreipkite d\u0117mes\u012f, kad visos \u0161ios trys Furj\u0117 eilut\u0117s pateikimo formos yra visi\u0161kai lygiavert\u0117s. Kartais dirbant su Furj\u0117 eilut\u0117mis patogiau naudoti menamo argumento eksponentes vietoje sinus\u0173 ir kosinus\u0173, t. y. naudoti kompleksin\u0119 Furj\u0117 transformacijos form\u0105. Ta\u010diau mums patogu naudoti formul\u0119 (1), kurioje Furj\u0117 eilut\u0117 pateikta kaip kosinus\u0173 suma su atitinkamomis amplitud\u0117mis ir faz\u0117mis. Grie\u017etai kalbant, realaus signalo Furj\u0117 transformacija i\u0161 ties\u0173 duoda kompleksinius koeficientus (3 forma): kiekvienas koeficientas turi tiek savo harmonikos amplitud\u0119, tiek faz\u0119. Realiojo signalo atveju \u0161ie kompleksiniai koeficientai turi kompleksinio junginio (Hermito) simetrij\u0105 \u2014 neigiam\u0173 da\u017eni\u0173 pus\u0117 tiesiog atkartoja teigiam\u0173 da\u017eni\u0173 pus\u0119 ir papildomos informacijos nesuteikia. Tod\u0117l i\u0161 kompleksini\u0173 koeficient\u0173 visada galime pereiti prie reali\u0173 neneigiam\u0173 amplitud\u017ei\u0173 Ak ir fazi\u0173 \u03b8k i\u0161 formul\u0117s (1) \u2014 ir b\u016btent \u0161\u012f amplitud\u017ei\u0173 spektr\u0105 rodo analiz\u0117s programos.<\/p>\n

 <\/p>\n

Apibendrinimas:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Matematinis signal\u0173 spektrin\u0117s analiz\u0117s pagrindas yra Furj\u0117 transformacija.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Furj\u0117 transformacija leid\u017eia vaizduoti tolyd\u017ei\u0105 funkcij\u0105 f(x) (signal\u0105), apibr\u0117\u017et\u0105 intervale {0, T}, kaip trigonometrini\u0173 funkcij\u0173 (sinuso ir (arba) kosinuso), kuri\u0173 amplitud\u0117s ir faz\u0117s taip pat apibr\u0117\u017etos intervale {0, T}, begalinio skai\u010diaus (begalin\u0117s eil\u0117s) sum\u0105. Tokia eilut\u0117 vadinama Furj\u0117 eilute.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Atkreipkite d\u0117mes\u012f \u012f dar kelis dalykus, kuri\u0173 supratimas b\u016btinas norint teisingai taikyti Furj\u0117 transformacij\u0105 signal\u0173 analizei. Jei nagrin\u0117sime Furj\u0117 eilut\u0119 (sinusoid\u017ei\u0173 sum\u0105) visoje X a\u0161yje, pamatysime, kad u\u017e intervalo {0, T} rib\u0173 Furj\u0117 eilut\u0117s funkcija periodi\u0161kai kartosis su m\u016bs\u0173 funkcija.<\/p>\n

Pavyzd\u017eiui, 7 pav. pateiktame grafike pradin\u0117 funkcija apibr\u0117\u017eta intervale {-T\\2, +T\\2}, o Furj\u0117 eilut\u0117 vaizduoja periodin\u0119 funkcij\u0105, apibr\u0117\u017et\u0105 visoje x a\u0161yje.<\/p>\n

Taip yra tod\u0117l, kad pa\u010dios sinusoid\u0117s yra periodin\u0117s funkcijos, tod\u0117l j\u0173 suma taip pat bus periodin\u0117 funkcija.<\/p>\n

\"7

7 pav. Neperiodin\u0117s \u0161altinio funkcijos atvaizdavimas Furj\u0117 eilute<\/p><\/div>\n

Taigi:<\/p>\n

M\u016bs\u0173 pradin\u0117 funkcija yra tolydi, neperiodin\u0117 funkcija, apibr\u0117\u017eta tam tikroje T ilgio atkarpoje.
\n\u0160ios funkcijos spektras yra diskretus, t. y. jis vaizduojamas kaip begalin\u0117 harmonini\u0173 komponen\u010di\u0173 eil\u0117 - Furj\u0117 eilut\u0117.
\nI\u0161 tikr\u0173j\u0173 Furj\u0117 eilut\u0117 apibr\u0117\u017eia tam tikr\u0105 periodin\u0119 funkcij\u0105, kuri sutampa su m\u016bs\u0173 funkcija intervale {0, T}, ta\u010diau mums \u0161is periodi\u0161kumas n\u0117ra esminis.<\/p>\n

Kitas.<\/p>\n

Harmonini\u0173 komponent\u0173 periodai yra intervalo {0, T}, kuriame apibr\u0117\u017eta pradin\u0117 funkcija f(x), kartotiniai. Kitaip tariant, harmonini\u0173 komponen\u010di\u0173 periodai yra signalo matavimo trukm\u0117s kartotiniai. Pavyzd\u017eiui, pirmosios Furj\u0117 eil\u0117s harmonikos periodas yra lygus intervalui T, kuriame apibr\u0117\u017eta funkcija f(x). Antrosios harmonikos periodas Furj\u0117 eilut\u0117je yra lygus intervalui T\/2. Ir taip toliau (\u017er. 8 pav.).<\/p>\n

\"8

8 pav. Furj\u0117 eil\u0117s harmonini\u0173 komponen\u010di\u0173 periodai (da\u017eniai) (\u010dia T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

Atitinkamai harmonini\u0173 komponent\u0173 da\u017eniai yra 1\/T kartotiniai. Tai rei\u0161kia, kad harmonini\u0173 komponent\u0173 Fk da\u017eniai yra tokie: Fk= k\\T, kur k turi reik\u0161mes nuo 0 iki \u221e, pavyzd\u017eiui, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (esant nuliniam da\u017eniui, pastovioji komponent\u0117).<\/p>\n

Tegul m\u016bs\u0173 pradin\u0117 funkcija yra signalas, \u012fra\u0161ytas per T=1 sek. Tada pirmosios harmonikos periodas bus lygus m\u016bs\u0173 signalo trukmei T1=T=1 s, o harmonikos da\u017enis lygus 1 Hz. Antrosios harmonikos periodas bus lygus m\u016bs\u0173 signalo trukmei, padalytai i\u0161 2 (T2=T\/2=0,5 sek.), o da\u017enis lygus 2 Hz. Tre\u010diosios harmonikos periodas T3=T\/3 s, o da\u017enis lygus 3 Hz. Ir taip toliau.<\/p>\n

\u0160iuo atveju \u017eingsnis tarp harmonik\u0173 yra 1 Hz.<\/p>\n

Taigi 1 s trukm\u0117s signal\u0105 galima i\u0161skaidyti \u012f harmonines sudedam\u0105sias dalis (gauti spektr\u0105) 1 Hz da\u017enio skiriam\u0105ja geba.
\nNorint padidinti skiriam\u0105j\u0105 geb\u0105 dvigubai iki 0,5 Hz, reikia dvigubai pailginti matavimo trukm\u0119 iki 2 sek. 10 sekund\u017ei\u0173 trukm\u0117s signal\u0105 galima i\u0161skaidyti \u012f harmonines sudedam\u0105sias dalis (spektr\u0105) su 0,1 Hz da\u017enio skiriam\u0105ja geba. Kit\u0173 b\u016bd\u0173 padidinti da\u017enio skiriam\u0105j\u0105 geb\u0105 n\u0117ra. \u0160\u012f ry\u0161\u012f galite i\u0161tirti naudodamiesi m\u016bs\u0173 FFT skiriamosios gebos skai\u010diuokl\u0117<\/a>.<\/p>\n

Yra b\u016bdas dirbtinai padidinti signalo trukm\u0119 \u012f m\u0117gini\u0173 masyv\u0105 pridedant nulius. Ta\u010diau tai nepadidina realaus da\u017enio skiriamosios gebos.<\/p>\n

Diskretiniai signalai ir diskretin\u0117 Furj\u0117 transformacija<\/h2>\n

Tobul\u0117jant skaitmenin\u0117ms technologijoms, pasikeit\u0117 matavimo duomen\u0173 (signal\u0173) saugojimo b\u016bdai. Anks\u010diau signal\u0105 buvo galima \u012fra\u0161yti \u012f magnetofon\u0105 ir i\u0161saugoti juostoje analoginiu pavidalu, o dabar signalai skaitmeninami ir saugomi kompiuterio atmintyje esan\u010diose bylose kaip skai\u010di\u0173 (skaitmen\u0173) rinkinys.<\/p>\n

\u012eprastin\u0117 signalo matavimo ir skaitmeninimo schema atrodo taip.<\/p>\n

Matavimo keitiklis -- Signalo normalizatorius -- ADC -- Kompiuteris
\n(9 pav.9 Matavimo kanalo schema)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Matuojamojo keitiklio signalas \u012f ADC patenka per tam tikr\u0105 laik\u0105 T. Per laik\u0105 T gauti signalo rodmenys (atranka) perduodami \u012f kompiuter\u012f ir \u012fra\u0161omi \u012f atmint\u012f.<\/p>\n

\"10

10 pav.10 Skaitmeninis signalas - N m\u0117gini\u0173, gaut\u0173 per laik\u0105 T<\/p><\/div>\n

Kokie reikalavimai keliami signalo skaitmeninimo parametrams? \u012erenginys, kuris \u012fvesties analogin\u012f signal\u0105 paver\u010dia diskre\u010diuoju kodu (skaitmeniniu signalu), vadinamas analoginiu-skaitmeniniu keitikliu (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

Vienas i\u0161 pagrindini\u0173 ADC parametr\u0173 yra did\u017eiausias diskretizavimo da\u017enis - signalo, kuris yra tolydus laike, diskretizavimo da\u017enis. \u0116mini\u0173 \u0117mimo da\u017enis matuojamas hercais. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

Pagal Kotelnikov’o teorem\u0105, jei tolydus signalas turi da\u017eniu Fmax apribot\u0105 spektr\u0105, j\u012f galima visi\u0161kai ir vienareik\u0161mi\u0161kai atkurti i\u0161 jo diskre\u010di\u0173j\u0173 im\u010di\u0173, paimt\u0173 laiko intervalais\u00a0\u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), t. y. esant diskretizavimo da\u017eniui Fd \u2265 2*Fmax, kur Fd – diskretizavimo da\u017enis; Fmax – did\u017eiausias signalo spektro da\u017enis. Kitaip tariant, signalo skaitmeninimo da\u017enis (ADC diskretizavimo da\u017enis) turi b\u016bti bent du kartus didesnis u\u017e did\u017eiausi\u0105 signalo, kur\u012f norime i\u0161matuoti, da\u017en\u012f.<\/p>\n

O kas nutiks, jei imsime m\u0117ginius ma\u017eesniu da\u017eniu, nei reikalaujama pagal Kotelnikovo teorem\u0105?<\/p>\n

\u0160iuo atveju yra \u201eAliasingas<\/a>\u0160iuo atveju atsiranda \"aliasing\" efektas (dar \u017einomas kaip stroboskopinis efektas, moir\u0117 efektas), kai auk\u0161to da\u017enio signalas po skaitmeninimo virsta \u017eemo da\u017enio signalu, kurio i\u0161 tikr\u0173j\u0173 n\u0117ra. 11 pav. raudona auk\u0161to da\u017enio sinusoid\u0117 yra tikrasis signalas. M\u0117lyna \u017eemesnio da\u017enio sinusoid\u0117 yra fiktyvus signalas, atsirandantis d\u0117l to, kad per diskretizavimo laik\u0105 sp\u0117ja praeiti daugiau nei pus\u0117 auk\u0161to da\u017enio signalo periodo.<\/p>\n

\"11

11 pav. Netikro \u017eemo da\u017enio signalo atsiradimas esant nepakankamai dideliam diskretizavimo da\u017eniui<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Siekiant i\u0161vengti aliasingo efekto, naudojamas specialus anti-aliasingo filtras (\u017eem\u0173j\u0173 da\u017eni\u0173 filtras<\/a>) yra \u012fmontuotas prie\u0161 ADC. Jis praleid\u017eia da\u017enius, ma\u017eesnius u\u017e pus\u0119 ADC diskretizavimo da\u017enio, o auk\u0161tesnius da\u017enius atkerta.<\/p>\n

Norint apskai\u010diuoti signalo spektr\u0105 pagal jo diskretinius ta\u0161kus, diskretinis Fourierio transformacija (DFT)<\/a> yra naudojamas. Dar kart\u0105 atkreipkite d\u0117mes\u012f, kad diskretaus signalo spektras \u201epagal apibr\u0117\u017eim\u0105\u201c apsiriboja da\u017eniu Fmax, kuris yra ma\u017eesnis u\u017e pus\u0119 diskretizavimo da\u017enio Fd. Tod\u0117l diskretaus signalo spektr\u0105 galima pavaizduoti kaip sum\u0105 baigtinis <\/u>harmonik\u0173 skai\u010dius, prie\u0161ingai nei begalin\u0117 i\u0161tisinio signalo Furj\u0117 eil\u0117s, kurios spektras gali b\u016bti neribotas. Pagal Kotelnikovo teorem\u0105 maksimalus harmonikos da\u017enis turi b\u016bti toks, kad jis sudaryt\u0173 bent du pavyzd\u017eius, tod\u0117l harmonik\u0173 skai\u010dius yra lygus pusei diskre\u010diojo signalo pavyzd\u017ei\u0173 skai\u010diaus. Vadinasi, jei imtyje yra N im\u010di\u0173, harmonik\u0173 skai\u010dius spektre bus lygus N\/2.<\/p>\n

Panagrin\u0117kime diskre\u010di\u0105j\u0105 Furj\u0117 transformacij\u0105 (DFT).<\/p>\n

\"Diskre\u010dioji<\/p>\n

Lyginant su Furj\u0117 eilute<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Diskre\u010dioji<\/p>\n

Kaip matome, jie sutampa, i\u0161skyrus tai, kad FFT laikas yra diskretus, o harmonik\u0173 skai\u010dius ribojamas iki N\/2, t. y. pus\u0117s im\u010di\u0173 skai\u010diaus.<\/p>\n

DFT formul\u0117s u\u017era\u0161omos beasmeniais sveikaisiais kintamaisiais k, s, kur k - signalo pavyzd\u017ei\u0173 skai\u010dius, s - spektrini\u0173 komponent\u0173 skai\u010dius.
\nReik\u0161m\u0117 s rodo, kiek piln\u0173j\u0173 harmonini\u0173 virpesi\u0173 \u012fvyksta per period\u0105 T (signalo matavimo trukm\u0119). Diskre\u010dioji Furj\u0117 transformacija naudojama harmonik\u0173 amplitud\u0117ms ir faz\u0117ms rasti skaitmeniniu b\u016bdu, t. y. \"kompiuteryje\".<\/p>\n

Kaip jau buvo min\u0117ta, neperiodin\u0119 funkcij\u0105 (m\u016bs\u0173 signal\u0105) i\u0161skaid\u017eius \u012f Furj\u0117 eilutes, gauta Furj\u0117 eilut\u0117 i\u0161 tikr\u0173j\u0173 atitinka periodin\u0119 funkcij\u0105 su periodu T (12 pav.).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"12

12 pav. Periodin\u0117 funkcija f(x) su periodu T0, su periodu T>T0<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Kaip matyti i\u0161 12 pav., funkcija f(x) yra periodin\u0117, jos periodas yra T0. Ta\u010diau d\u0117l to, kad matavimo atrankos ilgis T nesutampa su funkcijos periodu T0, kaip Furj\u0117 eilut\u0117 gauta funkcija turi nepertraukiamumo ta\u0161k\u0105 T. D\u0117l to \u0161ios funkcijos spektras tur\u0117s daug auk\u0161to da\u017enio harmonik\u0173. \u0160is rei\u0161kinys \u017einomas kaip spektrinis nuot\u0117kis<\/a>, o praktikoje jis suma\u017einamas lang\u0173<\/a> signalas prie\u0161 transformavim\u0105. Jei matavimo atkarpos T trukm\u0117 sutapt\u0173 su funkcijos T0 periodu, tuomet po Furj\u0117 transformacijos gautas spektras apimt\u0173 tik pirm\u0105j\u0105 harmonik\u0105 (sinusoid\u0119, kurios periodas lygus atkarpos trukmei), nes funkcija f(x) yra sinusoid\u0117.<\/p>\n

Kitaip tariant, DFT programa \"ne\u017eino\", kad m\u016bs\u0173 signalas yra \"sinusoid\u0117s gabal\u0117lis\", bet bando pavaizduoti periodin\u0119 funkcij\u0105, kuri turi nutr\u016bkim\u0105 d\u0117l atskir\u0173 sinusoid\u0117s gabal\u0117li\u0173 nutr\u016bkimo.<\/p>\n

D\u0117l to spektre atsiranda harmonik\u0173, kurios i\u0161 viso tur\u0117t\u0173 atspind\u0117ti funkcijos form\u0105, \u012fskaitant \u0161\u012f nutr\u016bkim\u0105.<\/p>\n

Taigi, norint gauti \"teising\u0105\" signalo, kuris yra keli\u0173 skirting\u0173 period\u0173 sinusoid\u017ei\u0173 suma, spektr\u0105, reikia, kad sveikasis skai\u010dius laikotarpi\u0173 <\/u>kiekviena sinusoid\u0117 tur\u0117t\u0173 b\u016bti per signalo matavimo laikotarp\u012f. Prakti\u0161kai \u0161i\u0105 s\u0105lyg\u0105 galima \u012fvykdyti, jei signalo matavimo trukm\u0117 yra pakankamai ilga.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"13

13 pav.13 pav. pavar\u0173 d\u0117\u017e\u0117s kinematin\u0117s paklaidos signalo funkcijos ir spektro pavyzdys<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Esant trumpesnei trukmei vaizdas atrodys \"blogiau\":<\/p>\n

 <\/p>\n

\"14

14 pav.14 rotoriaus virpesi\u0173 funkcijos ir spektro pavyzdys<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Praktikoje gali b\u016bti sunku suprasti, kur yra \"tikrieji komponentai\", o kur \"artefaktai\", atsirandantys d\u0117l komponent\u0173 period\u0173 ir signalo m\u0117gini\u0173 \u0117mimo trukm\u0117s neatitikimo arba \"\u0161uoli\u0173 ir pertr\u016bki\u0173\" bangos formoje. \u017dinoma, \u017eod\u017eiai \"tikrieji komponentai\" ir \"artefaktai\" ne veltui pateikiami kabut\u0117se. Daugyb\u0117s harmonik\u0173 buvimas spektro grafike nerei\u0161kia, kad m\u016bs\u0173 signalas i\u0161 tikr\u0173j\u0173 susideda i\u0161 j\u0173. Tai tas pats, kaip manyti, kad skai\u010dius 7 \"susideda\" i\u0161 skai\u010di\u0173 3 ir 4. Skai\u010di\u0173 7 galima laikyti 3 ir 4 suma - tai teisinga.<\/p>\n

Taigi ir m\u016bs\u0173 signal\u0105... arba grei\u010diau net ne \"m\u016bs\u0173 signal\u0105\", o periodin\u0119 funkcij\u0105, sudaryt\u0105 kartojant m\u016bs\u0173 signal\u0105 (imt\u012f), galima pavaizduoti kaip tam tikros amplitud\u0117s ir faz\u0117s harmonik\u0173 (sinusini\u0173 bang\u0173) sum\u0105. Ta\u010diau daugeliu prakti\u0161kai svarbi\u0173 atvej\u0173 (\u017er. paveiksl\u0117lius pirmiau) spektre gautas harmonikas i\u0161 ties\u0173 galima susieti ir su realiais procesais, turin\u010diais ciklin\u012f pob\u016bd\u012f ir reik\u0161mingai prisidedan\u010diais prie signalo formos.<\/p>\n

Kai kurie rezultatai<\/h2>\n

1. Tikrasis matuojamasis T s trukm\u0117s signalas, kur\u012f skaitmenina ADC, t. y. kur\u012f vaizduoja diskre\u010di\u0173j\u0173 pavyzd\u017ei\u0173 rinkinys (N dali\u0173), turi diskret\u0173j\u012f neperiodin\u012f spektr\u0105, kur\u012f vaizduoja harmonik\u0173 rinkinys (N\/2 dali\u0173).<\/p>\n

2. Signalas pateikiamas reali\u0173 ver\u010di\u0173 rinkiniu. Jo DFT spektras yra kompleksini\u0173 koeficient\u0173 rinkinys su kompleksinio junginio simetrija; i\u0161 j\u0173 gaunamas amplitud\u017ei\u0173 spektras \u2014 reali\u0173 neneigiam\u0173 amplitud\u017ei\u0173 (ir fazi\u0173) rinkinys teigiamuose da\u017eniuose, ir b\u016btent \u0161is vienpusis amplitud\u017ei\u0173 spektras prakti\u0161kai vaizduojamas grafike. Dvipus\u0117 kompleksin\u0117 forma su neigiamais da\u017eniais ir vienpus\u0117 amplitud\u0117s\/faz\u0117s forma yra lygiavert\u0117s to paties spektro i\u0161rai\u0161kos \u2014 signal\u0173 analizei paprastai patogiau dirbti su vienpusiu amplitud\u017ei\u0173 spektru.<\/p>\n

3. Laiku T i\u0161matuotas signalas nustatomas tik laiku T. Kas \u012fvyko prie\u0161 pradedant matuoti signal\u0105 ir kas \u012fvyks po to, mokslui ne\u017einoma. O m\u016bs\u0173 atveju tai ne\u012fdomu. Laiko ribojamo signalo FFT pateikia jo \"tikr\u0105j\u012f\" spektr\u0105 ta prasme, kad tam tikromis s\u0105lygomis leid\u017eia apskai\u010diuoti jo komponent\u0173 amplitud\u0119 ir da\u017en\u012f.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/lt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}