{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"\u0915\u0902\u092a\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 Fourier transform \u091a\u093e \u0935\u093e\u092a\u0930."},"content":{"rendered":"

\u0915\u0902\u092a\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 Fourier Transform \u091a\u093e \u0935\u093e\u092a\u0930<\/h1>\n

Andrei Shelkovenko. Vibromera \u091a\u0947 \u0938\u0902\u0938\u094d\u0925\u093e\u092a\u0915 \u0906\u0923\u093f \u0935\u093f\u0915\u0938\u0915\u093e\u0902\u092a\u0948\u0915\u0940 \u090f\u0915.
\n\u0932\u0947\u0916\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u092d\u093e\u0937\u093e\u0902\u0924\u0930\u093e\u0924 \u0915\u093e\u0939\u0940 \u0905\u091a\u0942\u0915\u0924\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0924\u094d\u0930\u0941\u091f\u0940 \u0905\u0938\u0942 \u0936\u0915\u0924\u093e\u0924.<\/p>\n

Fourier transform \u0906\u0923\u093f \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e<\/h2>\n

\u0905\u0928\u0947\u0915 \u092a\u094d\u0930\u0915\u0930\u0923\u093e\u0902\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u090f\u0916\u093e\u0926\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0947 \u092e\u093f\u0933\u0935\u093f\u0923\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947 (\u0917\u0923\u0928\u093e \u0915\u0930\u0923\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947) \u0915\u093e\u0930\u094d\u092f \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e<\/a> \u092f\u093e\u092a\u094d\u0930\u092e\u093e\u0923\u0947 \u0905\u0938\u0924\u0947. \u092f\u0947\u0925\u0947 ADC \u0905\u0938\u0924\u094b, \u091c\u094b sampling \u0938\u0939 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e<\/a> Fd \u0935\u0947\u0933 T \u0926\u0930\u092e\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0907\u0928\u092a\u0941\u091f\u0935\u0930 \u092f\u0947\u0923\u093e\u0931\u094d\u092f\u093e \u0938\u0924\u0924 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0947 \u0921\u093f\u091c\u093f\u091f\u0932 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u0924 – N \u0924\u0941\u0915\u0921\u094d\u092f\u093e\u0902\u0924 \u0930\u0942\u092a\u093e\u0902\u0924\u0930 \u0915\u0930\u0924\u094b. \u0924\u094d\u092f\u093e\u0928\u0902\u0924\u0930 \u092f\u093e \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0945\u0930\u0947\u0932\u093e \u090f\u0916\u093e\u0926\u094d\u092f\u093e \u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 (\u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923\u093e\u0930\u094d\u0925 FourierScope<\/a><\/span>) \u0926\u093f\u0932\u0947 \u091c\u093e\u0924\u0947, \u091c\u094b N\/2 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0924\u094d\u092e\u0915 \u092e\u0942\u0932\u094d\u092f\u0947 \u0906\u0909\u091f\u092a\u0941\u091f \u0915\u0930\u0924\u094b.<\/p>\n

\u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e \u092f\u094b\u0917\u094d\u092f\u0930\u0940\u0924\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u0930\u094d\u092f \u0915\u0930\u0924\u094b \u0915\u093e \u0939\u0947 \u0924\u092a\u093e\u0938\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940, \u0906\u092a\u0923 \u0926\u094b\u0928 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) \u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u092a\u093e\u0938\u0942\u0928 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u093e \u0905\u0945\u0930\u0947 \u0924\u092f\u093e\u0930 \u0915\u0930\u0924\u094b \u0906\u0923\u093f \u0924\u094b \u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0926\u0947\u0924\u094b. \u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e\u0928\u0947 \u092a\u0941\u0922\u0940\u0932\u092a\u094d\u0930\u092e\u093e\u0923\u0947 \u0926\u093e\u0916\u0935\u0932\u0947:
\n

\"Fourier

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 1. \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0935\u0947\u0933-\u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u093e \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 2. \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u091a\u093e \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u0924\u0947\u0925\u0947 \u0926\u094b\u0928 harmonics<\/a> \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b\u0935\u0930 \u0906\u0939\u0947\u0924 – 5 Hz \u092f\u0947\u0925\u0947 0.5 V amplitude \u0906\u0923\u093f 10 Hz \u092f\u0947\u0925\u0947 1 V amplitude; \u0938\u0930\u094d\u0935 \u0915\u093e\u0939\u0940 \u092e\u0942\u0933 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0942\u0924\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0930\u092e\u093e\u0923\u0947 \u0906\u0939\u0947. \u0938\u0930\u094d\u0935 \u0920\u0940\u0915 \u0906\u0939\u0947, \u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e \u092f\u094b\u0917\u094d\u092f\u0930\u0940\u0924\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u0930\u094d\u092f \u0915\u0930\u0924\u094b.<\/p>\n

\u092f\u093e\u091a\u093e \u0905\u0930\u094d\u0925 \u0905\u0938\u093e \u0915\u0940 \u091c\u0930 \u0906\u092a\u0923 \u0926\u094b\u0928 sinusoid \u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u092e\u093f\u0936\u094d\u0930\u0923\u093e\u0924\u0942\u0928 \u092e\u093f\u0933\u093e\u0932\u0947\u0932\u093e \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 ADC \u0907\u0928\u092a\u0941\u091f\u0932\u093e \u0926\u093f\u0932\u093e, \u0924\u0930 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e\u0932\u093e \u0926\u094b\u0928 harmonics \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u093e \u0924\u0924\u094d\u0938\u092e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u092e\u093f\u0933\u0947\u0932.<\/p>\n

\u0924\u0930, \u0906\u092a\u0932\u093e \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 <\/span><\/b><\/strong>\u092e\u094b\u091c\u0932\u0947\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 5 \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u091a\u093e<\/span><\/b><\/strong>, ADC \u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u0947 digitize \u0915\u0947\u0932\u0947\u0932\u093e, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947\u091a \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u0947\u0932\u093e \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 <\/span><\/b><\/strong>\u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u0947, \u092f\u093e\u0932\u093e \u090f\u0915 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0905\u092a\u0930\u093f\u092f\u093e\u0926\u093f\u0915 <\/span><\/b><\/strong>\u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e.
\n\u0917\u0923\u093f\u0924\u0940\u092f \u0926\u0943\u0937\u094d\u091f\u0940\u0915\u094b\u0928\u093e\u0924\u0942\u0928 – \u092f\u093e \u0935\u093e\u0915\u094d\u092f\u093e\u0924 \u0915\u093f\u0924\u0940 \u091a\u0941\u0915\u093e \u0906\u0939\u0947\u0924? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

\u0906\u0924\u093e \u0939\u093e\u091a \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 0.5 \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u092e\u094b\u091c\u0942\u0928 \u092a\u093e\u0939\u0942\u092f\u093e.<\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 3. 0.5 \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926 \u092e\u093e\u092a\u0928 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0938\u093e\u0920\u0940 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) \u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u093e \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 4. \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u0907\u0925\u0947 \u0915\u093e\u0939\u0940\u0924\u0930\u0940 \u091a\u0941\u0915\u0940\u091a\u0947 \u0906\u0939\u0947! 10 Hz \u0935\u0930\u0940\u0932 harmonic \u0928\u0940\u091f \u0926\u093f\u0938\u0924\u094b, \u092a\u0923 5 Hz \u0935\u0930\u0940\u0932 harmonic \u0910\u0935\u091c\u0940 \u0915\u093e\u0939\u0940 \u0905\u0938\u094d\u092a\u0937\u094d\u091f harmonics \u0926\u093f\u0938\u0924\u093e\u0924.<\/p>\n

\u0907\u0902\u091f\u0930\u0928\u0947\u091f\u0935\u0930 \u0905\u0938\u0947 \u092e\u094d\u0939\u0923\u0924\u093e\u0924 \u0915\u0940 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0936\u0947\u0935\u091f\u0940 \u0936\u0942\u0928\u094d\u092f\u0947 \u091c\u094b\u0921\u0932\u0940 \u092a\u093e\u0939\u093f\u091c\u0947\u0924 \u0906\u0923\u093f \u092e\u0917 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0928\u0940\u091f \u0926\u093f\u0938\u0947\u0932.<\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 5. \u0906\u092e\u094d\u0939\u0940 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0924 5 \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926\u093e\u0902\u092a\u0930\u094d\u092f\u0902\u0924 \u0936\u0942\u0928\u094d\u092f\u0947 \u091c\u094b\u0921\u0932\u0940<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 6. \u092e\u093f\u0933\u093e\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u0939\u0947 \u0905\u091c\u093f\u092c\u093e\u0924 \u0924\u0938\u0947 \u0928\u093e\u0939\u0940. \u092e\u0932\u093e \u0938\u093f\u0926\u094d\u0927\u093e\u0902\u0924 \u0938\u092e\u091c\u0942\u0928 \u0918\u094d\u092f\u093e\u0935\u093e \u0932\u093e\u0917\u0947\u0932. \u091a\u0932\u093e \u091c\u093e\u090a\u092f\u093e wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– \u091c\u094d\u091e\u093e\u0928\u093e\u091a\u093e \u0938\u094d\u0930\u094b\u0924.<\/p>\n

\u0938\u0924\u0924 \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0923\u093f \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947 Fourier series \u092a\u094d\u0930\u0924\u093f\u0928\u093f\u0927\u093f\u0924\u094d\u0935<\/h2>\n

\u0917\u0923\u093f\u0924\u0940\u092f\u0926\u0943\u0937\u094d\u091f\u094d\u092f\u093e, T \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u091a\u093e \u0906\u092a\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0939\u093e {0, T} \u092f\u093e \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u0926\u093f\u0932\u0947\u0932\u093e \u0915\u093e\u0939\u0940 f(x) \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0939\u0947 (\u092f\u093e \u092a\u094d\u0930\u0915\u0930\u0923\u093e\u0924 X \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 \u0935\u0947\u0933). \u0905\u0936\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u0932\u093e \u0928\u0947\u0939\u092e\u0940 \u092a\u0941\u0922\u0940\u0932 \u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a\u093e\u0924\u0940\u0932 harmonic functions (sine \u0915\u093f\u0902\u0935\u093e cosine) \u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947:<\/p>\n

\"\u0938\u0924\u0924

\u00a0(1), \u091c\u093f\u0925\u0947:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k \u0939\u093e \u0924\u094d\u0930\u093f\u0915\u094b\u0923\u092e\u093f\u0924\u0940\u092f \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u093e \u0915\u094d\u0930\u092e\u093e\u0902\u0915 \u0906\u0939\u0947 (harmonic component \u091a\u093e \u0915\u094d\u0930\u092e\u093e\u0902\u0915, harmonic \u091a\u093e \u0915\u094d\u0930\u092e\u093e\u0902\u0915)
\nT – \u091c\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u092d\u093e\u0917\u093e\u0935\u0930 \u092b\u0932\u0928 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0906\u0939\u0947 \u0924\u094b \u0935\u093f\u092d\u093e\u0917 (\u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940)
\nAk - k-\u0935\u094d\u092f\u093e harmonic component \u091a\u0947 amplitude,
\n\u03b8k - k-\u0935\u094d\u092f\u093e harmonic component \u091a\u0940 \u092a\u094d\u0930\u093e\u0930\u0902\u092d\u093f\u0915 phase
\n“\u092b\u0932\u0928\u093e\u0932\u093e \u0936\u094d\u0930\u0947\u0923\u0940\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0923\u0947” \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 \u0915\u093e\u092f? \u092f\u093e\u091a\u093e \u0905\u0930\u094d\u0925 \u0905\u0938\u093e \u0915\u0940 Fourier series \u092e\u0927\u0940\u0932 harmonic components \u091a\u0940 \u092e\u0942\u0932\u094d\u092f\u0947 \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 \u092c\u093f\u0902\u0926\u0942\u0935\u0930 \u092c\u0947\u0930\u0940\u091c \u0915\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e\u0932\u093e \u0924\u094d\u092f\u093e \u092c\u093f\u0902\u0926\u0942\u0935\u0930\u0940\u0932 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0947 \u092e\u0942\u0932\u094d\u092f \u092e\u093f\u0933\u0924\u0947.
\n(\u0905\u0927\u093f\u0915 \u0915\u0920\u094b\u0930\u092a\u0923\u0947 \u0938\u093e\u0902\u0917\u093e\u092f\u091a\u0947 \u0924\u0930, \u0936\u094d\u0930\u0947\u0923\u0940 \u0906\u0923\u093f f(x) \u092b\u0932\u0928 \u092f\u093e\u0902\u0924\u0940\u0932 mean square deviation \u0936\u0942\u0928\u094d\u092f\u093e\u0915\u0921\u0947 \u091d\u0941\u0915\u0947\u0932; \u092a\u0930\u0902\u0924\u0941 mean square convergence \u0905\u0938\u0942\u0928\u0939\u0940, \u090f\u0916\u093e\u0926\u094d\u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0940 Fourier series \u0938\u0930\u094d\u0935\u0938\u093e\u0927\u093e\u0930\u0923\u092a\u0923\u0947 \u092c\u093f\u0902\u0926\u0942\u0928\u093f\u0939\u093e\u092f \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e\u0915\u0921\u0947 \u0905\u092d\u093f\u0938\u0930\u0924\u0947\u091a \u0905\u0938\u0947 \u0928\u093e\u0939\u0940.)
\n\u0939\u0940 \u0936\u094d\u0930\u0947\u0923\u0940 \u092a\u0941\u0922\u0940\u0932 \u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a\u093e\u0924\u0939\u0940 \u0932\u093f\u0939\u093f\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\u091c\u093f\u0925\u0947 \"Fourier , k-\u0935\u094d\u092f\u093e complex amplitude.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u0915\u093f\u0902\u0935\u093e<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\u0917\u0941\u0923\u093e\u0902\u0915 (1) \u0906\u0923\u093f (3) \u092f\u093e\u0902\u0924\u0940\u0932 \u0938\u0902\u092c\u0902\u0927 \u092a\u0941\u0922\u0940\u0932 \u0938\u0942\u0924\u094d\u0930\u093e\u0902\u0928\u0940 \u0935\u094d\u092f\u0915\u094d\u0924 \u0915\u0947\u0932\u093e \u091c\u093e\u0924\u094b:<\/p>\n

\"Formula<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fourier<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\u0932\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0918\u094d\u092f\u093e \u0915\u0940 Fourier series \u091a\u0940 \u0939\u0940 \u0924\u093f\u0928\u094d\u0939\u0940 \u0930\u0942\u092a\u0947 \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u092a\u0923\u0947 \u0938\u092e\u0924\u0941\u0932\u094d\u092f \u0906\u0939\u0947\u0924. \u0915\u0927\u0940 \u0915\u0927\u0940 Fourier series \u0938\u094b\u092c\u0924 \u0915\u093e\u092e \u0915\u0930\u0924\u093e\u0928\u093e sine \u0906\u0923\u093f cosine \u0910\u0935\u091c\u0940 imaginary argument \u091a\u0947 exponentials \u0935\u093e\u092a\u0930\u0923\u0947, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 complex \u0930\u0942\u092a\u093e\u0924\u0940\u0932 Fourier transform \u0935\u093e\u092a\u0930\u0923\u0947, \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0938\u094b\u092f\u0940\u091a\u0947 \u0905\u0938\u0924\u0947. \u092a\u0923 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0938\u0942\u0924\u094d\u0930 (1) \u0938\u094b\u092f\u0940\u091a\u0947 \u0906\u0939\u0947, \u091c\u093f\u0925\u0947 Fourier series \u0939\u0947 \u0938\u0902\u092c\u0926\u094d\u0927 amplitudes \u0906\u0923\u093f phases \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e cosines \u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0906\u0939\u0947. \u0915\u093e\u091f\u0947\u0915\u094b\u0930\u092a\u0923\u0947 \u0938\u093e\u0902\u0917\u093e\u092f\u091a\u0947 \u0924\u0930, \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u093e Fourier transform \u0916\u0930\u094b\u0916\u0930 complex coefficients \u0928\u093f\u0930\u094d\u092e\u093e\u0923 \u0915\u0930\u0924\u094b (\u0930\u0942\u092a (3)): \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 coefficient \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e harmonic \u091a\u0940 amplitude \u0906\u0923\u093f phase \u0926\u094b\u0928\u094d\u0939\u0940 \u0935\u0939\u0928 \u0915\u0930\u0924\u094b. \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u0938\u093e\u0920\u0940 \u092f\u093e complex coefficients \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 conjugate (Hermitian) symmetry \u0905\u0938\u0924\u0947 \u2014 negative-frequency \u0905\u0930\u094d\u0927\u093e \u092d\u093e\u0917 positive-frequency \u0905\u0930\u094d\u0927\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947 \u092a\u094d\u0930\u0924\u093f\u092c\u093f\u0902\u092c \u0905\u0938\u0924\u094b \u0906\u0923\u093f \u0905\u0924\u093f\u0930\u093f\u0915\u094d\u0924 \u092e\u093e\u0939\u093f\u0924\u0940 \u0926\u0947\u0924 \u0928\u093e\u0939\u0940. \u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928\u091a, \u092f\u093e complex coefficients \u092e\u0927\u0942\u0928 \u0906\u092a\u0923 \u0928\u0947\u0939\u092e\u0940 \u0938\u0942\u0924\u094d\u0930 (1) \u092e\u0927\u0940\u0932 \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 non-negative amplitudes Ak \u0906\u0923\u093f phases \u03b8k \u0915\u0921\u0947 \u091c\u093e\u090a \u0936\u0915\u0924\u094b \u2014 \u0906\u0923\u093f \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923 \u0915\u093e\u0930\u094d\u092f\u0915\u094d\u0930\u092e \u0928\u0947\u092e\u0915\u0947 \u0939\u0947\u091a amplitude spectrum \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u093e\u0924.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u0928\u093f\u0937\u094d\u0915\u0930\u094d\u0937:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>\u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u0932 \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923\u093e\u091a\u093e \u0917\u0923\u093f\u0924\u0940\u092f \u092a\u093e\u092f\u093e Fourier transform \u0906\u0939\u0947.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fourier transform \u092e\u0941\u0933\u0947 {0, T} \u092f\u093e \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0938\u0924\u0924 f(x) (\u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932) \u0932\u093e \u0928\u093f\u0936\u094d\u091a\u093f\u0924 amplitudes \u0906\u0923\u093f phases \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e, \u0906\u0923\u093f \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a {0, T} \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u0935\u093f\u091a\u093e\u0930\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e, \u0905\u0928\u0902\u0924 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0924\u094d\u0930\u093f\u0915\u094b\u0923\u092e\u093f\u0924\u0940\u092f \u092b\u0932\u0928\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e (sine \u0906\u0923\u093f\/\u0915\u093f\u0902\u0935\u093e cosine) \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947. \u0905\u0936\u093e \u0936\u094d\u0930\u0947\u0923\u0940\u0932\u093e Fourier series \u092e\u094d\u0939\u0923\u0924\u093e\u0924.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

\u0906\u0923\u0916\u0940 \u0915\u093e\u0939\u0940 \u092e\u0941\u0926\u094d\u0926\u0947 \u0932\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0918\u094d\u092f\u093e, \u091c\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u0947 \u0906\u0915\u0932\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 Fourier transform \u091a\u093e \u092f\u094b\u0917\u094d\u092f \u0935\u093e\u092a\u0930 \u0915\u0930\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0906\u0935\u0936\u094d\u092f\u0915 \u0906\u0939\u0947. \u091c\u0930 \u0906\u092a\u0923 \u0938\u0902\u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 X-\u0905\u0915\u094d\u0937\u093e\u0935\u0930 Fourier series (sinusoids \u091a\u0940 \u092c\u0947\u0930\u0940\u091c) \u0935\u093f\u091a\u093e\u0930\u093e\u0924 \u0918\u0947\u0924\u0932\u0940, \u0924\u0930 {0, T} \u092f\u093e \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u093e\u0939\u0947\u0930 Fourier series \u092b\u0932\u0928 \u0906\u092a\u0932\u0947 \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940\u092a\u0923\u0947 \u092a\u0941\u0928\u094d\u0939\u093e \u092a\u0941\u0928\u094d\u0939\u093e \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0947\u0932.<\/p>\n

\u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923\u093e\u0930\u094d\u0925, \u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 7 \u092e\u0927\u0940\u0932 \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u092e\u0942\u0933 \u092b\u0932\u0928 {-T\\2, +T\\2} \u092f\u093e \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0906\u0939\u0947, \u0906\u0923\u093f Fourier series \u0938\u0902\u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 x-\u0905\u0915\u094d\u0937\u093e\u0935\u0930 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u0947.<\/p>\n

\u092f\u093e\u091a\u0947 \u0915\u093e\u0930\u0923 \u0905\u0938\u0947 \u0915\u0940 sinusoids \u0938\u094d\u0935\u0924\u0903 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928\u0947 \u0906\u0939\u0947\u0924, \u0924\u094d\u092f\u093e\u092e\u0941\u0933\u0947 \u0924\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u0940 \u092c\u0947\u0930\u0940\u091c\u0939\u0940 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928\u091a \u0905\u0938\u0947\u0932.<\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 7. Fourier series \u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u0947 \u0905\u092a\u0930\u093f\u092f\u093e\u0926\u093f\u0915 \u0938\u094d\u0930\u094b\u0924 \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0947 \u092a\u094d\u0930\u0924\u093f\u0928\u093f\u0927\u093f\u0924\u094d\u0935<\/p><\/div>\n

\u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928:<\/p>\n

\u0906\u092a\u0932\u0947 \u092e\u0942\u0933 \u092b\u0932\u0928 \u0939\u0947 T \u0932\u093e\u0902\u092c\u0940\u091a\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u0939\u0940 \u0935\u093f\u092d\u093e\u0917\u093e\u0935\u0930 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0938\u0924\u0924, \u0905\u092a\u0930\u093f\u092f\u093e\u0926\u093f\u0915 \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0939\u0947.
\n\u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0906\u0939\u0947, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 \u0924\u0947 harmonic components \u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0928\u0902\u0924 \u0936\u094d\u0930\u0947\u0923\u0940\u0928\u0947 – Fourier series \u0928\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u0947 \u091c\u093e\u0924\u0947.
\n\u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 Fourier series \u0915\u093e\u0939\u0940 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928 \u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u093f\u0924 \u0915\u0930\u0924\u0947, \u091c\u0947 {0, T} \u092f\u093e \u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u0936\u0940 \u091c\u0941\u0933\u0924\u0947; \u092a\u0923 \u0939\u0940 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0924\u093e \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u092e\u0939\u0924\u094d\u0924\u094d\u0935\u093e\u091a\u0940 \u0928\u093e\u0939\u0940.<\/p>\n

Next.<\/p>\n

The periods of harmonic components are multiples of the interval {0, T}, on which the initial function f(x) is defined. In other words, the periods of harmonics are multiples of the duration of the signal measurement. For example, the period of the first harmonic in a Fourier series is equal to the interval T in which the function f(x) is defined. The period of the second harmonic in a Fourier series is equal to the interval T\/2. And so on (see Figure 8).<\/p>\n

\"Fig.

Fig. 8 Periods (frequencies) of harmonic components of the Fourier series (here T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

Accordingly, the frequencies of harmonic components are multiples of 1\/T. That is, frequencies of harmonic components Fk are Fk= k\\T, where k runs values from 0 to \u221e, for example, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (at zero frequency, a constant component).<\/p>\n

Let our initial function, is a signal recorded during T=1 sec. Then the period of the first harmonic will be equal to the duration of our signal T1=T=1 sec and the frequency of the harmonic is equal to 1 Hz. The period of the second harmonic will be equal to the duration of our signal divided by 2 (T2=T\/2=0.5 sec.) and the frequency is equal to 2 Hz. For the third harmonic, T3=T\/3 sec and the frequency is 3 Hz. And so on.<\/p>\n

The step between harmonics in this case is 1 Hz.<\/p>\n

Thus, a signal with a duration of 1 sec can be decomposed into harmonic components (to obtain a spectrum) with a frequency resolution of 1 Hz.
\nTo increase the resolution by a factor of 2 to 0.5 Hz, it is necessary to increase the duration of measurement by a factor of 2 to 2 sec. A 10-second signal can be decomposed into harmonic components (spectrum) with a frequency resolution of 0.1 Hz. There are no other ways to increase frequency resolution. You can explore this relationship with our FFT \u0930\u0947\u091c\u094b\u0932\u094d\u092f\u0942\u0936\u0928 \u0915\u0945\u0932\u0915\u094d\u092f\u0941\u0932\u0947\u091f\u0930<\/a>.<\/p>\n

There is a way to artificially increase the signal duration by adding zeros to the array of samples. But it does not increase the real frequency resolution.<\/p>\n

Discrete signals and discrete Fourier transform<\/h2>\n

With the development of digital technology the ways of measurement data (signals) storage have changed. Whereas previously a signal could be recorded on a tape recorder and stored on a tape in analog form, now signals are digitized and stored in files in computer memory as a set of numbers (counts).<\/p>\n

The usual scheme of signal measurement and digitization looks as follows.<\/p>\n

Measuring transducer —- Signal normalizer —- ADC —– Computer
\n(Fig.9 Schematic of the measuring channel)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

The signal from the measuring transducer goes to the ADC for a period of time T. The signal readings (sampling) received during time T are transmitted to the computer and saved in the memory.<\/p>\n

\"Fig.10

Fig.10 Digitized signal – N samples received for time T<\/p><\/div>\n

What are the requirements to signal digitization parameters? A device which converts the input analog signal into a discrete code (digital signal) is called an analog-to-digital converter (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

One of the basic parameters of ADC is the maximum sampling rate – the frequency of sampling of a signal which is continuous in time. Sample rate is measured in hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

Kotelnikov \u091a\u094d\u092f\u093e \u092a\u094d\u0930\u092e\u0947\u092f\u093e\u0928\u0941\u0938\u093e\u0930, \u091c\u0930 \u0938\u0924\u0924 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e Fmax \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u092a\u0930\u094d\u092f\u0902\u0924 \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093f\u0924 \u0905\u0938\u0947\u0932, \u0924\u0930 \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax) \u092f\u093e \u0935\u0947\u0933-\u0905\u0902\u0924\u0930\u093e\u0935\u0930 \u0918\u0947\u0924\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u092a\u093e\u0938\u0942\u0928, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 sampling frequency Fd \u2265 2*Fmax \u0905\u0938\u0924\u093e\u0928\u093e, \u0924\u094b \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u092a\u0923\u0947 \u0906\u0923\u093f \u0905\u0926\u094d\u0935\u093f\u0924\u0940\u092f\u0930\u0940\u0924\u094d\u092f\u093e \u092a\u0941\u0928\u0930\u094d\u0928\u093f\u0930\u094d\u092e\u093f\u0924 \u0915\u0930\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u094b; \u092f\u0947\u0925\u0947 Fd – sampling frequency, Fmax – \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u091a\u0940 \u0915\u092e\u093e\u0932 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e. \u0926\u0941\u0938\u0931\u094d\u092f\u093e \u0936\u092c\u094d\u0926\u093e\u0902\u0924, \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 digitization \u091a\u0940 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e (ADC \u091a\u0940 sampling frequency) \u0939\u0940 \u0906\u092a\u0923 \u092e\u094b\u091c\u0942 \u0907\u091a\u094d\u091b\u093f\u0924 \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0915\u092e\u093e\u0932 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u092a\u0947\u0915\u094d\u0937\u093e \u0915\u093f\u092e\u093e\u0928 \u0926\u0941\u092a\u094d\u092a\u091f \u0905\u0938\u0932\u0940 \u092a\u093e\u0939\u093f\u091c\u0947.<\/p>\n

And what will happen if we take samples with lower frequency than required by Kotelnikov’s theorem?<\/p>\n

\u092f\u093e \u092a\u094d\u0930\u0915\u0930\u0923\u093e\u0924 “\u0905\u0932\u093e\u092f\u0938\u093f\u0902\u0917<\/a>” \u092a\u094d\u0930\u092d\u093e\u0935 (\u0909\u0930\u094d\u092b stroboscopic effect, moir\u00e9 effect) \u0928\u093f\u0930\u094d\u092e\u093e\u0923 \u0939\u094b\u0924\u094b, \u091c\u094d\u092f\u093e\u0924 \u0909\u091a\u094d\u091a \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 digitization \u0928\u0902\u0924\u0930 \u0915\u092e\u0940 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0930\u0942\u092a\u093e\u0902\u0924\u0930\u093f\u0924 \u0939\u094b\u0924\u094b, \u091c\u094b \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0905\u0938\u094d\u0924\u093f\u0924\u094d\u0935\u093e\u0924 \u0928\u0938\u0924\u094b. \u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 11 \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0909\u091a\u094d\u091a \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u0940 \u0932\u093e\u0932 sine wave \u0939\u093e \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0906\u0939\u0947. \u0915\u092e\u0940 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u0940 \u0928\u093f\u0933\u0940 sine wave \u0939\u093e \u0915\u093e\u0932\u094d\u092a\u0928\u093f\u0915 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0906\u0939\u0947, \u091c\u094b sampling \u0926\u0930\u092e\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0909\u091a\u094d\u091a-\u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0927\u094d\u092f\u093e\u0939\u0942\u0928 \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 \u0928\u093f\u0918\u0942\u0928 \u0917\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e\u092e\u0941\u0933\u0947 \u0928\u093f\u0930\u094d\u092e\u093e\u0923 \u0939\u094b\u0924\u094b.<\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 11. \u0905\u092a\u0941\u0930\u0940 \u0909\u091a\u094d\u091a sampling rate \u0905\u0938\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938 \u0916\u094b\u091f\u093e \u0915\u092e\u0940-\u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0926\u093f\u0938\u0923\u0947<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Aliasing \u092a\u094d\u0930\u092d\u093e\u0935 \u091f\u093e\u0933\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940, ADC \u092a\u0942\u0930\u094d\u0935\u0940 \u090f\u0915 \u0935\u093f\u0936\u0947\u0937 anti-alias filter (\u0915\u092e\u0940-\u092a\u093e\u0938 \u092b\u093f\u0932\u094d\u091f\u0930<\/a>) \u092c\u0938\u0935\u0932\u093e \u091c\u093e\u0924\u094b. \u0924\u094b ADC sampling frequency \u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0927\u094d\u092f\u093e\u0939\u0942\u0928 \u0915\u092e\u0940 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e \u092a\u093e\u0938 \u0915\u0930\u0924\u094b \u0906\u0923\u093f \u0924\u094d\u092f\u093e\u092a\u0947\u0915\u094d\u0937\u093e \u091c\u093e\u0938\u094d\u0924 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e \u0915\u093e\u092a\u0942\u0928 \u091f\u093e\u0915\u0924\u094b.<\/p>\n

\u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u0935\u0930\u0942\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u092e\u094b\u091c\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 Fourier transform (DFT)<\/a> \u0935\u093e\u092a\u0930\u0932\u093e \u091c\u093e\u0924\u094b. \u092a\u0941\u0928\u094d\u0939\u093e \u0932\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0918\u094d\u092f\u093e \u0915\u0940 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e “\u092a\u0930\u093f\u092d\u093e\u0937\u0947\u0928\u0941\u0938\u093e\u0930” Fmax \u092f\u093e \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u0928\u0947 \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093f\u0924 \u0905\u0938\u0924\u0947, \u091c\u0940 sampling frequency Fd \u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0927\u094d\u092f\u093e\u092a\u0947\u0915\u094d\u0937\u093e \u0915\u092e\u0940 \u0905\u0938\u0924\u0947. \u0924\u094d\u092f\u093e\u092e\u0941\u0933\u0947 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093f\u0924 <\/u>\u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e harmonics \u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947; \u0939\u0947 \u0938\u0924\u0924 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e Fourier series \u092e\u0927\u0940\u0932 \u0905\u0928\u0902\u0924 \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u092a\u0947\u0915\u094d\u0937\u093e \u0935\u0947\u0917\u0933\u0947 \u0906\u0939\u0947, \u0915\u093e\u0930\u0923 \u0924\u094d\u092f\u093e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u0932\u093e \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093e \u0928\u0938\u0942 \u0936\u0915\u0924\u0947. Kotelnikov \u091a\u094d\u092f\u093e \u092a\u094d\u0930\u092e\u0947\u092f\u093e\u0928\u0941\u0938\u093e\u0930, harmonic \u091a\u0940 \u0915\u092e\u093e\u0932 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e \u0905\u0936\u0940 \u0905\u0938\u093e\u0935\u0940 \u0915\u0940 \u0924\u093f\u091a\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0915\u093f\u092e\u093e\u0928 \u0926\u094b\u0928 \u0928\u092e\u0941\u0928\u0947 \u0909\u092a\u0932\u092c\u094d\u0927 \u0905\u0938\u0924\u0940\u0932; \u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928 harmonics \u091a\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0927\u0940 \u0905\u0938\u0924\u0947. \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947\u091a, sample \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 N \u0928\u092e\u0941\u0928\u0947 \u0905\u0938\u0924\u0940\u0932, \u0924\u0930 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u092e\u0927\u0940\u0932 harmonics \u091a\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e N\/2 \u0905\u0938\u0947\u0932.<\/p>\n

\u0906\u0924\u093e discrete Fourier transform (DFT) \u0935\u093f\u091a\u093e\u0930\u093e\u0924 \u0918\u0947\u090a\u092f\u093e.<\/p>\n

\"Discrete<\/p>\n

Fourier series \u0936\u0940 \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u0940 \u0924\u0941\u0932\u0928\u093e \u0915\u0930\u0924\u093e\u0928\u093e<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Discrete<\/p>\n

\u0906\u092a\u0923 \u092a\u093e\u0939\u0942 \u0936\u0915\u0924\u094b \u0915\u0940 \u0924\u0947 \u091c\u0941\u0933\u0924\u093e\u0924; \u092b\u0930\u0915 \u0907\u0924\u0915\u093e\u091a \u0915\u0940 FFT \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0935\u0947\u0933 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0905\u0938\u0924\u094b \u0906\u0923\u093f harmonics \u091a\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e N\/2 \u092a\u0930\u094d\u092f\u0902\u0924 \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093f\u0924 \u0905\u0938\u0924\u0947, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0927\u0940.<\/p>\n

DFT \u091a\u0940 \u0938\u0942\u0924\u094d\u0930\u0947 dimensionless \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u093e\u0902\u0915 \u091a\u0932 k, s \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0932\u093f\u0939\u093f\u0932\u0940 \u091c\u093e\u0924\u093e\u0924, \u091c\u093f\u0925\u0947 k \u0939\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u093e \u0915\u094d\u0930\u092e\u093e\u0902\u0915 \u0906\u0939\u0947 \u0906\u0923\u093f s \u0939\u093e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u0932 \u0918\u091f\u0915\u093e\u0902\u091a\u093e \u0915\u094d\u0930\u092e\u093e\u0902\u0915 \u0906\u0939\u0947.
\ns \u091a\u0947 \u092e\u0942\u0932\u094d\u092f \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 T (\u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u092e\u093e\u092a\u0928 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940) \u092a\u094d\u0930\u0924\u093f \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 harmonic oscillations \u091a\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u0947. discrete Fourier transform \u091a\u093e \u0935\u093e\u092a\u0930 harmonics \u091a\u0940 amplitudes \u0906\u0923\u093f phases \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0924\u094d\u092e\u0915\u0930\u0940\u0924\u094d\u092f\u093e, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947\u091a “\u0915\u0949\u092e\u094d\u092a\u094d\u092f\u0941\u091f\u0930\u0935\u0930”, \u0936\u094b\u0927\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0915\u0947\u0932\u093e \u091c\u093e\u0924\u094b.<\/p>\n

\u0935\u0930 \u0906\u0927\u0940\u091a \u0938\u093e\u0902\u0917\u093f\u0924\u0932\u094d\u092f\u093e\u092a\u094d\u0930\u092e\u093e\u0923\u0947, \u0905\u092a\u0930\u093f\u092f\u093e\u0926\u093f\u0915 \u092b\u0932\u0928\u093e\u0932\u093e (\u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u0932\u093e) Fourier series \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0935\u093f\u0918\u091f\u093f\u0924 \u0915\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e\u0935\u0930 \u0924\u092f\u093e\u0930 \u0939\u094b\u0923\u093e\u0930\u0940 Fourier series \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 T \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928\u093e\u0936\u0940 \u0938\u0941\u0938\u0902\u0917\u0924 \u0905\u0938\u0924\u0947 (\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 12).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fig.12.

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 12. \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 T0 \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928 f(x), \u091c\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 T>T0<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 12 \u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0926\u093f\u0938\u0924\u0947 \u0924\u0938\u0947, f(x) \u0939\u0947 T0 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u091a\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0939\u0947. \u092a\u0930\u0902\u0924\u0941 \u092e\u093e\u092a\u0928 sample \u091a\u0940 \u0932\u093e\u0902\u092c\u0940 T \u0939\u0940 \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e T0 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0907\u0924\u0915\u0940 \u0928\u0938\u0932\u094d\u092f\u093e\u092e\u0941\u0933\u0947, Fourier series \u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928 \u092e\u093f\u0933\u0923\u093e\u0931\u094d\u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u0924 \u092c\u093f\u0902\u0926\u0942 T \u092f\u0947\u0925\u0947 \u0935\u093f\u0938\u0902\u0917\u0924\u0940 \u092f\u0947\u0924\u0947. \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0940, \u092f\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u092e\u094b\u0920\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u0928\u0947 \u0909\u091a\u094d\u091a-\u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u0947\u091a\u0947 harmonics \u0905\u0938\u0924\u093e\u0924. \u092f\u093e \u0918\u091f\u0928\u0947\u0932\u093e \u0935\u0930\u094d\u0923\u0915\u094d\u0930\u092e\u0940\u092f \u0930\u093f\u0938\u093e\u0935<\/a>\u092e\u094d\u0939\u0923\u0924\u093e\u0924, \u0906\u0923\u093f \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937 \u0935\u093e\u092a\u0930\u093e\u0924 \u0924\u0940 transform \u092a\u0942\u0930\u094d\u0935\u0940 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u0932\u093e \u0935\u093f\u0902\u0921\u094b\u0907\u0902\u0917<\/a> \u0932\u093e\u0935\u0942\u0928 \u0915\u092e\u0940 \u0915\u0947\u0932\u0940 \u091c\u093e\u0924\u0947. \u091c\u0930 \u092e\u093e\u092a\u0928 sample \u091a\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 T \u0939\u093e \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e T0 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0936\u0940 \u091c\u0941\u0933\u0932\u093e \u0905\u0938\u0924\u093e, \u0924\u0930 Fourier transform \u0928\u0902\u0924\u0930 \u092e\u093f\u0933\u0923\u093e\u0931\u094d\u092f\u093e \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u092b\u0915\u094d\u0924 \u092a\u0939\u093f\u0932\u093e harmonic \u0905\u0938\u0924\u093e (\u091c\u094d\u092f\u093e\u091a\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 sample \u091a\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0907\u0924\u0915\u093e\u091a \u0905\u0938\u0924\u094b), \u0915\u093e\u0930\u0923 f(x) \u0939\u0947 sinusoid \u0906\u0939\u0947.<\/p>\n

\u0926\u0941\u0938\u0931\u094d\u092f\u093e \u0936\u092c\u094d\u0926\u093e\u0902\u0924, DFT \u092a\u094d\u0930\u094b\u0917\u094d\u0930\u093e\u092e\u0932\u093e \u0906\u092a\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 “sine wave \u091a\u093e \u0924\u0941\u0915\u0921\u093e” \u0906\u0939\u0947 \u0939\u0947 “\u092e\u093e\u0939\u093f\u0924\u0940 \u0928\u0938\u0924\u0947”; \u0924\u094b \u0924\u094d\u092f\u093e\u0910\u0935\u091c\u0940 \u0938\u094d\u0935\u0924\u0902\u0924\u094d\u0930 sine wave \u0924\u0941\u0915\u0921\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0935\u093f\u0938\u0902\u0917\u0924\u0940\u092e\u0941\u0933\u0947 discontinuity \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928\u093e\u0932\u093e series \u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0923\u094d\u092f\u093e\u091a\u093e \u092a\u094d\u0930\u092f\u0924\u094d\u0928 \u0915\u0930\u0924\u094b.<\/p>\n

\u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0940, \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0905\u0938\u0947 harmonics \u0926\u093f\u0938\u0924\u093e\u0924, \u091c\u094d\u092f\u093e\u0902\u0928\u0940 \u090f\u0915\u0924\u094d\u0930\u093f\u0924\u092a\u0923\u0947 \u092f\u093e discontinuity \u0938\u0939 \u092b\u0932\u0928\u093e\u091a\u0947 \u0930\u0942\u092a \u0926\u093e\u0916\u0935\u0932\u0947 \u092a\u093e\u0939\u093f\u091c\u0947.<\/p>\n

\u092e\u094d\u0939\u0923\u0942\u0928\u091a, \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0928\u0947\u0915 sinusoids \u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u093e “\u092f\u094b\u0917\u094d\u092f” \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u092e\u093f\u0933\u0935\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940, \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u093e\u0902\u0915 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u0947\u0928\u0947 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 <\/u>\u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 sinusoid \u091a\u0947 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u092e\u093e\u092a\u0928 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0924 \u0905\u0938\u0923\u0947 \u0906\u0935\u0936\u094d\u092f\u0915 \u0906\u0939\u0947. \u0935\u094d\u092f\u0935\u0939\u093e\u0930\u093e\u0924, \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u092e\u093e\u092a\u0928\u093e\u091a\u093e \u092a\u0941\u0930\u0947\u0938\u093e \u092e\u094b\u0920\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 \u0918\u0947\u0924\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938 \u0939\u0940 \u0905\u091f \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 \u0915\u0930\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 13. gearbox \u091a\u094d\u092f\u093e kinematic error signal function \u0906\u0923\u093f \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u091a\u0947 \u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 \u0915\u092e\u0940 \u0905\u0938\u0932\u094d\u092f\u093e\u0938 \u091a\u093f\u0924\u094d\u0930 \u0905\u0927\u093f\u0915 “\u0935\u093e\u0908\u091f” \u0926\u093f\u0938\u0947\u0932:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940

\u0906\u0915\u0943\u0924\u0940 14. \u0930\u094b\u091f\u0930 \u0915\u0902\u092a\u0928 \u092b\u0932\u0928 \u0906\u0923\u093f \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u091a\u0947 \u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\u0935\u094d\u092f\u0935\u0939\u093e\u0930\u093e\u0924, “\u0916\u0930\u0947 \u0918\u091f\u0915” \u0915\u0941\u0920\u0947 \u0906\u0939\u0947\u0924 \u0906\u0923\u093f \u0918\u091f\u0915\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940 \u0935 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 sampling \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0924\u0940\u0932 \u0935\u093f\u0938\u0902\u0917\u0924\u0940\u092e\u0941\u0933\u0947 \u0915\u093f\u0902\u0935\u093e waveform \u092e\u0927\u0940\u0932 “\u0909\u0921\u094d\u092f\u093e \u0935 \u0924\u0941\u091f\u0923\u0947” \u092f\u093e\u0902\u092e\u0941\u0933\u0947 \u0928\u093f\u0930\u094d\u092e\u093e\u0923 \u091d\u093e\u0932\u0947\u0932\u0947 “artifacts” \u0915\u0941\u0920\u0947 \u0906\u0939\u0947\u0924 \u0939\u0947 \u0938\u092e\u091c\u0923\u0947 \u0905\u0935\u0918\u0921 \u0905\u0938\u0942 \u0936\u0915\u0924\u0947. \u0905\u0930\u094d\u0925\u093e\u0924\u091a, “\u0916\u0930\u0947 \u0918\u091f\u0915” \u0906\u0923\u093f “artifacts” \u0939\u0947 \u0936\u092c\u094d\u0926 \u0935\u093f\u0928\u093e\u0915\u093e\u0930\u0923 \u0909\u0926\u094d\u0927\u0930\u0923\u091a\u093f\u0928\u094d\u0939\u093e\u0902\u0924 \u0920\u0947\u0935\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0928\u093e\u0939\u0940\u0924. \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0917\u094d\u0930\u093e\u092b\u0935\u0930 \u0905\u0928\u0947\u0915 harmonics \u0926\u093f\u0938\u0924\u093e\u0924 \u092f\u093e\u091a\u093e \u0905\u0930\u094d\u0925 \u0906\u092a\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937\u093e\u0924 \u0924\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e\u092a\u093e\u0938\u0942\u0928 \u092c\u0928\u0932\u0947\u0932\u093e \u0906\u0939\u0947 \u0905\u0938\u093e \u0939\u094b\u0924 \u0928\u093e\u0939\u0940. \u0939\u0947 \u091c\u0923\u0942 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e 7 \u0939\u0940 3 \u0906\u0923\u093f 4 \u092a\u093e\u0938\u0942\u0928 “\u092c\u0928\u0932\u0947\u0932\u0940” \u0906\u0939\u0947 \u0905\u0938\u0947 \u092e\u094d\u0939\u0923\u0923\u094d\u092f\u093e\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0906\u0939\u0947. \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e 7 \u0932\u093e 3 \u0906\u0923\u093f 4 \u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0940 \u092e\u093e\u0902\u0921\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947 – \u0924\u0947 \u092c\u0930\u094b\u092c\u0930 \u0906\u0939\u0947.<\/p>\n

\u0924\u0938\u0947\u091a \u0906\u092a\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932… \u0915\u093f\u0902\u0935\u093e \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0905\u091a\u0942\u0915\u092a\u0923\u0947 \u0938\u093e\u0902\u0917\u093e\u092f\u091a\u0947 \u0924\u0930, “\u0906\u092a\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932” \u0938\u0941\u0926\u094d\u0927\u093e \u0928\u0935\u094d\u0939\u0947, \u0924\u0930 \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u0940 (sample \u091a\u0940) \u092a\u0941\u0928\u0930\u093e\u0935\u0943\u0924\u094d\u0924\u0940 \u0915\u0930\u0942\u0928 \u0924\u092f\u093e\u0930 \u0915\u0947\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092b\u0932\u0928, \u0935\u093f\u0936\u093f\u0937\u094d\u091f amplitudes \u0906\u0923\u093f phases \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e harmonics (sine waves) \u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u092c\u0947\u0930\u091c\u0947\u0938\u093e\u0930\u0916\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u0947. \u092a\u0923 \u0935\u094d\u092f\u0935\u0939\u093e\u0930\u093e\u0924 \u092e\u0939\u0924\u094d\u0924\u094d\u0935\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0905\u0928\u0947\u0915 \u092a\u094d\u0930\u0938\u0902\u0917\u093e\u0902\u0924 (\u0935\u0930\u0940\u0932 \u0906\u0915\u0943\u0924\u094d\u092f\u093e \u092a\u0939\u093e) \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u092e\u093f\u0933\u093e\u0932\u0947\u0932\u0947 harmonics \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0915\u094d\u0937 \u091a\u0915\u094d\u0930\u0940\u092f \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e\u0902\u0936\u0940\u0939\u0940 \u091c\u094b\u0921\u0924\u093e \u092f\u0947\u0924\u093e\u0924, \u091c\u094d\u092f\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u094d\u092f\u093e \u0930\u0942\u092a\u093e\u0924 \u0932\u0915\u094d\u0937\u0923\u0940\u092f \u092f\u094b\u0917\u0926\u093e\u0928 \u0926\u0947\u0924\u093e\u0924.<\/p>\n

\u0915\u093e\u0939\u0940 \u0928\u093f\u0937\u094d\u0915\u0930\u094d\u0937<\/h2>\n

1. T \u0938\u0947\u0915\u0902\u0926 \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u091a\u093e \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u092e\u094b\u091c\u0932\u0947\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932, ADC \u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u0947 digitize \u0915\u0947\u0932\u0947\u0932\u093e, \u092e\u094d\u0939\u0923\u091c\u0947\u091a \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0928\u092e\u0941\u0928\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u091a\u093e\u0928\u0947 (N \u0924\u0941\u0915\u0921\u0947) \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u0947\u0932\u093e, \u092f\u093e\u0932\u093e harmonics \u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u091a\u093e\u0928\u0947 (N\/2 \u0924\u0941\u0915\u0921\u0947) \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u0947\u0932\u0947 \u0935\u093f\u091a\u094d\u091b\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0905\u092a\u0930\u093f\u092f\u093e\u0926\u093f\u0915 \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0905\u0938\u0924\u0947.<\/p>\n

2. \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0939\u093e \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 \u092e\u0942\u0932\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e \u0938\u0902\u091a\u093e\u0928\u0947 \u0926\u0930\u094d\u0936\u0935\u0932\u093e \u091c\u093e\u0924\u094b. \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947 DFT \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e conjugate symmetry \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u094d\u092f\u093e complex coefficients \u091a\u093e \u0938\u0902\u091a \u0905\u0938\u0924\u094b; \u0924\u094d\u092f\u093e\u0902\u091a\u094d\u092f\u093e\u092a\u093e\u0938\u0942\u0928 amplitude spectrum \u092e\u093f\u0933\u0924\u0947 \u2014 \u0927\u0928 \u0935\u093e\u0930\u0902\u0935\u093e\u0930\u0924\u093e\u0902\u0935\u0930\u0940\u0932 \u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915 non-negative amplitudes (\u0906\u0923\u093f phases) \u091a\u093e \u0938\u0902\u091a, \u0906\u0923\u093f \u0935\u094d\u092f\u0935\u0939\u093e\u0930\u093e\u0924 \u092f\u093e\u091a one-sided amplitude spectrum \u091a\u0947 \u0906\u0932\u0947\u0916\u0928 \u0915\u0947\u0932\u0947 \u091c\u093e\u0924\u0947. negative frequencies \u0905\u0938\u0932\u0947\u0932\u0947 two-sided complex \u0930\u0942\u092a \u0906\u0923\u093f one-sided amplitude\/phase \u0930\u0942\u092a \u0939\u0940 \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e\u091a\u0940 \u0938\u092e\u0924\u0941\u0932\u094d\u092f \u092a\u094d\u0930\u0924\u093f\u0928\u093f\u0927\u093f\u0924\u094d\u0935\u0947 \u0906\u0939\u0947\u0924 \u2014 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u0935\u093f\u0936\u094d\u0932\u0947\u0937\u0923\u093e\u0938\u093e\u0920\u0940 \u0938\u093e\u0927\u093e\u0930\u0923\u092a\u0923\u0947 one-sided amplitude spectrum \u0938\u094b\u092c\u0924 \u0915\u093e\u092e \u0915\u0930\u0923\u0947 \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0938\u094b\u092f\u0940\u091a\u0947 \u0905\u0938\u0924\u0947.<\/p>\n

3. T \u092f\u093e \u0935\u0947\u0933\u0940 \u092e\u094b\u091c\u0932\u0947\u0932\u093e \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u092b\u0915\u094d\u0924 \u0924\u094d\u092f\u093e T \u0915\u093e\u0932\u093e\u0935\u0927\u0940\u0924\u091a \u0928\u093f\u0936\u094d\u091a\u093f\u0924 \u0905\u0938\u0924\u094b. \u0906\u092a\u0923 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932 \u092e\u094b\u091c\u093e\u092f\u0932\u093e \u0938\u0941\u0930\u0941\u0935\u093e\u0924 \u0915\u0930\u0923\u094d\u092f\u093e\u092a\u0942\u0930\u094d\u0935\u0940 \u0915\u093e\u092f \u091d\u093e\u0932\u0947 \u0906\u0923\u093f \u0924\u094d\u092f\u093e\u0928\u0902\u0924\u0930 \u0915\u093e\u092f \u0939\u094b\u0908\u0932, \u0939\u0947 \u0935\u093f\u091c\u094d\u091e\u093e\u0928\u093e\u0932\u093e \u0920\u093e\u090a\u0915 \u0928\u093e\u0939\u0940. \u0906\u0923\u093f \u0906\u092a\u0932\u094d\u092f\u093e \u092c\u093e\u092c\u0924\u0940\u0924 \u0924\u0947 \u092e\u0939\u0924\u094d\u0924\u094d\u0935\u093e\u091a\u0947\u0939\u0940 \u0928\u093e\u0939\u0940. \u0935\u0947\u0933\u0947\u0928\u0947 \u092e\u0930\u094d\u092f\u093e\u0926\u093f\u0924 \u0938\u093f\u0917\u094d\u0928\u0932\u091a\u093e FFT \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u0947 “\u0935\u093e\u0938\u094d\u0924\u0935\u093f\u0915” \u0938\u094d\u092a\u0947\u0915\u094d\u091f\u094d\u0930\u092e \u0926\u0947\u0924\u094b, \u092f\u093e \u0905\u0930\u094d\u0925\u093e\u0928\u0947 \u0915\u0940 \u0915\u093e\u0939\u0940 \u0905\u091f\u0940\u0902\u092e\u0927\u094d\u092f\u0947 \u0924\u094b \u0924\u094d\u092f\u093e\u091a\u094d\u092f\u093e \u0918\u091f\u0915\u093e\u0902\u091a\u0940 amplitude \u0906\u0923\u093f frequency \u092e\u094b\u091c\u0942 \u0926\u0947\u0924\u094b.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/mr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}