{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"zastosowanie-transformaty-fouriera-do-analizy-sygnalow-wibracyjnych","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"Zastosowanie transformaty Fouriera do analizy sygna\u0142\u00f3w wibracyjnych."},"content":{"rendered":"

Zastosowanie transformaty Fouriera w analizie sygna\u0142\u00f3w drga\u0144<\/h1>\n

Andrei Shelkovenko. Jeden z tw\u00f3rc\u00f3w i za\u0142o\u017cyciel Vibromera.
\nT\u0142umaczenie artyku\u0142u mo\u017ce zawiera\u0107 nie\u015bcis\u0142o\u015bci.<\/p>\n

Transformata Fouriera i widmo sygna\u0142u<\/h2>\n

W wielu przypadkach zadaniem polegaj\u0105cym na uzyskaniu (obliczeniu) widmo<\/a> sygna\u0142u wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co. Znajduje si\u0119 tam przetwornik analogowo-cyfrowy (ADC), kt\u00f3ry poprzez pr\u00f3bkowanie cz\u0119stotliwo\u015bci<\/a> Fd przekszta\u0142ca sygna\u0142 ci\u0105g\u0142y, kt\u00f3ry dociera do jego wej\u015bcia w czasie T, na pr\u00f3bki cyfrowe – w liczbie N. Nast\u0119pnie ta tablica pr\u00f3bek jest przekazywana do jakiego\u015b programu (na przyk\u0142ad FourierScope<\/a><\/span>), kt\u00f3ra wy\u015bwietla N\/2 pewnych warto\u015bci liczbowych.<\/p>\n

Aby sprawdzi\u0107, czy program dzia\u0142a poprawnie, tworzymy tablic\u0119 pr\u00f3bek jako sum\u0119 dw\u00f3ch sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) i wprowadzamy j\u0105 do programu. Program narysowa\u0142 co nast\u0119puje:
\n

\"Transformata

Rys. 1 Wykres przebiegu czasowego sygna\u0142u<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"Rys.

Rys. 2 Wykres widma sygna\u0142u<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

There are two harmoniczne<\/a> na wykresie widma \u2013 5 Hz o amplitudzie 0,5 V i 10 Hz o amplitudzie 1 V, wszystko zgadza si\u0119 z wzorem sygna\u0142u oryginalnego. Wszystko jest w porz\u0105dku, program dzia\u0142a poprawnie.<\/p>\n

Oznacza to, \u017ce je\u015bli podamy rzeczywisty sygna\u0142 z mieszaniny dw\u00f3ch sinusoid na wej\u015bcie ADC, otrzymamy podobne widmo sk\u0142adaj\u0105ce si\u0119 z dw\u00f3ch harmonicznych.<\/p>\n

Tak wi\u0119c nasz prawdziwy <\/span><\/b><\/strong>zmierzony sygna\u0142 o czasie trwania 5 sekund<\/span><\/b><\/strong>zdigitalizowany przez ADC, tj. reprezentowany przez dyskretny <\/span><\/b><\/strong>pr\u00f3bek, ma dyskretny nieokresowy <\/span><\/b><\/strong>spektrum.
\nZ matematycznego punktu widzenia – ile jest b\u0142\u0119d\u00f3w w tym zdaniu? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Teraz spr\u00f3bujmy zmierzy\u0107 ten sam sygna\u0142 przez 0,5 sekundy.<\/p>\n

\"Rys.

Rys. 3 Wykres funkcji sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) dla okresu pomiaru 0,5 s<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Rys.

Rys. 4 Widmo funkcji<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Co\u015b tu jest nie tak! Harmoniczna o cz\u0119stotliwo\u015bci 10 Hz jest rysowana normalnie, a zamiast harmonicznej o cz\u0119stotliwo\u015bci 5 Hz pojawiaj\u0105 si\u0119 niewyra\u017ane harmoniczne.<\/p>\n

W internecie pisz\u0105, \u017ce trzeba doda\u0107 zera na ko\u0144cu pr\u00f3bki i widmo b\u0119dzie rysowane normalnie.<\/p>\n

\"Rys.

Rys. 5 Dodali\u015bmy zera do pr\u00f3bki do 5 sekund.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"Rys.

Rys. 6. Uzyskane widmo.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

To wcale nie o to chodzi. B\u0119d\u0119 musia\u0142 zaj\u0105\u0107 si\u0119 teori\u0105. Przejd\u017amy do Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– \u017ar\u00f3d\u0142o wiedzy.<\/p>\n

Funkcja ci\u0105g\u0142a i jej reprezentacja w postaci szeregu Fouriera<\/h2>\n

Matematycznie, nasz sygna\u0142 o czasie trwania T sekund jest pewn\u0105 funkcj\u0105 f(x) dan\u0105 na przedziale {0, T} (X w tym przypadku jest czasem). Tak\u0105 funkcj\u0119 mo\u017cna zawsze przedstawi\u0107 jako sum\u0119 funkcji harmonicznych (sinus lub cosinus) o postaci:<\/p>\n

\"Funkcja

\u00a0(1), gdzie:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k to numer funkcji trygonometrycznej (numer sk\u0142adnika harmonicznego, numer harmonicznej)
\nT – segment, w kt\u00f3rym zdefiniowana jest funkcja (czas trwania sygna\u0142u)
\nAk- amplituda k-tej sk\u0142adowej harmonicznej,
\n\u03b8k- faza pocz\u0105tkowa k-tej sk\u0142adowej harmonicznej
\nCo to znaczy “przedstawi\u0107 funkcj\u0119 jako sum\u0119 szeregu”? Oznacza to, \u017ce dodaj\u0105c warto\u015bci sk\u0142adowych harmonicznych szeregu Fouriera w ka\u017cdym punkcie, otrzymujemy warto\u015b\u0107 naszej funkcji w tym punkcie.
\n(M\u00f3wi\u0105c \u015bci\u015blej, \u015brednie kwadratowe odchylenie szeregu od funkcji f(x) b\u0119dzie d\u0105\u017cy\u0107 do zera, ale pomimo zbie\u017cno\u015bci \u015bredniokwadratowej, szereg Fouriera funkcji nie musi, og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, zbiega\u0107 si\u0119 do niej punkt po punkcie. )
\nSzereg ten mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wnie\u017c zapisany w postaci:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

gdzie \"R\u00f3wnanie k-t\u0105 amplitud\u0119 zespolon\u0105.<\/p>\n

 <\/p>\n

lub<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Zale\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy wsp\u00f3\u0142czynnikami (1) i (3) jest wyra\u017cona nast\u0119puj\u0105cymi wzorami:<\/p>\n

\"Wz\u00f3r<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Wz\u00f3r<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, \u017ce wszystkie te trzy przedstawienia szeregu Fouriera s\u0105 ca\u0142kowicie r\u00f3wnowa\u017cne. Czasami podczas pracy z szeregiem Fouriera wygodniej jest u\u017cywa\u0107 wyk\u0142adnik\u00f3w o argumencie urojonym zamiast sinus\u00f3w i cosinus\u00f3w, czyli stosowa\u0107 transformat\u0119 Fouriera w postaci zespolonej. Dla nas jednak wygodniej jest u\u017cywa\u0107 wzoru (1), w kt\u00f3rym szereg Fouriera jest przedstawiony jako suma cosinus\u00f3w o odpowiednich amplitudach i fazach. \u015aci\u015ble m\u00f3wi\u0105c, transformata Fouriera sygna\u0142u rzeczywistego rzeczywi\u015bcie daje wsp\u00f3\u0142czynniki zespolone (posta\u0107 (3)): ka\u017cdy wsp\u00f3\u0142czynnik zawiera zar\u00f3wno amplitud\u0119, jak i faz\u0119 swojej harmonicznej. Dla sygna\u0142u rzeczywistego te wsp\u00f3\u0142czynniki zespolone maj\u0105 symetri\u0119 sprz\u0119\u017con\u0105 (Hermitowsk\u0105) \u2014 po\u0142\u00f3wka cz\u0119stotliwo\u015bci ujemnych jest jedynie lustrzanym odbiciem po\u0142\u00f3wki dodatniej i nie zawiera dodatkowej informacji. Dlatego ze wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w zespolonych zawsze mo\u017cemy przej\u015b\u0107 do rzeczywistych nieujemnych amplitud Ak i faz \u03b8k ze wzoru (1) \u2014 i to w\u0142a\u015bnie to widmo amplitudowe jest rysowane przez programy analityczne.<\/p>\n

 <\/p>\n

Konkluzja:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Podstaw\u0105 matematyczn\u0105 analizy widmowej sygna\u0142\u00f3w jest transformata Fouriera.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Transformata Fouriera pozwala przedstawi\u0107 ci\u0105g\u0142\u0105 funkcj\u0119 f(x) (sygna\u0142) zdefiniowan\u0105 na przedziale {0, T} jako sum\u0119 niesko\u0144czonej liczby (niesko\u0144czony szereg) funkcji trygonometrycznych (sinus i\/lub cosinus) o okre\u015blonych amplitudach i fazach r\u00f3wnie\u017c rozwa\u017canych na przedziale {0, T}. Taki szereg nazywany jest szeregiem Fouriera.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Nale\u017cy zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119 na kilka dodatkowych kwestii, kt\u00f3rych zrozumienie jest niezb\u0119dne do prawid\u0142owego zastosowania transformaty Fouriera do analizy sygna\u0142u. Je\u015bli we\u017amiemy pod uwag\u0119 szereg Fouriera (sum\u0119 sinusoid) na ca\u0142ej osi X, zobaczymy, \u017ce poza przedzia\u0142em {0, T} funkcja szeregu Fouriera b\u0119dzie okresowo powtarza\u0107 nasz\u0105 funkcj\u0119.<\/p>\n

Na przyk\u0142ad na wykresie na Rys. 7 oryginalna funkcja jest zdefiniowana w przedziale {-T\\2, +T\\2}, a szereg Fouriera reprezentuje funkcj\u0119 okresow\u0105 zdefiniowan\u0105 na ca\u0142ej osi x.<\/p>\n

Wynika to z faktu, \u017ce sinusoidy same w sobie s\u0105 funkcjami okresowymi, wi\u0119c ich suma r\u00f3wnie\u017c b\u0119dzie funkcj\u0105 okresow\u0105.<\/p>\n

\"Rysunek

Rysunek 7 Przedstawienie nieokresowej funkcji \u017ar\u00f3d\u0142owej za pomoc\u0105 szeregu Fouriera<\/p><\/div>\n

Tak wi\u0119c:<\/p>\n

Nasza oryginalna funkcja jest ci\u0105g\u0142\u0105, nieokresow\u0105 funkcj\u0105 zdefiniowan\u0105 na pewnym odcinku o d\u0142ugo\u015bci T.
\nWidmo tej funkcji jest dyskretne, tzn. jest reprezentowane jako niesko\u0144czony szereg sk\u0142adowych harmonicznych – szereg Fouriera.
\nW rzeczywisto\u015bci szereg Fouriera definiuje pewn\u0105 funkcj\u0119 okresow\u0105, kt\u00f3ra pokrywa si\u0119 z nasz\u0105 funkcj\u0105 na przedziale {0, T}, ale dla nas ta okresowo\u015b\u0107 nie jest istotna.<\/p>\n

Dalej.<\/p>\n

Okresy sk\u0142adowych harmonicznych s\u0105 wielokrotno\u015bciami przedzia\u0142u {0, T}, na kt\u00f3rym zdefiniowana jest funkcja pocz\u0105tkowa f(x). Innymi s\u0142owy, okresy sk\u0142adowych harmonicznych s\u0105 wielokrotno\u015bciami czasu trwania pomiaru sygna\u0142u. Na przyk\u0142ad okres pierwszej harmonicznej w szeregu Fouriera jest r\u00f3wny przedzia\u0142owi T, w kt\u00f3rym zdefiniowana jest funkcja f(x). Okres drugiej harmonicznej w szeregu Fouriera jest r\u00f3wny przedzia\u0142owi T\/2. I tak dalej (patrz Rys. 8).<\/p>\n

\"Rys.

Rys. 8 Okresy (cz\u0119stotliwo\u015bci) sk\u0142adowych harmonicznych szeregu Fouriera (tutaj T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

Odpowiednio, cz\u0119stotliwo\u015bci sk\u0142adowych harmonicznych s\u0105 wielokrotno\u015bciami 1\/T. Oznacza to, \u017ce cz\u0119stotliwo\u015bci sk\u0142adowych harmonicznych Fk wynosz\u0105 Fk= k\\T, gdzie k przyjmuje warto\u015bci od 0 do \u221e, na przyk\u0142ad k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T; k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (przy zerowej cz\u0119stotliwo\u015bci, sk\u0142adowa sta\u0142a).<\/p>\n

Niech nasz\u0105 funkcj\u0105 pocz\u0105tkow\u0105 b\u0119dzie sygna\u0142 zarejestrowany w czasie T=1 sek. W\u00f3wczas okres pierwszej harmonicznej b\u0119dzie r\u00f3wny czasowi trwania naszego sygna\u0142u T1=T=1 sek. a cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 harmonicznej b\u0119dzie r\u00f3wna 1 Hz. Okres drugiej harmonicznej b\u0119dzie r\u00f3wny czasowi trwania naszego sygna\u0142u podzielonemu przez 2 (T2=T\/2=0,5 sek.), a cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 b\u0119dzie r\u00f3wna 2 Hz. Dla trzeciej harmonicznej, T3=T\/3 s, a cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 wynosi 3 Hz. I tak dalej.<\/p>\n

Krok mi\u0119dzy harmonicznymi w tym przypadku wynosi 1 Hz.<\/p>\n

W ten spos\u00f3b sygna\u0142 o czasie trwania 1 s mo\u017cna roz\u0142o\u017cy\u0107 na sk\u0142adowe harmoniczne (w celu uzyskania widma) z rozdzielczo\u015bci\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bci 1 Hz.
\nAby zwi\u0119kszy\u0107 rozdzielczo\u015b\u0107 dwukrotnie do 0,5 Hz, nale\u017cy wyd\u0142u\u017cy\u0107 czas trwania pomiaru dwukrotnie do 2 sekund. Sygna\u0142 trwaj\u0105cy 10 sekund mo\u017cna roz\u0142o\u017cy\u0107 na sk\u0142adowe harmoniczne (widmo) z rozdzielczo\u015bci\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bciow\u0105 wynosz\u0105c\u0105 0,1 Hz. Nie ma innych sposob\u00f3w na zwi\u0119kszenie rozdzielczo\u015bci cz\u0119stotliwo\u015bciowej. Mo\u017cesz zbada\u0107 t\u0119 zale\u017cno\u015b\u0107 za pomoc\u0105 naszego Kalkulator rozdzielczo\u015bci FFT<\/a>.<\/p>\n

Istnieje spos\u00f3b na sztuczne wyd\u0142u\u017cenie czasu trwania sygna\u0142u poprzez dodanie zer do tablicy pr\u00f3bek. Nie zwi\u0119ksza to jednak rzeczywistej rozdzielczo\u015bci cz\u0119stotliwo\u015bci.<\/p>\n

Sygna\u0142y dyskretne i dyskretna transformacja Fouriera<\/h2>\n

Wraz z rozwojem technologii cyfrowej zmieni\u0142y si\u0119 sposoby przechowywania danych pomiarowych (sygna\u0142\u00f3w). Podczas gdy wcze\u015bniej sygna\u0142 m\u00f3g\u0142 by\u0107 rejestrowany na magnetofonie i przechowywany na ta\u015bmie w formie analogowej, obecnie sygna\u0142y s\u0105 digitalizowane i przechowywane w plikach w pami\u0119ci komputera jako zestaw liczb (zlicze\u0144).<\/p>\n

Typowy schemat pomiaru i digitalizacji sygna\u0142u wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co.<\/p>\n

Przetwornik pomiarowy —- Normalizator sygna\u0142u —- ADC —– Komputer
\n(Rys.9 Schemat kana\u0142u pomiarowego)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

Sygna\u0142 z przetwornika pomiarowego trafia do ADC na okres czasu T. Odczyty sygna\u0142u (pr\u00f3bkowanie) otrzymane w czasie T s\u0105 przesy\u0142ane do komputera i zapisywane w pami\u0119ci.<\/p>\n

\"Rys.10

Rys.10 Sygna\u0142 cyfrowy – N pr\u00f3bek zebranych w czasie T<\/p><\/div>\n

Jakie s\u0105 wymagania dotycz\u0105ce parametr\u00f3w digitalizacji sygna\u0142u? Urz\u0105dzenie, kt\u00f3re przekszta\u0142ca wej\u015bciowy sygna\u0142 analogowy w kod dyskretny (sygna\u0142 cyfrowy), nazywane jest przetwornikiem analogowo-cyfrowym (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

Jednym z podstawowych parametr\u00f3w przetwornika ADC jest maksymalna cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 pr\u00f3bkowania – cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 pr\u00f3bkowania sygna\u0142u, kt\u00f3ry jest ci\u0105g\u0142y w czasie. Cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 pr\u00f3bkowania mierzona jest w hercach. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

Zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa, je\u017celi sygna\u0142 ci\u0105g\u0142y ma widmo ograniczone cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 Fmax, mo\u017cna go w pe\u0142ni i jednoznacznie odtworzy\u0107 z pr\u00f3bek dyskretnych pobieranych w odst\u0119pach czasu \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), tj. przy cz\u0119stotliwo\u015bci pr\u00f3bkowania Fd \u2265 2*Fmax, gdzie Fd – cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 pr\u00f3bkowania; Fmax – maksymalna cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 widma sygna\u0142u. Innymi s\u0142owy, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 digitalizacji sygna\u0142u (cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 pr\u00f3bkowania ADC) musi by\u0107 co najmniej dwukrotnie wi\u0119ksza od maksymalnej cz\u0119stotliwo\u015bci sygna\u0142u, kt\u00f3ry chcemy mierzy\u0107.<\/p>\n

A co si\u0119 stanie, je\u015bli b\u0119dziemy pobiera\u0107 pr\u00f3bki z mniejsz\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 ni\u017c wymaga tego twierdzenie Kotelnikova?<\/p>\n

W tym przypadku wyst\u0119puje “efekt aliasingu<\/a>W tym przypadku wyst\u0119puje efekt \"aliasingu\" (inaczej efekt stroboskopowy, efekt mory), w kt\u00f3rym sygna\u0142 o wysokiej cz\u0119stotliwo\u015bci po digitalizacji zamienia si\u0119 w sygna\u0142 o niskiej cz\u0119stotliwo\u015bci, kt\u00f3ry w rzeczywisto\u015bci nie istnieje. Na rys. 11 czerwona fala sinusoidalna o wysokiej cz\u0119stotliwo\u015bci jest prawdziwym sygna\u0142em. Niebieska fala sinusoidalna o ni\u017cszej cz\u0119stotliwo\u015bci jest sygna\u0142em fikcyjnym, wynikaj\u0105cym z faktu, \u017ce w czasie pr\u00f3bkowania up\u0142yn\u0119\u0142o wi\u0119cej ni\u017c p\u00f3\u0142 okresu sygna\u0142u o wysokiej cz\u0119stotliwo\u015bci.<\/p>\n

\"Rys.

Rys. 11. Pojawienie si\u0119 fa\u0142szywego sygna\u0142u o niskiej cz\u0119stotliwo\u015bci przy niewystarczaj\u0105co wysokiej cz\u0119stotliwo\u015bci pr\u00f3bkowania<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Aby unikn\u0105\u0107 efektu aliasingu, stosuje si\u0119 specjalny filtr antyaliasingowy (filtr dolnoprzepustowy<\/a>) jest umieszczony przed przetwornikiem analogowo-cyfrowym (ADC). Przepuszcza on cz\u0119stotliwo\u015bci ni\u017csze od po\u0142owy cz\u0119stotliwo\u015bci pr\u00f3bkowania przetwornika ADC, a odcina cz\u0119stotliwo\u015bci wy\u017csze.<\/p>\n

Aby obliczy\u0107 widmo sygna\u0142u na podstawie jego dyskretnych pr\u00f3bek, dyskretne Transformacja Fouriera (DFT)<\/a> jest stosowane. Nale\u017cy ponownie zauwa\u017cy\u0107, \u017ce widmo sygna\u0142u dyskretnego jest “z definicji” ograniczone do cz\u0119stotliwo\u015bci Fmax mniejszej ni\u017c po\u0142owa cz\u0119stotliwo\u015bci pr\u00f3bkowania Fd. W zwi\u0105zku z tym widmo sygna\u0142u dyskretnego mo\u017cna przedstawi\u0107 jako sum\u0119 sko\u0144czony <\/u>liczba harmonicznych, w przeciwie\u0144stwie do niesko\u0144czonej sumy dla szeregu Fouriera sygna\u0142u ci\u0105g\u0142ego, kt\u00f3rego widmo mo\u017ce by\u0107 nieograniczone. Zgodnie z twierdzeniem Kotelnikova, maksymalna cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 harmonicznej musi by\u0107 taka, aby odpowiada\u0142a co najmniej dw\u00f3m pr\u00f3bkom, wi\u0119c liczba harmonicznych jest r\u00f3wna po\u0142owie liczby pr\u00f3bek sygna\u0142u dyskretnego. Oznacza to, \u017ce je\u015bli zbi\u00f3r danych zawiera N pr\u00f3bek, liczba harmonicznych w widmie b\u0119dzie wynosi\u0107 N\/2.<\/p>\n

Rozwa\u017cmy teraz dyskretn\u0105 transformat\u0119 Fouriera (DFT).<\/p>\n

\"R\u00f3wnanie<\/p>\n

Por\u00f3wnanie z szeregiem Fouriera<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Wz\u00f3r<\/p>\n

Jak wida\u0107, pokrywaj\u0105 si\u0119 one, z wyj\u0105tkiem faktu, \u017ce czas w FFT jest dyskretny, a liczba harmonicznych jest ograniczona do N\/2, co stanowi po\u0142ow\u0119 liczby pr\u00f3bek.<\/p>\n

Wzory DFT s\u0105 zapisywane w bezwymiarowych zmiennych ca\u0142kowitych k, s, gdzie k jest liczb\u0105 pr\u00f3bek sygna\u0142u, a s jest liczb\u0105 sk\u0142adowych widmowych.
\nWarto\u015b\u0107 s pokazuje liczb\u0119 pe\u0142nych oscylacji harmonicznych na okres T (czas trwania pomiaru sygna\u0142u). Dyskretna transformata Fouriera jest u\u017cywana do numerycznego znajdowania amplitud i faz harmonicznych, czyli “na komputerze”.<\/p>\n

Jak ju\u017c wspomniano powy\u017cej, rozk\u0142adaj\u0105c funkcj\u0119 nieokresow\u0105 (nasz sygna\u0142) na szereg Fouriera, wynikowy szereg Fouriera w rzeczywisto\u015bci odpowiada funkcji okresowej z okresem T (rys. 12).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Rys.12.

Rys.12. Funkcja okresowa f(x) z okresem T0, z okresem T>T0<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Jak wida\u0107 na rys. 12, funkcja f(x) jest okresowa, a jej okres wynosi T0. Poniewa\u017c jednak d\u0142ugo\u015b\u0107 pr\u00f3bki pomiarowej T nie jest r\u00f3wna okresowi funkcji T0, funkcja uzyskana jako szereg Fouriera wykazuje nieci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 w punkcie T. W rezultacie widmo tej funkcji b\u0119dzie zawiera\u0142o du\u017c\u0105 liczb\u0119 harmonicznych o wysokich cz\u0119stotliwo\u015bciach. Zjawisko to znane jest jako wyciek widmowy<\/a>, a w praktyce jest on zmniejszany o okienkowanie<\/a> sygna\u0142 przed transformacj\u0105. Gdyby czas trwania pr\u00f3bki pomiarowej T pokrywa\u0142 si\u0119 z okresem funkcji T0, w\u00f3wczas widmo uzyskane po transformacji Fouriera zawiera\u0142oby jedynie pierwsz\u0105 harmoniczn\u0105 (sinusoid\u0119 o okresie r\u00f3wnym czasowi trwania pr\u00f3bki), poniewa\u017c funkcja f(x) jest sinusoid\u0105.<\/p>\n

Innymi s\u0142owy, program DFT \"nie wie\", \u017ce nasz sygna\u0142 jest \"wycinkiem fali sinusoidalnej\", ale pr\u00f3buje przedstawi\u0107 jako szereg funkcj\u0119 okresow\u0105, kt\u00f3ra ma nieci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 z powodu nieci\u0105g\u0142o\u015bci oddzielnych fragment\u00f3w fali sinusoidalnej.<\/p>\n

W rezultacie w widmie pojawiaj\u0105 si\u0119 harmoniczne, kt\u00f3re powinny w sumie reprezentowa\u0107 kszta\u0142t funkcji, w tym t\u0119 nieci\u0105g\u0142o\u015b\u0107.<\/p>\n

Tak wi\u0119c, aby uzyska\u0107 “prawid\u0142owe” widmo sygna\u0142u, kt\u00f3ry jest sum\u0105 kilku sinusoid o r\u00f3\u017cnych okresach, konieczne jest, aby ca\u0142kowita liczba okres\u00f3w <\/u>Ka\u017cda sinusoida powinna by\u0107 obecna w okresie pomiaru sygna\u0142u. W praktyce warunek ten mo\u017cna spe\u0142ni\u0107 przy wystarczaj\u0105co d\u0142ugim czasie trwania pomiaru sygna\u0142u.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Rys.

Rys. 13 Przyk\u0142ad funkcji sygna\u0142u b\u0142\u0119du kinematycznego i widma przek\u0142adni<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Przy kr\u00f3tszym czasie obraz b\u0119dzie wygl\u0105da\u0142 “gorzej”:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Rys.14

Rys.14 Przyk\u0142ad funkcji i widma drga\u0144 wirnika<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

W praktyce mo\u017ce by\u0107 trudno zrozumie\u0107, gdzie znajduj\u0105 si\u0119 “prawdziwe sk\u0142adowe”, a gdzie “artefakty” spowodowane niesp\u00f3jno\u015bci\u0105 okres\u00f3w sk\u0142adowych i czas\u00f3w pr\u00f3bkowania sygna\u0142u lub “skokami i przerwami” w kszta\u0142cie fali. Oczywi\u015bcie s\u0142owa “rzeczywiste sk\u0142adowe” i “artefakty” zosta\u0142y uj\u0119te w cudzys\u0142\u00f3w nie bez powodu. Obecno\u015b\u0107 wielu harmonicznych na wykresie widma nie oznacza, \u017ce nasz sygna\u0142 faktycznie si\u0119 z nich sk\u0142ada. To tak, jakby my\u015ble\u0107, \u017ce liczba 7 “sk\u0142ada si\u0119” z liczb 3 i 4. Liczba 7 mo\u017ce by\u0107 traktowana jako suma 3 i 4 – to prawda.<\/p>\n

Tak wi\u0119c r\u00f3wnie\u017c nasz sygna\u0142… a raczej nawet nie “nasz sygna\u0142”, ale funkcja okresowa z\u0142o\u017cona z powtarzania naszego sygna\u0142u (pr\u00f3bki) mo\u017ce by\u0107 reprezentowana jako suma harmonicznych (sinusoid) o okre\u015blonych amplitudach i fazach. Ale w wielu przypadkach wa\u017cnych dla praktyki (patrz rysunki powy\u017cej) rzeczywi\u015bcie mo\u017cliwe jest odniesienie harmonicznych uzyskanych w widmie r\u00f3wnie\u017c do rzeczywistych proces\u00f3w maj\u0105cych charakter cykliczny i znacz\u0105co przyczyniaj\u0105cych si\u0119 do kszta\u0142tu sygna\u0142u.<\/p>\n

Niekt\u00f3re wyniki<\/h2>\n

1. Rzeczywisty sygna\u0142 pomiarowy o czasie trwania T sekund zdigitalizowany przez przetwornik ADC, tj. reprezentowany przez zbi\u00f3r dyskretnych pr\u00f3bek (N element\u00f3w), ma dyskretne nieokresowe widmo reprezentowane przez zbi\u00f3r harmonicznych (N\/2 element\u00f3w).<\/p>\n

2. Sygna\u0142 jest przedstawiony jako zbi\u00f3r warto\u015bci rzeczywistych. Jego widmo DFT jest zbiorem wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w zespolonych o symetrii sprz\u0119\u017conej; z nich otrzymuje si\u0119 widmo amplitudowe \u2014 zbi\u00f3r rzeczywistych nieujemnych amplitud (i faz) przy dodatnich cz\u0119stotliwo\u015bciach, i to w\u0142a\u015bnie to jednostronne widmo amplitudowe jest przedstawiane w praktyce. Dwustronna posta\u0107 zespolona z cz\u0119stotliwo\u015bciami ujemnymi oraz jednostronna posta\u0107 amplitudowo-fazowa s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cnymi reprezentacjami tego samego widma \u2014 w analizie sygna\u0142\u00f3w zwykle wygodniej jest pracowa\u0107 z jednostronnym widmem amplitudowym.<\/p>\n

3. Sygna\u0142 zmierzony w czasie T jest okre\u015blony tylko w czasie T. To, co wydarzy\u0142o si\u0119 przed rozpocz\u0119ciem pomiaru sygna\u0142u i co wydarzy si\u0119 p\u00f3\u017aniej, jest nieznane nauce. I w naszym przypadku nie jest to interesuj\u0105ce. FFT sygna\u0142u ograniczonego czasowo daje jego “prawdziwe” widmo, w tym sensie, \u017ce w pewnych warunkach pozwala obliczy\u0107 amplitud\u0119 i cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 jego sk\u0142adowych.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}