Para verificar se o programa funciona corretamente, formamos uma matriz de amostras como uma soma de dois sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e a alimentamos no programa. O programa desenhou o seguinte:
\n
![\"Transformada](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 O gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o temporal do sinal<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 O gr\u00e1fico do espectro do sinal<\/p><\/div>\n <\/p>\n Existem dois harm\u00f4nicos<\/a> no gr\u00e1fico do espectro – 5 Hz com amplitude de 0,5 V e 10 Hz com amplitude de 1 V, tudo est\u00e1 como na f\u00f3rmula do sinal original. Tudo bem, o programa funciona corretamente.<\/p>\n Isso significa que se alimentarmos um sinal real de uma mistura de duas senoides na entrada do ADC, obteremos um espectro semelhante consistindo de duas harm\u00f4nicas.<\/p>\n Ent\u00e3o, nosso real <\/span><\/b><\/strong>sinal medido de dura\u00e7\u00e3o de 5 seg.<\/span><\/b><\/strong>, digitalizado pelo ADC, ou seja, representado por amostras <\/span><\/b><\/strong>discretas, tem um n\u00e3o peri\u00f3dico discreto <\/span><\/b><\/strong>espectro. Agora vamos tentar medir o mesmo sinal por 0,5 seg.<\/p>\n Fig.3 O gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) para um per\u00edodo de medi\u00e7\u00e3o de 0,5 seg<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Espectro da fun\u00e7\u00e3o<\/p><\/div>\n <\/p>\n Algo est\u00e1 errado aqui! A harm\u00f4nica em 10 Hz \u00e9 desenhada normalmente, e em vez da harm\u00f4nica em 5 Hz h\u00e1 algumas harm\u00f4nicas pouco claras.<\/p>\n Na Internet dizem que \u00e9 necess\u00e1rio adicionar zeros ao final da amostra e o espectro ser\u00e1 desenhado normalmente.<\/p>\n Fig.5 Adicionamos zeros \u00e0 amostra at\u00e9 5 seg<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Espectro obtido.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Isso n\u00e3o \u00e9 nada disso. Terei que lidar com a teoria. Vamos para wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– a fonte de conhecimento.<\/p>\n Matematicamente, nosso sinal com dura\u00e7\u00e3o de T segundos \u00e9 alguma fun\u00e7\u00e3o f(x) definida no intervalo {0, T} (X neste caso \u00e9 o tempo). Tal fun\u00e7\u00e3o sempre pode ser representada como uma soma de fun\u00e7\u00f5es harm\u00f4nicas (seno ou cosseno) da forma:<\/p>\n \u00a0(1), onde:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k \u00e9 o n\u00famero da fun\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica (o n\u00famero do componente harm\u00f4nico, o n\u00famero da harm\u00f4nica) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n onde <\/p>\n ou<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n A rela\u00e7\u00e3o entre os coeficientes (1) e (3) \u00e9 expressa pelas seguintes f\u00f3rmulas:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Note que todas essas tr\u00eas representa\u00e7\u00f5es da s\u00e9rie de Fourier s\u00e3o perfeitamente equivalentes. \u00c0s vezes, ao trabalhar com s\u00e9ries de Fourier, \u00e9 mais conveniente usar expoentes de argumento imagin\u00e1rio em vez de senos e cossenos, ou seja, usar a transformada de Fourier na forma complexa. Mas \u00e9 conveniente para n\u00f3s usar a f\u00f3rmula (1), onde a s\u00e9rie de Fourier \u00e9 representada como uma soma de cossenos com amplitudes e fases correspondentes. Estritamente falando, a transformada de Fourier de um sinal real realmente produz coeficientes complexos (forma (3)): cada coeficiente carrega tanto a amplitude quanto a fase de seu harm\u00f4nico. Para um sinal real, esses coeficientes complexos possuem simetria conjugada (Hermitiana) \u2014 a metade de frequ\u00eancia negativa simplesmente espelha a metade de frequ\u00eancia positiva e n\u00e3o carrega informa\u00e7\u00f5es extras. \u00c9 por isso que, a partir dos coeficientes complexos, sempre podemos passar para as amplitudes reais n\u00e3o negativas Ak e as fases \u03b8k da f\u00f3rmula (1) \u2014 e \u00e9 exatamente esse espectro de amplitude que os programas de an\u00e1lise plotam.<\/p>\n <\/p>\n Em resumo:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Observe mais alguns pontos, cuja compreens\u00e3o \u00e9 necess\u00e1ria para a aplica\u00e7\u00e3o correta da transformada de Fourier \u00e0 an\u00e1lise de sinais. Se considerarmos a s\u00e9rie de Fourier (soma de senoides) em todo o eixo X, veremos que fora do intervalo {0, T} a fun\u00e7\u00e3o da s\u00e9rie de Fourier repetir\u00e1 periodicamente nossa fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Por exemplo, no gr\u00e1fico da Fig. 7, a fun\u00e7\u00e3o original \u00e9 definida no intervalo {-T\\2, +T\\2}, e a s\u00e9rie de Fourier representa uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica definida em todo o eixo x.<\/p>\n Isso ocorre porque as pr\u00f3prias senoides s\u00e3o fun\u00e7\u00f5es peri\u00f3dicas, portanto, sua soma tamb\u00e9m ser\u00e1 uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica.<\/p>\n Figura 7 Representa\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o fonte n\u00e3o peri\u00f3dica por uma s\u00e9rie de Fourier<\/p><\/div>\n Assim:<\/p>\n Nossa fun\u00e7\u00e3o original \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e n\u00e3o peri\u00f3dica definida em algum segmento de comprimento T. A seguir.<\/p>\n Os per\u00edodos das componentes harm\u00f4nicas s\u00e3o m\u00faltiplos do intervalo {0, T}, no qual a fun\u00e7\u00e3o inicial f(x) \u00e9 definida. Em outras palavras, os per\u00edodos das harm\u00f4nicas s\u00e3o m\u00faltiplos da dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o do sinal. Por exemplo, o per\u00edodo da primeira harm\u00f4nica em uma s\u00e9rie de Fourier \u00e9 igual ao intervalo T no qual a fun\u00e7\u00e3o f(x) \u00e9 definida. O per\u00edodo da segunda harm\u00f4nica em uma s\u00e9rie de Fourier \u00e9 igual ao intervalo T\/2. E assim por diante (veja a Figura 8).<\/p>\n Fig. 8 Per\u00edodos (frequ\u00eancias) das componentes harm\u00f4nicas da s\u00e9rie de Fourier (aqui T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Consequentemente, as frequ\u00eancias das componentes harm\u00f4nicas s\u00e3o m\u00faltiplos de 1\/T. Ou seja, as frequ\u00eancias das componentes harm\u00f4nicas Fk s\u00e3o Fk= k\\T, onde k assume valores de 0 a \u221e, por exemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (na frequ\u00eancia zero, uma componente constante).<\/p>\n Seja nossa fun\u00e7\u00e3o inicial um sinal gravado durante T=1 seg. Ent\u00e3o o per\u00edodo da primeira harm\u00f4nica ser\u00e1 igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o do nosso sinal T1=T=1 seg e a frequ\u00eancia da harm\u00f4nica ser\u00e1 igual a 1 Hz. O per\u00edodo da segunda harm\u00f4nica ser\u00e1 igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o do nosso sinal dividida por 2 (T2=T\/2=0,5 seg.) e a frequ\u00eancia ser\u00e1 igual a 2 Hz. Para a terceira harm\u00f4nica, T3=T\/3 seg e a frequ\u00eancia \u00e9 de 3 Hz. E assim por diante.<\/p>\n O passo entre as harm\u00f4nicas neste caso \u00e9 de 1 Hz.<\/p>\n Assim, um sinal com dura\u00e7\u00e3o de 1 seg pode ser decomposto em componentes harm\u00f4nicas (para obter um espectro) com uma resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia de 1 Hz. Existe uma maneira de aumentar artificialmente a dura\u00e7\u00e3o do sinal adicionando zeros ao conjunto de amostras. Mas isso n\u00e3o aumenta a resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia real.<\/p>\n Com o desenvolvimento da tecnologia digital, as formas de armazenamento de dados de medi\u00e7\u00e3o (sinais) mudaram. Enquanto anteriormente um sinal podia ser gravado em uma fita cassete e armazenado em uma fita em forma anal\u00f3gica, agora os sinais s\u00e3o digitalizados e armazenados em arquivos na mem\u00f3ria do computador como um conjunto de n\u00fameros (contagens).<\/p>\n O esquema usual de medi\u00e7\u00e3o e digitaliza\u00e7\u00e3o de sinais \u00e9 o seguinte.<\/p>\n Transdutor de medi\u00e7\u00e3o —- Normalizador de sinal —- ADC —– Computador <\/span><\/i><\/em><\/p>\n O sinal do transdutor de medi\u00e7\u00e3o vai para o ADC por um per\u00edodo de tempo T. As leituras do sinal (amostragem) recebidas durante o tempo T s\u00e3o transmitidas para o computador e salvas na mem\u00f3ria.<\/p>\n Fig.10 Sinal digitalizado – N amostras recebidas no tempo T<\/p><\/div>\n Quais s\u00e3o os requisitos para os par\u00e2metros de digitaliza\u00e7\u00e3o do sinal? Um dispositivo que converte o sinal anal\u00f3gico de entrada em um c\u00f3digo discreto (sinal digital) \u00e9 chamado de conversor anal\u00f3gico-digital (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Um dos par\u00e2metros b\u00e1sicos do ADC \u00e9 a taxa m\u00e1xima de amostragem – a frequ\u00eancia de amostragem de um sinal que \u00e9 cont\u00ednuo no tempo. A taxa de amostragem \u00e9 medida em hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n De acordo com o teorema de Kotelnikov, se um sinal cont\u00ednuo tem um espectro limitado pela frequ\u00eancia Fmax, ele pode ser totalmente e unicamente reconstru\u00eddo a partir de suas amostras discretas tomadas em intervalos de tempo \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), ou seja, com uma frequ\u00eancia de amostragem Fd \u2265 2*Fmax, onde Fd – frequ\u00eancia de amostragem; Fmax – a frequ\u00eancia m\u00e1xima do espectro do sinal. Em outras palavras, a frequ\u00eancia de digitaliza\u00e7\u00e3o do sinal (frequ\u00eancia de amostragem do ADC) deve ser pelo menos duas vezes a frequ\u00eancia m\u00e1xima do sinal que queremos medir.<\/p>\n E o que acontecer\u00e1 se tomarmos amostras com frequ\u00eancia menor do que a exigida pelo teorema de Kotelnikov?<\/p>\n Neste caso, h\u00e1 um “aliasing<\/a>” efeito (tamb\u00e9m conhecido como efeito estrobosc\u00f3pico, efeito moir\u00e9), no qual um sinal de alta frequ\u00eancia ap\u00f3s a digitaliza\u00e7\u00e3o se transforma em um sinal de baixa frequ\u00eancia, que na verdade n\u00e3o existe. Na Fig. 11, a onda senoidal vermelha de alta frequ\u00eancia \u00e9 o sinal real. A onda senoidal azul de frequ\u00eancia mais baixa \u00e9 um sinal fict\u00edcio, surgindo devido ao fato de que durante o tempo de amostragem tem tempo de passar mais de meio per\u00edodo do sinal de alta frequ\u00eancia.<\/p>\n Fig. 11. Apar\u00eancia de um sinal esp\u00fario de baixa frequ\u00eancia em uma taxa de amostragem insuficientemente alta<\/p><\/div>\n <\/p>\n Para evitar o efeito de aliasing, um filtro anti-alias especial (filtro passa-baixas<\/a>) \u00e9 colocado antes do ADC. Ele passa frequ\u00eancias menores que metade da frequ\u00eancia de amostragem do ADC e corta as frequ\u00eancias mais altas.<\/p>\n Para calcular o espectro do sinal por suas amostras discretas, a transformada discreta de Fourier (DFT)<\/a> \u00e9 usada. Note novamente que o espectro de um sinal discreto \u00e9 “por defini\u00e7\u00e3o” limitado a uma frequ\u00eancia Fmax menor que metade da frequ\u00eancia de amostragem Fd. Portanto, o espectro de um sinal discreto pode ser representado pela soma de um n\u00famero finito <\/u>de harm\u00f4nicas, em contraste com a soma infinita para a s\u00e9rie de Fourier de um sinal cont\u00ednuo, cujo espectro pode ser ilimitado. De acordo com o teorema de Kotelnikov, a frequ\u00eancia m\u00e1xima de uma harm\u00f4nica deve ser tal que ela contabilize pelo menos duas amostras, portanto, o n\u00famero de harm\u00f4nicas \u00e9 igual \u00e0 metade do n\u00famero de amostras de um sinal discreto. Ou seja, se houver N amostras na amostra, o n\u00famero de harm\u00f4nicas no espectro ser\u00e1 N\/2.<\/p>\n Consideremos agora a transformada discreta de Fourier (DFT).<\/p>\n Comparando-a com a s\u00e9rie de Fourier<\/p>\n <\/p>\n Como podemos ver, elas coincidem, exceto pelo fato de que o tempo na FFT \u00e9 discreto e o n\u00famero de harm\u00f4nicas \u00e9 limitado a N\/2, que \u00e9 a metade do n\u00famero de amostras.<\/p>\n As f\u00f3rmulas da DFT s\u00e3o escritas em vari\u00e1veis inteiras adimensionais k, s, onde k \u00e9 o n\u00famero de amostras do sinal, s \u00e9 o n\u00famero de componentes espectrais. Como j\u00e1 foi dito acima, ao decompor uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o peri\u00f3dica (nosso sinal) em s\u00e9rie de Fourier, a s\u00e9rie de Fourier resultante na verdade corresponde a uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica com per\u00edodo T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig.12. Fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica f(x) com per\u00edodo T0, com per\u00edodo T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Como pode ser visto na Fig. 12, a fun\u00e7\u00e3o f(x) \u00e9 peri\u00f3dica com per\u00edodo T0. No entanto, devido ao fato de que o comprimento da amostra de medi\u00e7\u00e3o T n\u00e3o \u00e9 igual ao per\u00edodo da fun\u00e7\u00e3o T0, a fun\u00e7\u00e3o obtida como uma s\u00e9rie de Fourier tem uma descontinuidade no ponto T. Como resultado, o espectro dessa fun\u00e7\u00e3o conter\u00e1 um grande n\u00famero de harm\u00f4nicos de alta frequ\u00eancia. Esse fen\u00f4meno \u00e9 conhecido como vazamento espectral<\/a>, e na pr\u00e1tica \u00e9 reduzido por janelamento<\/a> o sinal antes da transformada. Se a dura\u00e7\u00e3o da amostra de medi\u00e7\u00e3o T coincidisse com o per\u00edodo da fun\u00e7\u00e3o T0, ent\u00e3o o espectro obtido ap\u00f3s a transformada de Fourier conteria apenas o primeiro harm\u00f4nico (uma senoide com um per\u00edodo igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o da amostra), porque a fun\u00e7\u00e3o f(x) \u00e9 uma senoide.<\/p>\n Em outras palavras, o programa DFT “n\u00e3o sabe” que nosso sinal \u00e9 um “peda\u00e7o de uma onda senoidal”, mas tenta representar como uma s\u00e9rie uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica que tem uma descontinuidade devido \u00e0 descontinuidade de peda\u00e7os separados da onda senoidal.<\/p>\n Como resultado, harm\u00f4nicas aparecem no espectro, que devem, no total, representar a forma da fun\u00e7\u00e3o, incluindo essa descontinuidade.<\/p>\n Assim, para obter um espectro “correto” de um sinal que \u00e9 uma soma de v\u00e1rias senoides com diferentes per\u00edodos, \u00e9 necess\u00e1rio que um n\u00famero inteiro de per\u00edodos de <\/u>cada senoide esteja presente no per\u00edodo de medi\u00e7\u00e3o do sinal. Na pr\u00e1tica, essa condi\u00e7\u00e3o pode ser atendida com uma dura\u00e7\u00e3o suficientemente longa da medi\u00e7\u00e3o do sinal.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Exemplo da fun\u00e7\u00e3o do sinal de erro cinem\u00e1tico e espectro de uma caixa de engrenagens<\/p><\/div>\n <\/p>\n Em dura\u00e7\u00f5es mais curtas, a imagem parecer\u00e1 “pior”:<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Exemplo de fun\u00e7\u00e3o de vibra\u00e7\u00e3o do rotor e espectro<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Na pr\u00e1tica, pode ser dif\u00edcil entender onde est\u00e3o as “componentes reais” e onde est\u00e3o os “artefatos” causados pela inconsist\u00eancia dos per\u00edodos das componentes e das dura\u00e7\u00f5es de amostragem do sinal ou “saltos e quebras” na forma de onda. Claro, as palavras “componentes reais” e “artefatos” est\u00e3o entre aspas por um motivo. A presen\u00e7a de muitas harm\u00f4nicas no gr\u00e1fico do espectro n\u00e3o significa que nosso sinal realmente consista nelas. \u00c9 como pensar que o n\u00famero 7 “consiste” nos n\u00fameros 3 e 4. O n\u00famero 7 pode ser pensado como a soma de 3 e 4 – isso est\u00e1 correto.<\/p>\n Assim tamb\u00e9m nosso sinal… ou melhor, nem mesmo “nosso sinal”, mas uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica composta pela repeti\u00e7\u00e3o do nosso sinal (amostra) pode ser representada como uma soma de harm\u00f4nicas (ondas senoidais) com certas amplitudes e fases. Mas em muitos casos importantes para a pr\u00e1tica (veja as figuras acima) \u00e9 de fato poss\u00edvel relacionar as harm\u00f4nicas obtidas no espectro tamb\u00e9m a processos reais que t\u00eam car\u00e1ter c\u00edclico e contribuem significativamente para a forma do sinal.<\/p>\n 1. Um sinal real medido com dura\u00e7\u00e3o de T segundos, digitalizado por um ADC, ou seja, representado por um conjunto de amostras discretas (N pe\u00e7as), possui um espectro discreto n\u00e3o peri\u00f3dico representado por um conjunto de harm\u00f4nicos (N\/2 pe\u00e7as).<\/p>\n 2. O sinal \u00e9 representado por um conjunto de valores reais. Seu espectro DFT \u00e9 um conjunto de coeficientes complexos com simetria conjugada; a partir deles, o espectro de amplitude \u00e9 obtido \u2014 um conjunto de amplitudes reais n\u00e3o negativas (e fases) em frequ\u00eancias positivas, e \u00e9 esse espectro de amplitude unilateral que \u00e9 plotado na pr\u00e1tica. A forma complexa bilateral com frequ\u00eancias negativas e a forma de amplitude\/fase unilateral s\u00e3o representa\u00e7\u00f5es equivalentes do mesmo espectro \u2014 para an\u00e1lise de sinais, geralmente \u00e9 mais conveniente trabalhar com o espectro de amplitude unilateral.<\/p>\n 3. O sinal medido no tempo T \u00e9 determinado apenas no tempo T. O que aconteceu antes de come\u00e7armos a medir o sinal e o que acontecer\u00e1 depois disso \u00e9 desconhecido pela ci\u00eancia. E, no nosso caso, n\u00e3o \u00e9 interessante. A FFT do sinal limitado no tempo fornece seu espectro “real”, no sentido de que, sob certas condi\u00e7\u00f5es, permite calcular a amplitude e a frequ\u00eancia de seus componentes.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt-br\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"Fig.2](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US779.webp\")
\nDo ponto de vista matem\u00e1tico – quantos erros nesta frase? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e sua representa\u00e7\u00e3o em s\u00e9rie de Fourier<\/h2>\n
![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT – segmento onde a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 definida (a dura\u00e7\u00e3o do sinal)
\nAk- amplitude do k-\u00e9simo componente harm\u00f4nico,
\n\u03b8k- a fase inicial do k-\u00e9simo componente harm\u00f4nico
\nO que significa “representar a fun\u00e7\u00e3o como a soma da s\u00e9rie”? Significa que, somando os valores dos componentes harm\u00f4nicos da s\u00e9rie de Fourier em cada ponto, obtemos o valor de nossa fun\u00e7\u00e3o naquele ponto.
\n(Mais rigorosamente, o desvio quadr\u00e1tico m\u00e9dio da s\u00e9rie em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 fun\u00e7\u00e3o f(x) tender\u00e1 a zero, mas apesar da converg\u00eancia quadr\u00e1tica m\u00e9dia, a s\u00e9rie de Fourier de uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o precisa, em geral, convergir para ela ponto a ponto. )
\nEsta s\u00e9rie tamb\u00e9m pode ser escrita na forma:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Fourier](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, a amplitude complexa k-\u00e9sima.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"Formula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"Fourier](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>A base matem\u00e1tica para a an\u00e1lise espectral de sinais \u00e9 a transformada de Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>A transformada de Fourier permite representar uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua f(x) (sinal) definida no intervalo {0, T} como uma soma de n\u00famero infinito (s\u00e9rie infinita) de fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas (seno e\/ou cosseno) com amplitudes e fases definidas tamb\u00e9m consideradas no intervalo {0, T}. Tal s\u00e9rie \u00e9 chamada de s\u00e9rie de Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figura](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nO espectro dessa fun\u00e7\u00e3o \u00e9 discreto, ou seja, \u00e9 representado como uma s\u00e9rie infinita de componentes harm\u00f4nicas – uma s\u00e9rie de Fourier.
\nNa verdade, a s\u00e9rie de Fourier define uma certa fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica, que coincide com nossa fun\u00e7\u00e3o no intervalo {0, T}, mas para n\u00f3s essa periodicidade n\u00e3o \u00e9 essencial.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nPara aumentar a resolu\u00e7\u00e3o por um fator de 2 para 0,5 Hz, \u00e9 necess\u00e1rio aumentar a dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o por um fator de 2 para 2 segundos. Um sinal de 10 segundos pode ser decomposto em componentes harm\u00f4nicos (espectro) com uma resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia de 0,1 Hz. N\u00e3o h\u00e1 outras maneiras de aumentar a resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia. Voc\u00ea pode explorar essa rela\u00e7\u00e3o com nosso Calculadora de Resolu\u00e7\u00e3o FFT<\/a>.<\/p>\nSinais discretos e transformada discreta de Fourier<\/h2>\n
\n(Fig.9 Esquema do canal de medi\u00e7\u00e3o)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Discrete](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"Discrete](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nO valor s mostra o n\u00famero de oscila\u00e7\u00f5es harm\u00f4nicas completas por per\u00edodo T (dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o do sinal). A transformada discreta de Fourier \u00e9 usada para encontrar as amplitudes e fases das harm\u00f4nicas numericamente, ou seja, “no computador”.<\/p>\n![\"Fig.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Alguns resultados<\/h2>\n