Para verificar se o programa funciona corretamente, formamos uma matriz de amostras como uma soma de dois sen(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e introduzimo-la no programa. O programa desenhou o seguinte:
\n
![\"Transformada](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Fig.1 O gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o temporal do sinal<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Fig.2 O gr\u00e1fico do espetro do sinal<\/p><\/div>\n <\/p>\n Existem dois harm\u00f3nicos<\/a> no gr\u00e1fico de espetro \u2013 5 Hz com amplitude de 0,5 V e 10 Hz com amplitude de 1 V, tudo corresponde \u00e0 f\u00f3rmula do sinal original. Est\u00e1 tudo bem, o programa funciona corretamente.<\/p>\n Isto significa que se alimentarmos a entrada do ADC com um sinal real de uma mistura de duas sinus\u00f3ides, obteremos um espetro semelhante constitu\u00eddo por dois harm\u00f3nicos.<\/p>\n Assim, o nosso real <\/span><\/b><\/strong>sinal medido de 5 seg. de dura\u00e7\u00e3o<\/span><\/b><\/strong>digitalizado pelo ADC, ou seja, representado por discreto <\/span><\/b><\/strong>amostras, tem um discreto n\u00e3o peri\u00f3dico <\/span><\/b><\/strong>espetro. Agora vamos tentar medir o mesmo sinal durante 0,5 segundos.<\/p>\n Fig.3 O gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) para um per\u00edodo de medi\u00e7\u00e3o de 0,5 seg<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.4 Espetro da fun\u00e7\u00e3o<\/p><\/div>\n <\/p>\n H\u00e1 algo de errado aqui! A harm\u00f3nica a 10 Hz \u00e9 desenhada normalmente e, em vez da harm\u00f3nica a 5 Hz, h\u00e1 algumas harm\u00f3nicas pouco claras.<\/p>\n Na Internet diz-se que \u00e9 necess\u00e1rio acrescentar zeros no final da amostra e o espetro ser\u00e1 desenhado normalmente.<\/p>\n Fig.5 Adicion\u00e1mos zeros \u00e0 amostra at\u00e9 5 seg.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Fig.6. Espetro obtido.<\/p><\/div>\n <\/p>\n N\u00e3o \u00e9 nada disso. Vou ter de lidar com a teoria. Vamos ao Wikipedia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0- a fonte do conhecimento.<\/p>\n Matematicamente, o nosso sinal com dura\u00e7\u00e3o de T segundos \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o f(x) dada no intervalo {0, T} (X, neste caso, \u00e9 o tempo). Esta fun\u00e7\u00e3o pode sempre ser representada como uma soma de fun\u00e7\u00f5es harm\u00f3nicas (seno ou cosseno) da forma:<\/p>\n \u00a0(1), em que:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k \u00e9 o n\u00famero da fun\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica (o n\u00famero da componente harm\u00f3nica, o n\u00famero da harm\u00f3nica) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n onde <\/p>\n ou<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n A rela\u00e7\u00e3o entre os coeficientes (1) e (3) \u00e9 expressa pelas f\u00f3rmulas seguintes:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Note que estas tr\u00eas representa\u00e7\u00f5es da s\u00e9rie de Fourier s\u00e3o perfeitamente equivalentes. Por vezes, ao trabalhar com s\u00e9ries de Fourier, \u00e9 mais conveniente utilizar expoentes de argumento imagin\u00e1rio em vez de senos e cossenos, ou seja, usar a transformada de Fourier na forma complexa. Mas, para n\u00f3s, \u00e9 conveniente utilizar a f\u00f3rmula (1), onde a s\u00e9rie de Fourier \u00e9 representada como uma soma de cossenos com amplitudes e fases correspondentes. Estritamente falando, a transformada de Fourier de um sinal real produz de facto coeficientes complexos (forma (3)): cada coeficiente cont\u00e9m tanto a amplitude como a fase do seu harm\u00f3nico. Para um sinal real, estes coeficientes complexos possuem simetria conjugada (Hermitiana) \u2014 a metade de frequ\u00eancia negativa espelha simplesmente a metade de frequ\u00eancia positiva e n\u00e3o cont\u00e9m informa\u00e7\u00e3o adicional. \u00c9 por isso que, a partir dos coeficientes complexos, podemos sempre passar para as amplitudes reais n\u00e3o negativas Ak e fases \u03b8k da f\u00f3rmula (1) \u2014 e \u00e9 exatamente este espectro de amplitude que os programas de an\u00e1lise representam.<\/p>\n <\/p>\n Conclus\u00e3o:<\/span><\/b><\/u><\/strong> Note mais alguns pontos, cuja compreens\u00e3o \u00e9 necess\u00e1ria para a correcta aplica\u00e7\u00e3o da transformada de Fourier \u00e0 an\u00e1lise de sinais. Se considerarmos a s\u00e9rie de Fourier (soma de sinus\u00f3ides) em todo o eixo X, veremos que fora do intervalo {0, T} a fun\u00e7\u00e3o da s\u00e9rie de Fourier repetir\u00e1 periodicamente a nossa fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Por exemplo, no gr\u00e1fico da Fig. 7, a fun\u00e7\u00e3o original \u00e9 definida no intervalo {-T\\2, +T\\2}, e a s\u00e9rie de Fourier representa uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica definida em todo o eixo x.<\/p>\n Isto deve-se ao facto de as pr\u00f3prias sinus\u00f3ides serem fun\u00e7\u00f5es peri\u00f3dicas, pelo que a sua soma tamb\u00e9m ser\u00e1 uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica.<\/p>\n Figura 7 Representa\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o fonte n\u00e3o peri\u00f3dica por uma s\u00e9rie de Fourier<\/p><\/div>\n Assim:<\/p>\n A nossa fun\u00e7\u00e3o original \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, n\u00e3o peri\u00f3dica, definida num segmento de comprimento T. Seguinte.<\/p>\n Os per\u00edodos dos componentes harm\u00f3nicos s\u00e3o m\u00faltiplos do intervalo {0, T}, no qual a fun\u00e7\u00e3o inicial f(x) \u00e9 definida. Por outras palavras, os per\u00edodos dos harm\u00f3nicos s\u00e3o m\u00faltiplos da dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o do sinal. Por exemplo, o per\u00edodo da primeira harm\u00f3nica de uma s\u00e9rie de Fourier \u00e9 igual ao intervalo T no qual a fun\u00e7\u00e3o f(x) est\u00e1 definida. O per\u00edodo da segunda harm\u00f3nica de uma s\u00e9rie de Fourier \u00e9 igual ao intervalo T\/2. E assim por diante (ver Figura 8).<\/p>\n Fig. 8 Per\u00edodos (frequ\u00eancias) dos componentes harm\u00f3nicos da s\u00e9rie de Fourier (aqui T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Assim, as frequ\u00eancias dos componentes harm\u00f3nicos s\u00e3o m\u00faltiplos de 1\/T. Ou seja, as frequ\u00eancias dos componentes harm\u00f3nicos Fk s\u00e3o Fk= k\\T, em que k tem valores de 0 a \u221e, por exemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;.... Fk= k\\T (na frequ\u00eancia zero, uma componente constante).<\/p>\n Seja a nossa fun\u00e7\u00e3o inicial, um sinal registado durante T=1 seg. Ent\u00e3o o per\u00edodo da primeira harm\u00f3nica ser\u00e1 igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o do nosso sinal T1=T=1 seg. e a frequ\u00eancia da harm\u00f3nica \u00e9 igual a 1 Hz. O per\u00edodo da segunda harm\u00f3nica ser\u00e1 igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o do nosso sinal dividido por 2 (T2=T\/2=0,5 seg.) e a frequ\u00eancia \u00e9 igual a 2 Hz. Para a terceira harm\u00f3nica, T3=T\/3 seg. e a frequ\u00eancia \u00e9 de 3 Hz. E assim por diante.<\/p>\n O passo entre harm\u00f3nicas neste caso \u00e9 de 1 Hz.<\/p>\n Assim, um sinal com uma dura\u00e7\u00e3o de 1 segundo pode ser decomposto em componentes harm\u00f3nicos (para obter um espetro) com uma resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia de 1 Hz. Existe uma forma de aumentar artificialmente a dura\u00e7\u00e3o do sinal, adicionando zeros \u00e0 matriz de amostras. Mas isso n\u00e3o aumenta a resolu\u00e7\u00e3o real da frequ\u00eancia.<\/p>\n Com o desenvolvimento da tecnologia digital, as formas de armazenamento de dados de medi\u00e7\u00e3o (sinais) mudaram. Enquanto anteriormente um sinal podia ser gravado num gravador e armazenado numa fita em formato anal\u00f3gico, agora os sinais s\u00e3o digitalizados e armazenados em ficheiros na mem\u00f3ria do computador como um conjunto de n\u00fameros (contagens).<\/p>\n O esquema habitual de medi\u00e7\u00e3o e digitaliza\u00e7\u00e3o de sinais \u00e9 o seguinte<\/p>\n Transdutor de medi\u00e7\u00e3o -- Normalizador de sinal -- ADC -- Computador <\/span><\/i><\/em><\/p>\n O sinal do transdutor de medi\u00e7\u00e3o vai para o ADC durante um per\u00edodo de tempo T. As leituras de sinal (amostragem) recebidas durante o tempo T s\u00e3o transmitidas para o computador e guardadas na mem\u00f3ria.<\/p>\n Fig.10 Sinal digitalizado - N amostras recebidas para o tempo T<\/p><\/div>\n Quais s\u00e3o os requisitos para os par\u00e2metros de digitaliza\u00e7\u00e3o de sinais? Um dispositivo que converte o sinal anal\u00f3gico de entrada num c\u00f3digo discreto (sinal digital) \u00e9 designado por conversor anal\u00f3gico-digital (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Um dos par\u00e2metros b\u00e1sicos do ADC \u00e9 a taxa de amostragem m\u00e1xima - a frequ\u00eancia de amostragem de um sinal que \u00e9 cont\u00ednuo no tempo. A taxa de amostragem \u00e9 medida em hertz. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n Segundo o teorema de Kotelnikov, se um sinal cont\u00ednuo tiver um espectro limitado pela frequ\u00eancia Fmax, pode ser reconstru\u00eddo completa e univocamente a partir das suas amostras discretas colhidas em intervalos de tempo \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), isto \u00e9, com uma frequ\u00eancia de amostragem Fd \u2265 2*Fmax, em que Fd \u00e9 a frequ\u00eancia de amostragem e Fmax \u00e9 a frequ\u00eancia m\u00e1xima do espectro do sinal. Por outras palavras, a frequ\u00eancia de digitaliza\u00e7\u00e3o do sinal (frequ\u00eancia de amostragem do ADC) deve ser pelo menos o dobro da frequ\u00eancia m\u00e1xima do sinal que queremos medir.<\/p>\n E o que acontecer\u00e1 se recolhermos amostras com uma frequ\u00eancia inferior \u00e0 exigida pelo teorema de Kotelnikov?<\/p>\n Neste caso, existe um \u201caliasing<\/a>Neste caso, existe um efeito de \"aliasing\" (tamb\u00e9m conhecido como efeito estrobosc\u00f3pico, efeito moir\u00e9), em que um sinal de alta frequ\u00eancia ap\u00f3s a digitaliza\u00e7\u00e3o se transforma num sinal de baixa frequ\u00eancia, que na realidade n\u00e3o existe. Na Fig. 11, a onda sinusoidal vermelha de alta frequ\u00eancia \u00e9 o sinal real. A onda sinusoidal azul de frequ\u00eancia mais baixa \u00e9 um sinal fict\u00edcio, que surge devido ao facto de, durante o tempo de amostragem, ter passado mais de meio per\u00edodo do sinal de alta frequ\u00eancia.<\/p>\n Fig. 11. Aparecimento de um sinal esp\u00fario de baixa frequ\u00eancia a uma taxa de amostragem insuficientemente elevada<\/p><\/div>\n <\/p>\n Para evitar o efeito de aliasing, um filtro anti-alias especial (filtro passa-baixo<\/a>) \u00e9 colocado antes do ADC. Deixa passar as frequ\u00eancias inferiores a metade da frequ\u00eancia de amostragem do ADC e corta as frequ\u00eancias mais altas.<\/p>\n Para calcular o espetro do sinal a partir das suas amostras discretas, o Transformada de Fourier (DFT)<\/a> \u00e9 utilizado. Note-se mais uma vez que o espetro de um sinal discreto est\u00e1, \u00abpor defini\u00e7\u00e3o\u00bb, limitado a uma frequ\u00eancia Fmax inferior a metade da frequ\u00eancia de amostragem Fd. Por conseguinte, o espetro de um sinal discreto pode ser representado pela soma de um finito <\/u>n\u00famero de harm\u00f3nicos, ao contr\u00e1rio da soma infinita para a s\u00e9rie de Fourier de um sinal cont\u00ednuo, cujo espetro pode ser ilimitado. De acordo com o teorema de Kotelnikov, a frequ\u00eancia m\u00e1xima de um harm\u00f3nico deve ser tal que corresponda a pelo menos duas amostras, pelo que o n\u00famero de harm\u00f3nicos \u00e9 igual a metade do n\u00famero de amostras de um sinal discreto. Ou seja, se houver N amostras na amostra, o n\u00famero de harm\u00f3nicos no espetro ser\u00e1 N\/2.<\/p>\n Consideremos agora a transformada discreta de Fourier (DFT).<\/p>\n Comparando-a com a s\u00e9rie de Fourier<\/p>\n <\/p>\n Como podemos ver, coincidem, exceto pelo facto de o tempo na FFT ser discreto e o n\u00famero de harm\u00f3nicos estar limitado a N\/2, que \u00e9 metade do n\u00famero de amostras.<\/p>\n As f\u00f3rmulas da DFT s\u00e3o escritas em vari\u00e1veis inteiras sem dimens\u00e3o k, s, em que k \u00e9 o n\u00famero de amostras do sinal e s \u00e9 o n\u00famero de componentes espectrais. Como j\u00e1 foi dito acima, quando se decomp\u00f5e uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o peri\u00f3dica (o nosso sinal) em s\u00e9ries de Fourier, a s\u00e9rie de Fourier resultante corresponde de facto a uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica com per\u00edodo T (Fig.12).<\/p>\n <\/p>\n Fig.12. Fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica f(x) com per\u00edodo T0, com per\u00edodo T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Como se pode ver na Fig. 12, a fun\u00e7\u00e3o f(x) \u00e9 peri\u00f3dica com per\u00edodo T\u2080. No entanto, devido ao facto de o comprimento da amostra de medi\u00e7\u00e3o T n\u00e3o ser igual ao per\u00edodo da fun\u00e7\u00e3o T\u2080, a fun\u00e7\u00e3o obtida como s\u00e9rie de Fourier apresenta uma descontinuidade no ponto T. Consequentemente, o espetro desta fun\u00e7\u00e3o conter\u00e1 um grande n\u00famero de harm\u00f3nicas de alta frequ\u00eancia. Este fen\u00f3meno \u00e9 conhecido como fuga espectral<\/a>, e, na pr\u00e1tica, \u00e9 reduzido em janelamento<\/a> o sinal antes da transformada. Se a dura\u00e7\u00e3o da amostra de medi\u00e7\u00e3o T coincidisse com o per\u00edodo da fun\u00e7\u00e3o T0, ent\u00e3o o espetro obtido ap\u00f3s a transformada de Fourier conteria apenas a primeira harm\u00f3nica (uma sinusoide com um per\u00edodo igual \u00e0 dura\u00e7\u00e3o da amostra), uma vez que a fun\u00e7\u00e3o f(x) \u00e9 uma sinusoide.<\/p>\n Por outras palavras, o programa DFT \"n\u00e3o sabe\" que o nosso sinal \u00e9 uma \"fatia de uma onda sinusoidal\", mas tenta representar como uma s\u00e9rie uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica que tem uma descontinuidade devido \u00e0 descontinuidade de partes separadas da onda sinusoidal.<\/p>\n Como resultado, aparecem harm\u00f3nicos no espetro, que devem, no total, representar a forma da fun\u00e7\u00e3o, incluindo esta descontinuidade.<\/p>\n Assim, para obter um espetro \"correto\" de um sinal que \u00e9 uma soma de v\u00e1rias sinus\u00f3ides com per\u00edodos diferentes, \u00e9 necess\u00e1rio que um n\u00famero inteiro de per\u00edodos de <\/u>cada sinusoide deve estar presente no per\u00edodo de medi\u00e7\u00e3o do sinal. Na pr\u00e1tica, esta condi\u00e7\u00e3o pode ser satisfeita com uma dura\u00e7\u00e3o suficientemente longa da medi\u00e7\u00e3o do sinal.<\/p>\n <\/p>\n Fig.13 Exemplo da fun\u00e7\u00e3o do sinal de erro cinem\u00e1tico e do espetro de uma caixa de velocidades<\/p><\/div>\n <\/p>\n Com uma dura\u00e7\u00e3o mais curta, a imagem parecer\u00e1 \"pior\":<\/p>\n <\/p>\n Fig.14 Exemplo de fun\u00e7\u00e3o e espetro de vibra\u00e7\u00e3o do rotor<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Na pr\u00e1tica, pode ser dif\u00edcil perceber onde est\u00e3o os \"componentes reais\" e onde est\u00e3o os \"artefactos\" causados pela inconsist\u00eancia dos per\u00edodos dos componentes e das dura\u00e7\u00f5es de amostragem do sinal ou por \"saltos e quebras\" na forma de onda. \u00c9 claro que as palavras \"componentes reais\" e \"artefactos\" s\u00e3o colocadas entre aspas por uma raz\u00e3o. A presen\u00e7a de muitos harm\u00f3nicos no gr\u00e1fico do espetro n\u00e3o significa que o nosso sinal seja realmente constitu\u00eddo por eles. \u00c9 como pensar que o n\u00famero 7 \"consiste\" nos n\u00fameros 3 e 4. O n\u00famero 7 pode ser considerado como a soma de 3 e 4 - isso est\u00e1 correto.<\/p>\n Assim, tamb\u00e9m o nosso sinal... ou melhor, nem sequer o \"nosso sinal\", mas uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica composta pela repeti\u00e7\u00e3o do nosso sinal (amostra) pode ser representada como uma soma de harm\u00f3nicas (ondas sinusoidais) com determinadas amplitudes e fases. Mas em muitos casos importantes para a pr\u00e1tica (ver figuras acima) \u00e9 poss\u00edvel relacionar os harm\u00f3nicos obtidos no espetro tamb\u00e9m com processos reais com car\u00e1cter c\u00edclico e que contribuem significativamente para a forma do sinal.<\/p>\n 1. Um sinal real medido com uma dura\u00e7\u00e3o de T segundos digitalizado por um ADC, ou seja, representado por um conjunto de amostras discretas (N partes), tem um espetro discreto n\u00e3o peri\u00f3dico representado por um conjunto de harm\u00f3nicas (N\/2 partes).<\/p>\n 2. O sinal \u00e9 representado por um conjunto de valores reais. O seu espectro DFT \u00e9 um conjunto de coeficientes complexos com simetria conjugada; a partir deles obt\u00e9m-se o espectro de amplitude \u2014 um conjunto de amplitudes reais n\u00e3o negativas (e fases) nas frequ\u00eancias positivas, e \u00e9 este espectro de amplitude unilateral que \u00e9 representado na pr\u00e1tica. A forma complexa bilateral com frequ\u00eancias negativas e a forma unilateral amplitude\/fase s\u00e3o representa\u00e7\u00f5es equivalentes do mesmo espectro \u2014 para an\u00e1lise de sinais, \u00e9 normalmente mais conveniente trabalhar com o espectro de amplitude unilateral.<\/p>\n 3. O sinal medido no momento T \u00e9 determinado apenas no momento T. O que aconteceu antes de come\u00e7armos a medir o sinal e o que acontecer\u00e1 depois disso \u00e9 desconhecido para a ci\u00eancia. E no nosso caso n\u00e3o \u00e9 interessante. A FFT do sinal limitado no tempo fornece o seu espetro \"real\", no sentido em que, sob certas condi\u00e7\u00f5es, permite calcular a amplitude e a frequ\u00eancia dos seus componentes.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"Fig.2](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US779.webp\")
\nDe um ponto de vista matem\u00e1tico, quantos erros existem nesta frase? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Fig.3](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1459.png\")
![\"Fig.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Fig.5](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1861.png\")
![\"Fig.6.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e sua representa\u00e7\u00e3o em s\u00e9rie de Fourier<\/h2>\n
![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US2409.png\")
\nT - segmento onde a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 definida (a dura\u00e7\u00e3o do sinal)
\nAk- amplitude do k-\u00e9simo componente harm\u00f3nico,
\n\u03b8k- a fase inicial do k-\u00e9simo componente harm\u00f3nico
\nO que significa \"representar a fun\u00e7\u00e3o como a soma das s\u00e9ries\"? Significa que, somando os valores das componentes harm\u00f3nicas da s\u00e9rie de Fourier em cada ponto, obtemos o valor da nossa fun\u00e7\u00e3o nesse ponto.
\n(Mais estritamente, o desvio quadr\u00e1tico m\u00e9dio da s\u00e9rie em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 fun\u00e7\u00e3o f(x) tender\u00e1 a zero, mas apesar da converg\u00eancia quadr\u00e1tica m\u00e9dia, a s\u00e9rie de Fourier de uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o precisa, em geral, de convergir para ela ponto a ponto. )
\nEsta s\u00e9rie tamb\u00e9m pode ser escrita sob a forma:<\/p>\n![\"(2),\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3314.png\")
![\"Equa\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, a k-\u00e9sima amplitude complexa.<\/p>\n![\"](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3362.png\")
![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3464.png\")
<\/p>\n![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>A base matem\u00e1tica para a an\u00e1lise espetral de sinais \u00e9 a transformada de Fourier.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>A transformada de Fourier permite representar uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua f(x) (sinal) definida no intervalo {0, T} como uma soma de um n\u00famero infinito (s\u00e9rie infinita) de fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas (seno e\/ou cosseno) com amplitudes e fases definidas tamb\u00e9m consideradas no intervalo {0, T}. Esta s\u00e9rie designa-se por s\u00e9rie de Fourier.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n![\"Figura](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US5209.png\")
\nO espetro desta fun\u00e7\u00e3o \u00e9 discreto, ou seja, \u00e9 representado por uma s\u00e9rie infinita de componentes harm\u00f3nicos - uma s\u00e9rie de Fourier.
\nDe facto, a s\u00e9rie de Fourier define uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica, que coincide com a nossa fun\u00e7\u00e3o no intervalo {0, T}, mas para n\u00f3s esta periodicidade n\u00e3o \u00e9 essencial.<\/p>\n![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US6155.png\")
\nPara aumentar a resolu\u00e7\u00e3o num fator de 2, at\u00e9 0,5 Hz, \u00e9 necess\u00e1rio aumentar a dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o num fator de 2, at\u00e9 2 segundos. Um sinal de 10 segundos pode ser decomposto em componentes harm\u00f3nicas (espetro) com uma resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia de 0,1 Hz. N\u00e3o existem outras formas de aumentar a resolu\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia. Pode explorar esta rela\u00e7\u00e3o com o nosso Calculadora de resolu\u00e7\u00e3o FFT<\/a>.<\/p>\nSinais discretos e transformada discreta de Fourier<\/h2>\n
\n(Fig.9 Esquema do canal de medi\u00e7\u00e3o)<\/p>\n![\"Fig.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Fig.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
![\"Equa\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10917.png\")
<\/p>\n![\"F\u00f3rmula](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US10958.png\")
<\/p>\n
\nO valor s indica o n\u00famero de oscila\u00e7\u00f5es harm\u00f3nicas completas por per\u00edodo T (dura\u00e7\u00e3o da medi\u00e7\u00e3o do sinal). A transformada discreta de Fourier \u00e9 utilizada para encontrar as amplitudes e fases dos harm\u00f3nicos numericamente, ou seja, \"no computador\".<\/p>\n![\"Fig.12.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US11706.png\")
![\"Fig.13](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13102.png\")
![\"Fig.14](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US13237.png\")
Alguns resultados<\/h2>\n