Aby sme overili, \u010di program funguje spr\u00e1vne, vytvor\u00edme pole vzoriek ako s\u00fa\u010det dvoch sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vlo\u017e\u00edme ho do programu. Program nakreslil nasledovn\u00e9:
\n
![\"Fourierova](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US725.webp\")
Obr.1 Graf \u010dasovej funkcie sign\u00e1lu<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n <\/p>\n Obr.2 Graf spektra sign\u00e1lu<\/p><\/div>\n <\/p>\n There are two harmonick\u00e9<\/a> na spektr\u00e1lnom grafe \u2013 5 Hz s amplit\u00fadou 0,5 V a 10 Hz s amplit\u00fadou 1 V, v\u0161etko je tak, ako vo vzorci p\u00f4vodn\u00e9ho sign\u00e1lu. V\u0161etko je v poriadku, program funguje spr\u00e1vne.<\/p>\n To znamen\u00e1, \u017ee ak na vstup ADC privedieme re\u00e1lny sign\u00e1l zo zmesi dvoch s\u00ednuso\u00edd, dostaneme podobn\u00e9 spektrum pozost\u00e1vaj\u00face z dvoch harmonick\u00fdch.<\/p>\n Tak\u017ee n\u00e1\u0161 skuto\u010dn\u00e9 <\/span><\/b><\/strong>meran\u00fd sign\u00e1l v trvan\u00ed 5 sek\u00fand<\/span><\/b><\/strong>, digitalizovan\u00e9 pomocou ADC, t. j. reprezentovan\u00e9 diskr\u00e9tne <\/span><\/b><\/strong>vzorky, m\u00e1 diskr\u00e9tne neperiodick\u00e9 <\/span><\/b><\/strong>spektrum. Teraz sk\u00fasme zmera\u0165 ten ist\u00fd sign\u00e1l po\u010das 0,5 sekundy.<\/p>\n Obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre peri\u00f3du merania 0,5 s<\/p><\/div>\n <\/p>\n Obr.4 Spektrum funkcie<\/p><\/div>\n <\/p>\n Nie\u010do tu nie je v poriadku! Harmonick\u00e1 pri 10 Hz je vykreslen\u00e1 norm\u00e1lne a namiesto harmonickej pri 5 Hz s\u00fa tu nejak\u00e9 nejasn\u00e9 harmonick\u00e9.<\/p>\n Na internete sa uv\u00e1dza, \u017ee je potrebn\u00e9 prida\u0165 nuly na koniec vzorky a spektrum sa bude kresli\u0165 norm\u00e1lne.<\/p>\n Obr.5 Do vzorky sme pridali nuly a\u017e do 5 sek\u00fand<\/p><\/div>\n <\/p>\n Obr. 6. Z\u00edskan\u00e9 spektrum.<\/p><\/div>\n <\/p>\n Tak to v\u00f4bec nie je. Budem sa musie\u0165 zaobera\u0165 te\u00f3riou. Po\u010fme na Wikip\u00e9dia<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– zdroj poznania.<\/p>\n Matematicky je n\u00e1\u0161 sign\u00e1l s trvan\u00edm T sek\u00fand nejak\u00e1 funkcia f(x) dan\u00e1 na intervale {0, T} (X je v tomto pr\u00edpade \u010das). Tak\u00fato funkciu mo\u017eno v\u017edy reprezentova\u0165 ako s\u00fa\u010det harmonick\u00fdch funkci\u00ed (s\u00ednus alebo kos\u00ednus) v tvare:<\/p>\n \u00a0(1), kde:<\/p>\n <\/p><\/div>\n k je \u010d\u00edslo trigonometrickej funkcie ( \u010d\u00edslo harmonickej zlo\u017eky, \u010d\u00edslo harmonickej) (2),<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n kde <\/p>\n alebo<\/p>\n (3)<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Vz\u0165ah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadren\u00fd t\u00fdmito vzorcami:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n V\u0161imnite si, \u017ee v\u0161etky tri tieto reprezent\u00e1cie Fourierovho radu s\u00fa \u00faplne ekvivalentn\u00e9. Niekedy je pri pr\u00e1ci s Fourierov\u00fdm radom pohodlnej\u0161ie pou\u017e\u00edva\u0165 exponenty s imagin\u00e1rnym argumentom namiesto s\u00ednusov a kos\u00ednusov, teda pou\u017e\u00edva\u0165 Fourierovu transform\u00e1ciu v komplexnom tvare. Pre n\u00e1s je v\u0161ak v\u00fdhodn\u00e9 pou\u017e\u00edva\u0165 vzorec (1), kde je Fourierov rad vyjadren\u00fd ako s\u00fa\u010det kos\u00ednusov s pr\u00edslu\u0161n\u00fdmi amplit\u00fadami a f\u00e1zami. Presne povedan\u00e9, Fourierova transform\u00e1cia re\u00e1lneho sign\u00e1lu skuto\u010dne vytv\u00e1ra komplexn\u00e9 koeficienty (tvar (3)): ka\u017ed\u00fd koeficient nesie amplit\u00fadu aj f\u00e1zu svojej harmonickej zlo\u017eky. Pre re\u00e1lny sign\u00e1l maj\u00fa tieto komplexn\u00e9 koeficienty zdru\u017een\u00fa (Hermitovsk\u00fa) symetriu \u2014 z\u00e1porn\u00e1 polovica frekvenci\u00ed je len zrkadlov\u00fdm obrazom kladnej polovice a nenesie \u017eiadnu dodato\u010dn\u00fa inform\u00e1ciu. Preto z komplexn\u00fdch koeficientov m\u00f4\u017eeme v\u017edy prejs\u0165 na re\u00e1lne nez\u00e1porn\u00e9 amplit\u00fady Ak a f\u00e1zy \u03b8k zo vzorca (1) \u2014 a pr\u00e1ve toto amplit\u00fadov\u00e9 spektrum zobrazuj\u00fa analytick\u00e9 programy.<\/p>\n <\/p>\n Z\u00e1ver:<\/span><\/b><\/u><\/strong> V\u0161imnite si e\u0161te nieko\u013eko bodov, ktor\u00fdch pochopenie je potrebn\u00e9 na spr\u00e1vne pou\u017eitie Fourierovej transform\u00e1cie pri anal\u00fdze sign\u00e1lov. Ak budeme uva\u017eova\u0165 Fourierov rad (s\u00fa\u010det s\u00ednuso\u00edd) na celej osi X, uvid\u00edme, \u017ee mimo intervalu {0, T} bude Fourierov rad funkcie periodicky opakova\u0165 na\u0161u funkciu.<\/p>\n Napr\u00edklad v grafe na obr. 7 je p\u00f4vodn\u00e1 funkcia definovan\u00e1 na intervale {-T\\2, +T\\2} a Fourierov rad predstavuje periodick\u00fa funkciu definovan\u00fa na celej osi x.<\/p>\n Je to preto, \u017ee samotn\u00e9 s\u00ednusoidy s\u00fa periodick\u00e9 funkcie, tak\u017ee aj ich s\u00fa\u010det bude periodick\u00e1 funkcia.<\/p>\n Obr\u00e1zok 7 Zobrazenie neperiodickej zdrojovej funkcie pomocou Fourierovho radu<\/p><\/div>\n Takto:<\/p>\n Na\u0161a p\u00f4vodn\u00e1 funkcia je spojit\u00e1 neperiodick\u00e1 funkcia definovan\u00e1 na \u00faseku d\u013a\u017eky T. \u010eal\u0161ie.<\/p>\n Peri\u00f3dy harmonick\u00fdch zlo\u017eiek s\u00fa n\u00e1sobkami intervalu {0, T}, na ktorom je definovan\u00e1 po\u010diato\u010dn\u00e1 funkcia f(x). In\u00fdmi slovami, peri\u00f3dy harmonick\u00fdch zlo\u017eiek s\u00fa n\u00e1sobkami trvania merania sign\u00e1lu. Napr\u00edklad peri\u00f3da prvej harmonickej vo Fourierovom rade sa rovn\u00e1 intervalu T, na ktorom je definovan\u00e1 funkcia f(x). Peri\u00f3da druhej harmonickej vo Fourierovom rade sa rovn\u00e1 intervalu T\/2. A tak \u010falej (pozri obr\u00e1zok 8).<\/p>\n Obr. 8 Peri\u00f3dy (frekvencie) harmonick\u00fdch zlo\u017eiek Fourierovho radu (tu T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n Frekvencie harmonick\u00fdch zlo\u017eiek s\u00fa preto n\u00e1sobkami 1\/T. To znamen\u00e1, \u017ee frekvencie harmonick\u00fdch zlo\u017eiek Fk s\u00fa Fk= k\\T, kde k nadob\u00fada hodnoty od 0 do \u221e, napr\u00edklad k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (pri nulovej frekvencii, kon\u0161tantn\u00e1 zlo\u017eka).<\/p>\n Nech je na\u0161ou po\u010diato\u010dnou funkciou sign\u00e1l zaznamenan\u00fd po\u010das T=1 s. Potom peri\u00f3da prvej harmonickej sa bude rovna\u0165 trvaniu n\u00e1\u0161ho sign\u00e1lu T1=T=1 s a frekvencia harmonickej sa bude rovna\u0165 1 Hz. Peri\u00f3da druhej harmonickej sa bude rovna\u0165 trvaniu n\u00e1\u0161ho sign\u00e1lu delen\u00e9mu 2 (T2=T\/2=0,5 s) a frekvencia sa rovn\u00e1 2 Hz. Pre tretiu harmonick\u00fa je T3=T\/3 s a frekvencia je 3 Hz. A tak \u010falej.<\/p>\n Krok medzi harmonick\u00fdmi je v tomto pr\u00edpade 1 Hz.<\/p>\n Sign\u00e1l s trvan\u00edm 1 s tak mo\u017eno rozlo\u017ei\u0165 na harmonick\u00e9 zlo\u017eky (z\u00edska\u0165 spektrum) s frekven\u010dn\u00fdm rozl\u00ed\u0161en\u00edm 1 Hz. Existuje sp\u00f4sob, ako umelo pred\u013a\u017ei\u0165 trvanie sign\u00e1lu pridan\u00edm n\u00fal do po\u013ea vzoriek. Nezv\u00fd\u0161i sa t\u00fdm v\u0161ak skuto\u010dn\u00e9 frekven\u010dn\u00e9 rozl\u00ed\u0161enie.<\/p>\n S rozvojom digit\u00e1lnej technol\u00f3gie sa zmenili sp\u00f4soby ukladania nameran\u00fdch \u00fadajov (sign\u00e1lov). K\u00fdm predt\u00fdm sa sign\u00e1l mohol zaznamena\u0165 na magnetof\u00f3n a ulo\u017ei\u0165 na p\u00e1sku v anal\u00f3govej forme, teraz sa sign\u00e1ly digitalizuj\u00fa a ukladaj\u00fa do s\u00faborov v pam\u00e4ti po\u010d\u00edta\u010da ako s\u00fabor \u010d\u00edsel (po\u010dtov).<\/p>\n Obvykl\u00e1 sch\u00e9ma merania a digitaliz\u00e1cie sign\u00e1lu vyzer\u00e1 takto.<\/p>\n Merac\u00ed prevodn\u00edk —- Normaliz\u00e1tor sign\u00e1lu —- ADC —– Po\u010d\u00edta\u010d <\/span><\/i><\/em><\/p>\n Sign\u00e1l z meracieho sn\u00edma\u010da prech\u00e1dza do ADC po\u010das \u010dasov\u00e9ho \u00faseku T. Od\u010d\u00edtan\u00e9 hodnoty sign\u00e1lu (vzorkovanie) prijat\u00e9 po\u010das \u010dasov\u00e9ho \u00faseku T sa pren\u00e1\u0161aj\u00fa do po\u010d\u00edta\u010da a ukladaj\u00fa sa do pam\u00e4te.<\/p>\n Obr.10 Digitalizovan\u00fd sign\u00e1l – N prijat\u00fdch vzoriek pre \u010das T<\/p><\/div>\n Ak\u00e9 s\u00fa po\u017eiadavky na parametre digitaliz\u00e1cie sign\u00e1lu? Zariadenie, ktor\u00e9 prev\u00e1dza vstupn\u00fd anal\u00f3gov\u00fd sign\u00e1l na diskr\u00e9tny k\u00f3d (digit\u00e1lny sign\u00e1l), sa naz\u00fdva anal\u00f3govo-digit\u00e1lny prevodn\u00edk (ADC) (\u00a9 Wiki).<\/p>\n Jedn\u00fdm zo z\u00e1kladn\u00fdch parametrov ADC je maxim\u00e1lna vzorkovacia frekvencia – frekvencia vzorkovania sign\u00e1lu, ktor\u00fd je spojit\u00fd v \u010dase. Vzorkovacia frekvencia sa meria v hertzoch. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals\u00a0\u0394t \u2264 1\/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd \u2265 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.<\/p>\n A \u010do sa stane, ak budeme bra\u0165 vzorky s ni\u017e\u0161ou frekvenciou, ako vy\u017eaduje Kotelnikovova veta?<\/p>\n V tomto pr\u00edpade ide o \u201ealiasovanie<\/a>V tomto pr\u00edpade doch\u00e1dza k efektu \"aliasingu\" (tzv. stroboskopick\u00fd efekt, moir\u00e9 efekt), pri ktorom sa vysokofrekven\u010dn\u00fd sign\u00e1l po digitaliz\u00e1cii zmen\u00ed na n\u00edzkofrekven\u010dn\u00fd sign\u00e1l, ktor\u00fd v skuto\u010dnosti neexistuje. Na obr. 11 je \u010derven\u00e1 s\u00ednusoida vysokej frekvencie skuto\u010dn\u00fdm sign\u00e1lom. Modr\u00e1 s\u00ednusoida ni\u017e\u0161ej frekvencie je fikt\u00edvny sign\u00e1l, ktor\u00fd vznik\u00e1 v d\u00f4sledku toho, \u017ee po\u010das \u010dasu vzorkovania stihne prejs\u0165 viac ako polovica peri\u00f3dy vysokofrekven\u010dn\u00e9ho sign\u00e1lu.<\/p>\n Obr. 11. Vznik falo\u0161n\u00e9ho n\u00edzkofrekven\u010dn\u00e9ho sign\u00e1lu pri nedostato\u010dne vysokej vzorkovacej frekvencii<\/p><\/div>\n <\/p>\n Aby sa zabr\u00e1nilo efektu aliasingu, pou\u017e\u00edva sa \u0161peci\u00e1lny antialiasingov\u00fd filter (dolnopriepustn\u00fd filter<\/a>) je umiestnen\u00fd pred ADC. Prep\u00fa\u0161\u0165a frekvencie ni\u017e\u0161ie ako polovica vzorkovacej frekvencie ADC a odfiltruje vy\u0161\u0161ie frekvencie.<\/p>\n Na v\u00fdpo\u010det spektra sign\u00e1lu na z\u00e1klade jeho diskr\u00e9tnych vzoriek sa diskr\u00e9tny Fourierova transform\u00e1cia (DFT)<\/a> sa pou\u017e\u00edva. E\u0161te raz pripom\u00edname, \u017ee spektrum diskr\u00e9tneho sign\u00e1lu je \u201epod\u013ea defin\u00edcie\u201c obmedzen\u00e9 na frekvenciu Fmax, ktor\u00e1 je men\u0161ia ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Spektrum diskr\u00e9tneho sign\u00e1lu teda mo\u017eno vyjadri\u0165 ako s\u00fa\u010det a kone\u010dn\u00fd <\/u>po\u010det harmonick\u00fdch, na rozdiel od nekone\u010dn\u00e9ho s\u00fa\u010dtu pre Fourierov rad spojit\u00e9ho sign\u00e1lu, ktor\u00e9ho spektrum m\u00f4\u017ee by\u0165 neobmedzen\u00e9. Pod\u013ea Kotelnikovovej vety mus\u00ed by\u0165 maxim\u00e1lna frekvencia harmonickej tak\u00e1, aby na \u0148u pripadali aspo\u0148 dve vzorky, tak\u017ee po\u010det harmonick\u00fdch sa rovn\u00e1 polovici po\u010dtu vzoriek diskr\u00e9tneho sign\u00e1lu. To znamen\u00e1, \u017ee ak je vo vzorke N vzoriek, po\u010det harmonick\u00fdch v spektre bude N\/2.<\/p>\n Uva\u017eujme teraz diskr\u00e9tnu Fourierovu transform\u00e1ciu (DFT).<\/p>\n Porovnanie s Fourierov\u00fdm radom<\/p>\n <\/p>\n Ako vid\u00edme, zhoduj\u00fa sa, a\u017e na to, \u017ee \u010das vo FFT je diskr\u00e9tny a po\u010det harmonick\u00fdch je obmedzen\u00fd na N\/2, \u010do je polovica po\u010dtu vzoriek.<\/p>\n Vzorce DFT sa zapisuj\u00fa v bezrozmern\u00fdch celo\u010d\u00edseln\u00fdch premenn\u00fdch k, s, kde k je po\u010det vzoriek sign\u00e1lu, s je po\u010det spektr\u00e1lnych zlo\u017eiek. Ako u\u017e bolo uveden\u00e9 vy\u0161\u0161ie, pri rozklade neperiodickej funkcie (n\u00e1\u0161ho sign\u00e1lu) na Fourierove rady v\u00fdsledn\u00fd Fourierov rad vlastne zodpoved\u00e1 periodickej funkcii s peri\u00f3dou T (obr. 12).<\/p>\n <\/p>\n Obr. 12. Periodick\u00e1 funkcia f(x) s peri\u00f3dou T0, s peri\u00f3dou T>T0<\/p><\/div>\n <\/p>\n Ako je vidie\u0165 na obr. 12, funkcia f(x) je periodick\u00e1 s peri\u00f3dou T\u2080. Ke\u010f\u017ee v\u0161ak d\u013a\u017eka meran\u00e9ho \u00faseku T nie je rovnak\u00e1 ako peri\u00f3da funkcie T\u2080, funkcia z\u00edskan\u00e1 ako Fourierov rad m\u00e1 v bode T zlom. V d\u00f4sledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahova\u0165 ve\u013ek\u00e9 mno\u017estvo vysokofrekven\u010dn\u00fdch harmonick\u00fdch. Tento jav je zn\u00e1my ako spektr\u00e1lny \u00fanik<\/a>, a v praxi sa zni\u017euje o okenovanie<\/a> sign\u00e1l pred transform\u00e1ciou. Ak by sa d\u013a\u017eka meracieho vzorku T zhodovala s peri\u00f3dou funkcie T0, potom by spektrum z\u00edskan\u00e9 po Fourierovej transform\u00e1cii obsahovalo iba prv\u00fa harmonick\u00fa (sinusoidu s peri\u00f3dou rovnou d\u013a\u017eke vzorku), preto\u017ee funkcia f(x) je sinusoida.<\/p>\n In\u00fdmi slovami, program DFT “nevie”, \u017ee n\u00e1\u0161 sign\u00e1l je “pl\u00e1tok s\u00ednusoidy”, ale sna\u017e\u00ed sa reprezentova\u0165 ako s\u00e9riu periodick\u00fa funkciu, ktor\u00e1 m\u00e1 nespojitos\u0165 v d\u00f4sledku nespojitosti jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed s\u00ednusoidy.<\/p>\n V d\u00f4sledku toho sa v spektre objavuj\u00fa harmonick\u00e9 zlo\u017eky, ktor\u00e9 by mali celkovo reprezentova\u0165 tvar funkcie vr\u00e1tane tejto nespojitosti.<\/p>\n Aby sme teda z\u00edskali “spr\u00e1vne” spektrum sign\u00e1lu, ktor\u00fd je s\u00fa\u010dtom nieko\u013ek\u00fdch s\u00ednuso\u00edd s r\u00f4znymi peri\u00f3dami, je potrebn\u00e9, aby celo\u010d\u00edseln\u00fd po\u010det peri\u00f3d <\/u>ka\u017ed\u00e1 s\u00ednusoida by mala by\u0165 pr\u00edtomn\u00e1 v meracej peri\u00f3de sign\u00e1lu. V praxi mo\u017eno t\u00fato podmienku splni\u0165 pri dostato\u010dne dlhom trvan\u00ed merania sign\u00e1lu.<\/p>\n <\/p>\n Obr.13 Pr\u00edklad funkcie a spektra sign\u00e1lu kinematickej chyby prevodovky<\/p><\/div>\n <\/p>\n Pri krat\u0161om trvan\u00ed bude obraz vyzera\u0165 “hor\u0161ie”:<\/p>\n <\/p>\n Obr.14 Pr\u00edklad funkcie a spektra vibr\u00e1ci\u00ed rotora<\/p><\/div>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n V praxi m\u00f4\u017ee by\u0165 \u0165a\u017ek\u00e9 pochopi\u0165, kde s\u00fa “skuto\u010dn\u00e9 komponenty” a kde “artefakty” sp\u00f4soben\u00e9 nes\u00faladom peri\u00f3d komponentov a trvania vzorkovania sign\u00e1lu alebo “skokov a zlomov” v tvare krivky. Samozrejme, slov\u00e1 “skuto\u010dn\u00e9 zlo\u017eky” a “artefakty” sa d\u00e1vaj\u00fa do \u00favodzoviek z ur\u010dit\u00e9ho d\u00f4vodu. Pr\u00edtomnos\u0165 mnoh\u00fdch harmonick\u00fdch zlo\u017eiek na grafe spektra neznamen\u00e1, \u017ee n\u00e1\u0161 sign\u00e1l sa z nich skuto\u010dne sklad\u00e1. Je to ako myslie\u0165 si, \u017ee \u010d\u00edslo 7 “pozost\u00e1va” z \u010d\u00edsel 3 a 4. \u010c\u00edslo 7 m\u00f4\u017eeme pova\u017eova\u0165 za s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel 3 a 4 – to je spr\u00e1vne.<\/p>\n Tak\u017ee aj n\u00e1\u0161 sign\u00e1l… alebo sk\u00f4r ani nie “n\u00e1\u0161 sign\u00e1l”, ale periodick\u00e1 funkcia zlo\u017een\u00e1 z opakovania n\u00e1\u0161ho sign\u00e1lu (vzorky) m\u00f4\u017ee by\u0165 reprezentovan\u00e1 ako s\u00fa\u010det harmonick\u00fdch (s\u00ednusoidn\u00fdch) s ur\u010dit\u00fdmi amplit\u00fadami a f\u00e1zami. V mnoh\u00fdch pr\u00edpadoch d\u00f4le\u017eit\u00fdch pre prax (pozri obr\u00e1zky vy\u0161\u0161ie) je v\u0161ak skuto\u010dne mo\u017en\u00e9 vz\u0165ahova\u0165 harmonick\u00e9 z\u00edskan\u00e9 v spektre aj na re\u00e1lne procesy, ktor\u00e9 maj\u00fa cyklick\u00fd charakter a v\u00fdznamne sa podie\u013eaj\u00fa na podobe sign\u00e1lu.<\/p>\n 1. Re\u00e1lny meran\u00fd sign\u00e1l s trvan\u00edm T sek\u00fand digitalizovan\u00fd ADC, t. j. reprezentovan\u00fd s\u00faborom diskr\u00e9tnych vzoriek (N kusov), m\u00e1 diskr\u00e9tne neperiodick\u00e9 spektrum reprezentovan\u00e9 s\u00faborom harmonick\u00fdch (N\/2 kusov).<\/p>\n 2. Sign\u00e1l je reprezentovan\u00fd s\u00faborom re\u00e1lnych hodn\u00f4t. Jeho spektrum DFT je s\u00fabor komplexn\u00fdch koeficientov so zdru\u017eenou symetriou; z nich sa z\u00edska amplit\u00fadov\u00e9 spektrum \u2014 s\u00fabor re\u00e1lnych nez\u00e1porn\u00fdch amplit\u00fad (a f\u00e1z) pri kladn\u00fdch frekvenci\u00e1ch, a pr\u00e1ve toto jednostrann\u00e9 amplit\u00fadov\u00e9 spektrum sa v praxi zobrazuje. Obojstrann\u00fd komplexn\u00fd tvar so z\u00e1porn\u00fdmi frekvenciami a jednostrann\u00fd tvar amplit\u00fada\/f\u00e1za s\u00fa ekvivalentn\u00e9 reprezent\u00e1cie toho ist\u00e9ho spektra \u2014 pri anal\u00fdze sign\u00e1lu je zvy\u010dajne pohodlnej\u0161ie pracova\u0165 s jednostrann\u00fdm amplit\u00fadov\u00fdm spektrom.<\/p>\n 3. Sign\u00e1l nameran\u00fd v \u010dase T je ur\u010den\u00fd len v \u010dase T. \u010co sa stalo pred t\u00fdm, ako sme za\u010dali sign\u00e1l mera\u0165, a \u010do sa stane potom, je vede nezn\u00e1me. A v na\u0161om pr\u00edpade to nie je zauj\u00edmav\u00e9. FFT \u010dasovo obmedzen\u00e9ho sign\u00e1lu poskytuje jeho “skuto\u010dn\u00e9” spektrum v tom zmysle, \u017ee za ur\u010dit\u00fdch podmienok umo\u017e\u0148uje vypo\u010d\u00edta\u0165 amplit\u00fadu a frekvenciu jeho zlo\u017eiek.<\/p>\n <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/sk\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"pracovn\u00fd list","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"Obr.2](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US779.webp\")
\nZ matematick\u00e9ho h\u013eadiska - ko\u013eko ch\u00fdb je v tejto vete? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n![\"Obr.4](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1564.webp\")
![\"Obr.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US1916.webp\")
Spojit\u00e1 funkcia a jej reprezent\u00e1cia Fourierov\u00fdm radom<\/h2>\n
\nT - \u00fasek, na ktorom je definovan\u00e1 funkcia (trvanie sign\u00e1lu)
\nAk - amplit\u00fada k-tej harmonickej zlo\u017eky,
\n\u03b8k- po\u010diato\u010dn\u00e1 f\u00e1za k-tej harmonickej zlo\u017eky
\n\u010co znamen\u00e1 “reprezentova\u0165 funkciu ako s\u00fa\u010det radov”? Znamen\u00e1 to, \u017ee s\u010d\u00edtan\u00edm hodn\u00f4t harmonick\u00fdch zlo\u017eiek Fourierovho radu v ka\u017edom bode dostaneme hodnotu na\u0161ej funkcie v danom bode.
\n(Presnej\u0161ie povedan\u00e9, stredn\u00e1 kvadratick\u00e1 odch\u00fdlka radu od funkcie f(x) bude smerova\u0165 k nule, ale napriek strednej kvadratickej konvergencii Fourierov rad funkcie k nej vo v\u0161eobecnosti nemus\u00ed bod po bode konvergova\u0165. )
\nTento rad sa d\u00e1 zap\u00edsa\u0165 aj v tvare:<\/p>\n![\"Rovnica](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3326.webp\")
, k-t\u00e1 komplexn\u00e1 amplit\u00fada.<\/p>\n<\/p>\n
![\"Vzorec](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US3470.png\")
<\/p>\n
\n<\/span><\/b><\/strong>Matematick\u00fdm z\u00e1kladom spektr\u00e1lnej anal\u00fdzy sign\u00e1lov je Fourierova transform\u00e1cia.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fourierova transform\u00e1cia umo\u017e\u0148uje reprezentova\u0165 spojit\u00fa funkciu f(x) (sign\u00e1l) definovan\u00fa na intervale {0, T} ako s\u00fa\u010det nekone\u010dn\u00e9ho po\u010dtu (nekone\u010dn\u00e9ho radu) trigonometrick\u00fdch funkci\u00ed (s\u00ednus a\/alebo kos\u00ednus) s ur\u010dit\u00fdmi amplit\u00fadami a f\u00e1zami, ktor\u00e9 sa tie\u017e uva\u017euj\u00fa na intervale {0, T}. Tak\u00fdto rad sa naz\u00fdva Fourierov rad.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n
\nSpektrum tejto funkcie je diskr\u00e9tne, t. j. je reprezentovan\u00e9 ako nekone\u010dn\u00fd rad harmonick\u00fdch zlo\u017eiek – Fourierov rad.
\nV skuto\u010dnosti Fourierov rad definuje nejak\u00fa periodick\u00fa funkciu, ktor\u00e1 sa zhoduje s na\u0161ou funkciou na intervale {0, T}, ale pre n\u00e1s t\u00e1to periodickos\u0165 nie je podstatn\u00e1.<\/p>\n
\nNa zv\u00fd\u0161enie rozl\u00ed\u0161enia dvojn\u00e1sobne na 0,5 Hz je potrebn\u00e9 pred\u013a\u017ei\u0165 trvanie merania dvojn\u00e1sobne na 2 sekundy. 10-sekundov\u00fd sign\u00e1l je mo\u017en\u00e9 rozlo\u017ei\u0165 na harmonick\u00e9 zlo\u017eky (spektrum) s frekven\u010dn\u00fdm rozl\u00ed\u0161en\u00edm 0,1 Hz. Neexistuj\u00fa \u017eiadne in\u00e9 sp\u00f4soby, ako zv\u00fd\u0161i\u0165 frekven\u010dn\u00e9 rozl\u00ed\u0161enie. Tento vz\u0165ah si m\u00f4\u017eete vysk\u00fa\u0161a\u0165 pomocou n\u00e1\u0161ho Kalkula\u010dka rozl\u00ed\u0161enia FFT<\/a>.<\/p>\nDiskr\u00e9tne sign\u00e1ly a diskr\u00e9tna Fourierova transform\u00e1cia<\/h2>\n
\n(Obr.9 Sch\u00e9ma meracieho kan\u00e1la)<\/p>\n![\"Obr.10](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US8285.webp\")
![\"Obr.](\"https:\/\/vibromera.eu\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f-\u0424\u0443\u0440\u044c\u0435-\u0434\u043b\u044f-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430-\u0432\u0438\u0431\u0440\u043e\u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432-en-US9777.webp\")
<\/p>\n
<\/p>\n
\nHodnota s ud\u00e1va po\u010det pln\u00fdch harmonick\u00fdch kmitov za peri\u00f3du T (trvanie merania sign\u00e1lu). Diskr\u00e9tna Fourierova transform\u00e1cia sa pou\u017e\u00edva na numerick\u00e9 zistenie amplit\u00fad a f\u00e1z harmonick\u00fdch kmitov, t. j. “na po\u010d\u00edta\u010di”.<\/p>\nNiektor\u00e9 v\u00fdsledky<\/h2>\n