{"id":2138,"date":"2023-04-07T21:01:25","date_gmt":"2023-04-07T21:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/vibromera.eu\/?p=2138"},"modified":"2026-07-02T19:45:53","modified_gmt":"2026-07-02T19:45:53","slug":"titresim-sinyallerinin-analizine-fourier-donusumunun-uygulanmasi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/example\/application-of-the-fourier-transform-to-the-analysis-of-vibration-signals\/","title":{"rendered":"Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcn\u00fcn titre\u015fim sinyallerinin analizine uygulanmas\u0131."},"content":{"rendered":"

Titre\u015fim Sinyallerinin Analizinde Fourier D\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcn\u00fcn Uygulanmas\u0131<\/h1>\n

Andrei Shelkovenko. Vibromera'n\u0131n geli\u015ftiricilerinden ve kurucular\u0131ndan biri.
\nMakalenin \u00e7evirisi yanl\u0131\u015fl\u0131klar i\u00e7erebilir.<\/p>\n

Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc ve sinyal spektrumu<\/h2>\n

\u00c7o\u011fu durumda, (hesaplamak) spektrum<\/a> Bir sinyalin i\u015flenmesi \u015fu \u015fekildedir. Bir ADC vard\u0131r ve bu, \u00f6rnekleme yoluyla frekans<\/a> Fd, T s\u00fcresi boyunca giri\u015fine gelen s\u00fcrekli sinyali dijital \u00f6rneklere \u2013 N adet \u00f6rne\u011fe – d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcr\u00fcr. Ard\u0131ndan bu \u00f6rnek dizisi bir programa aktar\u0131l\u0131r (\u00f6rne\u011fin FourierScope<\/a><\/span>) N\/2 baz\u0131 say\u0131sal de\u011ferleri \u00e7\u0131kt\u0131 olarak verir.<\/p>\n

Program\u0131n do\u011fru \u00e7al\u0131\u015f\u0131p \u00e7al\u0131\u015fmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 kontrol etmek i\u00e7in, iki sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) toplam\u0131 \u015feklinde bir \u00f6rnek dizisi olu\u015fturup programa giriyoruz. Program a\u015fa\u011f\u0131dakileri \u00e7izdi:
\n

\"Fourier

\u015eekil 1 Sinyalin zaman fonksiyonunun grafi\u011fi<\/span><\/i><\/em><\/p><\/div><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 2 Sinyal spektrumunun grafi\u011fi<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

There are two harmonikler<\/a> spektrum grafi\u011finde – genli\u011fi 0,5 V olan 5 Hz ve genli\u011fi 1 V olan 10 Hz g\u00f6r\u00fcl\u00fcr; her \u015fey orijinal sinyalin form\u00fcl\u00fcndeki gibidir. Her \u015fey yolunda, program do\u011fru \u00e7al\u0131\u015f\u0131yor.<\/p>\n

Bu, iki sin\u00fczoidin kar\u0131\u015f\u0131m\u0131ndan olu\u015fan ger\u00e7ek bir sinyali ADC giri\u015fine beslersek, iki harmonikten olu\u015fan benzer bir spektrum elde edece\u011fimiz anlam\u0131na gelir.<\/p>\n

Yani, bizim ger\u00e7ek <\/span><\/b><\/strong>\u00f6l\u00e7\u00fclen sinyal 5 sn. s\u00fcreli<\/span><\/b><\/strong>ADC taraf\u0131ndan say\u0131salla\u015ft\u0131r\u0131l\u0131r, yani temsil edilir taraf\u0131ndan ayr\u0131k <\/span><\/b><\/strong>\u00f6rnekleri, bir ayr\u0131k periyodik olmayan <\/span><\/b><\/strong>spektrum.
\nMatematiksel a\u00e7\u0131dan bak\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda – bu ifadede ka\u00e7 hata var? <\/span><\/i><\/em><\/p>\n

\u015eimdi ayn\u0131 sinyali 0,5 saniye boyunca \u00f6l\u00e7meyi deneyelim.<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 3 0,5 saniyelik bir \u00f6l\u00e7\u00fcm periyodu i\u00e7in sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) fonksiyonunun grafi\u011fi<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 4 Fonksiyonun spektrumu<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Burada bir sorun var! 10 Hz'deki harmonik normal olarak \u00e7izilir ve 5 Hz'deki harmonik yerine baz\u0131 belirsiz harmonikler vard\u0131r.<\/p>\n

\u0130nternette, \u00f6rne\u011fin sonuna s\u0131f\u0131rlar eklemek gerekti\u011fini ve spektrumun normal olarak \u00e7izilece\u011fini s\u00f6yl\u00fcyorlar.<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 5 5 saniyeye kadar \u00f6rne\u011fe s\u0131f\u0131rlar ekledik<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 6. Elde edilen spektrum.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Bu hi\u00e7 de \u00f6yle de\u011fil. Teoriyle ilgilenmem gerekecek. Hadi vikipedi<\/b><\/strong><\/a><\/span>\u00a0– bilginin kayna\u011f\u0131.<\/p>\n

S\u00fcrekli fonksiyon ve Fourier serisi g\u00f6sterimi<\/h2>\n

Matematiksel olarak, T saniye s\u00fcreli sinyalimiz {0, T} aral\u0131\u011f\u0131nda verilen bir f(x) fonksiyonudur (bu durumda X zamand\u0131r). B\u00f6yle bir fonksiyon her zaman formdaki harmonik fonksiyonlar\u0131n (sin\u00fcs veya kosin\u00fcs) bir toplam\u0131 olarak g\u00f6sterilebilir:<\/p>\n

\"S\u00fcrekli

\u00a0(1), burada:<\/p>\n

<\/p><\/div>\n

k trigonometrik fonksiyonun say\u0131s\u0131d\u0131r (harmonik bile\u015fenin say\u0131s\u0131, harmoni\u011fin say\u0131s\u0131)
\nT – fonksiyonun tan\u0131mland\u0131\u011f\u0131 aral\u0131k (sinyalin s\u00fcresi)
\nAk- k-inci harmonik bile\u015fenin genli\u011fi,
\n\u03b8k- k'nc\u0131 harmonik bile\u015fenin ba\u015flang\u0131\u00e7 faz\u0131
\n“Fonksiyonu serinin toplam\u0131 olarak g\u00f6stermek” ne anlama gelir? Bu, Fourier serisinin harmonik bile\u015fenlerinin her bir noktadaki de\u011ferlerini toplayarak, fonksiyonumuzun o noktadaki de\u011ferini elde etti\u011fimiz anlam\u0131na gelir.
\n(Daha kesin bir ifadeyle, serinin f(x) fonksiyonundan ortalama kare sapmas\u0131 s\u0131f\u0131ra do\u011fru e\u011filim g\u00f6sterecektir, ancak ortalama kare yak\u0131nsamas\u0131na ra\u011fmen, bir fonksiyonun Fourier serisinin, genel olarak konu\u015fursak, ona nokta nokta yak\u0131nsamas\u0131 gerekmez. )
\nBu seri \u015fu \u015fekilde de yaz\u0131labilir:<\/p>\n

\"(2),\"

(2),<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

nerede \"Titre\u015fim k'\u0131nc\u0131 karma\u015f\u0131k genlik.<\/p>\n

 <\/p>\n

veya<\/p>\n

\"

(3)<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

(1) ve (3) katsay\u0131lar\u0131 aras\u0131ndaki ili\u015fki a\u015fa\u011f\u0131daki form\u00fcllerle ifade edilir:<\/p>\n

\"Fourier<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fourier<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Fourier serisinin bu \u00fc\u00e7 g\u00f6steriminin de tamamen e\u015fde\u011fer oldu\u011funu unutmay\u0131n. Fourier serileriyle \u00e7al\u0131\u015f\u0131rken bazen sin\u00fcs ve kosin\u00fcsler yerine sanal arg\u00fcmanl\u0131 \u00fcsleri kullanmak, yani Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcn\u00fc karma\u015f\u0131k bi\u00e7imde kullanmak daha uygundur. Ancak bizim i\u00e7in form\u00fcl (1)'i kullanmak uygundur; burada Fourier serisi kar\u015f\u0131l\u0131k gelen genlikler ve fazlarla kosin\u00fcslerin toplam\u0131 olarak g\u00f6sterilir. Kesin konu\u015fmak gerekirse, ger\u00e7ek bir sinyalin Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc ger\u00e7ekten karma\u015f\u0131k katsay\u0131lar \u00fcretir (bi\u00e7im (3)): her katsay\u0131 kendi harmoni\u011finin hem genli\u011fini hem de faz\u0131n\u0131 ta\u015f\u0131r. Ger\u00e7ek bir sinyal i\u00e7in bu karma\u015f\u0131k katsay\u0131lar e\u015flenik (Hermit) simetriye sahiptir \u2014 negatif frekans yar\u0131s\u0131 yaln\u0131zca pozitif frekans yar\u0131s\u0131n\u0131 yans\u0131t\u0131r ve ek bilgi ta\u015f\u0131maz. Bu y\u00fczden, karma\u015f\u0131k katsay\u0131lardan her zaman form\u00fcl (1)'deki ger\u00e7ek, negatif olmayan Ak genliklerine ve \u03b8k fazlar\u0131na ge\u00e7ebiliriz \u2014 analiz programlar\u0131n\u0131n \u00e7izdi\u011fi de tam olarak bu genlik spektrumudur.<\/p>\n

 <\/p>\n

Sonu\u00e7 olarak:<\/span><\/b><\/u><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Sinyallerin spektral analizi i\u00e7in matematiksel temel Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcd\u00fcr.<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>
\n<\/span><\/b><\/strong>Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc, {0, T} aral\u0131\u011f\u0131nda tan\u0131mlanan s\u00fcrekli bir f(x) fonksiyonunu (sinyal), yine {0, T} aral\u0131\u011f\u0131nda d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fclen belirli genlik ve fazlara sahip trigonometrik fonksiyonlar\u0131n (sin\u00fcs ve\/veya kosin\u00fcs) sonsuz say\u0131da (sonsuz seri) toplam\u0131 olarak temsil etmeyi sa\u011flar. B\u00f6yle bir seriye Fourier serisi denir.<\/span><\/b><\/strong><\/p>\n

Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcn\u00fcn sinyal analizine do\u011fru uygulanmas\u0131 i\u00e7in anla\u015f\u0131lmas\u0131 gereken baz\u0131 noktalara daha dikkat ediniz. E\u011fer Fourier serisini (sin\u00fczoidlerin toplam\u0131) t\u00fcm X ekseni \u00fczerinde d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcrsek, {0, T} aral\u0131\u011f\u0131n\u0131n d\u0131\u015f\u0131nda Fourier serisi fonksiyonunun periyodik olarak bizim fonksiyonumuzu tekrarlayaca\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6r\u00fcr\u00fcz.<\/p>\n

\u00d6rne\u011fin, \u015eekil 7'deki grafikte, orijinal fonksiyon {-T\\2, +T\\2} aral\u0131\u011f\u0131nda tan\u0131mlanm\u0131\u015ft\u0131r ve Fourier serisi t\u00fcm x ekseninde tan\u0131mlanan periyodik bir fonksiyonu temsil etmektedir.<\/p>\n

Bunun nedeni sin\u00fczoidlerin kendilerinin periyodik fonksiyonlar olmas\u0131, dolay\u0131s\u0131yla toplamlar\u0131n\u0131n da periyodik bir fonksiyon olmas\u0131d\u0131r.<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 7 Periyodik olmayan bir kaynak fonksiyonunun Fourier serisi ile g\u00f6sterimi<\/p><\/div>\n

B\u00f6ylece:<\/p>\n

Orijinal fonksiyonumuz, T uzunlu\u011fundaki bir segment \u00fczerinde tan\u0131mlanan s\u00fcrekli, periyodik olmayan bir fonksiyondur.
\nBu fonksiyonun spektrumu ayr\u0131d\u0131r, yani sonsuz bir harmonik bile\u015fen serisi \u2013 bir Fourier serisi – olarak temsil edilir.
\nAsl\u0131nda Fourier serisi, {0, T} aral\u0131\u011f\u0131nda bizim fonksiyonumuzla \u00e7ak\u0131\u015fan baz\u0131 periyodik fonksiyonlar tan\u0131mlar, ancak bizim i\u00e7in bu periyodiklik \u00f6nemli de\u011fildir.<\/p>\n

S\u0131radaki.<\/p>\n

Harmonik bile\u015fenlerin periyotlar\u0131, ba\u015flang\u0131\u00e7 fonksiyonu f(x)'in tan\u0131mland\u0131\u011f\u0131 {0, T} aral\u0131\u011f\u0131n\u0131n katlar\u0131d\u0131r. Ba\u015fka bir deyi\u015fle, harmoniklerin periyotlar\u0131 sinyal \u00f6l\u00e7\u00fcm s\u00fcresinin katlar\u0131d\u0131r. \u00d6rne\u011fin, bir Fourier serisindeki birinci harmoni\u011fin periyodu, f(x) fonksiyonunun tan\u0131mland\u0131\u011f\u0131 T aral\u0131\u011f\u0131na e\u015fittir. Bir Fourier serisindeki ikinci harmoni\u011fin periyodu T\/2 aral\u0131\u011f\u0131na e\u015fittir. Ve bu b\u00f6yle devam eder (bkz. \u015eekil 8).<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 8 Fourier serisinin harmonik bile\u015fenlerinin periyotlar\u0131 (frekanslar\u0131) (burada T=2\u03c0)<\/p><\/div>\n

Buna g\u00f6re, harmonik bile\u015fenlerin frekanslar\u0131 1\/T'nin katlar\u0131d\u0131r. Yani harmonik bile\u015fenlerin frekanslar\u0131 Fk = k\\T'dir; burada k, 0'dan \u221e'ye kadar de\u011ferler al\u0131r. \u00d6rne\u011fin, k=0 i\u00e7in F0=0; k=1 i\u00e7in F1=1\\T; k=2 i\u00e7in F2=2\\T; k=3 i\u00e7in F3=3\\T;…. Fk = k\\T (s\u0131f\u0131r frekansta sabit bir bile\u015fen).<\/p>\n

Ba\u015flang\u0131\u00e7 fonksiyonumuz, T=1 saniye boyunca kaydedilmi\u015f bir sinyal olsun. O zaman ilk harmoni\u011fin periyodu sinyalimizin s\u00fcresine e\u015fit olacakt\u0131r T1=T=1 sn ve harmoni\u011fin frekans\u0131 1 Hz'e e\u015fittir. \u0130kinci harmoni\u011fin periyodu sinyalimizin s\u00fcresinin 2'ye b\u00f6l\u00fcnmesine e\u015fit olacakt\u0131r (T2=T\/2=0,5 sn.) ve frekans\u0131 2 Hz'e e\u015fittir. \u00dc\u00e7\u00fcnc\u00fc harmonik i\u00e7in, T3=T\/3 sn ve frekans 3 Hz'dir. Ve b\u00f6yle devam eder.<\/p>\n

Bu durumda harmonikler aras\u0131ndaki ad\u0131m 1 Hz'dir.<\/p>\n

B\u00f6ylece, 1 saniye s\u00fcreli bir sinyal, 1 Hz frekans \u00e7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fc\u011f\u00fc ile harmonik bile\u015fenlere ayr\u0131\u015ft\u0131r\u0131labilir (bir spektrum elde etmek i\u00e7in).
\n\u00c7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fc\u011f\u00fc 2 kat art\u0131rarak 0,5 Hz'e \u00e7\u0131karmak i\u00e7in, \u00f6l\u00e7\u00fcm s\u00fcresini 2 kat art\u0131rarak 2 saniyeye \u00e7\u0131karmak gerekir. 10 saniyelik bir sinyal, 0,1 Hz frekans \u00e7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fc\u011f\u00fcne sahip harmonik bile\u015fenlere (spektrum) ayr\u0131\u015ft\u0131r\u0131labilir. Frekans \u00e7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fc\u011f\u00fcn\u00fc art\u0131rman\u0131n ba\u015fka bir yolu yoktur. Bu ili\u015fkiyi bizim FFT \u00c7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fck Hesaplay\u0131c\u0131s\u0131<\/a>.<\/p>\n

\u00d6rnek dizisine s\u0131f\u0131rlar ekleyerek sinyal s\u00fcresini yapay olarak art\u0131rman\u0131n bir yolu vard\u0131r. Ancak bu ger\u00e7ek frekans \u00e7\u00f6z\u00fcn\u00fcrl\u00fc\u011f\u00fcn\u00fc art\u0131rmaz.<\/p>\n

Ayr\u0131k sinyaller ve ayr\u0131k Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc<\/h2>\n

Dijital teknolojinin geli\u015fmesiyle birlikte \u00f6l\u00e7\u00fcm verilerinin (sinyallerin) saklanma y\u00f6ntemleri de\u011fi\u015fmi\u015ftir. \u00d6nceden bir sinyal bir teybe kaydedilip analog formda bir kasette saklanabilirken, art\u0131k sinyaller dijitalle\u015ftirilmekte ve bilgisayar belle\u011findeki dosyalarda bir dizi say\u0131 (say\u0131m) olarak saklanmaktad\u0131r.<\/p>\n

Sinyal \u00f6l\u00e7\u00fcm\u00fc ve say\u0131salla\u015ft\u0131rman\u0131n ola\u011fan \u015femas\u0131 a\u015fa\u011f\u0131daki gibidir.<\/p>\n

\u00d6l\u00e7\u00fcm d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcr\u00fcc\u00fcs\u00fc —- Sinyal normalle\u015ftirici —- ADC —– Bilgisayar
\n(\u015eekil 9 \u00d6l\u00e7\u00fcm kanal\u0131n\u0131n \u015femas\u0131)<\/p>\n

<\/span><\/i><\/em><\/p>\n

\u00d6l\u00e7\u00fcm transd\u00fcserinden gelen sinyal, T s\u00fcresi boyunca ADC'ye gider. T s\u00fcresi boyunca al\u0131nan sinyal okumalar\u0131 (\u00f6rnekleme) bilgisayara iletilir ve belle\u011fe kaydedilir.<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 10. Say\u0131salla\u015ft\u0131r\u0131lm\u0131\u015f sinyal – T s\u00fcresi boyunca elde edilen N \u00f6rnek<\/p><\/div>\n

Sinyal say\u0131salla\u015ft\u0131rma parametreleri i\u00e7in gereksinimler nelerdir? Giri\u015f analog sinyalini ayr\u0131k bir koda (dijital sinyal) d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcren bir cihaza analog-dijital d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcr\u00fcc\u00fc (ADC) denir (\u00a9 Wiki).<\/p>\n

ADC'nin temel parametrelerinden biri maksimum \u00f6rnekleme h\u0131z\u0131d\u0131r – yani zaman i\u00e7inde s\u00fcrekli olan bir sinyalin \u00f6rneklenme frekans\u0131. \u00d6rnekleme h\u0131z\u0131 hertz cinsinden \u00f6l\u00e7\u00fcl\u00fcr. ((\u00a9 Wiki))<\/p>\n

Kotelnikov teoremine g\u00f6re, s\u00fcrekli bir sinyalin spektrumu Fmax frekans\u0131yla s\u0131n\u0131rl\u0131ysa, zaman aral\u0131klar\u0131 \u0394t \u2264 1\/(2*Fmax) ile al\u0131nan ayr\u0131k \u00f6rneklerinden, yani Fd \u2265 2*Fmax \u00f6rnekleme frekans\u0131yla, tam ve tekil olarak yeniden olu\u015fturulabilir; burada Fd – \u00f6rnekleme frekans\u0131; Fmax – sinyal spektrumunun maksimum frekans\u0131d\u0131r. Ba\u015fka bir deyi\u015fle, sinyal say\u0131salla\u015ft\u0131rma frekans\u0131 (ADC \u00f6rnekleme frekans\u0131), \u00f6l\u00e7mek istedi\u011fimiz sinyalin maksimum frekans\u0131n\u0131n en az iki kat\u0131 olmal\u0131d\u0131r.<\/p>\n

Peki, Kotelnikov'un teoreminin gerektirdi\u011finden daha d\u00fc\u015f\u00fck frekansta \u00f6rnek al\u0131rsak ne olur?<\/p>\n

Bu durumda bir “\u00f6rt\u00fc\u015fme (aliasing)<\/a>Bu durumda, say\u0131salla\u015ft\u0131rmadan sonra y\u00fcksek frekansl\u0131 bir sinyalin asl\u0131nda var olmayan d\u00fc\u015f\u00fck frekansl\u0131 bir sinyale d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc bir \"aliasing\" etkisi (di\u011fer ad\u0131yla stroboskopik etki, moir\u00e9 etkisi) vard\u0131r. \u015eekil 11'de y\u00fcksek frekansl\u0131 k\u0131rm\u0131z\u0131 sin\u00fcs dalgas\u0131 ger\u00e7ek sinyaldir. D\u00fc\u015f\u00fck frekansl\u0131 mavi sin\u00fcs dalgas\u0131, \u00f6rnekleme s\u00fcresi boyunca y\u00fcksek frekansl\u0131 sinyalin yar\u0131m periyodundan daha fazla zaman ge\u00e7mesi nedeniyle ortaya \u00e7\u0131kan hayali bir sinyaldir.<\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 11. Yetersiz y\u00fcksek \u00f6rnekleme h\u0131z\u0131nda sahte bir d\u00fc\u015f\u00fck frekans sinyalinin ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Aliasing etkisini \u00f6nlemek i\u00e7in \u00f6zel bir anti-aliasing filtresi (al\u00e7ak ge\u00e7iren filtre<\/a>) ADC'nin \u00f6n\u00fcne yerle\u015ftirilir. Bu filtre, ADC \u00f6rnekleme frekans\u0131n\u0131n yar\u0131s\u0131ndan daha d\u00fc\u015f\u00fck frekanslar\u0131 ge\u00e7irir ve daha y\u00fcksek frekanslar\u0131 keser.<\/p>\n

Sinyal spektrumunu ayr\u0131k \u00f6rnekleri kullan\u0131larak hesaplamak i\u00e7in ayr\u0131k Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc (DFT)<\/a> kullan\u0131l\u0131r. Ayr\u0131k bir sinyalin spektrumunun “tan\u0131m gere\u011fi” \u00f6rnekleme frekans\u0131 Fd'nin yar\u0131s\u0131ndan daha k\u00fc\u00e7\u00fck bir Fmax frekans\u0131 ile s\u0131n\u0131rl\u0131 oldu\u011funa tekrar dikkat edin. Bu nedenle, ayr\u0131k bir sinyalin spektrumu \u015fu toplamla g\u00f6sterilebilir: sonlu <\/u>harmonik say\u0131s\u0131 ile g\u00f6sterilir; bu, spektrumu s\u0131n\u0131rs\u0131z olabilen s\u00fcrekli bir sinyalin Fourier serisindeki sonsuz toplamdan farkl\u0131d\u0131r. Kotelnikov'un teoremine g\u00f6re, bir harmoni\u011fin maksimum frekans\u0131 en az iki \u00f6rne\u011fe kar\u015f\u0131l\u0131k gelecek \u015fekilde olmal\u0131d\u0131r; bu nedenle harmonik say\u0131s\u0131, ayr\u0131k bir sinyaldeki \u00f6rnek say\u0131s\u0131n\u0131n yar\u0131s\u0131na e\u015fittir. Yani \u00f6rnekte N \u00f6rnek varsa, spektrumdaki harmonik say\u0131s\u0131 N\/2 olacakt\u0131r.<\/p>\n

\u015eimdi ayr\u0131k Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcn\u00fc (DFT) ele alal\u0131m.<\/p>\n

\"Ayr\u0131k<\/p>\n

Fourier serisi ile kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131r\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda<\/p>\n

 <\/p>\n

\"Fourier<\/p>\n

G\u00f6rd\u00fc\u011f\u00fcm\u00fcz gibi, FFT'de zaman\u0131n ayr\u0131k olmas\u0131 ve harmonik say\u0131s\u0131n\u0131n \u00f6rnek say\u0131s\u0131n\u0131n yar\u0131s\u0131 olan N\/2 ile s\u0131n\u0131rl\u0131 olmas\u0131 d\u0131\u015f\u0131nda \u00e7ak\u0131\u015fmaktad\u0131rlar.<\/p>\n

DFT form\u00fclleri boyutsuz tamsay\u0131 de\u011fi\u015fkenleri k, s cinsinden yaz\u0131l\u0131r; burada k sinyal \u00f6rneklerinin say\u0131s\u0131, s ise spektral bile\u015fenlerin say\u0131s\u0131d\u0131r.
\ns de\u011feri, T periyodu (sinyal \u00f6l\u00e7\u00fcm s\u00fcresi) ba\u015f\u0131na tam harmonik sal\u0131n\u0131m say\u0131s\u0131n\u0131 g\u00f6sterir. Ayr\u0131k Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fc, harmoniklerin genliklerini ve fazlar\u0131n\u0131 say\u0131sal olarak, yani “bilgisayarda” bulmak i\u00e7in kullan\u0131l\u0131r.<\/p>\n

Yukar\u0131da da belirtildi\u011fi gibi, periyodik olmayan bir fonksiyon (sinyalimiz) Fourier serilerine ayr\u0131\u015ft\u0131r\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda, ortaya \u00e7\u0131kan Fourier serisi asl\u0131nda T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyona kar\u015f\u0131l\u0131k gelir (\u015eekil 12).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 12. Periyodu T0 olan periyodik f(x) fonksiyonu, periyodu T>T0 olan<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\u015eekil 12\u2019de g\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc gibi, f(x) fonksiyonu T\u2080 periyotlu bir periyodik fonksiyondur. Ancak, \u00f6l\u00e7\u00fcm \u00f6rne\u011fi uzunlu\u011fu T\u2019nin fonksiyon periyodu T\u2080\u2019a e\u015fit olmamas\u0131 nedeniyle, Fourier serisi olarak elde edilen fonksiyon T noktas\u0131nda bir s\u00fcreksizlik g\u00f6sterir. Sonu\u00e7 olarak, bu fonksiyonun spektrumu \u00e7ok say\u0131da y\u00fcksek frekansl\u0131 harmonik i\u00e7erecektir. Bu olguya spektral s\u0131z\u0131nt\u0131<\/a>ve pratikte bu, pencereleme<\/a> d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcmden \u00f6nceki sinyal. \u00d6l\u00e7\u00fcm \u00f6rne\u011fi T\u2019nin s\u00fcresi T0 fonksiyonunun periyodu ile \u00e7ak\u0131\u015f\u0131yorsa, Fourier d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcnden sonra elde edilen spektrum yaln\u0131zca birinci harmoni\u011fi (\u00f6rne\u011fin s\u00fcresine e\u015fit periyoda sahip bir sin\u00fczoid) i\u00e7erecektir; \u00e7\u00fcnk\u00fc f(x) fonksiyonu bir sin\u00fczoiddir.<\/p>\n

Ba\u015fka bir deyi\u015fle, DFT program\u0131 sinyalimizin bir “sin\u00fcs dalgas\u0131 kesiti” oldu\u011funu “bilmez”; bunun yerine, sin\u00fcs dalgas\u0131n\u0131n ayr\u0131 par\u00e7alar\u0131n\u0131n s\u00fcreksizli\u011fi nedeniyle s\u00fcreksizlik i\u00e7eren periyodik bir fonksiyonu seri olarak temsil etmeye \u00e7al\u0131\u015f\u0131r.<\/p>\n

Sonu\u00e7 olarak, bu s\u00fcreksizlik de dahil olmak \u00fczere toplamda fonksiyonun \u015feklini temsil etmesi gereken spektrumda harmonikler ortaya \u00e7\u0131kar.<\/p>\n

Dolay\u0131s\u0131yla, farkl\u0131 periyotlara sahip birka\u00e7 sin\u00fczoidin toplam\u0131 olan bir sinyalin “do\u011fru” spektrumunu elde etmek i\u00e7in, d\u00f6nemlerinin tamsay\u0131 say\u0131s\u0131 <\/u>her sin\u00fczoid sinyalin \u00f6l\u00e7\u00fcm periyodunda mevcut olmal\u0131d\u0131r. Pratikte, bu ko\u015ful yeterince uzun bir sinyal \u00f6l\u00e7\u00fcm s\u00fcresi ile kar\u015f\u0131lanabilir.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 13 Bir di\u015fli kutusunun kinematik hata sinyal fonksiyonu ve spektrumu \u00f6rne\u011fi<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Daha k\u0131sa s\u00fcrelerde g\u00f6r\u00fcnt\u00fc “daha k\u00f6t\u00fc” g\u00f6r\u00fcnecektir:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\u015eekil

\u015eekil 14 Rotor titre\u015fim fonksiyonu ve spektrum \u00f6rne\u011fi<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Pratikte, bile\u015fen periyotlar\u0131 ile sinyal \u00f6rnekleme s\u00fcrelerinin uyu\u015fmamas\u0131ndan veya dalga bi\u00e7imindeki “s\u0131\u00e7rama ve kopmalardan” kaynaklanan “ger\u00e7ek bile\u015fenlerin” nerede, “artefaktlar\u0131n” nerede oldu\u011funu anlamak zor olabilir. Elbette, “ger\u00e7ek bile\u015fenler” ve “artefaktlar” ifadeleri bo\u015funa t\u0131rnak i\u00e7inde verilmemi\u015ftir. Spektrum grafi\u011finde \u00e7ok say\u0131da harmonik bulunmas\u0131, sinyalimizin ger\u00e7ekte bunlardan olu\u015ftu\u011fu anlam\u0131na gelmez. Bu, 7 say\u0131s\u0131n\u0131n 3 ve 4 say\u0131lar\u0131ndan “olu\u015ftu\u011funu” d\u00fc\u015f\u00fcnmeye benzer. 7 say\u0131s\u0131 3 ve 4'\u00fcn toplam\u0131 olarak d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fclebilir – bu do\u011frudur.<\/p>\n

Dolay\u0131s\u0131yla bizim sinyalimiz de… ya da daha do\u011frusu “bizim sinyalimiz” bile de\u011fil, sinyalimizin (\u00f6rne\u011fimizin) tekrarlanmas\u0131yla olu\u015fturulan periyodik bir fonksiyon, belirli genlik ve fazlara sahip harmoniklerin (sin\u00fcs dalgalar\u0131n\u0131n) toplam\u0131 olarak temsil edilebilir. Ancak pratikte \u00f6nemli olan bir\u00e7ok durumda (bkz. yukar\u0131daki \u015fekiller), spektrumda elde edilen harmonikleri d\u00f6ng\u00fcsel karaktere sahip ve sinyalin bi\u00e7imine \u00f6nemli katk\u0131 yapan ger\u00e7ek s\u00fcre\u00e7lerle ili\u015fkilendirmek ger\u00e7ekten m\u00fcmk\u00fcnd\u00fcr.<\/p>\n

Baz\u0131 sonu\u00e7lar<\/h2>\n

1. ADC taraf\u0131ndan say\u0131salla\u015ft\u0131r\u0131lan, yani bir dizi ayr\u0131k \u00f6rnek (N adet) ile temsil edilen T saniye s\u00fcreli ger\u00e7ek bir \u00f6l\u00e7\u00fclen sinyal, bir dizi harmonik (N\/2 adet) ile temsil edilen ayr\u0131k periyodik olmayan bir spektruma sahiptir.<\/p>\n

2. Sinyal bir ger\u00e7ek de\u011ferler k\u00fcmesiyle temsil edilir. DFT spektrumu, e\u015flenik simetriye sahip bir karma\u015f\u0131k katsay\u0131lar k\u00fcmesidir; bunlardan genlik spektrumu elde edilir \u2014 pozitif frekanslarda ger\u00e7ek, negatif olmayan genlikler (ve fazlar) k\u00fcmesi \u2014 ve pratikte \u00e7izilen bu tek tarafl\u0131 genlik spektrumudur. Negatif frekansl\u0131 \u00e7ift tarafl\u0131 karma\u015f\u0131k bi\u00e7im ile tek tarafl\u0131 genlik\/faz bi\u00e7imi ayn\u0131 spektrumun e\u015fde\u011fer g\u00f6sterimleridir \u2014 sinyal analizi i\u00e7in genellikle tek tarafl\u0131 genlik spektrumuyla \u00e7al\u0131\u015fmak daha uygundur.<\/p>\n

3. T zaman\u0131nda \u00f6l\u00e7\u00fclen sinyal yaln\u0131zca T zaman aral\u0131\u011f\u0131nda belirlenmi\u015ftir. Sinyali \u00f6l\u00e7meye ba\u015flamadan \u00f6nce ne oldu\u011fu ve bundan sonra ne olaca\u011f\u0131 bilinmez. Bizim durumumuzda da bu ilgin\u00e7 de\u011fildir. Zamanla s\u0131n\u0131rl\u0131 sinyalin FFT'si, belirli ko\u015fullar alt\u0131nda bile\u015fenlerinin genli\u011fini ve frekans\u0131n\u0131 hesaplamaya izin verdi\u011fi anlam\u0131nda onun “ger\u00e7ek” spektrumunu verir.<\/p>\n

 <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals Andrei Shelkovenko. One of the developers and founder of Vibromera. The translation of the article may contain inaccuracies. Fourier transform and signal spectrum In many cases the task of obtaining (calculating) the spectrum of a signal is as follows. […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2161,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ai_generated_summary":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-example"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":102137,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/102137"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2161"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vibromera.eu\/tr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}