定義: 固有振動数とは何ですか?

クイックアンサー

固有振動数 機械システムが平衡状態から変位した後に自由振動する周波数である。これはシステムの 質量 そして 硬直: fn = (1/2π) × √(k/m), ここで、kは剛性（N/m）、mは質量（kg）である。外力の周波数が固有振動数と一致する場合、, 共振 振動振幅が10～50倍に増加し、壊滅的な故障を引き起こす可能性があります。回転機械では、 臨界速度 （回転数） = fn × 60。静的たわみを使用した簡単な現場推定： fn ≈ 15.76 / √δmm.

A 固有振動数 物体またはシステムが平衡状態から乱された後、外部からの駆動力が全くない状態で自由に振動する場合に、その物体またはシステムが振動する特定の周波数。これは物体固有の基本的な性質であり、その物理的特性、主にその特性によって完全に決定される。 質量 （慣性）とその 硬直 （弾性）。ギターの弦から橋のスパン、機械の支持台に至るまで、あらゆる物体は1つ以上の固有振動数を持っています。.

固有振動数は、 固有周波数 （ドイツ語の「eigen」は「独自の」または「特徴的な」という意味）から来ており、対応する振動パターンは モード形状 または 固有モード. 機械のベースのような複雑な構造には、数百もの固有振動数があり、それぞれが曲げ、ねじり、呼吸、揺れなどの固有の変形パターンと関連しています。.

振動解析において固有振動数が重要な理由

回転機械における振動の問題は、過度の加振力（アンバランスなど）ではなく、加振周波数が構造上の固有振動数と偶然一致することによって引き起こされることがよくあります。機械が構造上の共振点またはその近傍で動作する場合、許容範囲内のアンバランスであっても破壊的な振動が発生する可能性があります。したがって、原因不明の高振動を調査する際には、固有振動数を特定することが最も重要な診断手順の一つとなります。.

質量、剛性、固有振動数の関係

質量、剛性、固有振動数の間の基本的な関係は、振動工学において最も重要な概念の一つです。これは直感的であると同時に数学的にも正確です。.

直感的な理解

  • 剛性（k）: より硬い物体は より高い 固有振動数。ギターの弦を想像してみてください。弦を張る（張力／硬さが増す）と、ピッチ（周波数）が上がります。太い鋼鉄の梁は、同じ長さの薄いアルミニウム板よりもはるかに高い周波数で振動します。.
  • 質量（m）: より質量の大きい物体は より低い 固有振動数。机の端から伸びた定規を想像してみてください。長くて重い定規は、短くて軽い定規よりも振動が遅く（周波数が低く）なります。構造物に重量を加えると、必ず固有振動数は低下します。.

基本式

単純な単一自由度 (SDOF) システム (質量がバネに接続されています) の場合、減衰のない固有振動数は次のように表されます。

減衰のない固有振動数
fn = (1 / 2π) × √(k / m)
fn Hz、kはN/m、mはkg。また、ωはn = √(k/m) （rad/s）

この式には、実用上、重要な意味合いがあります。

  • へ 増加 fn 2倍にするには、剛性を4倍に増やす必要があります（平方根のため）—または質量を4倍に減らす必要があります
  • へ 減少 fn 2倍にするには、剛性を4倍に減らすか、質量を4倍に増やす必要があります。
  • 剛性と質量の変化は 収穫逓減: fの各2倍n パラメータの4倍の変化が必要

静的たわみのショートカット

振動工学において最も有用な実用的な公式の 1 つは、固有振動数を重力下での静的たわみに直接関連付けるものです。

静的たわみからの固有振動数
fn = (1 / 2π) × √(g / δ) ≈ 15.76 / √δ
fn Hz、δ（mm）、g = 9810 mm/s²。素早い概算にとても便利です！

これは非常に有用です。なぜなら、静的たわみは多くの場合簡単に測定または推定できるからです。機械の重量によって構造物がどれだけたわむかを測定するだけで済みます。支持部上で1mmたわんだ機械の垂直固有振動数は約15.8Hz（948回転/分）です。0.25mmたわんだ機械の垂直固有振動数はfです。n ≈ 31.5 Hz (1890 RPM)。.

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機器を使わずに素早く固有振動数を推定したいですか？機械のベアリングハウジングの下にダイヤルゲージを設置し、機械の重量がかかったとき（例えば設置時）の静的たわみを観察します。式fn ≈ 15.76/√δmm 基本的な垂直固有振動数の非常に良好な最初の近似値を与えます。.

複数の自由度

現実の構造物は単純なSDOFシステムではありません。分散剛性を介して接続された多数の質量を持つため、多くの固有振動数が発生します。弾性支持された単純な剛体は、6つの自由度に対応する6つの固有振動数を持ちます。3つの並進自由度（垂直、横方向、軸方向）と3つの回転自由度（ロール、ピッチ、ヨー）です。柔軟な構造物には無限のモードがありますが、実用上問題となるのは最も低い数個のモードだけです。.

重要な原則は次のとおりです。 固有振動数の数はモデルの自由度の数に等しい. 10 個の集中質量でモデル化された単純な梁には 10 個の固有振動数があります。10,000 個のノードを持つ有限要素モデルには 30,000 個 (ノードあたり 3 DOF) の固有振動数がありますが、関心のある周波数範囲内にあるのは数十個だけです。.

減衰効果

実際のシステムには、摩擦、材料のヒステリシス、周囲の構造への放射、流体抵抗など、何らかの減衰が常に存在します。減衰には 2 つの効果があります。

  • 実際の共振周波数をわずかに下げます。 減衰固有振動数はfd = fn × √(1 − ζ²)、ここでζは減衰比です。典型的な機械構造（ζ = 0.01～0.05）の場合、この影響は無視できるほど小さく、減衰率は0.1%未満です。.
  • 共振時の振幅を制限します。 減衰がない場合、共振振幅は理論上無限大となります。共振時の増幅係数Q（品質係数）は、おおよそQ = 1/(2ζ)です。ζ = 0.02の軽度減衰構造の場合、Q = 25となり、共振時の振動振幅は共振から離れた時の振幅の25倍になります。これが、わずかなアンバランスでも臨界速度で大きな振動を引き起こす可能性がある理由です。.

固有振動数と共鳴：重要なつながり

固有振動数の概念は、特に振動現象と直接関係しているため、工学において極めて重要である。 共振.

共鳴とは何ですか?

共振は、システムの固有振動数のいずれかに等しいか非常に近い周波数で、周期的な外力がシステムに作用したときに発生します。この場合、システムは外力からのエネルギーを最大効率で吸収し、振動振幅が劇的に増大します。外力関数の各サイクルは、システムの固有振動と正確に同期してシステムにエネルギーを付加し、減衰によって振幅の増大が制限されるか、構造物が破壊されるまで、サイクルごとに振幅を増大させます。.

増幅因子

共振時の振動の増幅は、システムの減衰に大きく依存します。動的増幅係数（DMF）は、同じ力によって生じる静的たわみと比較して、動的応答がどれだけ大きいかを表します。

ダイナミック拡大係数
DMF = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²]
r = f強制する/fn （周波数比）、ζ = 減衰比。r = 1の場合：DMF ≈ 1/(2ζ)
減衰比（ζ） 典型的なシステム Q係数（≈ 1/2ζ） 共鳴時の増幅
0.005 溶接鋼構造、減衰なし 100 100倍の静的たわみ
0.01 スチールフレーム、ボルト接続 50 50倍の静的たわみ
0.02 典型的な機械構造 25 25倍の静的たわみ
0.05 コンクリート基礎、ボルト接合 10 10倍の静的たわみ
0.10 ゴムマウント、優れた減衰 5 静的たわみの5倍
0.20 高減衰（粘性ダンパー） 2.5 静的たわみの2.5倍

共鳴が危険な理由

共振は特に危険です。振動振幅は、外力の大きさのみに基づいて予測されるよりも10～100倍も大きくなる可能性があるからです。非共振速度で1mm/sの振動を発生する50µmのアンバランス偏心を持つローターは、共振時には25～50mm/sの振動を発生する可能性があります。これは、ベアリングの破損、ボルトの疲労、溶接部の亀裂、そして連鎖的な機器故障を引き起こすのに十分な振動です。.

歴史的例 — タコマナローズ橋（1940年）

タコマ・ナローズ橋の崩落は、工学史上最も劇的な共振現象の一つとして今も語り継がれています。橋のねじり固有振動数に近い周波数の風力によって、橋床板は振幅を増大させながら振動し、ついには構造破壊に至りました。この出来事は橋梁工学に根本的な変化をもたらし、世界中のあらゆる構造力学の講義で取り上げられています。現代のエンジニアは、構造物が予測可能な励振周波数から離れた設計となるよう、モーダル解析を日常的に実施しています。.

回転機械の臨界速度

回転機械において、固有振動数の最も重要な現れは 臨界速度 — シャフトの回転周波数（1×RPM）がローター・ベアリング・支持システムの固有振動数と一致する回転速度。機械が臨界速度で運転すると、1×アンバランス力によって固有振動数が励起され、激しい共振振動が発生します。.

危険速度の種類

  • 剛体の重要事項: シャフト速度がベアリング支持部上のローターの固有振動数と一致し、シャフト自体はほぼ直線状態にある場合に発生します。これらは通常、第一および第二の臨界モード（バウンスモードおよびロックモード）であり、低速時に発生します。剛体臨界モードは、ベアリング剛性または支持構造の質量を変更することで修正できます。.
  • フレキシブルローターのクリティカル（曲げのクリティカル）: シャフト速度がシャフトの曲げ変形に関連する固有振動数と一致したときに発生します。最初の曲げ限界は通常、シャフトが半正弦波状に湾曲することです。これはシャフトの中央部で大きなたわみを伴い、ベアリングの変更だけでは制御できないため、より危険です。シャフトの形状自体を変更する必要があります。.

分離マージン

業界標準（API 610、API 617など）では、最低限 分離マージン 動作速度と危険速度の間:

  • API の一般的な要件: 動作速度は、横方向の危険速度（減衰なし）から少なくとも15～20%離れている必要があります。
  • 一般的な良い実践: 20%の余裕は最低限と考えられており、重要な機器には30%が望ましい。
  • VFD駆動機器: 可変周波数ドライブは動作速度を変化させるため、重要な部品を通過させる可能性があります。動作範囲全体を点検し、範囲内の重要な部品を特定して排除するか、迅速な輸送をプログラムする必要があります。.
フィールドバランシングの実践的意味

危険速度付近（ただし、安全上は危険速度以上）で運転する機械を現場でバランス調整する場合、不釣合いと振動応答の位相関係は、「共振点未満」の機械で予想されるものとは異なります。振動信号は、重心点の同位相ではなく、90～180°の位相差で進む場合があります。 バランシング装置 試行荷重応答測定を通じてこれを自動的に処理しますが、アナリストは、近臨界操作によって単純なベクトル解析が複雑になることを認識しておく必要があります。.

固有振動数はどのように特定されるのでしょうか?

機械や構造物の固有振動数を特定することは、診断の基本的なスキルです。単純なものから高度なものまで、いくつかの方法があります。

1. 衝撃試験（バンプテスト）

構造物の固有振動数を特定するための最も一般的かつ実用的な実験方法。この手順では、機械または構造物を（ ない 計測機器を装備したインパクトハンマーを用いて構造物を振動させ（ランニング）、その振動を加速度計で測定します。ハンマー打撃は広い周波数範囲にわたって同時にエネルギーを入力し、構造物はその固有振動数で自然に「鳴り響き」、FFTスペクトルに明確なピークを生成します。.

実践手順

機器の準備

構造物上の対象箇所（通常はベアリングハウジングまたは支持構造）に加速度計を取り付けます。衝撃試験用に設定されたFFTアナライザまたはデータコレクタ（時間領域トリガ、適切な周波数範囲、通常は構造共振の場合は0～1000Hz）に接続します。.

ハンマーチップを選択

インパクトハンマーチップは、硬度によって励起する周波数範囲が異なります。柔らかいゴム製チップは0～200Hz、中程度のプラスチック製チップは0～500Hz、硬いスチール製チップは0～5000Hzを励起します。特定の試験において、対象となる周波数範囲をカバーするチップをお選びください。.

ストライキと記録

構造物を一撃でしっかりと叩きます。二度打ち（跳ね返り）は避けてください。アナライザーは、衝撃とそれに伴う自由振動の減衰を示す時間波形を捉えます。この応答のFFT解析により、固有振動数がピークとして現れます。.

平均複数ヒット

信号対雑音比を改善し、一貫性を確認するために、3～5回の平均値を取得してください。周波数応答関数（FRF）がヒット間で大きく変動する場合は、ダブルヒット、加速度計の取り付け不良、境界条件の変化などがないか確認してください。.

固有振動数を特定する

固有振動数は、FRF振幅プロットにおいてピークとして現れます。位相プロット（固有振動数は180°の位相シフトを示す）とコヒーレンス関数（固有振動数では1.0に近づくはず）を用いて確認します。周波数を記録し、動作速度および高調波と比較します。.

現場からのバンプテストのヒント

必ず機械でバンプテストを実施してください 組み立てられた しかし 走っていない. 固有振動数は、ローターが取り外されたとき（質量変化）、または機械が稼働しているとき（ジャイロ効果、速度によるベアリング剛性の変化、熱の影響）に大きく変化する可能性があります。関連するすべてのモードを特定するために、複数の方向（垂直、水平、軸方向）で試験を実施してください。構造変更を行った後は、変更が目的の効果を達成したことを確認するために、この試験を繰り返してください。.

2. ランアップ/コーストダウンテスト

稼働中の機械の場合、回転力によって励起される固有振動数を特定するには、ランナップ試験またはコーストダウン試験が最も実用的な方法です。機械の速度が変化すると、1倍の不釣合い力（およびその他の速度依存力）は様々な周波数範囲を掃引します。強制周波数が固有振動数を横切ると、振動振幅は明確なピークを示します。このピークが、その固有振動数であると特定されます。 臨界速度.

この試験では、振動の振幅と位相を軸速度と相関させるため、振動測定とタコメータ信号（キーフェーザー）の同時測定が必要です。データは通常、ボード線図（振幅と位相 vs. 回転速度）または極座標線図（振幅×位相ベクトル vs. 回転速度）で表示されます。どちらの線図も、約180°の位相シフトを伴う振幅のピークとして、危険速度を明確に示します。.

3. ウォーターフォール/カスケードプロット分析

ウォーターフォール（またはカスケード）プロットは、ランナップ時またはコーストダウン時に異なる速度で取得した複数のFFTスペクトルを3Dで表現したものです。周波数（水平軸）、振幅（垂直軸）、速度（深度軸）が表示されます。以下の形式で表示されます。

  • 速度依存線 （順序）は対角線として表示されます：1×、2×、3×など、速度が増加すると右に移動します
  • 固有振動数 垂直ピークとして現れる（速度に関係なく固定周波数）—速度の変化に応じて移動しない
  • 共鳴 速度依存の秩序線が固有振動数と交差する場所では、局所的な振幅スパイクが発生する。

これは、速度依存の振動（アンバランス、ずれなど）と構造共振の問題を区別するための最も強力な診断ツールの 1 つです。.

4. 有限要素解析（FEA）

設計段階では、エンジニアはコンピュータモデルを用いて、コンポーネント、機械、支持構造の固有振動数を、実際に組み立てる前に予測します。FEAは、構造を数千の小さな要素に分割し、適切な材料特性（密度、弾性係数、ポアソン比）を適用し、境界条件（ボルト接合、支持支持、基礎）をモデル化し、固有値問題を解いて固有振動数とモード形状を抽出します。.

FEA は次のような場合に非常に役立ちます。

  • 製造前に共鳴の問題を回避する構造を設計する
  • 「what-if」分析の実行: 補強材を追加するとどうなるか? ベアリングスパンを変更するとどうなるか? 別の材料を使用するとどうなるか?
  • 実験的にテストすることが難しい複雑な形状のモード挙動を予測する
  • 測定された固有振動数と予測された固有振動数を相関させることにより実験結果を検証する

5. 運用モード解析（OMA）

比較的新しい手法で、応答データのみを用いて稼働中の機械から固有振動数とモード形状を抽出します。制御された加振（ハンマーやシェーカーなど）は不要です。OMAは、機械の動作力を「ホワイトノイズ」加振として扱う高度なアルゴリズム（例：確率的部分空間同定）を使用します。これは、バンプテストのために機械を停止させることができない大型機器や重要な機器、あるいは動作境界条件が停止状態と大きく異なる機器において特に有効です。.

産業機械における実例

ケース1：垂直ポンプの過度の振動

問題： 1780 RPM（29.7 Hz）で運転する垂直タービンポンプは、モーター上部で1回転あたり12 mm/sの振動を示します。バランス調整により一時的に振動は軽減されますが、数週間以内に再発します。.

調査： モーター/ポンプアセンブリのバンプテストでは、固有振動数が28.5Hzであることが確認されました。これは動作速度よりわずか4%低い値です。システムは共振帯域で動作しています。.

解決策 モータースツールに鋼製サポートブレースを追加することで剛性が向上しました。改造後のバンプテストでは、固有振動数が42Hz（運転速度より42%高い）に変化していることが確認されました。バランス調整を行わなくても振動は2.5mm/sまで低下し、根本原因がアンバランスではなく共振であったことが確認されました。.

ケース2：ファン基礎共振

問題： 鉄骨基礎に設置された大型誘引通風ファンは、990 RPM（16.5 Hz）で運転されています。基礎は1 RPMで8 mm/sの振動を示していますが、ファン自体の振動はベアリングハウジングでわずか2 mm/sです。.

調査： 基礎が振動源（ファン）よりも振動するという事実は、典型的な共振指標です。バンプテストの結果、基礎の横方向固有振動数は17.2Hzで、運転速度の4%以内であることがわかりました。.

解決策 検討した2つの選択肢：（1）基礎に質量を追加する（fを下げる）n）、または（２）剛性を高める（fを上げるn）。基礎フレームにクロスブレースを追加して、n 24 Hzまで。基礎の振動は1.8 mm/sまで低下します。.

ケース3：ポンプBPFでの配管共振

問題： 1480 RPMで運転中の5ベーン遠心ポンプに接続された配管は、123 Hz（= 5 × 24.7 Hz、ブレード通過周波数）で激しい振動を示しています。配管クランプが緩み、溶接支持部に疲労亀裂が発生しています。.

調査： 影響を受けるパイプ スパンのバンプ テストでは、固有振動数が 120 Hz であることが判明しました。これは、ポンプのブレード通過周波数 (5 × RPM = 123 Hz) とほぼ同じです。.

解決策 中間部に配管支持部を追加設置することで、スパンの固有振動数を185Hzに上げます。また、設置状況によっては、配管の腹に同調振動吸収装置（動吸振器）を追加することが効果的な場合があります。支持部追加後、配管振動は85%減少します。.

共鳴問題を回避するための戦略

共振に対処する最適な時期は設計段階ですが、現場でも修正可能です。基本的な戦略は3つあります。

1. デチューン - 固有周波数を変える

固有振動数を励起振動数から離します。最小分離マージン（通常20～30%）が必要です。以下のオプションがあります。

  • 剛性を高める: ブレース、補強材、ガセット、厚いプレート、またはコンクリート充填材を追加する。これによりfが上昇する。n. 動作速度未満で共振する構造に対する最も一般的な修正。.
  • 質量を追加: 追加の質量（鋼板、コンクリート）を取り付ける。これによりfが下がる。n. 固有振動数が励起振動数よりわずかに高く、それを下げる方が簡単な場合に使用します。.
  • ベアリングの剛性を変更します。 シャフトの臨界速度については、ベアリングのクリアランス、プリロード、または種類を変更することで臨界速度を変化させることができます。ベアリングの剛性が高いほど臨界速度は上昇し、ベアリングの剛性が低いほど臨界速度は低下します。.
  • シャフトの形状を変更する: 曲げ限界については、シャフト径の増加は限界速度を上昇させます（剛性が質量よりも速く増加します）。ベアリングスパンの短縮も限界速度を上昇させます。.

2. ダンプ - 共振時の振幅を減らす

固有振動数を励起から遠ざけることができない場合は、共振振幅を制限するために減衰を追加します。以下のオプションがあります。

  • 拘束層減衰: 構造プレートの間に挟まれた粘弾性材料 - パネルとハウジングの共振に非常に効果的
  • 粘性ダンパー: スクイーズフィルムまたは粘性ダッシュポットダンパーは、ターボ機械のベアリング支持によく使用されます。
  • 調整された振動吸収装置: 問題となる周波数に調整された質量バネ系を振動構造物に取り付ける。吸振器は逆位相で振動し、対象周波数における構造物の動きを打ち消す。
  • ボルト接合： ボルト接合部の数を増やすと（溶接接合部と比較して）、接合界面の微小滑りによる摩擦減衰が導入される。

3. 励起力を軽減する

デチューニングもダンピングも実用的でない場合は、強制の大きさを減らします。

  • バランスの改善: 1倍の励起をよりタイトなバランスにすることで減らす G級 — 共鳴していない場合でも、共鳴を励起するために利用できる力は減少します
  • 精密な位置合わせ: ずれによる2倍の励起を低減
  • 速度変更: 機械がVFD駆動の場合、共振速度を動作範囲から除外するか、共振帯域を高速通過するようにプログラムする。
  • 分離： 振動絶縁装置を設置して、振動が共振構造に到達するのを防ぐ
20%の経験則

実際には、固有振動数と重要な励起振動数との間に少なくとも20%の間隔を設けることを目指します。重要な用途（発電、オフショア、航空宇宙）では、30%以上が推奨されます。これは、1回転あたりの回転数だけでなく、2回転（ミスアライメント）、ブレード/ベーンの通過周波数、ギアの噛み合い周波数、その他の周期的な励起にも適用されます。包括的な共振回避解析では、以下の要素を比較します。 全て 励起周波数に対する 全て システム内の固有周波数。.

固有振動数、そしてその共振との危険な関係を理解することは、振動解析と機械信頼性工学の実践において不可欠です。すべての振動解析者は、試験を通じて固有振動数を特定し、動作条件との関係を解釈し、共振が振動問題の一因となっていることが判明した場合に適切な是正措置を推奨する能力を備えている必要があります。.

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