Comprensione dell'addizione vettoriale nel bilanciamento del rotore
Definizione: Che cos'è l'addizione vettoriale?
Addizione vettoriale è l'operazione matematica di combinazione di due o più vettori per produrre un singolo vettore risultante. Nel contesto di bilanciamento del rotore, la vibrazione è rappresentata come un vettore perché ha sia grandezza (ampiezza) e direzione (angolo di fase). L'addizione vettoriale è fondamentale per il processo di bilanciamento perché molteplici fonti di sbilanciare si combinano vettorialmente, non algebricamente, il che significa che le loro relazioni di fase sono importanti tanto quanto le loro grandezze.
La comprensione dell'addizione vettoriale è essenziale per interpretare le misurazioni di bilanciamento e prevedere come pesi di correzione influirà sulla vibrazione complessiva di un sistema rotorico.
Perché la vibrazione deve essere trattata come un vettore
La vibrazione causata dallo squilibrio è una forza rotatoria che si ripete una volta per ogni rivoluzione. In qualsiasi posizione del sensore, questa vibrazione presenta due proprietà critiche:
- Ampiezza: L'entità o la forza della vibrazione, solitamente misurata in mm/s, pollici/s o micron.
- Fase: La temporizzazione angolare in cui si verifica la vibrazione di picco rispetto a un segno di riferimento sul rotore. Questa angolazione è misurata in gradi (da 0° a 360°).
Poiché l'informazione di fase è fondamentale, non possiamo semplicemente sommare le ampiezze delle vibrazioni. Ad esempio, se due sbilanciamenti producono ciascuno 5 mm/s di vibrazione, la vibrazione totale potrebbe variare da 0 mm/s (se sono sfasati di 180° e si annullano a vicenda) a 10 mm/s (se sono in fase e si rinforzano a vicenda). Ecco perché è necessaria la somma vettoriale, che tiene conto sia dell'ampiezza che della fase.
Basi matematiche dell'addizione vettoriale
I vettori possono essere rappresentati in due forme equivalenti, entrambe utilizzate nei calcoli di bilanciamento:
1. Forma polare (magnitudine e angolo)
In forma polare, un vettore è espresso come ampiezza (A) e angolo di fase (θ). Ad esempio: 5,0 mm/s ∠ 45°. Questa è la forma più intuitiva per i tecnici dell'equilibratura perché corrisponde direttamente ai dati di vibrazione misurati.
2. Forma rettangolare (cartesiana) (componenti X e Y)
In forma rettangolare, un vettore è scomposto nelle sue componenti orizzontale (X) e verticale (Y). La conversione dalla forma polare a quella rettangolare utilizza la trigonometria:
- X = A × cos(θ)
- Y = A × sin(θ)
Sommare vettori in forma rettangolare è semplice: basta sommare tutte le componenti X e tutte le componenti Y per ottenere le componenti del vettore risultante. Il risultato può quindi essere riconvertito in forma polare, se necessario.
Esempio di calcolo
Supponiamo di avere due vettori di vibrazione:
- Vettore 1: 4,0 mm/s ∠ 30°
- Vettore 2: 3,0 mm/s ∠ 120°
Conversione in forma rettangolare:
- Vettore 1: X₁ = 4,0 × cos(30°) = 3,46, Y₁ = 4,0 × sin(30°) = 2,00
- Vettore 2: X₂ = 3,0 × cos(120°) = -1,50, Y₂ = 3,0 × sin(120°) = 2,60
Aggiungendoli:
- X_totale = 3,46 + (-1,50) = 1,96
- Y_totale = 2,00 + 2,60 = 4,60
Riconversione in forma polare:
- Ampiezza = √(1,96² + 4,60²) = 5,00 mm/s
- Fase = arctan(4,60 / 1,96) = 66,9°
Risultato: la vibrazione combinata è 5,00 mm/s ∠ 66,9°
Metodo grafico: il metodo Tip-to-Tail
L'addizione vettoriale può essere eseguita anche graficamente su un diagramma polare, che fornisce una comprensione visiva intuitiva di come i vettori si combinano:
- Disegna il primo vettore: Disegna il primo vettore dall'origine, la cui lunghezza rappresenta l'ampiezza e il cui angolo rappresenta la fase.
- Posizionare il secondo vettore: Posizionare la coda (punto di partenza) del secondo vettore sulla punta (punto finale) del primo vettore, mantenendone l'angolazione e la lunghezza corrette.
- Disegna il risultato: Il vettore risultante viene tracciato dall'origine (coda del primo vettore) alla punta del secondo vettore. Questa risultante rappresenta la somma dei due vettori.
Questo metodo grafico è particolarmente utile per stimare rapidamente l'effetto dell'aggiunta o della rimozione di pesi di correzione e per verificare i risultati dei calcoli elettronici.
Applicazione pratica nell'equilibrio
L'addizione vettoriale viene utilizzata in ogni fase del processo di bilanciamento:
1. Combinazione dello squilibrio originale e del peso di prova
Quando un peso di prova viene aggiunto a un rotore, la vibrazione misurata è la somma vettoriale dello squilibrio originale (O) e dell'effetto del peso di prova (T). Lo strumento di bilanciamento misura direttamente (O+T). Per isolare l'effetto del peso di prova, viene eseguita la sottrazione vettoriale: T = (O+T) – O.
2. Calcolo del coefficiente di influenza
Il coefficiente di influenza si calcola dividendo l'effetto vettoriale del peso di prova per la massa del peso di prova. Questo coefficiente è esso stesso una grandezza vettoriale.
3. Determinazione del peso di correzione
Il vettore del peso di correzione viene calcolato come lo sfasamento negativo (180°) della vibrazione originale diviso per il coefficiente di influenza. Questo garantisce che, quando l'effetto del peso di correzione viene aggiunto vettorialmente allo squilibrio originale, i due effetti si annullino a vicenda, con conseguente vibrazione prossima allo zero.
4. Previsione della vibrazione finale
Dopo aver installato un peso di correzione, è possibile prevedere la vibrazione residua prevista eseguendo la somma vettoriale della vibrazione originale e dell'effetto calcolato del peso di correzione. Questa previsione può essere confrontata con la misurazione finale effettiva come controllo di qualità.
Sottrazione vettoriale
La sottrazione vettoriale è semplicemente l'addizione vettoriale con il secondo vettore invertito (ruotato di 180°). Per sottrarre il vettore B dal vettore A:
- Invertire il vettore B ruotandolo di 180° (o moltiplicarlo per -1 in forma rettangolare).
- Aggiungere il vettore invertito al vettore A utilizzando la normale addizione vettoriale.
Questa operazione è comunemente utilizzata per isolare l'effetto di un peso di prova: T = (O+T) – O, dove O è la vibrazione originale e (O+T) è la vibrazione misurata con il peso di prova installato.
Errori comuni e idee sbagliate
Diversi errori comuni nascono dall'incomprensione dell'addizione vettoriale nel bilanciamento:
- Aggiunta diretta delle ampiezze: Aggiungere semplicemente ampiezze di vibrazione (ad esempio, 3 mm/s + 4 mm/s = 7 mm/s) è errato perché ignora la fase. Il risultato effettivo dipende dalla relazione di fase.
- Ignorare le informazioni sulla fase: Tentare di bilanciare basandosi solo sull'ampiezza senza considerare la fase non porterà quasi mai a un bilanciamento efficace.
- Convenzione angolare errata: Confondere le convenzioni relative agli angoli in senso orario e antiorario o utilizzare un punto di riferimento sbagliato può portare al posizionamento dei pesi di correzione in posizioni errate.
Gli strumenti moderni gestiscono automaticamente la matematica vettoriale
Sebbene la comprensione dell'addizione vettoriale sia importante per i professionisti dell'equilibratura, i moderni strumenti di bilanciamento portatili eseguono tutti i calcoli vettoriali automaticamente e internamente. Lo strumento:
- Raccoglie dati di ampiezza e fase dai sensori.
- Esegue tutte le operazioni di addizione, sottrazione e divisione vettoriale.
- Visualizza i risultati sia numericamente che graficamente su grafici polari.
- Fornisce direttamente la correzione finale della massa ponderale e della posizione angolare.
Tuttavia, una solida conoscenza della matematica vettoriale sottostante consente ai tecnici di verificare i risultati degli strumenti, risolvere anomalie e comprendere perché alcune strategie di bilanciamento sono più efficaci di altre.
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