Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals

आंद्रेई शेल्कोवेन्को। वाइब्रोमेरा के डेवलपर्स में से एक और संस्थापक।
लेख का अनुवाद अशुद्धियाँ हो सकती हैं।

फूरियर रूपांतरण और संकेत स्पेक्ट्रम

In many cases the task of obtaining (calculating) the स्पेक्ट्रम of a signal is as follows. There is an ADC, which with sampling आवृत्ति Fd transforms continuous signal, which comes to its input during time T, into digital samples – N pieces. Then this array of samples is fed to some program (for example फूरियरस्कोप) जो N/2 कुछ संख्यात्मक मान आउटपुट करता है।

यह जांचने के लिए कि प्रोग्राम सही ढंग से काम कर रहा है, हम दो sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) के योग के रूप में नमूनों की एक ऐरे बनाते हैं और इसे प्रोग्राम में इनपुट करते हैं। प्रोग्राम ने निम्नलिखित चित्र बनाया:

 

 

There are two हार्मोनिक्स on the spectrum graph – 5 Hz with amplitude of 0.5 V and 10 Hz with amplitude of 1 V, everything is as in the formula of the original signal. Everything is fine, the grogram works correctly.

इसका अर्थ है कि यदि हम दो साइनोइड्स के मिश्रण से एक वास्तविक संकेत ADC इनपुट में देते हैं, तो हमें दो हार्मोनिक्स से मिलकर बने समान स्पेक्ट्रम प्राप्त होगा।

तो, हमारा वास्तविक मापा गया संकेत 5 सेकंड की अवधि का, एडीसी द्वारा डिजिटाइज़ किया गया, यानी निरूपित द्वारा पृथक नमूने, का अनुशासित गैर-आवर्ती स्पेक्ट्रम।.
गणितीय दृष्टिकोण से – इस वाक्य में कितनी त्रुटियाँ हैं?

अब हम उसी सिग्नल को 0.5 सेकंड के लिए मापने का प्रयास करें।

 

 

यहाँ कुछ गड़बड़ है! 10 हर्ट्ज़ का हार्मोनिक सामान्य रूप से खींचा गया है, और 5 हर्ट्ज़ के हार्मोनिक के बजाय कुछ अस्पष्ट हार्मोनिक्स हैं।

इंटरनेट पर कहते हैं कि नमूने के अंत में शून्य जोड़ना आवश्यक है और स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से खींचा जाएगा।

 

 

यह बिल्कुल भी सही नहीं है। मुझे सिद्धांत से निपटना होगा। चलो चलते हैं विकिपीडिया – ज्ञान का स्रोत।

सतत फलन और उसका फूरियर श्रृंखला निरूपण

गणितीय रूप से, हमारी T सेकंड की अवधि वाला सिग्नल अंतराल {0, T} पर परिभाषित कोई फलन f(x) है (इस मामले में X समय है)। ऐसे फलन को हमेशा हार्मोनिक फलनों (साइन या कॉसाइन) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

k त्रिकोणमितीय फलन की संख्या है (हार्मोनिक घटक की संख्या, हार्मोनिक की संख्या)
T – वह खंड जहाँ फ़ंक्शन परिभाषित है (सिग्नल की अवधि)
k-वें हार्मोनिक घटक का अक- आयाम,
θk- kवें हार्मोनिक घटक का प्रारंभिक चरण
"फंक्शन को श्रृंखला के योग के रूप में प्रस्तुत करने" का क्या अर्थ है? इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर फूरियर श्रृंखला के हार्मोनिक घटकों के मानों को जोड़कर हमें उस बिंदु पर हमारे फंक्शन का मान प्राप्त होता है।
(और सख्ती से कहें तो, श्रृंखला का f(x) फलन से माध्य वर्ग विचलन शून्य की ओर प्रवृत्त होगा, लेकिन माध्य वर्ग अभिसरण के बावजूद, सामान्यतः किसी फलन की फूरियर श्रृंखला को बिंदु-दर-बिंदु उस पर अभिसरित होने की आवश्यकता नहीं है।)
इस श्रृंखला को इस रूप में भी लिखा जा सकता है:

 

 

 

कहाँ , kवाँ जटिल आयाम।

 

या

 

 

 

अनुपात (1) और (3) के गुणांकों के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

 

 

 

 

ध्यान दें कि Fourier श्रृंखला के ये तीनों निरूपण पूर्णतः समतुल्य हैं। कभी-कभी Fourier श्रृंखलाओं के साथ काम करते समय, साइन और कॉसाइन के बजाय काल्पनिक परिमाण के घातांकों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है, अर्थात् Fourier रूपांतरण को जटिल रूप में उपयोग करना। लेकिन हमारे लिए सूत्र (1) का उपयोग करना सुविधाजनक है, जहाँ Fourier श्रृंखला को संबंधित आयामों और चरणों वाले कॉसाइनों के योग के रूप में दर्शाया गया है। किसी भी स्थिति में यह कहना गलत है कि वास्तविक सिग्नल के फ़ूरियर रूपांतरण का परिणाम जटिल हार्मोनिक आयाम होंगे। जैसा कि विकिपीडिया सही कहता है, "फ़ूरियर रूपांतरण (ℱ) एक ऐसा ऑपरेशन है जो वास्तविक चर के एक फलन को वास्तविक चर के ही दूसरे फलन में मैप करता है।"

 

निचोड़:
संकेतों के स्पेक्ट्रल विश्लेषण का गणितीय आधार फूरियर रूपांतरण है।

फूरियर रूपांतरण एक निरंतर फलन f(x) (संकेत) को, जो अंतराल {0, T} पर परिभाषित है, निश्चित परिमाणों और चरणों वाले अनंत त्रिकोणमितीय फलनों (साइन और/या कोसाइन) के योग (अनंत श्रेणी) के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है, जिन्हें भी अंतराल {0, T} पर माना जाता है। ऐसी श्रेणी को फूरियर श्रेणी कहा जाता है।

कुछ और बिंदुओं पर ध्यान दें, जिनकी समझ संकेत विश्लेषण में फूरियर रूपांतरण के सही अनुप्रयोग के लिए आवश्यक है। यदि हम पूरे X-अक्ष पर फूरियर श्रृंखला (साइनुसोइड्स का योग) पर विचार करें, तो हम देखेंगे कि {0, T} अंतराल के बाहर फूरियर श्रृंखला फलन हमारे फलन को आवधिक रूप से दोहराएगा।

उदाहरण के लिए, चित्र 7 के ग्राफ़ में, मूल फलन अंतराल {-T/2, +T/2} पर परिभाषित है, और फूरियर श्रृंखला पूरे x-अक्ष पर परिभाषित एक आवर्त फलन का प्रतिनिधित्व करती है।

यह इसलिए है क्योंकि साइनुसोइड स्वयं आवर्ती फलन होते हैं, इसलिए उनका योग भी एक आवर्ती फलन होगा।

इस प्रकार:

हमारा मूल फलन एक सतत, गैर-आवधिक फलन है जो T लंबाई वाले किसी खंड पर परिभाषित है।
इस फलन का स्पेक्ट्रम विभक्त है, अर्थात् इसे हार्मोनिक घटकों की अनंत श्रृंखला – एक फूरियर श्रृंखला – के रूप में दर्शाया जाता है।
वास्तव में, फूरियर श्रृंखला कुछ आवर्त फलन को परिभाषित करती है, जो अंतराल {0, T} पर हमारे फलन के समान होता है, लेकिन हमारे लिए यह आवर्तता आवश्यक नहीं है।

अगला।

हार्मोनिक घटकों की अवधियाँ उस अंतराल {0, T} के गुणज होती हैं, जिस पर आरंभिक फलन f(x) परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, हार्मोनिक्स की अवधियाँ संकेत मापन की अवधि के गुणज होती हैं। उदाहरण के लिए, फ़ूरियर श्रृंखला में पहले हार्मोनिक का कालखंड उस अंतराल T के बराबर होता है जिसमें f(x) फलन परिभाषित है। फ़ूरियर श्रृंखला में दूसरे हार्मोनिक का कालखंड T/2 के बराबर होता है। और इसी प्रकार (चित्र 8 देखें)।

तदनुसार, हार्मोनिक घटकों की आवृत्तियाँ 1/T के गुणज होती हैं। अर्थात्, हार्मोनिक घटकों Fk की आवृत्तियाँ Fk = k/T होती हैं, जहाँ k का मान 0 से अनंत तक होता है, उदाहरण के लिए, k = 0, F0 = 0; k = 1, F1 = 1/T; k = 2, F2 = 2/T; k = 3, F3 = 3/T; …। Fk= k/T (शून्य आवृत्ति पर, एक स्थिर घटक)।

मान लीजिए कि हमारा प्रारंभिक फलन T=1 सेकंड के दौरान रिकॉर्ड किया गया एक संकेत है। तब पहले हार्मोनिक की आवर्तकाल हमारे संकेत की अवधि T1=T=1 सेकंड के बराबर होगी और हार्मोनिक की आवृत्ति 1 हर्ट्ज़ के बराबर होगी। दूसरे हार्मोनिक की अवधि हमारे सिग्नल की अवधि को 2 से विभाजित करने पर आती है (T2=T/2=0.5 सेकंड) और इसकी आवृत्ति 2 हर्ट्ज़ है। तीसरे हार्मोनिक के लिए, T3=T/3 सेकंड और आवृत्ति 3 हर्ट्ज़ है। और इसी प्रकार।

इस मामले में हार्मोनिक्स के बीच का अंतर 1 हर्ट्ज़ है।

इस प्रकार, 1 सेकंड की अवधि वाले सिग्नल को 1 हर्ट्ज़ की आवृत्ति संकल्प के साथ हार्मोनिक घटकों में विघटित किया जा सकता है (स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए)।
To increase the resolution by a factor of 2 to 0.5 Hz, it is necessary to increase the duration of measurement by a factor of 2 to 2 sec. A 10-second signal can be decomposed into harmonic components (spectrum) with a frequency resolution of 0.1 Hz. There are no other ways to increase frequency resolution. You can explore this relationship with our एफएफटी रिज़ॉल्यूशन कैलकुलेटर.

नमूनों की श्रृंखला में शून्य जोड़कर सिग्नल की अवधि को कृत्रिम रूप से बढ़ाने का एक तरीका है। लेकिन इससे वास्तविक आवृत्ति संकल्प नहीं बढ़ता।

Discrete signals and discrete Fourier transform

डिजिटल तकनीक के विकास के साथ मापन डेटा (संकेतों) के भंडारण के तरीके बदल गए हैं। जहाँ पहले एक संकेत को टेप रिकॉर्डर पर रिकॉर्ड करके एनालॉग रूप में टेप पर संग्रहीत किया जा सकता था, वहीं अब संकेतों को डिजिटाइज़ करके कंप्यूटर मेमोरी में संख्याओं (काउंट्स) के सेट के रूप में फ़ाइलों में संग्रहीत किया जाता है।

संकेत मापन और डिजिटलीकरण की सामान्य योजना इस प्रकार दिखती है।

ट्रांसड्यूसर मापन —- सिग्नल सामान्यीकरण —- एडीसी —– कंप्यूटर
(चित्र 9 मापन चैनल का आरेख

माप ट्रांसड्यूसर से संकेत एक निश्चित समय अवधि T के लिए एडीसी में जाता है। समय T के दौरान प्राप्त संकेत रीडिंग्स (सैंपलिंग) कंप्यूटर को प्रेषित की जाती हैं और मेमोरी में संग्रहीत की जाती हैं।

डिजिटल संकेत के पैरामीटर निर्दिष्ट करने के लिए क्या आवश्यकताएँ हैं? एक उपकरण जो इनपुट एनालॉग संकेत को एक विभक्त कोड (डिजिटल संकेत) में परिवर्तित करता है, उसे एनालॉग-टू-डिजिटल कन्वर्टर (ADC) कहा जाता है (© विकी)।

ADC के मूलभूत मापदंडों में से एक अधिकतम सैंपलिंग दर है – समय के साथ निरंतर संकेत के सैंपलिंग की आवृत्ति। सैंपल दर को हर्ट्ज़ में मापा जाता है। ((© विकी))

कोटेलनिकोव के प्रमेय के अनुसार, यदि किसी निरंतर संकेत का स्पेक्ट्रम आवृत्ति Fmax से सीमित है, तो इसे समय अंतराल T = 1/2*Fmax पर लिए गए इसके विभक्त नमूनों से पूर्णतः और अनन्य रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, अर्थात् आवृत्ति Fd ≥ 2*Fmax के साथ, जहाँ Fd – नमूनाकरण आवृत्ति; Fmax – संकेत स्पेक्ट्रम की अधिकतम आवृत्ति। दूसरे शब्दों में, सिग्नल के डिजिटाइज़ेशन की आवृत्ति (ADC की सैंपलिंग आवृत्ति) उस सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति से कम से कम 2 गुना अधिक होनी चाहिए जिसे हम मापना चाहते हैं।

और अगर हम कोटेलनिकोव प्रमेय द्वारा आवश्यक आवृत्ति से कम आवृत्ति पर नमूने लेते हैं तो क्या होगा?

In this case there is an “अलियासिंगइस मामले में एक "एलिएसिंग" प्रभाव (जिसे स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव, मोइरे प्रभाव भी कहा जाता है) होता है, जिसमें उच्च आवृत्ति वाला संकेत डिजिटलीकरण के बाद निम्न आवृत्ति वाले संकेत में बदल जाता है, जो वास्तव में मौजूद नहीं होता। चित्र 11 में उच्च आवृत्ति की लाल साइन तरंग वास्तविक संकेत है। नीची आवृत्ति की नीली साइन तरंग एक काल्पनिक संकेत है, जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न होती है कि सैंपलिंग के दौरान उच्च आवृत्ति संकेत की आधी से अधिक अवधि बीत जाती है।

 

To avoid the aliasing effect, a special anti-alias filter (निम्न-अतरण फ़िल्टर) is placed before the ADC. It passes frequencies lower than half of the ADC sampling frequency and cuts off higher frequencies.

In order to calculate signal spectrum by its discrete samples the discrete Fourier transform (DFT) is used. Note again that the spectrum of a discrete signal is “by definition” limited to a frequency Fmax smaller than half the sampling frequency Fd. Therefore, the spectrum of a discrete signal can be represented by the sum of एक सीमित हार्मोनिक्स की संख्या, एक सतत संकेत के फूरियर श्रृंखला के अनंत योग के विपरीत, सीमित होती है, जिसका स्पेक्ट्रम असीमित हो सकता है। कोटेलनिकोव के प्रमेय के अनुसार, किसी हार्मोनिक की अधिकतम आवृत्ति ऐसी होनी चाहिए कि वह कम से कम दो नमूनों को समाहित करे, इसलिए हार्मोनिक्स की संख्या एक विच्छिन्न संकेत के नमूनों की संख्या के आधे के बराबर होती है। अर्थात्, यदि नमूने में N नमूने हैं, तो स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स की संख्या N/2 होगी।

अब विभक्त फूरियर रूपांतरण (DFT) पर विचार करें।

इसकी तुलना फूरियर श्रृंखला से करना

 

जैसा कि हम देख सकते हैं, वे मेल खाते हैं, सिवाय इसके कि FFT में समय विभक्त है और हार्मोनिक्स की संख्या N/2 तक सीमित है, जो नमूनों की संख्या का आधा है।

डीएफटी सूत्र आयामहीन पूर्णांक चरों k, s में लिखे जाते हैं, जहाँ k संकेत नमूनों की संख्या है और s स्पेक्ट्रल घटकों की संख्या है।
मान s, प्रति अवधि T (संकेत मापन अवधि) में पूर्ण हार्मोनिक दोलनों की संख्या दर्शाता है। डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग हार्मोनिक्स के आयामों और चरणों को संख्यात्मक रूप से, अर्थात् "कंप्यूटर पर", ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

जैसा कि ऊपर पहले ही कहा जा चुका है, जब किसी गैर-आवर्ती फलन (हमारा सिग्नल) को फूरियर श्रृंखला में विघटित किया जाता है, तो प्राप्त फूरियर श्रृंखला वास्तव में अवधि T वाले आवर्ती फलन के अनुरूप होती है (चित्र 12)।

 

 

As can be seen in Fig. 12, the function f(x) is periodic with period T0. However, due to the fact that the measuring sample length T is not equal to the function period T0, the function obtained as a Fourier series has a discontinuity at point T. As a result, the spectrum of this function will contain a large number of high-frequency harmonics. This phenomenon is known as वर्णक्रमीय रिसाव, and in practice it is reduced by विंडोइंग the signal before the transform. If the duration of measuring sample T coincided with the period of function T0, then the spectrum obtained after the Fourier transform would contain only the first harmonic (a sinusoid with a period equal to the duration of the sample), because the function f(x) is a sinusoid.

दूसरे शब्दों में, DFT प्रोग्राम को यह नहीं पता होता कि हमारा सिग्नल एक साइन तरंग का एक स्लाइस है, लेकिन यह एक आवर्ती फलन को श्रृंखला के रूप में निरूपित करने का प्रयास करता है, जिसमें साइन तरंग के अलग-अलग टुकड़ों की असततता के कारण असततता होती है।

परिणामस्वरूप, स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स प्रकट होते हैं, जो कुल मिलाकर इस विच्छेद सहित फ़ंक्शन के आकार का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार, विभिन्न आवृत्तियों वाले कई साइनोइड्स के योग से बने सिग्नल का "सही" स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि एक की अवधि की पूर्णांक संख्या प्रत्येक साइनोइड संकेत की माप अवधि में उपस्थित होना चाहिए। व्यवहार में, यह शर्त पर्याप्त लंबी माप अवधि के साथ पूरी की जा सकती है।

 

 

छोटे समय-अवधि पर चित्र "खराब" दिखेगा:

 

 

 

 

वास्तव में, यह समझना मुश्किल हो सकता है कि "वास्तविक घटक" कहाँ हैं और घटक अवधियों तथा सिग्नल सैंपलिंग अवधियों की असंगति या तरंगरूप में "उछाल और टूट-फूट" के कारण उत्पन्न "आर्टिफैक्ट्स" कहाँ हैं। बेशक, "वास्तविक घटक" और "आर्टिफैक्ट्स" शब्द एक कारणवश उद्धरण चिह्नों में रखे गए हैं। स्पेक्ट्रम ग्राफ़ पर कई हार्मोनिक्स की उपस्थिति का यह मतलब नहीं है कि हमारा सिग्नल वास्तव में इन्हीं से बना है। यह ठीक वैसा ही है जैसे हम सोचें कि संख्या 7 संख्या 3 और 4 से "बनी" है। संख्या 7 को 3 और 4 के योग के रूप में सोचा जा सकता है – और यह सही भी है।

इसी प्रकार हमारा संकेत… या बल्कि "हमारा संकेत" भी नहीं, बल्कि हमारे संकेत (नमूने) को दोहराकर बना एक आवर्ती फलन, निश्चित परिमाणों और चरणों वाली हार्मोनिक (साइन तरंगों) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। लेकिन अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण कई मामलों में (ऊपर दिए गए आकृतियों को देखें) स्पेक्ट्रम में प्राप्त हार्मोनिक को वास्तविक, चक्रीय स्वभाव वाले प्रक्रियाओं से भी संबंधित करना संभव होता है, जो संकेत के स्वरूप में महत्वपूर्ण योगदान देती हैं।

कुछ परिणाम

1. ADC द्वारा डिजिटाइज़ किया गया T सेकंड अवधि का एक वास्तविक मापा गया सिग्नल, अर्थात् विवेचित नमूनों (N टुकड़े) के एक सेट द्वारा निरूपित, का एक विवेचित गैर-आवर्तक स्पेक्ट्रम होता है, जो हार्मोनिक्स (N/2 टुकड़े) के एक सेट द्वारा निरूपित होता है।

2. सिग्नल को मान्य मानों के एक सेट द्वारा दर्शाया जाता है और इसके स्पेक्ट्रम को मान्य मानों के एक सेट द्वारा दर्शाया जाता है। हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ धनात्मक हैं। केवल इसलिए कि नकारात्मक आवृत्तियों का उपयोग करके स्पेक्ट्रम को जटिल रूप में प्रस्तुत करना गणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक है, इसका यह मतलब नहीं है कि "यह सही है" और "आपको हमेशा इसी तरह करना चाहिए"।

3. समय T पर मापा गया सिग्नल केवल समय T पर ही निर्धारित होता है। सिग्नल को मापना शुरू करने से पहले क्या हुआ था और उसके बाद क्या होगा, यह विज्ञान के लिए अज्ञात है। और हमारे मामले में यह दिलचस्प नहीं है। समय-सीमित सिग्नल का FFT उसका "वास्तविक" स्पेक्ट्रम देता है, इस अर्थ में कि कुछ परिस्थितियों में यह इसके घटकों का आयाम और आवृत्ति निकालने की अनुमति देता है।