कंपन संकेतों के विश्लेषण के लिए फूरियर रूपांतरण का अनुप्रयोग

आंद्रेई शेल्कोवेन्को। वाइब्रोमेरा के डेवलपर्स में से एक और संस्थापक।
लेख का अनुवाद अशुद्धियाँ हो सकती हैं।

फूरियर रूपांतरण और संकेत स्पेक्ट्रम

कई मामलों में प्राप्त करने (गणना करने) का कार्य स्पेक्ट्रम एक संकेत इस प्रकार है। एक ADC है, जो नमूना के साथ आवृत्ति Fd सतत संकेत को रूपांतरित करता है, जो समय T के दौरान इसके इनपुट पर आता है, डिजिटल नमूनों में – N टुकड़े। फिर इस नमूनों की सरणी को कुछ कार्यक्रम में खिलाया जाता है (उदाहरण के लिए फूरियरस्कोप) जो N/2 कुछ संख्यात्मक मान आउटपुट करता है।

यह जांचने के लिए कि प्रोग्राम सही ढंग से काम कर रहा है, हम दो sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) के योग के रूप में नमूनों की एक ऐरे बनाते हैं और इसे प्रोग्राम में इनपुट करते हैं। प्रोग्राम ने निम्नलिखित चित्र बनाया:

 

 

There are two हार्मोनिक्स स्पेक्ट्रम ग्राफ पर – 0.5 V के आयाम के साथ 5 Hz और 1 V के आयाम के साथ 10 Hz, सब कुछ मूल संकेत के सूत्र के रूप में है। सब ठीक है, कार्यक्रम सही ढंग से काम करता है।

इसका अर्थ है कि यदि हम दो साइनोइड्स के मिश्रण से एक वास्तविक संकेत ADC इनपुट में देते हैं, तो हमें दो हार्मोनिक्स से मिलकर बने समान स्पेक्ट्रम प्राप्त होगा।

तो, हमारा वास्तविक मापा गया संकेत 5 सेकंड की अवधि का, एडीसी द्वारा डिजिटाइज़ किया गया, यानी निरूपित द्वारा पृथक नमूने, का विविक्त गैर-आवर्ती स्पेक्ट्रम।
गणितीय दृष्टिकोण से – इस वाक्य में कितनी त्रुटियाँ हैं?

अब हम उसी सिग्नल को 0.5 सेकंड के लिए मापने का प्रयास करें।

 

 

यहाँ कुछ गड़बड़ है! 10 हर्ट्ज़ का हार्मोनिक सामान्य रूप से खींचा गया है, और 5 हर्ट्ज़ के हार्मोनिक के बजाय कुछ अस्पष्ट हार्मोनिक्स हैं।

इंटरनेट पर कहते हैं कि नमूने के अंत में शून्य जोड़ना आवश्यक है और स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से खींचा जाएगा।

 

 

यह बिल्कुल भी सही नहीं है। मुझे सिद्धांत को समझना होगा। चलिए चलते हैं विकिपीडिया – ज्ञान का स्रोत।

सतत फलन और उसका फूरियर श्रृंखला निरूपण

गणितीय रूप से, हमारी T सेकंड की अवधि वाला सिग्नल अंतराल {0, T} पर परिभाषित कोई फलन f(x) है (इस मामले में X समय है)। ऐसे फलन को हमेशा हार्मोनिक फलनों (साइन या कॉसाइन) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

k त्रिकोणमितीय फलन की संख्या है (हार्मोनिक घटक की संख्या, हार्मोनिक की संख्या)
T – वह खंड जहाँ फ़ंक्शन परिभाषित है (सिग्नल की अवधि)
k-वें हार्मोनिक घटक का अक- आयाम,
θk- kवें हार्मोनिक घटक का प्रारंभिक चरण
"फंक्शन को श्रृंखला के योग के रूप में प्रस्तुत करने" का क्या अर्थ है? इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर फूरियर श्रृंखला के हार्मोनिक घटकों के मानों को जोड़कर हमें उस बिंदु पर हमारे फंक्शन का मान प्राप्त होता है।
(और सख्ती से कहें तो, श्रृंखला का f(x) फलन से माध्य वर्ग विचलन शून्य की ओर प्रवृत्त होगा, लेकिन माध्य वर्ग अभिसरण के बावजूद, सामान्यतः किसी फलन की फूरियर श्रृंखला को बिंदु-दर-बिंदु उस पर अभिसरित होने की आवश्यकता नहीं है।)
इस श्रृंखला को इस रूप में भी लिखा जा सकता है:

 

 

 

कहाँ , kवाँ जटिल आयाम।

 

या

 

 

 

अनुपात (1) और (3) के गुणांकों के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

 

 

 

 

ध्यान दें कि Fourier series के ये तीनों representations पूरी तरह equivalent हैं। कभी-कभी Fourier series के साथ काम करते समय sines और cosines के बजाय imaginary argument के exponents का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है, अर्थात complex form में Fourier transform का उपयोग करना। लेकिन हमारे लिए formula (1) का उपयोग करना सुविधाजनक है, जहाँ Fourier series को corresponding amplitudes और phases वाले cosines के sum के रूप में दर्शाया गया है। Strictly speaking, किसी real signal का Fourier transform complex coefficients (form (3)) ही देता है: प्रत्येक coefficient अपने harmonic की amplitude और phase दोनों को वहन करता है। Real signal के लिए इन complex coefficients में conjugate (Hermitian) symmetry होती है — negative-frequency half केवल positive-frequency half का प्रतिबिंब होता है और कोई अतिरिक्त information नहीं देता। यही कारण है कि complex coefficients से हम हमेशा formula (1) के real non-negative amplitudes Ak और phases θk तक पहुँच सकते हैं — और analysis programs ठीक इसी amplitude spectrum को plot करती हैं।

 

निचोड़:
संकेतों के स्पेक्ट्रल विश्लेषण का गणितीय आधार फूरियर रूपांतरण है।

फूरियर रूपांतरण एक निरंतर फलन f(x) (संकेत) को, जो अंतराल {0, T} पर परिभाषित है, निश्चित परिमाणों और चरणों वाले अनंत त्रिकोणमितीय फलनों (साइन और/या कोसाइन) के योग (अनंत श्रेणी) के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है, जिन्हें भी अंतराल {0, T} पर माना जाता है। ऐसी श्रेणी को फूरियर श्रेणी कहा जाता है।

कुछ और बिंदुओं पर ध्यान दें, जिनकी समझ संकेत विश्लेषण में फूरियर रूपांतरण के सही अनुप्रयोग के लिए आवश्यक है। यदि हम पूरे X-अक्ष पर फूरियर श्रृंखला (साइनुसोइड्स का योग) पर विचार करें, तो हम देखेंगे कि {0, T} अंतराल के बाहर फूरियर श्रृंखला फलन हमारे फलन को आवधिक रूप से दोहराएगा।

उदाहरण के लिए, चित्र 7 के ग्राफ़ में, मूल फलन अंतराल {-T/2, +T/2} पर परिभाषित है, और फूरियर श्रृंखला पूरे x-अक्ष पर परिभाषित एक आवर्त फलन का प्रतिनिधित्व करती है।

यह इसलिए है क्योंकि साइनुसोइड स्वयं आवर्ती फलन होते हैं, इसलिए उनका योग भी एक आवर्ती फलन होगा।

इस प्रकार:

हमारा मूल फलन एक सतत, गैर-आवधिक फलन है जो T लंबाई वाले किसी खंड पर परिभाषित है।
इस फलन का स्पेक्ट्रम विभक्त है, अर्थात् इसे हार्मोनिक घटकों की अनंत श्रृंखला – एक फूरियर श्रृंखला – के रूप में दर्शाया जाता है।
वास्तव में, फूरियर श्रृंखला कुछ आवर्त फलन को परिभाषित करती है, जो अंतराल {0, T} पर हमारे फलन के समान होता है, लेकिन हमारे लिए यह आवर्तता आवश्यक नहीं है।

अगला।

हार्मोनिक घटकों की अवधियाँ उस अंतराल {0, T} के गुणज होती हैं, जिस पर आरंभिक फलन f(x) परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, हार्मोनिक्स की अवधियाँ संकेत मापन की अवधि के गुणज होती हैं। उदाहरण के लिए, फ़ूरियर श्रृंखला में पहले हार्मोनिक का कालखंड उस अंतराल T के बराबर होता है जिसमें f(x) फलन परिभाषित है। फ़ूरियर श्रृंखला में दूसरे हार्मोनिक का कालखंड T/2 के बराबर होता है। और इसी प्रकार (चित्र 8 देखें)।

तदनुसार, हार्मोनिक घटकों की आवृत्तियाँ 1/T के गुणज होती हैं। अर्थात्, हार्मोनिक घटकों Fk की आवृत्तियाँ Fk = k/T होती हैं, जहाँ k का मान 0 से अनंत तक होता है, उदाहरण के लिए, k = 0, F0 = 0; k = 1, F1 = 1/T; k = 2, F2 = 2/T; k = 3, F3 = 3/T; …। Fk= k/T (शून्य आवृत्ति पर, एक स्थिर घटक)।

मान लीजिए कि हमारा प्रारंभिक फलन T=1 सेकंड के दौरान रिकॉर्ड किया गया एक संकेत है। तब पहले हार्मोनिक की आवर्तकाल हमारे संकेत की अवधि T1=T=1 सेकंड के बराबर होगी और हार्मोनिक की आवृत्ति 1 हर्ट्ज़ के बराबर होगी। दूसरे हार्मोनिक की अवधि हमारे सिग्नल की अवधि को 2 से विभाजित करने पर आती है (T2=T/2=0.5 सेकंड) और इसकी आवृत्ति 2 हर्ट्ज़ है। तीसरे हार्मोनिक के लिए, T3=T/3 सेकंड और आवृत्ति 3 हर्ट्ज़ है। और इसी प्रकार।

इस मामले में हार्मोनिक्स के बीच का अंतर 1 हर्ट्ज़ है।

इस प्रकार, 1 सेकंड की अवधि वाले सिग्नल को 1 हर्ट्ज़ की आवृत्ति संकल्प के साथ हार्मोनिक घटकों में विघटित किया जा सकता है (स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए)।
संकल्प को 2 से 0.5 Hz तक बढ़ाने के लिए, माप की अवधि को 2 सेकंड तक 2 से बढ़ाना आवश्यक है। 10-सेकंड का संकेत हार्मोनिक घटकों (स्पेक्ट्रम) में 0.1 Hz की आवृत्ति संकल्प के साथ विघटित किया जा सकता है। आवृत्ति संकल्प बढ़ाने के कोई अन्य तरीके नहीं हैं। आप हमारे साथ इस संबंध की खोज कर सकते हैं एफएफटी रिज़ॉल्यूशन कैलकुलेटर.

नमूनों की श्रृंखला में शून्य जोड़कर सिग्नल की अवधि को कृत्रिम रूप से बढ़ाने का एक तरीका है। लेकिन इससे वास्तविक आवृत्ति संकल्प नहीं बढ़ता।

असतत संकेत और असतत फूरियर रूपांतरण

डिजिटल तकनीक के विकास के साथ मापन डेटा (संकेतों) के भंडारण के तरीके बदल गए हैं। जहाँ पहले एक संकेत को टेप रिकॉर्डर पर रिकॉर्ड करके एनालॉग रूप में टेप पर संग्रहीत किया जा सकता था, वहीं अब संकेतों को डिजिटाइज़ करके कंप्यूटर मेमोरी में संख्याओं (काउंट्स) के सेट के रूप में फ़ाइलों में संग्रहीत किया जाता है।

संकेत मापन और डिजिटलीकरण की सामान्य योजना इस प्रकार दिखती है।

ट्रांसड्यूसर मापन —- सिग्नल सामान्यीकरण —- एडीसी —– कंप्यूटर
(चित्र 9 मापन चैनल का आरेख

माप ट्रांसड्यूसर से संकेत एक निश्चित समय अवधि T के लिए एडीसी में जाता है। समय T के दौरान प्राप्त संकेत रीडिंग्स (सैंपलिंग) कंप्यूटर को प्रेषित की जाती हैं और मेमोरी में संग्रहीत की जाती हैं।

डिजिटल संकेत के पैरामीटर निर्दिष्ट करने के लिए क्या आवश्यकताएँ हैं? एक उपकरण जो इनपुट एनालॉग संकेत को एक विभक्त कोड (डिजिटल संकेत) में परिवर्तित करता है, उसे एनालॉग-टू-डिजिटल कन्वर्टर (ADC) कहा जाता है (© विकी)।

ADC के मूलभूत मापदंडों में से एक अधिकतम सैंपलिंग दर है – समय के साथ निरंतर संकेत के सैंपलिंग की आवृत्ति। सैंपल दर को हर्ट्ज़ में मापा जाता है। ((© विकी))

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals Δt ≤ 1/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd ≥ 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.

और अगर हम कोटेलनिकोव प्रमेय द्वारा आवश्यक आवृत्ति से कम आवृत्ति पर नमूने लेते हैं तो क्या होगा?

इस स्थिति में एक “अलियासिंगइस मामले में एक "एलिएसिंग" प्रभाव (जिसे स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव, मोइरे प्रभाव भी कहा जाता है) होता है, जिसमें उच्च आवृत्ति वाला संकेत डिजिटलीकरण के बाद निम्न आवृत्ति वाले संकेत में बदल जाता है, जो वास्तव में मौजूद नहीं होता। चित्र 11 में उच्च आवृत्ति की लाल साइन तरंग वास्तविक संकेत है। नीची आवृत्ति की नीली साइन तरंग एक काल्पनिक संकेत है, जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न होती है कि सैंपलिंग के दौरान उच्च आवृत्ति संकेत की आधी से अधिक अवधि बीत जाती है।

 

उपनाम प्रभाव से बचने के लिए, एक विशेष एंटी-उपनाम फिल्टर (निम्न-अतरण फ़िल्टर) ADC से पहले रखा जाता है। यह ADC के नमूना लेने की आवृत्ति के आधे से कम आवृत्तियों को पारित करता है और उच्च आवृत्तियों को काटता है।

इसके असतत नमूनों द्वारा संकेत स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए असतत फूरियर रूपांतरण (DFT) का उपयोग किया जाता है। फिर से ध्यान दें कि असतत संकेत का स्पेक्ट्रम “परिभाषा के अनुसार” नमूना लेने की आवृत्ति Fd के आधे से कम Fmax आवृत्ति तक सीमित है। इसलिए, असतत संकेत का स्पेक्ट्रम के योग द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है एक सीमित हार्मोनिक्स की संख्या, एक सतत संकेत के फूरियर श्रृंखला के अनंत योग के विपरीत, सीमित होती है, जिसका स्पेक्ट्रम असीमित हो सकता है। कोटेलनिकोव के प्रमेय के अनुसार, किसी हार्मोनिक की अधिकतम आवृत्ति ऐसी होनी चाहिए कि वह कम से कम दो नमूनों को समाहित करे, इसलिए हार्मोनिक्स की संख्या एक विच्छिन्न संकेत के नमूनों की संख्या के आधे के बराबर होती है। अर्थात्, यदि नमूने में N नमूने हैं, तो स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स की संख्या N/2 होगी।

अब विभक्त फूरियर रूपांतरण (DFT) पर विचार करें।

इसकी तुलना फूरियर श्रृंखला से करना

 

जैसा कि हम देख सकते हैं, वे मेल खाते हैं, सिवाय इसके कि FFT में समय विभक्त है और हार्मोनिक्स की संख्या N/2 तक सीमित है, जो नमूनों की संख्या का आधा है।

डीएफटी सूत्र आयामहीन पूर्णांक चरों k, s में लिखे जाते हैं, जहाँ k संकेत नमूनों की संख्या है और s स्पेक्ट्रल घटकों की संख्या है।
मान s, प्रति अवधि T (संकेत मापन अवधि) में पूर्ण हार्मोनिक दोलनों की संख्या दर्शाता है। डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग हार्मोनिक्स के आयामों और चरणों को संख्यात्मक रूप से, अर्थात् "कंप्यूटर पर", ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

जैसा कि ऊपर पहले ही कहा जा चुका है, जब किसी गैर-आवर्ती फलन (हमारा सिग्नल) को फूरियर श्रृंखला में विघटित किया जाता है, तो प्राप्त फूरियर श्रृंखला वास्तव में अवधि T वाले आवर्ती फलन के अनुरूप होती है (चित्र 12)।

 

 

जैसा कि चित्र 12 में देखा जा सकता है, फ़ंक्शन f(x) अवधि T0 के साथ आवधिक है। हालांकि, यह तथ्य है कि नमूना लंबाई T फ़ंक्शन अवधि T0 के बराबर नहीं है, फूरियर श्रृंखला के रूप में प्राप्त फ़ंक्शन के पास बिंदु T पर विच्छिन्नता है। परिणामस्वरूप, इस फ़ंक्शन का स्पेक्ट्रम बड़ी संख्या में उच्च-आवृत्ति हार्मोनिक्स शामिल होंगे। इस घटना को कहा जाता है वर्णक्रमीय रिसाव, और व्यवहार में इसे कम किया जाता है विंडोइंग रूपांतरण से पहले का संकेत। यदि मापन नमूने की अवधि T, फ़ंक्शन की अवधि T0 के साथ मेल खाती है, तो फूरियर रूपांतरण के बाद प्राप्त स्पेक्ट्रम में केवल पहला हार्मोनिक होगा (एक साइनसॉइड जिसकी अवधि नमूने की अवधि के बराबर है), क्योंकि फ़ंक्शन f(x) एक साइनसॉइड है।

दूसरे शब्दों में, DFT प्रोग्राम को यह नहीं पता होता कि हमारा सिग्नल एक साइन तरंग का एक स्लाइस है, लेकिन यह एक आवर्ती फलन को श्रृंखला के रूप में निरूपित करने का प्रयास करता है, जिसमें साइन तरंग के अलग-अलग टुकड़ों की असततता के कारण असततता होती है।

परिणामस्वरूप, स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स प्रकट होते हैं, जो कुल मिलाकर इस विच्छेद सहित फ़ंक्शन के आकार का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार, विभिन्न आवृत्तियों वाले कई साइनोइड्स के योग से बने सिग्नल का "सही" स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि एक की अवधि की पूर्णांक संख्या प्रत्येक साइनोइड संकेत की माप अवधि में उपस्थित होना चाहिए। व्यवहार में, यह शर्त पर्याप्त लंबी माप अवधि के साथ पूरी की जा सकती है।

 

 

छोटे समय-अवधि पर चित्र "खराब" दिखेगा:

 

 

 

 

वास्तव में, यह समझना मुश्किल हो सकता है कि "वास्तविक घटक" कहाँ हैं और घटक अवधियों तथा सिग्नल सैंपलिंग अवधियों की असंगति या तरंगरूप में "उछाल और टूट-फूट" के कारण उत्पन्न "आर्टिफैक्ट्स" कहाँ हैं। बेशक, "वास्तविक घटक" और "आर्टिफैक्ट्स" शब्द एक कारणवश उद्धरण चिह्नों में रखे गए हैं। स्पेक्ट्रम ग्राफ़ पर कई हार्मोनिक्स की उपस्थिति का यह मतलब नहीं है कि हमारा सिग्नल वास्तव में इन्हीं से बना है। यह ठीक वैसा ही है जैसे हम सोचें कि संख्या 7 संख्या 3 और 4 से "बनी" है। संख्या 7 को 3 और 4 के योग के रूप में सोचा जा सकता है – और यह सही भी है।

इसी प्रकार हमारा संकेत… या बल्कि "हमारा संकेत" भी नहीं, बल्कि हमारे संकेत (नमूने) को दोहराकर बना एक आवर्ती फलन, निश्चित परिमाणों और चरणों वाली हार्मोनिक (साइन तरंगों) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। लेकिन अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण कई मामलों में (ऊपर दिए गए आकृतियों को देखें) स्पेक्ट्रम में प्राप्त हार्मोनिक को वास्तविक, चक्रीय स्वभाव वाले प्रक्रियाओं से भी संबंधित करना संभव होता है, जो संकेत के स्वरूप में महत्वपूर्ण योगदान देती हैं।

कुछ परिणाम

1. ADC द्वारा डिजिटाइज़ किया गया T सेकंड अवधि का एक वास्तविक मापा गया सिग्नल, अर्थात् विवेचित नमूनों (N टुकड़े) के एक सेट द्वारा निरूपित, का एक विवेचित गैर-आवर्तक स्पेक्ट्रम होता है, जो हार्मोनिक्स (N/2 टुकड़े) के एक सेट द्वारा निरूपित होता है।

2. Signal real values के एक set के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। उसका DFT spectrum conjugate symmetry वाले complex coefficients का set है; उनसे amplitude spectrum प्राप्त होता है — positive frequencies पर real non-negative amplitudes (और phases) का set — और व्यवहार में यही one-sided amplitude spectrum plot किया जाता है। Negative frequencies वाला two-sided complex form और one-sided amplitude/phase form एक ही spectrum के equivalent representations हैं — signal analysis के लिए आमतौर पर one-sided amplitude spectrum के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।

3. समय T पर मापा गया सिग्नल केवल समय T पर ही निर्धारित होता है। सिग्नल को मापना शुरू करने से पहले क्या हुआ था और उसके बाद क्या होगा, यह विज्ञान के लिए अज्ञात है। और हमारे मामले में यह दिलचस्प नहीं है। समय-सीमित सिग्नल का FFT उसका "वास्तविक" स्पेक्ट्रम देता है, इस अर्थ में कि कुछ परिस्थितियों में यह इसके घटकों का आयाम और आवृत्ति निकालने की अनुमति देता है।