Uporaba Fourierove transformacije pri analizi signalov vibracij

Andrei Shelkovenko. Eden od razvijalcev in ustanovitelj podjetja Vibromera.
Prevod članka lahko vsebuje netočnosti.

Fourierova transformacija in spekter signala

V mnogih primerih je naloga pridobivanja (izračuna) spekter signala je naslednja. Obstaja analogno-digitalni pretvornik (ADC), ki z vzorčenjem frekvenca Fd pretvori neprekinjen signal, ki prispe na njegov vhod v času T, v digitalne vzorce – N kosov. Nato se ta niz vzorcev posreduje nekemu programu (na primer FourierScope), ki izpiše N/2 nekaterih številskih vrednosti.

Da bi preverili, ali program deluje pravilno, oblikujemo polje vzorcev kot vsoto dveh sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) in ga vnesemo v program. Program je narisal naslednje:

 

 

Obstajata dva harmoniki na spektralnem grafu – 5 Hz z amplitudo 0,5 V in 10 Hz z amplitudo 1 V, vse je tako, kot je navedeno v formuli izvirnega signala. Vse je v redu, program deluje pravilno.

To pomeni, da ce na vhod ADC pošljemo realni signal, sestavljen iz mešanice dveh sinusoid, bomo dobili podoben spekter, sestavljen iz dveh harmonik.

Tako je naš pravi izmerjeni signal trajanja 5 sekund, digitaliziran z ADC, tj. predstavljen z diskretnim vzorcev, ima diskretni neperiodični spekter.
Koliko napak je v tem stavku z matematičnega vidika?

Poskusimo izmeriti isti signal za 0,5 sekunde.

 

 

Tu je nekaj narobe! Harmonika pri 10 Hz je narisana normalno, namesto harmonike pri 5 Hz pa je nekaj nejasnih harmonik.

Na internetu pravijo, da je treba na koncu vzorca dodati ničle in spekter se bo normalno izrisal.

 

 

To sploh ni tako. Moram se ukvarjati s teorijo. Pojdimo na Wikipedia - vir znanja.

zvezna funkcija in njena predstavitev po Fourierjevi vrsti

Matematično gledano je naš signal s trajanjem T sekund nekakšna funkcija f(x), podana na intervalu {0, T} (X je v tem primeru čas). Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot vsoto harmonskih funkcij (sinus ali kosinus) v obliki:

k je število trigonometrične funkcije (število harmonske komponente, število harmonske)
T - odsek, kjer je funkcija definirana (trajanje signala)
Ak - amplituda k-te harmonske komponente,
θk- začetna faza k-te harmonske komponente
Kaj pomeni "predstaviti funkcijo kot vsoto vrst"? To pomeni, da s seštevanjem vrednosti harmonskih komponent Fourierove vrste v vsaki točki dobimo vrednost naše funkcije v tej točki.
(Natančneje, povprečni kvadratni odklon vrste od funkcije f(x) bo težil k ničli, vendar kljub povprečni kvadratni konvergenci ni nujno, da Fourierova vrsta funkcije konvergira k njej točko za točko. )
To serijo lahko zapišemo tudi v obliki:

 

 

 

kjer je , k-ta kompleksna amplituda.

 

ali

 

 

 

Razmerje med koeficientoma (1) in (3) je izraženo z naslednjimi formulami:

 

 

 

 

Upoštevajte, da so vse te tri predstavitve Fourierjeve vrste popolnoma enakovredne. Pri delu s Fourierjevo vrsto je včasih bolj priročno uporabiti eksponente z imaginarnim argumentom namesto sinusov in kosinusov, torej uporabiti Fourierjevo transformacijo v kompleksni obliki. Za nas pa je priročno uporabiti formulo (1), kjer je Fourierjeva vrsta predstavljena kot vsota kosinusov z ustreznimi amplitudami in fazami. Strogo gledano Fourierjeva transformacija realnega signala res daje kompleksne koeficiente (oblika (3)): vsak koeficient nosi tako amplitudo kot fazo svojega harmonika. Pri realnem signalu imajo ti kompleksni koeficienti konjugirano (Hermitsko) simetrijo — polovica z negativnimi frekvencami zgolj zrcali polovico s pozitivnimi frekvencami in ne vsebuje dodatnih informacij. Zato lahko iz kompleksnih koeficientov vedno preidemo na realne nenegativne amplitude Ak in faze θk iz formule (1) — in prav ta amplitudni spekter prikazujejo programi za analizo.

 

Spodnja vrstica:
Matematična osnova za spektralno analizo signalov je Fourierova transformacija.

S Fourierovo transformacijo lahko predstavimo zvezno funkcijo f(x) (signal), določeno na intervalu {0, T}, kot vsoto neskončnega števila (neskončne vrste) trigonometričnih funkcij (sinus in/ali kosinus) z določenimi amplitudami in fazami, ki prav tako veljajo na intervalu {0, T}. Takšno vrsto imenujemo Fourierova vrsta.

Upoštevajte še nekaj točk, katerih razumevanje je potrebno za pravilno uporabo Fourierjeve transformacije pri analizi signalov. Če obravnavamo Fourierovo vrsto (vsoto sinusoid) na celotni osi X, bomo videli, da bo zunaj intervala {0, T} funkcija Fourierove vrste periodično ponavljala našo funkcijo.

V grafu na sliki 7 je na primer izvirna funkcija opredeljena na intervalu {-T\2, +T\2}, Fourierova vrsta pa predstavlja periodično funkcijo, opredeljeno na celotni osi x.

To je zato, ker so sinusoide same po sebi periodične funkcije, zato bo tudi njihova vsota periodična funkcija.

Tako:

Naša izvirna funkcija je zvezna, neperiodična funkcija, definirana na nekem odseku dolžine T.
Spekter te funkcije je diskreten, tj. predstavljen je kot neskončna vrsta harmonskih komponent - Fourierova vrsta.
Dejansko Fourierova vrsta definira neko periodično funkcijo, ki sovpada z našo funkcijo na intervalu {0, T}, vendar za nas ta periodičnost ni bistvena.

Naslednji.

Obdobja harmonskih komponent so večkratniki intervala {0, T}, na katerem je definirana začetna funkcija f(x). Z drugimi besedami, periode harmonskih komponent so večkratniki trajanja merjenja signala. Na primer, perioda prve harmonske v Fourierjevi vrsti je enaka intervalu T, na katerem je definirana funkcija f(x). Perioda druge harmonske v Fourierjevi vrsti je enaka intervalu T/2. In tako naprej (glej sliko 8).

V skladu s tem so frekvence harmonskih komponent večkratniki 1/T. To pomeni, da so frekvence harmonskih komponent Fk Fk= k\T, kjer ima k vrednosti od 0 do ∞, na primer k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (pri ničelni frekvenci, konstantna komponenta).

Naj bo naša začetna funkcija signal, posnet med T=1 s. Potem bo perioda prve harmonske enaka trajanju našega signala T1=T=1 s, frekvenca harmonske pa je enaka 1 Hz. Obdobje druge harmonske bo enako trajanju našega signala, deljenemu z 2 (T2=T/2=0,5 s), frekvenca pa je enaka 2 Hz. Za tretjo harmonsko je T3=T/3 sekunde, frekvenca pa je 3 Hz. In tako naprej.

Korak med harmonskimi je v tem primeru 1 Hz.

Tako lahko signal, ki traja 1 s, razgradimo na harmonske komponente (in dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 1 Hz.
Da bi ločljivost povečali za faktor 2 na 0,5 Hz, je treba trajanje merjenja podaljšati za faktor 2 na 2 sekundi. 10-sekundni signal je mogoče razčleniti na harmonične komponente (spekter) s frekvenčno ločljivostjo 0,1 Hz. Drugih načinov za povečanje frekvenčne ločljivosti ni. To razmerje lahko preučite z našim Kalkulator ločljivosti FFT.

Trajanje signala lahko umetno podaljšate tako, da v niz vzorcev dodate ničle. Vendar to ne poveča dejanske frekvenčne ločljivosti.

Diskretni signali in diskretna Fourierova transformacija

Z razvojem digitalne tehnologije so se spremenili načini shranjevanja merilnih podatkov (signalov). Medtem ko je bilo prej mogoče signal posneti na magnetofon in ga shraniti na trak v analogni obliki, so zdaj signali digitalizirani in shranjeni v datoteke v računalniškem pomnilniku kot niz številk (števcev).

Običajna shema merjenja in digitalizacije signala je naslednja.

Merilni pretvornik -- Normalizator signala -- ADC -- Računalnik
(Slika 9. Shema merilnega kanala

Signal iz merilnega pretvornika gre v ADC za časovno obdobje T. Odčitki signala (vzorčenje), prejeti v času T, se prenesejo v računalnik in shranijo v pomnilnik.

Kakšne so zahteve glede parametrov digitalizacije signala? Naprava, ki vhodni analogni signal pretvori v diskretno kodo (digitalni signal), se imenuje analogno-digitalni pretvornik (ADC) (© Wiki).

Eden od osnovnih parametrov ADC je največja frekvenca vzorčenja - frekvenca vzorčenja signala, ki je zvezen v času. Hitrost vzorčenja se meri v hercih. ((© Wiki))

Po Kotelnikovem teoremu je mogoče kontinuirni signal, katerega spekter je omejen s frekvenco Fmax, popolnoma in enolično rekonstruirati iz njegovih diskretnih vzorcev, zajetih v časovnih intervalih Δt ≤ 1/(2*Fmax), tj. s frekvenco vzorčenja Fd ≥ 2*Fmax, kjer je Fd – frekvenca vzorčenja; Fmax – največja frekvenca spektra signala. Z drugimi besedami, frekvenca digitalizacije signala (frekvenca vzorčenja ADC) mora biti vsaj dvakrat večja od največje frekvence signala, ki ga želimo meriti.

In kaj se bo zgodilo, če bomo jemali vzorce z manjšo frekvenco, kot zahteva Kotelnikov teorem?

V tem primeru gre za „aliasiranjeV tem primeru pride do učinka "aliasing" (t. i. stroboskopski učinek, učinek moire), pri katerem se visokofrekvenčni signal po digitalizaciji spremeni v nizkofrekvenčni signal, ki v resnici ne obstaja. Na sliki 11 je rdeči sinusni val visoke frekvence pravi signal. Modri sinusni val nižje frekvence je fiktivni signal, ki nastane zaradi dejstva, da ima med časom vzorčenja čas preteči več kot polovica periode visokofrekvenčnega signala.

 

Da bi se izognili pojavu aliasinga, se uporabi poseben filter proti aliasingu (nizkoprepustni filter) je nameščen pred ADC. Prepušča frekvence, ki so nižje od polovice vzorčne frekvence ADC, višje frekvence pa odseka.

Za izračun spektra signala na podlagi njegovih diskretnih vzorcev je diskretni Fourierjeva transformacija (DFT) se uporabi. Ponovno opozarjamo, da je spekter diskretnega signala »po definiciji« omejen na frekvenco Fmax, ki je manjša od polovice vzorčne frekvence Fd. Zato je spekter diskretnega signala mogoče predstaviti kot vsoto končni število harmonskih, v nasprotju z neskončno vsoto za Fourierovo vrsto zveznega signala, katerega spekter je lahko neomejen. V skladu s Kotelnikovim teoremom mora biti največja frekvenca harmonike takšna, da predstavlja vsaj dva vzorca, zato je število harmonik enako polovici števila vzorcev diskretnega signala. To pomeni, da če je v vzorcu N vzorcev, bo število harmonikov v spektru enako N/2.

Zdaj si oglejmo diskretno Fourierovo transformacijo (DFT).

Če jo primerjamo s Fourierovo vrsto

 

Kot vidimo, se ujemata, le da je čas v FFT diskreten in da je število harmonskih omejeno na N/2, kar je polovica števila vzorcev.

Formule DFT so zapisane v brezrazsežnih celoštevilskih spremenljivkah k, s, kjer je k število vzorcev signala, s pa število spektralnih komponent.
Vrednost s prikazuje število polnih harmonskih nihanj v periodi T (trajanje merjenja signala). Diskretna Fourierova transformacija se uporablja za numerično iskanje amplitud in faz harmonskih signalov, tj. "na računalniku".

Kot je bilo povedano že zgoraj, ko neperiodično funkcijo (naš signal) razgradimo v Fourierove vrste, dobljena Fourierova vrsta dejansko ustreza periodični funkciji s periodo T (slika 12).

 

 

Kot je razvidno iz slike 12, je funkcija f(x) periodična s periodami T0. Ker pa dolžina merilnega vzorca T ni enaka periodi funkcije T0, ima funkcija, dobljena kot Fourierjeva vrsta, v točki T prekinitev. Posledično bo spekter te funkcije vseboval veliko število visokofrekvenčnih harmonik. Ta pojav je znan kot spektralno uhajanje, v praksi pa se zmanjša za okenske funkcije signal pred transformacijo. Če bi se trajanje merilnega vzorca T ujemalo s periodom funkcije T0, bi spekter, dobljen po Fourierovi transformaciji, vseboval le prvo harmoniko (sinusoidno krivuljo s periodom, enakim trajanju vzorca), saj je funkcija f(x) sinusoidna krivulja.

Z drugimi besedami, program DFT "ne ve", da je naš signal "rezina sinusnega vala", ampak poskuša kot serijo predstaviti periodično funkcijo, ki ima diskontinuiteto zaradi diskontinuitete posameznih delov sinusnega vala.

Posledično se v spektru pojavijo harmonske komponente, ki bi morale v celoti predstavljati obliko funkcije, vključno s to diskontinuiteto.

Da bi dobili "pravilen" spekter signala, ki je vsota več sinusoid z različnimi periodami, je torej treba celoštevilčno število obdobij vsaka sinusoida mora biti prisotna v obdobju merjenja signala. V praksi je ta pogoj mogoče izpolniti z dovolj dolgim obdobjem merjenja signala.

 

 

Pri krajšem trajanju bo slika videti "slabša":

 

 

 

 

V praksi je težko razumeti, kje so "prave komponente" in kje "artefakti", ki so posledica neskladnosti period komponent in trajanja vzorčenja signala ali "skokov in prekinitev" v obliki vala. Seveda sta besedi "prave komponente" in "artefakti" z razlogom v narekovajih. Prisotnost številnih harmonskih na spektralnem grafu še ne pomeni, da je naš signal dejansko sestavljen iz njih. To je tako, kot če bi mislili, da je številka 7 "sestavljena" iz številk 3 in 4. Število 7 si lahko predstavljamo kot vsoto števil 3 in 4 - to je pravilno.

Tako lahko tudi naš signal ... ali bolje rečeno, niti ne "naš signal", temveč periodično funkcijo, ki jo sestavlja ponavljanje našega signala (vzorca), predstavimo kot vsoto harmonskih (sinusov) z določenimi amplitudami in fazami. V številnih primerih, pomembnih za prakso (glejte zgornje slike), pa je mogoče harmonike, dobljene v spektru, dejansko povezati tudi z realnimi procesi, ki imajo ciklični značaj in pomembno prispevajo k obliki signala.

Nekateri rezultati

1. Realni merjeni signal s trajanjem T s, digitaliziran z ADC, tj. predstavljen z množico diskretnih vzorcev (N kosov), ima diskretni neperiodični spekter, ki ga predstavlja množica harmonskih (N/2 kosov).

2. Signal je predstavljen z naborom realnih vrednosti. Njegov spekter DFT je množica kompleksnih koeficientov s konjugirano simetrijo; iz njih dobimo amplitudni spekter — množico realnih nenegativnih amplitud (in faz) pri pozitivnih frekvencah, in prav ta enostranski amplitudni spekter se v praksi prikazuje. Dvostranska kompleksna oblika z negativnimi frekvencami in enostranska oblika amplitude/faze sta enakovredni predstavitvi istega spektra — za analizo signalov je običajno bolj priročno delati z enostranskim amplitudnim spektrom.

3. Signal, izmerjen v času T, je določen samo v času T. Kaj se je zgodilo, preden smo začeli meriti signal, in kaj se bo zgodilo po tem, znanosti ni znano. In v našem primeru to ni zanimivo. FFT časovno omejenega signala poda njegov "pravi" spekter v smislu, da pod določenimi pogoji omogoča izračun amplitude in frekvence njegovih komponent.