Andrej Šelkovenko. Jeden z vývojárov a zakladateľ spoločnosti Vibromera.
Preklad článku môže obsahovať nepresnosti.
- Fourierova transformácia a spektrum signálu
V mnohých prípadoch je úloha získania (výpočtu) spektra signálu nasledovná. Existuje ADC, ktorý so vzorkovacou frekvenciou Fd transformuje spojitý signál, ktorý prichádza na jeho vstup v čase T, na digitálne vzorky - N kusov. Potom sa toto pole vzoriek privedie do nejakého programu (napr. FourierScope), ktorý vypíše N/2 nejakých číselných hodnôt.
Aby sme overili, či program funguje správne, vytvoríme pole vzoriek ako súčet dvoch sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme ho do programu. Program nakreslil nasledovné:
Obr.1 Graf časovej funkcie signálu
Obr.2 Graf spektra signálu
Na grafe spektra sú dve harmonické - 5 Hz s amplitúdou 0,5 V a 10 Hz s amplitúdou 1 V, všetko je ako vo vzorci pôvodného signálu. Všetko je v poriadku, grogram funguje správne.
To znamená, že ak na vstup ADC privedieme reálny signál zo zmesi dvoch sínusoíd, dostaneme podobné spektrum pozostávajúce z dvoch harmonických.
Takže náš skutočné meraný signál v trvaní 5 sekúnd, digitalizované pomocou ADC, t. j. reprezentované diskrétne vzorky, má diskrétne neperiodické spektrum.
Z matematického hľadiska - koľko chýb je v tejto vete?
Teraz skúsme zmerať ten istý signál počas 0,5 sekundy.
Obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre periódu merania 0,5 s
Obr.4 Spektrum funkcie
Niečo tu nie je v poriadku! Harmonická pri 10 Hz je vykreslená normálne a namiesto harmonickej pri 5 Hz sú tu nejaké nejasné harmonické.
Na internete sa uvádza, že je potrebné pridať nuly na koniec vzorky a spektrum sa bude kresliť normálne.
Obr.5 Do vzorky sme pridali nuly až do 5 sekúnd
Obr. 6. Získané spektrum.
Tak to vôbec nie je. Budem sa musieť zaoberať teóriou. Poďme na wikipedia - zdroj poznania.
2. Spojitá funkcia a jej reprezentácia Fourierovým radom
Matematicky je náš signál s trvaním T sekúnd nejaká funkcia f(x) daná na intervale {0, T} (X je v tomto prípade čas). Takúto funkciu možno vždy reprezentovať ako súčet harmonických funkcií (sínus alebo kosínus) v tvare:
(1), kde:
k je číslo trigonometrickej funkcie ( číslo harmonickej zložky, číslo harmonickej)
T - úsek, na ktorom je definovaná funkcia (trvanie signálu)
Ak - amplitúda k-tej harmonickej zložky,
θk- počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky
Čo znamená "reprezentovať funkciu ako súčet radov"? Znamená to, že sčítaním hodnôt harmonických zložiek Fourierovho radu v každom bode dostaneme hodnotu našej funkcie v danom bode.
(Presnejšie povedané, stredná kvadratická odchýlka radu od funkcie f(x) bude smerovať k nule, ale napriek strednej kvadratickej konvergencii Fourierov rad funkcie k nej vo všeobecnosti nemusí bod po bode konvergovať. )
Tento rad sa dá zapísať aj v tvare:
(2),
kde 
, k-tá komplexná amplitúda.
alebo
(3)
Vzťah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadrený týmito vzorcami:
Všimnite si, že všetky tieto tri reprezentácie Fourierových radov sú úplne ekvivalentné. Niekedy je pri práci s Fourierovými radmi výhodnejšie použiť namiesto sínusov a kosínusov exponenty imaginárneho argumentu, t. j. použiť Fourierovu transformáciu v komplexnom tvare. Pre nás je však výhodné použiť vzorec (1), kde je Fourierov rad reprezentovaný ako súčet kosínusov s príslušnými amplitúdami a fázami. V každom prípade je nesprávne tvrdiť, že výsledkom Fourierovej transformácie reálneho signálu budú komplexné harmonické amplitúdy. Ako správne uvádza Wiki: "Fourierova transformácia (ℱ) je operácia, ktorá mapuje jednu funkciu reálnej premennej na inú funkciu tiež reálnej premennej."
Záver:
Matematickým základom spektrálnej analýzy signálov je Fourierova transformácia.
Fourierova transformácia umožňuje reprezentovať spojitú funkciu f(x) (signál) definovanú na intervale {0, T} ako súčet nekonečného počtu (nekonečného radu) trigonometrických funkcií (sínus a/alebo kosínus) s určitými amplitúdami a fázami, ktoré sa tiež uvažujú na intervale {0, T}. Takýto rad sa nazýva Fourierov rad.
Všimnite si ešte niekoľko bodov, ktorých pochopenie je potrebné na správne použitie Fourierovej transformácie pri analýze signálov. Ak budeme uvažovať Fourierov rad (súčet sínusoíd) na celej osi X, uvidíme, že mimo intervalu {0, T} bude Fourierov rad funkcie periodicky opakovať našu funkciu.
Napríklad v grafe na obr. 7 je pôvodná funkcia definovaná na intervale {-T\2, +T\2} a Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu definovanú na celej osi x.
Je to preto, že samotné sínusoidy sú periodické funkcie, takže aj ich súčet bude periodická funkcia.
Obrázok 7 Zobrazenie neperiodickej zdrojovej funkcie pomocou Fourierovho radu
Takto:
Naša pôvodná funkcia je spojitá neperiodická funkcia definovaná na úseku dĺžky T.
Spektrum tejto funkcie je diskrétne, t. j. je reprezentované ako nekonečný rad harmonických zložiek - Fourierov rad.
V skutočnosti Fourierov rad definuje nejakú periodickú funkciu, ktorá sa zhoduje s našou funkciou na intervale {0, T}, ale pre nás táto periodickosť nie je podstatná.
Ďalšie.
Periódy harmonických zložiek sú násobkami intervalu {0, T}, na ktorom je definovaná počiatočná funkcia f(x). Inými slovami, periódy harmonických zložiek sú násobkami trvania merania signálu. Napríklad perióda prvej harmonickej vo Fourierovom rade sa rovná intervalu T, na ktorom je definovaná funkcia f(x). Perióda druhej harmonickej vo Fourierovom rade sa rovná intervalu T/2. A tak ďalej (pozri obrázok 8).
Obr. 8 Periódy (frekvencie) harmonických zložiek Fourierovho radu (tu T=2π)
Frekvencie harmonických zložiek sú preto násobkami 1/T. To znamená, že frekvencie harmonických zložiek Fk sú Fk= k\T, kde k nadobúda hodnoty od 0 do ∞, napríklad k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (pri nulovej frekvencii, konštantná zložka).
Nech je našou počiatočnou funkciou signál zaznamenaný počas T=1 s. Potom perióda prvej harmonickej sa bude rovnať trvaniu nášho signálu T1=T=1 s a frekvencia harmonickej sa bude rovnať 1 Hz. Perióda druhej harmonickej sa bude rovnať trvaniu nášho signálu delenému 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvencia sa rovná 2 Hz. Pre tretiu harmonickú je T3=T/3 s a frekvencia je 3 Hz. A tak ďalej.
Krok medzi harmonickými je v tomto prípade 1 Hz.
Signál s trvaním 1 s tak možno rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 1 Hz.
Na zvýšenie rozlíšenia o faktor 2 až 0,5 Hz je potrebné predĺžiť trvanie merania o faktor 2 až 2 sekundy. Desaťsekundový signál možno rozložiť na harmonické zložky (spektrum) s frekvenčným rozlíšením 0,1 Hz. Neexistujú žiadne iné spôsoby zvýšenia frekvenčného rozlíšenia.
Existuje spôsob, ako umelo predĺžiť trvanie signálu pridaním núl do poľa vzoriek. Nezvýši sa tým však skutočné frekvenčné rozlíšenie.
3. Diskrétne signály a diskrétna Fourierova transformácia
S rozvojom digitálnej technológie sa zmenili spôsoby ukladania nameraných údajov (signálov). Kým predtým sa signál mohol zaznamenať na magnetofón a uložiť na pásku v analógovej forme, teraz sa signály digitalizujú a ukladajú do súborov v pamäti počítača ako súbor čísel (počtov).
Obvyklá schéma merania a digitalizácie signálu vyzerá takto.
Merací prevodník -- Normalizátor signálu -- ADC -- Počítač
(Obr.9 Schéma meracieho kanála)
Signál z meracieho snímača prechádza do ADC počas časového úseku T. Odčítané hodnoty signálu (vzorkovanie) prijaté počas časového úseku T sa prenášajú do počítača a ukladajú sa do pamäte.
Obr.10 Digitalizovaný signál - N prijatých vzoriek pre čas T
Aké sú požiadavky na parametre digitalizácie signálu? Zariadenie, ktoré prevádza vstupný analógový signál na diskrétny kód (digitálny signál), sa nazýva analógovo-digitálny prevodník (ADC) (© Wiki).
Jedným zo základných parametrov ADC je maximálna vzorkovacia frekvencia - frekvencia vzorkovania signálu, ktorý je spojitý v čase. Vzorkovacia frekvencia sa meria v hertzoch. ((© Wiki))
Podľa Kotelnikovovej vety, ak má spojitý signál spektrum obmedzené frekvenciou Fmax, možno ho úplne a jednoznačne rekonštruovať z jeho diskrétnych vzoriek odobratých v časových intervaloch T = 1/2*Fmax, t. j. s frekvenciou Fd ≥ 2*Fmax, kde Fd - vzorkovacia frekvencia; Fmax - maximálna frekvencia spektra signálu. Inými slovami, frekvencia digitalizácie signálu (vzorkovacia frekvencia ADC) musí byť aspoň 2-krát vyššia ako maximálna frekvencia signálu, ktorý chceme merať.
A čo sa stane, ak budeme brať vzorky s nižšou frekvenciou, ako vyžaduje Kotelnikovova veta?
V tomto prípade dochádza k efektu "aliasingu" (tzv. stroboskopický efekt, moiré efekt), pri ktorom sa vysokofrekvenčný signál po digitalizácii zmení na nízkofrekvenčný signál, ktorý v skutočnosti neexistuje. Na obr. 11 je červená sínusoida vysokej frekvencie skutočným signálom. Modrá sínusoida nižšej frekvencie je fiktívny signál, ktorý vzniká v dôsledku toho, že počas času vzorkovania stihne prejsť viac ako polovica periódy vysokofrekvenčného signálu.
Obr. 11. Vznik falošného nízkofrekvenčného signálu pri nedostatočne vysokej vzorkovacej frekvencii
Aby sa zabránilo efektu aliasingu, pred ADC sa umiestni špeciálny anti-alias filter (dolnopriepustný filter). Prepúšťa frekvencie nižšie ako polovica vzorkovacej frekvencie ADC a odrezáva vyššie frekvencie.
Na výpočet spektra signálu pomocou jeho diskrétnych vzoriek sa používa diskrétna Fourierova transformácia (DFT). Opäť si všimnite, že spektrum diskrétneho signálu je "z definície" obmedzené na frekvenciu Fmax menšiu ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Preto možno spektrum diskrétneho signálu reprezentovať súčtom a konečný počet harmonických, na rozdiel od nekonečného súčtu pre Fourierov rad spojitého signálu, ktorého spektrum môže byť neobmedzené. Podľa Kotelnikovovej vety musí byť maximálna frekvencia harmonickej taká, aby na ňu pripadali aspoň dve vzorky, takže počet harmonických sa rovná polovici počtu vzoriek diskrétneho signálu. To znamená, že ak je vo vzorke N vzoriek, počet harmonických v spektre bude N/2.
Uvažujme teraz diskrétnu Fourierovu transformáciu (DFT).
Porovnanie s Fourierovým radom
Ako vidíme, zhodujú sa, až na to, že čas vo FFT je diskrétny a počet harmonických je obmedzený na N/2, čo je polovica počtu vzoriek.
Vzorce DFT sa zapisujú v bezrozmerných celočíselných premenných k, s, kde k je počet vzoriek signálu, s je počet spektrálnych zložiek.
Hodnota s udáva počet plných harmonických kmitov za periódu T (trvanie merania signálu). Diskrétna Fourierova transformácia sa používa na numerické zistenie amplitúd a fáz harmonických kmitov, t. j. "na počítači".
Ako už bolo uvedené vyššie, pri rozklade neperiodickej funkcie (nášho signálu) na Fourierove rady výsledný Fourierov rad vlastne zodpovedá periodickej funkcii s periódou T (obr. 12).
Obr. 12. Periodická funkcia f(x) s periódou T0, s periódou T>T0
Ako vidno na obr. 12, funkcia f(x) je periodická s periódou T0. Avšak vzhľadom na skutočnosť, že dĺžka meracej vzorky T sa nerovná perióde funkcie T0, funkcia získaná ako Fourierov rad má nespojitosť v bode T. V dôsledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahovať veľké množstvo vysokofrekvenčných harmonických. Ak by sa trvanie meracej vzorky T zhodovalo s periódou funkcie T0, potom by spektrum získané po Fourierovej transformácii obsahovalo len prvú harmonickú (sínusoidu s periódou rovnou trvaniu vzorky), pretože funkcia f(x) je sínusoida.
Inými slovami, program DFT "nevie", že náš signál je "plátok sínusoidy", ale snaží sa reprezentovať ako sériu periodickú funkciu, ktorá má nespojitosť v dôsledku nespojitosti jednotlivých častí sínusoidy.
V dôsledku toho sa v spektre objavujú harmonické zložky, ktoré by mali celkovo reprezentovať tvar funkcie vrátane tejto diskontinuity.
Aby sme teda získali "správne" spektrum signálu, ktorý je súčtom niekoľkých sínusoíd s rôznymi periódami, je potrebné, aby celočíselný počet periód každá sínusoida by mala byť prítomná v meracej perióde signálu. V praxi možno túto podmienku splniť pri dostatočne dlhom trvaní merania signálu.
Obr.13 Príklad funkcie a spektra signálu kinematickej chyby prevodovky
Pri kratšom trvaní bude obraz vyzerať "horšie":
Obr.14 Príklad funkcie a spektra vibrácií rotora
V praxi môže byť ťažké pochopiť, kde sú "skutočné komponenty" a kde "artefakty" spôsobené nesúladom periód komponentov a trvania vzorkovania signálu alebo "skokov a zlomov" v tvare krivky. Samozrejme, slová "skutočné zložky" a "artefakty" sa dávajú do úvodzoviek z určitého dôvodu. Prítomnosť mnohých harmonických zložiek na grafe spektra neznamená, že náš signál sa z nich skutočne skladá. Je to ako myslieť si, že číslo 7 "pozostáva" z čísel 3 a 4. Číslo 7 môžeme považovať za súčet čísel 3 a 4 - to je správne.
Takže aj náš signál... alebo skôr ani nie "náš signál", ale periodická funkcia zložená z opakovania nášho signálu (vzorky) môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických (sínusoidných) s určitými amplitúdami a fázami. V mnohých prípadoch dôležitých pre prax (pozri obrázky vyššie) je však skutočne možné vzťahovať harmonické získané v spektre aj na reálne procesy, ktoré majú cyklický charakter a významne sa podieľajú na podobe signálu.
Niektoré výsledky
1. Reálny meraný signál s trvaním T sekúnd digitalizovaný ADC, t. j. reprezentovaný súborom diskrétnych vzoriek (N kusov), má diskrétne neperiodické spektrum reprezentované súborom harmonických (N/2 kusov).
2. Signál je reprezentovaný súborom platných hodnôt a jeho spektrum je reprezentované súborom platných hodnôt. Frekvencie harmonických sú kladné. To, že je matematicky výhodnejšie reprezentovať spektrum v komplexnom tvare pomocou záporných frekvencií, neznamená, že "je to tak správne" a "takto by ste to mali robiť vždy".
3. Signál nameraný v čase T je určený len v čase T. Čo sa stalo pred tým, ako sme začali signál merať, a čo sa stane potom, je vede neznáme. A v našom prípade to nie je zaujímavé. FFT časovo obmedzeného signálu poskytuje jeho "skutočné" spektrum v tom zmysle, že za určitých podmienok umožňuje vypočítať amplitúdu a frekvenciu jeho zložiek.