Примена Фоуриеове трансформације на анализу сигнала вибрација

Andrei Shelkovenko. Један од програмера и оснивач Vibromera.
Превод чланка може садржати нетачности.

Фуријеова трансформација и спектар сигнала

У многим случајевима задатак добијања (израчунавања) спектар сигнала је сљедећи. Постоји ADC, који са узорковањем фреквенцију Фд трансформира континуирани сигнал, који долази на његов улаз током времена Т, у дигиталне узорке — Н комада. Затим се низ узорака шаље некој програму (на пример Фуријескоп) који излази N/2 неких нумеричких вредности.

Да бисмо проверили да ли програм ради исправно, формирамо низ узорака као суму два синуса (10*2*пи*x)+0,5*синус (5*2*пи*x) и уносимо га у програм. Програм је нацртао следеће:

 

 

Постоје две хармоници на графикону спектра — 5 Hz са амплитудом од 0,5 В и 10 Hz са амплитудом од 1 В, све је као у формули оригиналног сигнала. Све је у реду, програм функционише исправно.

То значи да ако на улаз АДЦ-а унесемо прави сигнал добијен мешањем две синусоиде, добићемо сличан спектар који се састоји од два хармоника.

Дакле, наш стварни измерени сигнал од трајања 5 сек., дигитализован од стране АДЦ-а, тј. представљен одвојено узорци, има дискретан непериодичан Спектрум.
Са математичког становишта – колико грешака има у овој фрази?

Сада хајде да покушамо да измеримо исти сигнал током 0,5 секунди.

 

 

Нешто овде није у реду! Хармоника на 10 Hz је приказана нормално, а уместо хармонике на 5 Hz појављују се неке нејасне хармонике.

На интернету кажу да је потребно додати нуле на крај узорка и спектар ће бити исправно нацртан.

 

 

То уопште није то. Морам да се позабавим теоријом. Хајде да идемо на википедија – извор знања.

Непрекидна функција и њена Фурјеова серијска репрезентација

Математички, наш сигнал трајања T секунди је нека функција f(x) дефинисана на интервалу {0, T} (X у овом случају представља време). Такву функцију увек можемо представити као суму хармонијских функција (синуса или косинуса) облика:

k је број тригонометријске функције (број хармонијске компоненте, број хармоника)
Т – сегмент у којем је функција дефинисана (трајање сигнала)
Ak - амплитуда k-те хармонске компоненте,
θk- почетна фаза k-тог хармонског састојка
Шта значи "представити функцију као суму низа"? То значи да сабирањем вредности хармоничких компоненти Фурејевог низа у свакој тачки добијамо вредност наше функције у тој тачки.
(Строже речено, средње квадратно одступање низа од функције f(x) тежи нули, али упркос средње квадратној конвергенцији, Фурејев низ за функцију, генерално гледано, не мора поен по поен конвергирати ка њој.)
Ова серија се такође може написати у облику:

 

 

 

Где , k-ти комплексни амплитуда.

 

или

 

 

 

Однос између коефицијената (1) и (3) изражава се следећим формулама:

 

 

 

 

Имајте на уму да су сва три ова приказа Фуријеовог реда потпуно еквивалентна. Понекад је при раду са Фуријеовим редовима погодније користити експоненте имагинарног аргумента уместо синуса и косинуса, тј. користити Фуријеову трансформацију у комплексном облику. Али нама је згодно да користимо формулу (1), где је Фуријеов ред представљен као збир косинуса са одговарајућим амплитудама и фазама. Строго говорећи, Фуријеова трансформација реалног сигнала заиста даје комплексне коефицијенте (облик (3)): сваки коефицијент носи и амплитуду и фазу свог хармоника. За реалан сигнал ти комплексни коефицијенти имају коњуговану (Хермитску) симетрију — половина негативних фреквенција једноставно пресликава половину позитивних фреквенција и не носи додатне информације. Зато из комплексних коефицијената увек можемо прећи на реалне ненегативне амплитуде Ак и фазе θк из формуле (1) — и управо тај амплитудни спектар приказују програми за анализу.

 

Суштина:
Математичка основа за спектралну анализу сигнала је Фуријеова трансформација.

Фуријеова трансформација омогућава представљање континуиране функције f(x) (сигнала) дефинисане на интервалу {0, T} као збир бесконачног броја (бесконачне серије) тригонометријских функција (синуса и/или косинуса) са одређеним амплитудама и фазама, такође разматраних на интервалу {0, T}. Таква серија се назива Фуријеова серија.

Запазите још неке тачке, чије је разумевање неопходно за исправну примену Фуријеове трансформације у анализи сигнала. Ако разматрамо Фуријеову серију (збир синусоида) на целој Оси X, видећемо да ће се ван интервала {0, T} Фуријеова серија периодично понављати нашу функцију.

На пример, на графику на слици 7 оригинална функција је дефинисана на интервалу {-T/2, +T/2}, а Фурејев низ представља периодичну функцију дефинисану на целој оси x.

То је зато што су сами синусоиди периодичне функције, па ће и њихов збир такође бити периодична функција.

Тако:

Наша оригинална функција је континуирана, непериодична функција дефинисана на неком интервалу дужине Т.
Спектр ове функције је дискретан, односно представљен је као бесконачна низ хармонијских компоненти – Фурејев низ.
Заправо, Фуријеови низови дефинишу неку периодичну функцију која се поклапа са нашом функцијом на интервалу {0, T}, али нам та периодичност није суштинска.

Следеће.

Периоди хармонијских компоненти су множитељи интервала {0, T}, на којем је почетна функција f(x) дефинисана. Другим речима, периоди хармоника су множитељи трајања мерења сигнала. На пример, период прве хармоније у Фурејевом низу једнак је интервалу T у којем је функција f(x) дефинисана. Период друге хармоније у Фурејевом низу једнак је интервалу T/2. И тако даље (видети Слику 8).

У складу са тим, фреквенције хармонских компоненти су множитељи 1/T. То јест, фреквенције хармонских компоненти Fk су Fk= k·1/T, где k варира од 0 до ∞, на пример, k=0 F0=0; k=1 F1=1·1/T; k=2 F2=2·1/T; k=3 F3=3·1/T; … Fk= k/T (при нуластој фреквенцији, константна компонента).

Нека наша почетна функција буде сигнал сниман током T=1 s. Онда ће период прве хармоније бити једнак трајању нашег сигнала T1=T=1 s, а фреквенција те хармоније је једнака 1 Hz. Период друге хармоније биће једнак трајању нашег сигнала подељеном са 2 (T2=T/2=0,5 с) и фреквенција је једнака 2 Hz. За трећу хармонију, T3=T/3 с и фреквенција је 3 Hz. И тако даље.

Корак између хармоника у овом случају је 1 Hz.

Тако се сигнал трајања 1 секунде може разложити на хармонијске компоненте (ради добијања спектра) са фреквенцијском резолуцијом од 1 Hz.
Да бисте повећали резолуцију за фактор од 2 на 0,5 Hz, неопходно је повећати време мерења за фактор од 2 на 2 сек. Сигнал од 10 секунди може се декомпоновати на хармонијске компоненте (спектар) са фреквентном резолуцијом од 0,1 Hz. Не постоји други начин да се повећа фреквентна резолуција. Можете истражити овај однос са нашим Калкулатор FFT резолуције.

Постоји начин да се вештачки повећа трајање сигнала додавањем нула у низ узорака. Али то не повећава стварну резолуцију фреквенције.

Дискретни сигнали и дискретна Фуријеова трансформација

Развојем дигиталне технологије променили су се начини складиштења података о мерењу (сигнала). Док се раније сигнал могао снимати на тракасти рекордер и чувати на траци у аналогном облику, сада се сигнали дигитализују и чувају у датотекама у рачунарској меморији као скуп бројева (бројања).

Уобичајена шема мерења и дигитализације сигнала изгледа овако.

Мерење трансдуктора —- Нормализатор сигнала —- АДЦ —– Рачунар
(Сл. 9 Шема мерног канала)

Сигнал са мерног претварача иде у АДЦ током временског периода Т. Очитавања сигнала (узорковања) добијена током времена Т преносе се у рачунар и чувају у меморији.

Који су захтеви за параметре дигитализације сигнала? Уређај који претвара улазни аналогни сигнал у дискретни код (дигитални сигнал) назива се аналогно-дигитални конвертор (АДЦ) (© Wiki).

Један од основних параметара АДЦ-а је максимална брзина узорковања – фреквенција узорковања сигнала који је континуиран у времену. Брзина узорковања мери се у херцима. ((© Wiki))

Према Котелниковљевој теореми, ако континуирани сигнал има спектар ограничен фреквенцијом Fmax, може се потпуно и једнозначно реконструисати из дискретних узорака узетих у временским интервалима Δt ≤ 1/(2*Fmax), тј. са фреквенцијом узорковања Fd ≥ 2*Fmax, где је Фд – фреквенција узорковања; Fmax – максимална фреквенција спектра сигнала. Другим речима, фреквенција дигитализације сигнала (фреквенција узорковања ADC-а) мора бити најмање двоструко већа од максималне фреквенције сигнала који желимо да меримо.

А шта ће се догодити ако узимамо узорке са учесталошћу нижом од оне коју захтева Котјелниковљева теорема?

У том случају постоји “алијасингУ овом случају јавља се ефекат "алијасинга" (познат и као стробоскопски ефекат, моаре ефекат), при чему се сигнал високе фреквенције након дигитализације претвара у сигнал ниске фреквенције који у ствари не постоји. На слици 11 црвена синусна таласа високог фреквенцијског опсега представља прави сигнал. Плава синусна таласа ниже фреквенције је фиктивни сигнал, који настаје због тога што током узораковања прође више од половине периода високофреквентног сигнала.

 

Да би се избегао ефекат синонимизирања, специјални анти-алиас филтер (нископропусни филтер) је постављен испред ADC-а. Пролази кроз фреквенције ниже од половине фреквенције узорковања ADC-а и пресеца више фреквенције.

Да би се израчунао спектар сигнала из његових дискретних узорака, користи се дискретна Фуријеова трансформација (DFT) је коришћена. Напомена: спектар дискретног сигнала је “по дефиницији” ограничен на фреквенцију Fmax мању од половине фреквенције узорковања Fd. Због тога, спектар дискретног сигнала може бити представљен као збир ограничен број хармоника, за разлику од бесконачне суме Фурејеве серије континуираног сигнала, чији спектар може бити неограничен. Према Котелноковом теорему, максимална фреквенција хармоника мора бити таква да обухвата најмање два узорка, па је број хармоника једнак половини броја узорака дискретног сигнала. То јест, ако у низу има N узорака, број хармоника у спектру биће N/2.

Размотрите сада дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ).

Поређење са Фуријеовим низовима

 

Као што видимо, они се поклапају, осим чињенице да је време у FFT дискретно и да је број хармоника ограничен на N/2, што је половина броја узорака.

DFT формуле су написане у бездимензионим целим променљивим k и s, где је k број узорака сигнала, а s број спектралних компоненти.
Вредност s показује број пуних хармонских осцилација по периоду T (трајање мерења сигнала). Дискретна Фуријеова трансформација се користи за нумеричко одређивање амплитуда и фаза хармоника, тј. "на рачунару".

Као што је већ речено горе, када се непериодична функција (наш сигнал) разлаже на Фурејеве серије, добијена Фурејева серија заправо одговара периодичној функцији са периодом T (сл. 12).

 

 

Као што се види на слици 12, функција f(x) је периодична са периодом T0. Међутим, због чињенице да дужина узорка мерења T није једнака периоду функције T0, функција добијена као Фуријеов ред има дисконтинуитет у тачки T. Као резултат, спектар ове функције садржаће велики број високофреквентних хармоника. Ова особина је позната као спектрално цурење, а у пракси се смањује са прозори сигнала пре трансформације. Ако би се дужина узорка мерења T поклопила са периодом функције T0, тада би спектар добијен после Фуријеове трансформације садржавао само прву хармонику (синусоид са периодом једнаким дужини узорка), јер је функција f(x) синусоид.

Другим речима, програм DFT "не зна" да је наш сигнал "секција синусне таласе", већ покушава да као серију представи периодичну функцију која има дисконтинуитет због дисконтинуитета појединачних делова синусне таласе.

Као резултат, у спектру се појављују хармоније, које укупно треба да представљају облик функције, укључујући и ову дисконтинуитет.

Дакле, да би се добио "тачан" спектар сигнала који је збир неколико синусоида са различитим периодима, неопходно је да је цео број периода Свака синусоида треба да буде присутна у мерном периоду сигнала. У пракси се овај услов може испунити довољно дугим трајањем мерења сигнала.

 

 

При краћем трајању слика ће изгледати "горе":

 

 

 

 

У пракси може бити тешко схватити где су "стварне компоненте", а где "артефакти" изазвани неконзистентношћу периода компоненти и трајања узорковања сигнала или "скоковима и прекидима" у облику таласа. Наравно, речи "стварне компоненте" и "артефакти" су намерно стављене у наводнике. Присуство многих хармоника на графику спектра не значи да наш сигнал заправо садржи те хармонике. То је као да мислимо да се број 7 "састоји" од бројева 3 и 4. Број 7 можемо сматрати збиром бројева 3 и 4 – и то је тачно.

Тако и наш сигнал… или, прецизније, чак ни "наш сигнал", већ периодична функција добијена понављањем нашег сигнала (узорка), може се представити као збир хармоника (синусних таласа) са одређеним амплитудама и фазама. Међутим, у многим случајевима важним за праксу (погледајте горе приказане слике) заиста је могуће повезати хармонике добијене у спектру и са стварним процесима који имају цикличан карактер и значајно доприносе облику сигнала.

Неки резултати

1. Стварни мерни сигнал трајања T секунди, дигитализован АДЦ-ом, односно представљен скупом дискретних узорака (N комада), има дискретни непериодични спектар представљен скупом хармоника (N/2 комада).

2. Сигнал је представљен скупом реалних вредности. Његов DFT спектар је скуп комплексних коефицијената са коњугованом симетријом; из њих се добија амплитудни спектар — скуп реалних ненегативних амплитуда (и фаза) на позитивним фреквенцијама, и управо се тај једнострани амплитудни спектар у пракси приказује. Двострани комплексни облик са негативним фреквенцијама и једнострани облик амплитуде/фазе еквивалентни су прикази истог спектра — за анализу сигнала обично је погодније радити са једностраним амплитудним спектром.

3. Сигнал измерен у тренутку T одређен је само у тренутку T. Шта се догодило пре него што смо почели да меримо сигнал и шта ће се догодити након тога није познато науци. И у нашем случају то није интересантно. ФФТ временски ограниченог сигнала даје његов "стварни" спектар, у смислу да под одређеним условима омогућава израчунавање амплитуде и фреквенције његових компоненти.