Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals

Андреј Шелковенко. Један од програмера и оснивач Вибромера.
Превод чланка може садржати нетачности.

Фуријеова трансформација и спектар сигнала

In many cases the task of obtaining (calculating) the спектар of a signal is as follows. There is an ADC, which with sampling фреквенција Fd transforms continuous signal, which comes to its input during time T, into digital samples – N pieces. Then this array of samples is fed to some program (for example Фуријескоп) који излази N/2 неких нумеричких вредности.

Да бисмо проверили да ли програм ради исправно, формирамо низ узорака као суму два синуса (10*2*пи*x)+0,5*синус (5*2*пи*x) и уносимо га у програм. Програм је нацртао следеће:

 

 

There are two хармоници on the spectrum graph – 5 Hz with amplitude of 0.5 V and 10 Hz with amplitude of 1 V, everything is as in the formula of the original signal. Everything is fine, the grogram works correctly.

То значи да ако на улаз АДЦ-а унесемо прави сигнал добијен мешањем две синусоиде, добићемо сличан спектар који се састоји од два хармоника.

Дакле, наш стварни измерени сигнал од трајања 5 сек., дигитализован од стране АДЦ-а, тј. представљен одвојено узорци, има дискретан непериодичан Спектрум.
Са математичког становишта – колико грешака има у овој фрази?

Сада хајде да покушамо да измеримо исти сигнал током 0,5 секунди.

 

 

Нешто овде није у реду! Хармоника на 10 Hz је приказана нормално, а уместо хармонике на 5 Hz појављују се неке нејасне хармонике.

На интернету кажу да је потребно додати нуле на крај узорка и спектар ће бити исправно нацртан.

 

 

То уопште није то. Морам да се позабавим теоријом. Хајде да идемо на википедија – извор знања.

Непрекидна функција и њена Фурјеова серијска репрезентација

Математички, наш сигнал трајања T секунди је нека функција f(x) дефинисана на интервалу {0, T} (X у овом случају представља време). Такву функцију увек можемо представити као суму хармонијских функција (синуса или косинуса) облика:

k је број тригонометријске функције (број хармонијске компоненте, број хармоника)
Т – сегмент у којем је функција дефинисана (трајање сигнала)
Ak - амплитуда k-те хармонске компоненте,
θk- почетна фаза k-тог хармонског састојка
Шта значи "представити функцију као суму низа"? То значи да сабирањем вредности хармоничких компоненти Фурејевог низа у свакој тачки добијамо вредност наше функције у тој тачки.
(Строже речено, средње квадратно одступање низа од функције f(x) тежи нули, али упркос средње квадратној конвергенцији, Фурејев низ за функцију, генерално гледано, не мора поен по поен конвергирати ка њој.)
Ова серија се такође може написати у облику:

 

 

 

Где , k-ти комплексни амплитуда.

 

или

 

 

 

Однос између коефицијената (1) и (3) изражава се следећим формулама:

 

 

 

 

Имајте у виду да су све три ове представе Фурејевих серија потпуно еквивалентне. Понекад, када се ради са Фурејевим серијама, практичније је користити експоненте са имагинарним аргументом уместо синуса и косинуса, односно користити Фурејеву трансформацију у комплексном облику. Међутим, нама је практичније да користимо формулу (1), у којој је Фурејева серија представљена као збир косинуса са одговарајућим амплитудама и фазама. У сваком случају, погрешно је тврдити да ће резултат Фуријеове трансформације реалног сигнала бити комплексне хармонијске амплитуде. Као што Википедија исправно наводи: "Фуријеова трансформација (ℱ) је операција која мапира једну функцију реалне променљиве у другу функцију такође реалне променљиве."

 

Суштина:
Математичка основа за спектралну анализу сигнала је Фуријеова трансформација.

Фуријеова трансформација омогућава представљање континуиране функције f(x) (сигнала) дефинисане на интервалу {0, T} као збир бесконачног броја (бесконачне серије) тригонометријских функција (синуса и/или косинуса) са одређеним амплитудама и фазама, такође разматраних на интервалу {0, T}. Таква серија се назива Фуријеова серија.

Запазите још неке тачке, чије је разумевање неопходно за исправну примену Фуријеове трансформације у анализи сигнала. Ако разматрамо Фуријеову серију (збир синусоида) на целој Оси X, видећемо да ће се ван интервала {0, T} Фуријеова серија периодично понављати нашу функцију.

На пример, на графику на слици 7 оригинална функција је дефинисана на интервалу {-T/2, +T/2}, а Фурејев низ представља периодичну функцију дефинисану на целој оси x.

То је зато што су сами синусоиди периодичне функције, па ће и њихов збир такође бити периодична функција.

Тако:

Наша оригинална функција је континуирана, непериодична функција дефинисана на неком интервалу дужине Т.
Спектр ове функције је дискретан, односно представљен је као бесконачна низ хармонијских компоненти – Фурејев низ.
Заправо, Фуријеови низови дефинишу неку периодичну функцију која се поклапа са нашом функцијом на интервалу {0, T}, али нам та периодичност није суштинска.

Следеће.

Периоди хармонијских компоненти су множитељи интервала {0, T}, на којем је почетна функција f(x) дефинисана. Другим речима, периоди хармоника су множитељи трајања мерења сигнала. На пример, период прве хармоније у Фурејевом низу једнак је интервалу T у којем је функција f(x) дефинисана. Период друге хармоније у Фурејевом низу једнак је интервалу T/2. И тако даље (видети Слику 8).

У складу са тим, фреквенције хармонских компоненти су множитељи 1/T. То јест, фреквенције хармонских компоненти Fk су Fk= k·1/T, где k варира од 0 до ∞, на пример, k=0 F0=0; k=1 F1=1·1/T; k=2 F2=2·1/T; k=3 F3=3·1/T; … Fk= k/T (при нуластој фреквенцији, константна компонента).

Нека наша почетна функција буде сигнал сниман током T=1 s. Онда ће период прве хармоније бити једнак трајању нашег сигнала T1=T=1 s, а фреквенција те хармоније је једнака 1 Hz. Период друге хармоније биће једнак трајању нашег сигнала подељеном са 2 (T2=T/2=0,5 с) и фреквенција је једнака 2 Hz. За трећу хармонију, T3=T/3 с и фреквенција је 3 Hz. И тако даље.

Корак између хармоника у овом случају је 1 Hz.

Тако се сигнал трајања 1 секунде може разложити на хармонијске компоненте (ради добијања спектра) са фреквенцијском резолуцијом од 1 Hz.
To increase the resolution by a factor of 2 to 0.5 Hz, it is necessary to increase the duration of measurement by a factor of 2 to 2 sec. A 10-second signal can be decomposed into harmonic components (spectrum) with a frequency resolution of 0.1 Hz. There are no other ways to increase frequency resolution. You can explore this relationship with our Калкулатор FFT резолуције.

Постоји начин да се вештачки повећа трајање сигнала додавањем нула у низ узорака. Али то не повећава стварну резолуцију фреквенције.

Discrete signals and discrete Fourier transform

Развојем дигиталне технологије променили су се начини складиштења података о мерењу (сигнала). Док се раније сигнал могао снимати на тракасти рекордер и чувати на траци у аналогном облику, сада се сигнали дигитализују и чувају у датотекама у рачунарској меморији као скуп бројева (бројања).

Уобичајена шема мерења и дигитализације сигнала изгледа овако.

Мерење трансдуктора —- Нормализатор сигнала —- АДЦ —– Рачунар
(Сл. 9 Шема мерног канала)

Сигнал са мерног претварача иде у АДЦ током временског периода Т. Очитавања сигнала (узорковања) добијена током времена Т преносе се у рачунар и чувају у меморији.

Који су захтеви за параметре дигитализације сигнала? Уређај који претвара улазни аналогни сигнал у дискретни код (дигитални сигнал) назива се аналогно-дигитални конвертор (АДЦ) (© Wiki).

Један од основних параметара АДЦ-а је максимална брзина узорковања – фреквенција узорковања сигнала који је континуиран у времену. Брзина узорковања мери се у херцима. ((© Wiki))

Према Котелноковом теорему, ако континуирани сигнал има спектар ограничен фреквенцијом Fmax, он се може у потпуности и једнозначно реконструисати из својих дискретних узорака узетих у временским интервалима T = 1/2*Fmax, односно уз фреквенцију узорковања Fd ≥ 2*Fmax, где је Fd – фреквенција узорковања; Fmax – максимална фреквенција спектра сигнала. Другим речима, фреквенција дигитализације сигнала (узорковање АДЦ-а) мора бити најмање два пута већа од највеће фреквенције сигнала који желимо да меримо.

А шта ће се догодити ако узимамо узорке са учесталошћу нижом од оне коју захтева Котјелниковљева теорема?

In this case there is an “алијасингУ овом случају јавља се ефекат "алијасинга" (познат и као стробоскопски ефекат, моаре ефекат), при чему се сигнал високе фреквенције након дигитализације претвара у сигнал ниске фреквенције који у ствари не постоји. На слици 11 црвена синусна таласа високог фреквенцијског опсега представља прави сигнал. Плава синусна таласа ниже фреквенције је фиктивни сигнал, који настаје због тога што током узораковања прође више од половине периода високофреквентног сигнала.

 

To avoid the aliasing effect, a special anti-alias filter (пропусни филтер) is placed before the ADC. It passes frequencies lower than half of the ADC sampling frequency and cuts off higher frequencies.

In order to calculate signal spectrum by its discrete samples the discrete Fourier transform (DFT) is used. Note again that the spectrum of a discrete signal is “by definition” limited to a frequency Fmax smaller than half the sampling frequency Fd. Therefore, the spectrum of a discrete signal can be represented by the sum of ограничен број хармоника, за разлику од бесконачне суме Фурејеве серије континуираног сигнала, чији спектар може бити неограничен. Према Котелноковом теорему, максимална фреквенција хармоника мора бити таква да обухвата најмање два узорка, па је број хармоника једнак половини броја узорака дискретног сигнала. То јест, ако у низу има N узорака, број хармоника у спектру биће N/2.

Размотрите сада дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ).

Поређење са Фуријеовим низовима

 

Као што видимо, они се поклапају, осим чињенице да је време у FFT дискретно и да је број хармоника ограничен на N/2, што је половина броја узорака.

DFT формуле су написане у безимереним целим променљивим k и s, где је k број узорака сигнала, а s број спектралних компоненти.
Вредност s показује број пуних хармонских осцилација по периоду T (трајање мерења сигнала). Дискретна Фуријеова трансформација се користи за нумеричко одређивање амплитуда и фаза хармоника, тј. "на рачунару".

Као што је већ речено горе, када се непериодична функција (наш сигнал) разлаже на Фурејеве серије, добијена Фурејева серија заправо одговара периодичној функцији са периодом T (сл. 12).

 

 

As can be seen in Fig. 12, the function f(x) is periodic with period T0. However, due to the fact that the measuring sample length T is not equal to the function period T0, the function obtained as a Fourier series has a discontinuity at point T. As a result, the spectrum of this function will contain a large number of high-frequency harmonics. This phenomenon is known as спектрално цурење, and in practice it is reduced by прозори the signal before the transform. If the duration of measuring sample T coincided with the period of function T0, then the spectrum obtained after the Fourier transform would contain only the first harmonic (a sinusoid with a period equal to the duration of the sample), because the function f(x) is a sinusoid.

Другим речима, програм DFT "не зна" да је наш сигнал "секција синусне таласе", већ покушава да као серију представи периодичну функцију која има дисконтинуитет због дисконтинуитета појединачних делова синусне таласе.

Као резултат, у спектру се појављују хармоније, које укупно треба да представљају облик функције, укључујући и ову дисконтинуитет.

Дакле, да би се добио "тачан" спектар сигнала који је збир неколико синусоида са различитим периодима, неопходно је да је цео број периода Свака синусоида треба да буде присутна у мерном периоду сигнала. У пракси се овај услов може испунити довољно дугим трајањем мерења сигнала.

 

 

При краћем трајању слика ће изгледати "горе":

 

 

 

 

У пракси може бити тешко схватити где су "стварне компоненте", а где "артефакти" изазвани неконзистентношћу периода компоненти и трајања узорковања сигнала или "скоковима и прекидима" у облику таласа. Наравно, речи "стварне компоненте" и "артефакти" су намерно стављене у наводнике. Присуство многих хармоника на графику спектра не значи да наш сигнал заправо садржи те хармонике. То је као да мислимо да се број 7 "састоји" од бројева 3 и 4. Број 7 можемо сматрати збиром бројева 3 и 4 – и то је тачно.

Тако и наш сигнал… или, прецизније, чак ни "наш сигнал", већ периодична функција добијена понављањем нашег сигнала (узорка), може се представити као збир хармоника (синусних таласа) са одређеним амплитудама и фазама. Међутим, у многим случајевима важним за праксу (погледајте горе приказане слике) заиста је могуће повезати хармонике добијене у спектру и са стварним процесима који имају цикличан карактер и значајно доприносе облику сигнала.

Неки резултати

1. Стварни мерни сигнал трајања T секунди, дигитализован АДЦ-ом, односно представљен скупом дискретних узорака (N комада), има дискретни непериодични спектар представљен скупом хармоника (N/2 комада).

2. Сигнал је представљен скупом важећих вредности, а његов спектар је представљен скупом важећих вредности. Фреквенције хармоника су позитивне. Само зато што је математички погодније представљати спектар у комплексном облику користећи негативне фреквенције не значи да је "ово исправно" и да "овако увек треба радити".

3. Сигнал измерен у тренутку T одређен је само у тренутку T. Шта се догодило пре него што смо почели да меримо сигнал и шта ће се догодити након тога није познато науци. И у нашем случају то није интересантно. ФФТ временски ограниченог сигнала даје његов "стварни" спектар, у смислу да под одређеним условима омогућава израчунавање амплитуде и фреквенције његових компоненти.