Andrei Shelkovenko. En av utviklerne og grunnleggeren av Vibromera.
Oversettelsen av artikkelen kan inneholde unøyaktigheter.
- Fouriertransformasjon og signalspektrum
I mange tilfeller er oppgaven med å fremskaffe (beregne) spekteret til et signal som følger. Det finnes en ADC som med samplingsfrekvensen Fd transformerer det kontinuerlige signalet som kommer til inngangen i løpet av tiden T, til digitale prøver - N stykker. Deretter mates denne samlingen av prøver inn i et program (f.eks. FourierScope) som gir N/2 noen numeriske verdier.
For å sjekke om programmet fungerer som det skal, lager vi en matrise av prøver som en sum av to sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) og mater den inn i programmet. Programmet tegnet følgende:
Fig.1 Grafen over tidsfunksjonen til signalet
Fig.2 Graf over signalspekteret
Det er to overtoner på spektrumgrafen - 5 Hz med en amplitude på 0,5 V og 10 Hz med en amplitude på 1 V, alt er som i formelen for det opprinnelige signalet. Alt er i orden, grogrammet fungerer som det skal.
Det betyr at hvis vi mater et reelt signal fra en blanding av to sinusoider til ADC-inngangen, vil vi få et lignende spektrum bestående av to overtoner.
Så vår ekte målt signal av 5 sekunders varighet, digitalisert av ADC, dvs. representert ved av diskret prøver, har en diskret ikke-periodisk spektrum.
Fra et matematisk synspunkt - hvor mange feil i denne setningen?
La oss nå prøve å måle det samme signalet i 0,5 sekunder.
Fig.3 Grafen for funksjonen sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) for en måleperiode på 0,5 sek.
Fig.4 Spektrum av funksjonen
Det er noe som ikke stemmer her! Overtonen ved 10 Hz tegnes normalt, og i stedet for overtonen ved 5 Hz er det noen uklare overtoner.
På Internett sier de at det er nødvendig å legge til nuller på slutten av prøven, og spekteret vil bli tegnet normalt.
Fig.5 Vi har lagt til nuller i prøven opp til 5 sek.
Fig. 6. Oppnådd spektrum.
Det er ikke det i det hele tatt. Jeg må forholde meg til teorien. La oss gå til wikipedia - kilden til kunnskap.
2. Kontinuerlig funksjon og dens Fourier-representasjon
Matematisk sett er signalet vårt med en varighet på T sekunder en funksjon f(x) gitt på intervallet {0, T} (X er i dette tilfellet tid). En slik funksjon kan alltid representeres som en sum av harmoniske funksjoner (sinus eller cosinus) på formen:
(1), der:
k er tallet på den trigonometriske funksjonen (tallet på den harmoniske komponenten, tallet på den harmoniske).
T - segment der funksjonen er definert (varigheten av signalet)
Ak- amplituden til den k-te harmoniske komponenten,
θk- den opprinnelige fasen til den k. harmoniske komponenten
Hva betyr det å "representere funksjonen som summen av seriene"? Det betyr at ved å legge sammen verdiene av de harmoniske komponentene i Fourier-serien i hvert punkt, får vi verdien av funksjonen i dette punktet.
(Mer presist vil middelkvadratavviket til serien fra funksjonen f(x) gå mot null, men til tross for middelkvadratkonvergensen trenger ikke Fourier-serien til en funksjon å konvergere mot denne punkt for punkt. )
Denne serien kan også skrives på formen:
(2),
hvor 
den k-te komplekse amplituden.
eller
(3)
Forholdet mellom koeffisientene (1) og (3) uttrykkes ved følgende formler:
Merk at alle disse tre representasjonene av Fourier-serier er helt ekvivalente. Noen ganger når man arbeider med Fourier-serier, er det mer praktisk å bruke eksponenter med imaginært argument i stedet for sinus og cosinus, dvs. å bruke Fouriertransformasjon på kompleks form. Men det er praktisk for oss å bruke formel (1), der Fourier-serien er representert som en sum av cosinus med tilsvarende amplituder og faser. Uansett er det feil å si at resultatet av Fouriertransformasjonen av det reelle signalet vil være komplekse harmoniske amplituder. Som Wiki korrekt sier: "Fouriertransformasjonen (ℱ) er en operasjon som avbilder en funksjon av en reell variabel til en annen funksjon også av en reell variabel."
Poenget:
Det matematiske grunnlaget for spektralanalyse av signaler er Fouriertransformasjonen.
Fouriertransformasjonen gjør det mulig å representere en kontinuerlig funksjon f(x) (signal) definert i intervallet {0, T} som en sum av et uendelig antall (uendelig serie) trigonometriske funksjoner (sinus og/eller cosinus) med bestemte amplituder og faser, også i intervallet {0, T}. En slik serie kalles en Fourier-serie.
Legg merke til noen flere punkter som det er nødvendig å forstå for å kunne anvende Fouriertransformasjonen korrekt i signalanalyse. Hvis vi betrakter Fourier-serien (summen av sinuskurver) på hele X-aksen, vil vi se at utenfor intervallet {0, T} vil Fourier-seriefunksjonen periodisk gjenta vår funksjon.
I grafen i figur 7 er for eksempel den opprinnelige funksjonen definert på intervallet {-T\2, +T\2}, og Fourier-serien representerer en periodisk funksjon definert på hele x-aksen.
Dette skyldes at sinusoidene i seg selv er periodiske funksjoner, slik at summen av dem også vil være en periodisk funksjon.
Figur 7 Representasjon av en ikke-periodisk kildefunksjon ved hjelp av en Fourier-serie
Derfor:
Vår opprinnelige funksjon er en kontinuerlig, ikke-periodisk funksjon definert på et segment med lengden T.
Spektret til denne funksjonen er diskret, det vil si at det er representert som en uendelig serie av harmoniske komponenter - en Fourier-serie.
Faktisk definerer Fourier-serien en periodisk funksjon som sammenfaller med vår funksjon på intervallet {0, T}, men denne periodisiteten er ikke avgjørende for oss.
Neste.
Periodene til de harmoniske komponentene er multipler av intervallet {0, T}, der den opprinnelige funksjonen f(x) er definert. Med andre ord er periodene til de harmoniske komponentene multipler av varigheten til signalmålingen. For eksempel er perioden til den første overtonen i en Fourier-serie lik intervallet T der funksjonen f(x) er definert. Perioden til den andre harmoniske i en Fourier-serie er lik intervallet T/2. Og så videre (se figur 8).
Fig. 8 Perioder (frekvenser) for de harmoniske komponentene i Fourier-serien (her er T=2π).
Følgelig er frekvensene til de harmoniske komponentene multipler av 1/T. Det vil si at frekvensene til de harmoniske komponentene Fk er Fk= k\T, der k har verdier fra 0 til ∞, for eksempel k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (ved null frekvens, en konstant komponent).
La vår utgangsfunksjon være et signal som er registrert i løpet av T=1 sek. Da vil perioden til den første overtonen være lik signalets varighet T1=T=1 sek. og frekvensen til overtonen er lik 1 Hz. Perioden for den andre overtonen vil være lik varigheten av signalet vårt delt på 2 (T2=T/2=0,5 sek.) og frekvensen er lik 2 Hz. For den tredje harmoniske er T3=T/3 sek. og frekvensen er 3 Hz. Og så videre.
Steget mellom overtonene er i dette tilfellet 1 Hz.
Dermed kan et signal med en varighet på 1 sekund dekomponeres i harmoniske komponenter (for å få et spektrum) med en frekvensoppløsning på 1 Hz.
For å øke oppløsningen med en faktor 2 til 0,5 Hz er det nødvendig å øke varigheten av målingen med en faktor 2 til 2 sekunder. Et 10-sekunders signal kan dekomponeres i harmoniske komponenter (spektrum) med en frekvensoppløsning på 0,1 Hz. Det finnes ingen andre måter å øke frekvensoppløsningen på.
Det er mulig å øke signalets varighet på en kunstig måte ved å legge til nuller i utvalget av prøver. Men det øker ikke den reelle frekvensoppløsningen.
3. Diskrete signaler og diskret Fouriertransformasjon
Med utviklingen av digital teknologi har måtene å lagre måledata (signaler) på endret seg. Mens man tidligere kunne ta opp et signal på en båndopptaker og lagre det analogt på et bånd, blir signalene nå digitalisert og lagret i filer i datamaskinens minne som et sett med tall (tellinger).
Det vanlige opplegget for signalmåling og digitalisering ser ut som følger.
Måleomformer -- Signal normaliserer -- ADC -- Datamaskin
(Fig.9 Skjematisk oversikt over målekanalen)
Signalet fra måleomformeren går til ADC-en i en tidsperiode T. Signalavlesningene (sampling) som mottas i løpet av tiden T, overføres til datamaskinen og lagres i minnet.
Fig.10 Digitalisert signal - N prøver mottatt for tiden T
Hvilke krav stilles til parametrene for signaldigitalisering? En enhet som konverterer det analoge inngangssignalet til en diskret kode (digitalt signal) kalles en analog-til-digital-omformer (ADC) (© Wiki).
En av de grunnleggende parametrene for ADC er den maksimale samplingsfrekvensen - frekvensen for sampling av et signal som er kontinuerlig i tid. Samplingsfrekvensen måles i hertz. ((© Wiki))
Ifølge Kotelnikovs teorem kan et kontinuerlig signal som har et spektrum begrenset av frekvensen Fmax, rekonstrueres fullstendig og entydig fra sine diskrete samplinger tatt med tidsintervaller T = 1/2*Fmax, dvs. med en frekvens Fd ≥ 2*Fmax, der Fd er samplingsfrekvensen og Fmax er den maksimale frekvensen i signalspekteret. Med andre ord må frekvensen for signaldigitalisering (samplingsfrekvensen til ADC) være minst 2 ganger høyere enn den maksimale frekvensen til signalet vi ønsker å måle.
Og hva skjer hvis vi tar prøver med lavere frekvens enn Kotelnikovs teorem krever?
I dette tilfellet oppstår det en "aliasing"-effekt (også kjent som stroboskopisk effekt, moiré-effekt), der et høyfrekvent signal etter digitalisering blir til et lavfrekvent signal som faktisk ikke eksisterer. I fig. 11 er den røde sinuskurven med høy frekvens det virkelige signalet. Den blå sinuskurven med lavere frekvens er et fiktivt signal som oppstår fordi det i løpet av samplingstiden har gått mer enn en halv periode av det høyfrekvente signalet.
Fig. 11. Opptreden av et lavfrekvent spuriøst signal ved for lav samplingsfrekvens
For å unngå aliasing-effekten plasseres et spesielt anti-alias-filter (lavpassfilter) før ADC-en. Det slipper gjennom frekvenser som er lavere enn halvparten av ADC-samplingsfrekvensen, og kutter av høyere frekvenser.
For å beregne signalets spektrum ved hjelp av de diskrete samplene brukes diskret Fourier-transformasjon (DFT). Merk igjen at spekteret til et diskret signal "per definisjon" er begrenset til en frekvens Fmax som er mindre enn halvparten av samplingsfrekvensen Fd. Spekteret til et diskret signal kan derfor representeres ved summen av en endelig antall overtoner, i motsetning til den uendelige summen for Fourier-serien til et kontinuerlig signal, hvis spektrum kan være ubegrenset. Ifølge Kotelnikovs teorem må den maksimale frekvensen til en overton være slik at den utgjør minst to samplinger, slik at antall overtoner er lik halvparten av antall samplinger i et diskret signal. Det vil si at hvis det er N prøver i prøven, vil antall overtoner i spekteret være N/2.
Betrakt nå den diskrete Fouriertransformasjonen (DFT).
Sammenligning med Fourier-serien
Som vi ser, er de sammenfallende, bortsett fra at tiden i FFT er diskret og antall overtoner er begrenset til N/2, som er halvparten av antall samples.
DFT-formler skrives i dimensjonsløse heltallsvariabler k, s, der k er antall signalprøver og s er antall spektralkomponenter.
Verdien s viser antall fullharmoniske svingninger per periode T (varigheten av signalmålingen). Diskret Fourier-transformasjon brukes til å finne amplituder og faser for de harmoniske svingningene numerisk, dvs. "på datamaskinen".
Som allerede nevnt ovenfor, når vi dekomponerer en ikke-periodisk funksjon (signalet vårt) i Fourier-serier, tilsvarer den resulterende Fourier-serien faktisk en periodisk funksjon med periode T (fig. 12).
Fig. 12. Periodisk funksjon f(x) med periode T0, med periode T>T0
Som det fremgår av fig. 12, er funksjonen f(x) periodisk med periode T0. På grunn av at lengden på måleprøven T ikke er lik funksjonsperioden T0, har funksjonen som fås som en Fourier-serie, en diskontinuitet i punktet T. Som et resultat vil spekteret til denne funksjonen inneholde et stort antall høyfrekvente overtoner. Hvis varigheten av måleprøven T falt sammen med perioden til funksjonen T0, ville spekteret etter Fourier-transformasjonen bare inneholde den første overtonen (en sinuskurve med en periode som er lik varigheten av prøven), fordi funksjonen f(x) er en sinuskurve.
DFT-programmet "vet" med andre ord ikke at signalet vårt er en "del av en sinuskurve", men prøver å representere en periodisk funksjon som har en diskontinuitet på grunn av diskontinuiteten i de enkelte delene av sinuskurven.
Resultatet er at det oppstår overtoner i spekteret, som totalt sett skal representere formen på funksjonen, inkludert denne diskontinuiteten.
For å få et "korrekt" spektrum av et signal som er en sum av flere sinuskurver med forskjellige perioder, er det derfor nødvendig at en helt antall perioder med hver sinuskurve skal være til stede i løpet av signalets måleperiode. I praksis kan denne betingelsen oppfylles med en tilstrekkelig lang varighet på signalmålingen.
Fig.13 Eksempel på kinematisk feilsignalfunksjon og spektrum for en girkasse
Ved kortere varighet vil bildet se "dårligere" ut:
Fig.14 Eksempel på rotorsvibrasjonsfunksjon og -spektrum
I praksis kan det være vanskelig å forstå hva som er "ekte komponenter" og hva som er "artefakter" forårsaket av uoverensstemmelse mellom komponentperioder og signalets samplingsvarighet eller "hopp og brudd" i bølgeformen. Det er selvsagt en grunn til at ordene "reelle komponenter" og "artefakter" står i anførselstegn. Tilstedeværelsen av mange overtoner på spektrumgrafen betyr ikke at signalet vårt faktisk består av dem. Det er som å tro at tallet 7 "består" av tallene 3 og 4. Tallet 7 kan betraktes som summen av 3 og 4 - det er riktig.
Så signalet vårt ... eller rettere sagt ikke engang "signalet vårt", men en periodisk funksjon som er sammensatt ved å gjenta signalet vårt (sample), kan også representeres som en sum av overtoner (sinusbølger) med bestemte amplituder og faser. Men i mange tilfeller som er viktige i praksis (se figurene ovenfor), er det faktisk mulig å relatere overtonene i spekteret også til reelle prosesser som har syklisk karakter og bidrar vesentlig til signalets form.
Noen resultater
1. Et reelt målesignal med T sekunders varighet digitalisert av ADC, dvs. representert ved et sett med diskrete samplinger (N deler), har et diskret ikke-periodisk spektrum representert ved et sett med overtoner (N/2 deler).
2. Signalet representeres av et sett med gyldige verdier, og dets spektrum representeres av et sett med gyldige verdier. Frekvensene til de harmoniske er positive. Bare fordi det er matematisk mer praktisk å representere spekteret i kompleks form ved hjelp av negative frekvenser, betyr ikke det at "dette er riktig" og "det er slik du alltid bør gjøre det".
3. Signalet som måles på tidspunkt T, bestemmes bare på tidspunkt T. Hva som skjedde før vi begynte å måle signalet, og hva som vil skje etter det, er ukjent for vitenskapen. Og i vårt tilfelle er det ikke interessant. FFT av det tidsbegrensede signalet gir dets "virkelige" spektrum, i den forstand at det under visse betingelser gjør det mulig å beregne amplitude og frekvens for komponentene.