การประยุกต์ใช้การแปลง Fourier ในการวิเคราะห์สัญญาณการสั่นสะเทือน

อันเดรย์ เชลคอเวนโก หนึ่งในนักพัฒนาและผู้ก่อตั้ง Vibromera
การแปลบทความอาจมีข้อผิดพลาด

การแปลงฟูริเยร์และสเปกตรัมสัญญาณ

ในหลายกรณี งานของการได้รับ (คำนวณ) สเปกตรัม ของสัญญาณมีดังนี้ มี ADC ซึ่งมีการสุ่มตัวอย่าง ความถี่ Fd แปลงสัญญาณต่อเนื่อง ซึ่งมาถึงอินพุตในช่วงเวลา T เป็นตัวอย่างดิจิทัล – N ชิ้น จากนั้นอาร์เรย์ของตัวอย่างนี้จะถูกป้อนไปยังโปรแกรมบางตัว (เช่น FourierScope) ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น N/2 ค่าตัวเลขบางค่า

เพื่อตรวจสอบว่าโปรแกรมทำงานอย่างถูกต้อง เราสร้างอาร์เรย์ของตัวอย่างโดยเป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) และป้อนข้อมูลนี้เข้าสู่โปรแกรม โปรแกรมได้แสดงผลดังต่อไปนี้:

 

 

มีสองวิธี ฮาร์โมนิกส์ บนกราฟสเปกตรัม – 5 Hz ที่มีแอมพลิจูด 0.5 V และ 10 Hz ที่มีแอมพลิจูด 1 V ทุกอย่างเหมือนในสูตรของสัญญาณต้นฉบับ ทุกอย่างเรียบร้อย โปรแกรมทำงานได้อย่างถูกต้อง

ซึ่งหมายความว่า หากเราป้อนสัญญาณจริงที่เกิดจากการผสมของไซน์สองคลื่นไปยังอินพุตของ ADC เราจะได้สเปกตรัมที่คล้ายกันซึ่งประกอบด้วยฮาร์มอนิกสองตัว

ดังนั้น จริง สัญญาณที่วัดได้ ของระยะเวลา 5 วินาที, ที่แปลงเป็นดิจิทัลโดย ADC กล่าวคือ แทนค่า ด้วยชุดของ ตัวอย่าง, มี ไม่ต่อเนื่อง ไม่เป็นวัฏจักร สเปกตรัม.
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ – มีข้อผิดพลาดในประโยคนี้กี่ข้อ?

ตอนนี้ลองวัดสัญญาณเดียวกันเป็นเวลา 0.5 วินาที

 

 

มีบางอย่างผิดปกติที่นี่! ฮาร์มอนิกที่ 10 Hz ถูกวาดอย่างปกติ แต่แทนที่จะเป็นฮาร์มอนิกที่ 5 Hz กลับมีฮาร์มอนิกที่ไม่ชัดเจนปรากฏขึ้น

บนอินเทอร์เน็ตเขาบอกว่าจำเป็นต้องเพิ่มศูนย์ไว้ที่ท้ายตัวอย่าง และสเปกตรัมจะถูกวาดออกมาเป็นปกติ

 

 

นั่นยังไม่ใช่เลย ฉันคงต้องทำความเข้าใจกับทฤษฎี ไปที่ วิกิพีเดีย – แหล่งความรู้

ฟังก์ชันต่อเนื่องและการแทนด้วยอนุกรมฟูเรียร์

ทางคณิตศาสตร์ สัญญาณของเรามีระยะเวลา T วินาที เป็นฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดบนช่วง {0, T} (X ในกรณีนี้คือเวลา) ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงได้เสมอเป็นการรวมกันของฟังก์ชันฮาร์มอนิก (ไซน์หรือโคไซน์) ในรูปแบบ:

k คือหมายเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (หมายเลขขององค์ประกอบฮาร์มอนิก หมายเลขของฮาร์มอนิก)
T – ช่วงที่ฟังก์ชันถูกกำหนด (ระยะเวลาของสัญญาณ)
Ak - แอมพลิจูดขององค์ประกอบฮาร์มอนิกลำดับที่ k,
θk - เฟสเริ่มต้นขององค์ประกอบฮาร์มอนิกลำดับที่ k
การ "แทนฟังก์ชันเป็นผลรวมของอนุกรม" หมายความว่าอย่างไร? หมายความว่าโดยการบวกค่าขององค์ประกอบฮาร์มอนิกของอนุกรมฟูริเยร์ในแต่ละจุดเข้าด้วยกัน เราจะได้ค่าของฟังก์ชันของเรา ณ จุดนั้น
(อย่างเคร่งครัดกว่านั้น ค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของอนุกรมจากฟังก์ชัน f(x) จะเข้าใกล้ศูนย์ แต่แม้จะมีการลู่เข้าเชิงค่าเฉลี่ยกำลังสอง อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันโดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องลู่เข้าเป็นจุดต่อจุดกับฟังก์ชันนั้น)
อนุกรมนี้สามารถเขียนในรูปแบบได้เช่นกัน:

 

 

 

โดยที่ , แอมพลิจูดเชิงซ้อนลำดับที่ k

 

หรือ

 

 

 

ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ (1) และ (3) แสดงโดยสูตรต่อไปนี้:

 

 

 

 

โปรดทราบว่าการแสดงอนุกรมฟูเรียร์ทั้งสามรูปแบบนี้เทียบเท่ากันอย่างสมบูรณ์ บางครั้งเมื่อทำงานกับอนุกรมฟูเรียร์ การใช้เลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์เชิงจินตภาพแทน sine และ cosine จะสะดวกกว่า กล่าวคือใช้ Fourier transform ในรูปเชิงซ้อน แต่สำหรับเรา การใช้สูตร (1) ที่แสดงอนุกรมฟูเรียร์เป็นผลรวมของ cosine พร้อมแอมพลิจูดและเฟสที่สอดคล้องกันนั้นสะดวกกว่า พูดอย่างเคร่งครัด Fourier transform ของสัญญาณจริงจะให้สัมประสิทธิ์เชิงซ้อน (รูปแบบ (3)): แต่ละสัมประสิทธิ์มีทั้งแอมพลิจูดและเฟสของฮาร์มอนิกนั้น สำหรับสัญญาณจริง สัมประสิทธิ์เชิงซ้อนเหล่านี้มีสมมาตรแบบคอนจูเกต (Hermitian) — ครึ่งความถี่ลบเป็นเพียงภาพสะท้อนของครึ่งความถี่บวกและไม่ให้ข้อมูลเพิ่ม นั่นจึงเป็นเหตุผลที่จากสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน เราสามารถเปลี่ยนไปเป็นแอมพลิจูดจริงไม่เป็นลบ Ak และเฟส θk ตามสูตร (1) ได้เสมอ — และนี่เองคือสเปกตรัมแอมพลิจูดที่โปรแกรมวิเคราะห์แสดง

 

สรุป:
พื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมของสัญญาณคือการแปลงฟูริเยร์

การแปลงฟูเรียร์ช่วยให้สามารถแทนฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) (สัญญาณ) ที่กำหนดบนช่วง {0, T} ได้เป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์และ/หรือโคไซน์) จำนวนอนันต์ (อนุกรมอนันต์) ที่มีแอมพลิจูดและเฟสที่แน่นอน ซึ่งทั้งหมดนี้พิจารณาบนช่วง {0, T} เช่นกัน อนุกรมดังกล่าวเรียกว่า อนุกรมฟูเรียร์

โปรดทราบเพิ่มเติมอีกบางประเด็น ซึ่งจำเป็นต้องเข้าใจเพื่อการประยุกต์ใช้การแปลงฟูเรียร์กับการวิเคราะห์สัญญาณอย่างถูกต้อง หากเราพิจารณาอนุกรมฟูเรียร์ (ผลรวมของคลื่นไซน์) บนแกน X ทั้งหมด เราจะเห็นว่านอกช่วง {0, T} ฟังก์ชันอนุกรมฟูเรียร์จะทำการซ้ำเป็นระยะๆ ตามฟังก์ชันของเรา

ตัวอย่างเช่น ในกราฟของรูปที่ 7 ฟังก์ชันต้นฉบับถูกกำหนดบนช่วง {-T\\2, +T\\2} และอนุกรมฟูเรียร์แสดงถึงฟังก์ชันเชิงคาบที่ถูกกำหนดบนแกน x ทั้งหมด

ทั้งนี้เพราะไซน์ซอยด์เองเป็นฟังก์ชันเชิงคาบ ดังนั้นผลรวมของมันจึงเป็นฟังก์ชันเชิงคาบด้วยเช่นกัน

ดังนั้น:

ฟังก์ชันดั้งเดิมของเราเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นคาบที่กำหนดบนเซกเมนต์บางช่วงที่มีความยาว T
สเปกตรัมของฟังก์ชันนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ มันถูกแทนด้วยอนุกรมอนันต์ขององค์ประกอบฮาร์มอนิก – อนุกรมฟูริเยร์
ในความเป็นจริง อนุกรมฟูเรียร์นิยามฟังก์ชันเชิงคาบบางตัว ซึ่งตรงกับฟังก์ชันของเราในช่วง {0, T} แต่สำหรับเรา ความเป็นคาบนี้ไม่ใช่สาระสำคัญ

ถัดไป

ช่วงเวลาขององค์ประกอบฮาร์มอนิกเป็นจำนวนเท่าของช่วง {0, T} ซึ่งฟังก์ชันเริ่มต้น f(x) ถูกกำหนดไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ช่วงเวลาของฮาร์มอนิกเป็นจำนวนเท่าของระยะเวลาของการวัดสัญญาณ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาของฮาร์มอนิกแรกในซีรีส์ฟูริเยร์จะเท่ากับช่วง T ที่ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ ช่วงเวลาของฮาร์มอนิกที่สองในซีรีส์ฟูริเยร์จะเท่ากับช่วง T/2 และต่อไป (ดูรูปที่ 8)

ดังนั้น ความถี่ของส่วนประกอบฮาร์มอนิกจะเป็นจำนวนเท่าของความถี่ 1/T นั่นคือ ความถี่ของส่วนประกอบฮาร์มอนิก Fk คือ Fk= k\\T โดยที่ k มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง ∞ ตัวอย่างเช่น k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T;k=3 F3=3\\T;…. Fk= k\\T (ที่ความถี่ศูนย์, ส่วนประกอบคงที่)

ให้ฟังก์ชันเริ่มต้นของเราเป็นสัญญาณที่บันทึกไว้ในช่วงเวลา T=1 วินาที จากนั้นคาบของฮาร์มอนิกแรกจะเท่ากับระยะเวลาของสัญญาณของเรา T1=T=1 วินาที และความถี่ของฮาร์มอนิกจะเท่ากับ 1 เฮิรตซ์ ช่วงเวลาของฮาร์มอนิกที่สองจะเท่ากับระยะเวลาของสัญญาณของเราหารด้วย 2 (T2=T/2=0.5 วินาที) และความถี่จะเท่ากับ 2 Hz สำหรับฮาร์มอนิกที่สาม T3=T/3 วินาที และความถี่คือ 3 Hz และต่อไปเรื่อยๆ

ระยะห่างระหว่างฮาร์มอนิกในกรณีนี้คือ 1 เฮิรตซ์

ดังนั้น สัญญาณที่มีระยะเวลา 1 วินาที สามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิก (เพื่อให้ได้สเปกตรัม) โดยมีความละเอียดของความถี่ 1 เฮิรตซ์
เพื่อเพิ่มความละเอียดเป็น 2 เท่าเป็น 0.5 Hz จำเป็นต้องเพิ่มระยะเวลาของการวัดเป็น 2 เท่าเป็น 2 วินาที สัญญาณ 10 วินาทีสามารถแยกย่อยเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิก (สเปกตรัม) ที่มีความละเอียดของความถี่ 0.1 Hz ไม่มีวิธีอื่นในการเพิ่มความละเอียดของความถี่ คุณสามารถสำรวจความสัมพันธ์นี้ได้ด้วย เครื่องคำนวณความละเอียด FFT.

มีวิธีหนึ่งที่สามารถเพิ่มระยะเวลาของสัญญาณได้โดยวิธีเทียม คือการเพิ่มค่าศูนย์เข้าไปในอาร์เรย์ของตัวอย่าง แต่การกระทำเช่นนี้จะไม่เพิ่มค่าความละเอียดของความถี่ที่แท้จริง

สัญญาณแยกส่วนและการแปลง Fourier แยกส่วน

ด้วยการพัฒนาของเทคโนโลยีดิจิทัล วิธีการจัดเก็บข้อมูล (สัญญาณ) ได้เปลี่ยนแปลงไป ในอดีต สัญญาณสามารถบันทึกไว้บนเครื่องบันทึกเทปและเก็บไว้บนเทปในรูปแบบอนาล็อก แต่ในปัจจุบัน สัญญาณถูกแปลงเป็นดิจิทัลและเก็บไว้ในไฟล์ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ในรูปแบบของชุดตัวเลข (จำนวนนับ)

แผนการวัดสัญญาณและการแปลงเป็นดิจิทัลตามปกติมีลักษณะดังนี้

ทรานสดิวเซอร์วัด —- ตัวปรับสภาพสัญญาณ —- ADC —– คอมพิวเตอร์
(รูปที่ 9 แผนผังของช่องทางการวัด)

สัญญาณจากตัวแปลงสัญญาณวัดจะถูกส่งไปยัง ADC เป็นระยะเวลา T. ค่าสัญญาณที่อ่านได้ (การสุ่มตัวอย่าง) ที่ได้รับในช่วงเวลา T จะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์และบันทึกไว้ในหน่วยความจำ.

ข้อกำหนดสำหรับพารามิเตอร์การแปลงสัญญาณเป็นดิจิทัลมีอะไรบ้าง? อุปกรณ์ที่แปลงสัญญาณแอนะล็อกขาเข้าให้เป็นรหัสแบบไม่ต่อเนื่อง (สัญญาณดิจิทัล) เรียกว่า ตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัล (ADC) (© Wiki).

หนึ่งในพารามิเตอร์พื้นฐานของ ADC คืออัตราการสุ่มตัวอย่างสูงสุด – ความถี่ของการสุ่มตัวอย่างสัญญาณที่ต่อเนื่องในเชิงเวลา อัตราการสุ่มตัวอย่างวัดเป็นเฮิรตซ์ ((© Wiki))

ตามทฤษฎีบทของ Kotelnikov หากสัญญาณต่อเนื่องมีสเปกตรัมที่จำกัดด้วยความถี่ Fmax สัญญาณนั้นสามารถถูกสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างสมบูรณ์และไม่ซ้ำกันจากตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete samples) ที่สุ่มในช่วงเวลา Δt ≤ 1/(2*Fmax) กล่าวคือด้วยความถี่การสุ่มตัวอย่าง Fd ≥ 2*Fmax โดยที่ Fd – ความถี่การสุ่มตัวอย่าง; Fmax – ความถี่สูงสุดของสเปกตรัมสัญญาณ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความถี่ในการแปลงสัญญาณเป็นดิจิทัล (ความถี่การสุ่มตัวอย่างของ ADC) ต้องมีค่าอย่างน้อยสองเท่าของความถี่สูงสุดของสัญญาณที่เราต้องการวัด

แล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเก็บตัวอย่างที่มีความถี่ต่ำกว่าที่ทฤษฎีของโคเทลนิคอฟกำหนดไว้?

ในกรณีนี้มี “อาลิแอสซิงในกรณีนี้จะมีปรากฏการณ์ที่เรียกว่า "การเกิดภาพซ้อน" (หรือที่รู้จักในชื่อปรากฏการณ์สโตรโบสโคปิก, ปรากฏการณ์โมแอร์) ซึ่งสัญญาณความถี่สูงหลังจากถูกแปลงเป็นดิจิทัลแล้วจะกลายเป็นสัญญาณความถี่ต่ำ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วไม่มีอยู่จริง ในรูปที่ 11 คลื่นไซน์สีแดงที่มีความถี่สูงเป็นสัญญาณจริง คลื่นไซน์สีน้ำเงินที่ความถี่ต่ำกว่าเป็นสัญญาณสมมติ ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากในระหว่างช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างมีเวลาผ่านมากกว่าครึ่งหนึ่งของหนึ่งรอบของสัญญาณความถี่สูง

 

เพื่อหลีกเลี่ยงผลกระทบจากการเกิดนามแฝง จะมีการตรวจสอบ anti-alias พิเศษ (ตัวกรองความถี่ต่ำ) วางไว้ก่อน ADC มันผ่านความถี่ที่ต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่การสุ่มตัวอย่าง ADC และตัดความถี่ที่สูงกว่า

เพื่อคำนวณสเปกตรัมสัญญาณจากตัวอย่างแยกส่วนของมัน จะใช้ การแปลง Fourier แยกส่วน (DFT) จะใช้ โปรดทราบอีกครั้งว่าสเปกตรัมของสัญญาณแยกส่วนถูก “ตามคำจำกัดความ” จำกัดไว้ที่ความถี่ Fmax ซึ่งน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่การสุ่มตัวอย่าง Fd ดังนั้น สเปกตรัมของสัญญาณแยกส่วนสามารถแสดงได้ด้วยผลรวมของ จำกัด จำนวนฮาร์มอนิก ซึ่งแตกต่างจากผลรวมอนันต์สำหรับซีรีส์ฟูริเยร์ของสัญญาณต่อเนื่อง ซึ่งสเปกตรัมสามารถไม่มีขีดจำกัด ตามทฤษฎีบทของโคเทลนิคอฟ ความถี่สูงสุดของฮาร์มอนิกจะต้องเป็นค่าที่ทำให้ครอบคลุมตัวอย่างอย่างน้อยสองตัวอย่าง ดังนั้นจำนวนฮาร์มอนิกจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนตัวอย่างของสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ หากมีตัวอย่าง N ตัวในสัญญาณ จำนวนฮาร์มอนิกในสเปกตรัมจะเป็น N/2

พิจารณาการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT)

เปรียบเทียบกับซีรีส์ฟูเรียร์

 

ดังที่เราเห็น พวกมันตรงกัน ยกเว้นข้อเท็จจริงที่ว่าเวลาใน FFT เป็นแบบไม่ต่อเนื่องและจำนวนฮาร์มอนิกถูกจำกัดไว้ที่ N/2 ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนตัวอย่าง

สูตร DFT เขียนในตัวแปรจำนวนเต็มไม่มีหน่วย k, s ซึ่ง k คือจำนวนตัวอย่างสัญญาณ และ s คือจำนวนองค์ประกอบสเปกตรัม
ค่า s แสดงจำนวนการสั่นแบบฮาร์มอนิกสมบูรณ์ต่อหนึ่งรอบ (ช่วงเวลา T) ซึ่งคือระยะเวลาการวัดสัญญาณ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องถูกใช้เพื่อหาค่าความเข้มและเฟสของฮาร์มอนิกเชิงตัวเลข กล่าวคือ "บนคอมพิวเตอร์"

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อทำการแยกฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงวัฏจักร (สัญญาณของเรา) ออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์ ผลลัพธ์ที่ได้คืออนุกรมฟูริเยร์ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันที่เป็นเชิงวัฏจักรที่มีคาบเป็น T (รูปที่ 12)

 

 

ดังที่เห็นในรูปที่ 12 ฟังก์ชัน f(x) เป็นแบบระยะ ๆ กับคาบ T0 อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความยาวของตัวอย่างการวัด T ไม่เท่ากับคาบฟังก์ชัน T0 ฟังก์ชันที่ได้จากอนุกรม Fourier จึงมีความไม่ต่อเนื่องที่จุด T เป็นผลให้ สเปกตรัมของฟังก์ชันนี้จะมีฮาร์มอนิกความถี่สูงจำนวนมาก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การรั่วไหลของสเปกตรัมและในทางปฏิบัติจะลดลงโดย การใช้หน้าต่าง สัญญาณก่อนการแปลง หากระยะเวลาของตัวอย่างการวัด T เกิดขึ้นพร้อมกับคาบของฟังก์ชัน T0 สเปกตรัมที่ได้รับหลังจากการแปลง Fourier จะมีเฉพาะฮาร์มอนิกแรกเท่านั้น (ไซน์ที่มีคาบเท่ากับระยะเวลาของตัวอย่าง) เนื่องจากฟังก์ชัน f(x) เป็นไซน์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โปรแกรม DFT "ไม่ทราบว่า" สัญญาณของเราเป็น "ชิ้นส่วนของคลื่นไซน์" แต่พยายามแสดงเป็นลำดับของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีค่าไม่ต่อเนื่องเนื่องจากความไม่ต่อเนื่องของชิ้นส่วนของคลื่นไซน์ที่แยกจากกัน

ผลที่ตามมาคือฮาร์มอนิกส์ปรากฏในสเปกตรัม ซึ่งโดยรวมแล้วควรแสดงรูปทรงของฟังก์ชัน รวมถึงความไม่ต่อเนื่องนี้ด้วย

ดังนั้น เพื่อให้ได้สเปกตรัมที่ "ถูกต้อง" ของสัญญาณซึ่งเป็นผลรวมของคลื่นไซน์หลายคลื่นที่มีคาบต่างกัน จำเป็นต้องมี จำนวนเต็มของคาบของ แต่ละไซน์ควรปรากฏในช่วงเวลาการวัดของสัญญาณ ในทางปฏิบัติ เงื่อนไขนี้สามารถทำได้ด้วยการวัดสัญญาณที่มีระยะเวลาเพียงพอ

 

 

เมื่อระยะเวลาสั้นลง ภาพจะดู "แย่ลง":

 

 

 

 

ในทางปฏิบัติ อาจเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจว่า "องค์ประกอบจริง" และ "สิ่งประดิษฐ์" ที่เกิดจากความไม่สอดคล้องของช่วงเวลาขององค์ประกอบและระยะเวลาการสุ่มสัญญาณ หรือ "การกระโดดและหยุดชะงัก" ในรูปคลื่นนั้นอยู่ที่ใด แน่นอนว่า คำว่า "องค์ประกอบจริง" และ "สิ่งประดิษฐ์" ถูกใส่ไว้ในเครื่องหมายคำพูดด้วยเหตุผล การปรากฏของฮาร์มอนิกหลายตัวบนกราฟสเปกตรัมไม่ได้หมายความว่าสัญญาณของเราประกอบด้วยฮาร์มอนิกเหล่านั้นจริง ๆ มันเหมือนกับการคิดว่าเลข 7 "ประกอบด้วย" เลข 3 และ 4 เลข 7 สามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมของ 3 และ 4 – นั่นถูกต้อง

ดังนั้น สัญญาณของเรา... หรือจะพูดให้ถูกต้องก็คือ ไม่ใช่แม้แต่ "สัญญาณของเรา" แต่เป็นฟังก์ชันเชิงวงจรที่เกิดจากการทำซ้ำสัญญาณของเรา (ตัวอย่าง) สามารถแสดงเป็นผลรวมของฮาร์มอนิก (คลื่นไซน์) ที่มีแอมพลิจูดและเฟสเฉพาะได้ แต่ในหลายกรณีที่สำคัญสำหรับการปฏิบัติ (ดูรูปด้านบน) เป็นไปได้จริงที่จะเชื่อมโยงฮาร์มอนิกที่ได้ในสเปกตรัมกับกระบวนการจริงที่มีลักษณะเป็นวัฏจักรและมีส่วนสำคัญต่อรูปแบบของสัญญาณ

ผลลัพธ์บางส่วน

1. สัญญาณจริงที่วัดได้ซึ่งมีระยะเวลา T วินาที ถูกแปลงเป็นดิจิทัลโดย ADC กล่าวคือ แสดงโดยชุดของตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่อง (จำนวน N ชิ้น) จะมีสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องและไม่เป็นคาบ ซึ่งแสดงโดยชุดของฮาร์มอนิกส์ (จำนวน N/2 ชิ้น)

2. สัญญาณถูกแทนด้วยชุดของค่าจริง สเปกตรัม DFT ของมันคือชุดสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนที่มีสมมาตรแบบคอนจูเกต; จากนั้นได้สเปกตรัมแอมพลิจูด — ชุดของแอมพลิจูดจริงไม่เป็นลบ (และเฟส) ที่ความถี่บวก และนี่คือสเปกตรัมแอมพลิจูดด้านเดียวที่ถูกพล็อตใช้จริง รูปแบบเชิงซ้อนสองด้านที่มีความถี่ลบและรูปแบบแอมพลิจูด/เฟสด้านเดียวเป็นการแทนสเปกตรัมเดียวกันที่เทียบเท่ากัน — สำหรับการวิเคราะห์สัญญาณ โดยทั่วไปจะสะดวกกว่าที่จะทำงานกับสเปกตรัมแอมพลิจูดด้านเดียว

3. สัญญาณที่วัดได้ที่เวลา T จะถูกกำหนดเฉพาะที่เวลา T เท่านั้น สิ่งที่เกิดขึ้นก่อนที่เราจะเริ่มวัดสัญญาณและสิ่งที่จะเกิดขึ้นหลังจากนั้นไม่เป็นที่ทราบในทางวิทยาศาสตร์ และในกรณีของเรา มันไม่มีความน่าสนใจ การทำ FFT ของสัญญาณที่มีขอบเขตเวลาจำกัดจะให้สเปกตรัม "จริง" ของมัน ในแง่ที่ว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ มันจะช่วยให้คำนวณแอมพลิจูดและความถี่ขององค์ประกอบต่างๆ ได้