Titreşim Sinyallerinin Analizinde Fourier Dönüşümünün Uygulanması

Andrei Shelkovenko. Vibromera'nın geliştiricilerinden ve kurucularından biri.
Makalenin çevirisi yanlışlıklar içerebilir.

Fourier dönüşümü ve sinyal spektrumu

Çoğu durumda, (hesaplamak) spektrum Bir sinyalin işlenmesi şu şekildedir. Bir ADC vardır ve bu, örnekleme yoluyla frekans Fd, T süresi boyunca girişine gelen sürekli sinyali dijital örneklere – N adet örneğe – dönüştürür. Ardından bu örnek dizisi bir programa aktarılır (örneğin FourierScope) N/2 bazı sayısal değerleri çıktı olarak verir.

Programın doğru çalışıp çalışmadığını kontrol etmek için, iki sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) toplamı şeklinde bir örnek dizisi oluşturup programa giriyoruz. Program aşağıdakileri çizdi:

 

 

There are two harmonikler spektrum grafiğinde – genliği 0,5 V olan 5 Hz ve genliği 1 V olan 10 Hz görülür; her şey orijinal sinyalin formülündeki gibidir. Her şey yolunda, program doğru çalışıyor.

Bu, iki sinüzoidin karışımından oluşan gerçek bir sinyali ADC girişine beslersek, iki harmonikten oluşan benzer bir spektrum elde edeceğimiz anlamına gelir.

Yani, bizim gerçek ölçülen sinyal 5 sn. süreliADC tarafından sayısallaştırılır, yani temsil edilir tarafından ayrık örnekleri, bir ayrık periyodik olmayan spektrum.
Matematiksel açıdan bakıldığında – bu ifadede kaç hata var?

Şimdi aynı sinyali 0,5 saniye boyunca ölçmeyi deneyelim.

 

 

Burada bir sorun var! 10 Hz'deki harmonik normal olarak çizilir ve 5 Hz'deki harmonik yerine bazı belirsiz harmonikler vardır.

İnternette, örneğin sonuna sıfırlar eklemek gerektiğini ve spektrumun normal olarak çizileceğini söylüyorlar.

 

 

Bu hiç de öyle değil. Teoriyle ilgilenmem gerekecek. Hadi vikipedi – bilginin kaynağı.

Sürekli fonksiyon ve Fourier serisi gösterimi

Matematiksel olarak, T saniye süreli sinyalimiz {0, T} aralığında verilen bir f(x) fonksiyonudur (bu durumda X zamandır). Böyle bir fonksiyon her zaman formdaki harmonik fonksiyonların (sinüs veya kosinüs) bir toplamı olarak gösterilebilir:

k trigonometrik fonksiyonun sayısıdır (harmonik bileşenin sayısı, harmoniğin sayısı)
T – fonksiyonun tanımlandığı aralık (sinyalin süresi)
Ak- k-inci harmonik bileşenin genliği,
θk- k'ncı harmonik bileşenin başlangıç fazı
“Fonksiyonu serinin toplamı olarak göstermek” ne anlama gelir? Bu, Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin her bir noktadaki değerlerini toplayarak, fonksiyonumuzun o noktadaki değerini elde ettiğimiz anlamına gelir.
(Daha kesin bir ifadeyle, serinin f(x) fonksiyonundan ortalama kare sapması sıfıra doğru eğilim gösterecektir, ancak ortalama kare yakınsamasına rağmen, bir fonksiyonun Fourier serisinin, genel olarak konuşursak, ona nokta nokta yakınsaması gerekmez. )
Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

 

 

 

nerede k'ıncı karmaşık genlik.

 

veya

 

 

 

(1) ve (3) katsayıları arasındaki ilişki aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

 

 

 

 

Fourier serisinin bu üç gösteriminin de tamamen eşdeğer olduğunu unutmayın. Fourier serileriyle çalışırken bazen sinüs ve kosinüsler yerine sanal argümanlı üsleri kullanmak, yani Fourier dönüşümünü karmaşık biçimde kullanmak daha uygundur. Ancak bizim için formül (1)'i kullanmak uygundur; burada Fourier serisi karşılık gelen genlikler ve fazlarla kosinüslerin toplamı olarak gösterilir. Kesin konuşmak gerekirse, gerçek bir sinyalin Fourier dönüşümü gerçekten karmaşık katsayılar üretir (biçim (3)): her katsayı kendi harmoniğinin hem genliğini hem de fazını taşır. Gerçek bir sinyal için bu karmaşık katsayılar eşlenik (Hermit) simetriye sahiptir — negatif frekans yarısı yalnızca pozitif frekans yarısını yansıtır ve ek bilgi taşımaz. Bu yüzden, karmaşık katsayılardan her zaman formül (1)'deki gerçek, negatif olmayan Ak genliklerine ve θk fazlarına geçebiliriz — analiz programlarının çizdiği de tam olarak bu genlik spektrumudur.

 

Sonuç olarak:
Sinyallerin spektral analizi için matematiksel temel Fourier dönüşümüdür.

Fourier dönüşümü, {0, T} aralığında tanımlanan sürekli bir f(x) fonksiyonunu (sinyal), yine {0, T} aralığında düşünülen belirli genlik ve fazlara sahip trigonometrik fonksiyonların (sinüs ve/veya kosinüs) sonsuz sayıda (sonsuz seri) toplamı olarak temsil etmeyi sağlar. Böyle bir seriye Fourier serisi denir.

Fourier dönüşümünün sinyal analizine doğru uygulanması için anlaşılması gereken bazı noktalara daha dikkat ediniz. Eğer Fourier serisini (sinüzoidlerin toplamı) tüm X ekseni üzerinde düşünürsek, {0, T} aralığının dışında Fourier serisi fonksiyonunun periyodik olarak bizim fonksiyonumuzu tekrarlayacağını görürüz.

Örneğin, Şekil 7'deki grafikte, orijinal fonksiyon {-T\2, +T\2} aralığında tanımlanmıştır ve Fourier serisi tüm x ekseninde tanımlanan periyodik bir fonksiyonu temsil etmektedir.

Bunun nedeni sinüzoidlerin kendilerinin periyodik fonksiyonlar olması, dolayısıyla toplamlarının da periyodik bir fonksiyon olmasıdır.

Böylece:

Orijinal fonksiyonumuz, T uzunluğundaki bir segment üzerinde tanımlanan sürekli, periyodik olmayan bir fonksiyondur.
Bu fonksiyonun spektrumu ayrıdır, yani sonsuz bir harmonik bileşen serisi – bir Fourier serisi – olarak temsil edilir.
Aslında Fourier serisi, {0, T} aralığında bizim fonksiyonumuzla çakışan bazı periyodik fonksiyonlar tanımlar, ancak bizim için bu periyodiklik önemli değildir.

Sıradaki.

Harmonik bileşenlerin periyotları, başlangıç fonksiyonu f(x)'in tanımlandığı {0, T} aralığının katlarıdır. Başka bir deyişle, harmoniklerin periyotları sinyal ölçüm süresinin katlarıdır. Örneğin, bir Fourier serisindeki birinci harmoniğin periyodu, f(x) fonksiyonunun tanımlandığı T aralığına eşittir. Bir Fourier serisindeki ikinci harmoniğin periyodu T/2 aralığına eşittir. Ve bu böyle devam eder (bkz. Şekil 8).

Buna göre, harmonik bileşenlerin frekansları 1/T'nin katlarıdır. Yani harmonik bileşenlerin frekansları Fk = k\T'dir; burada k, 0'dan ∞'ye kadar değerler alır. Örneğin, k=0 için F0=0; k=1 için F1=1\T; k=2 için F2=2\T; k=3 için F3=3\T;…. Fk = k\T (sıfır frekansta sabit bir bileşen).

Başlangıç fonksiyonumuz, T=1 saniye boyunca kaydedilmiş bir sinyal olsun. O zaman ilk harmoniğin periyodu sinyalimizin süresine eşit olacaktır T1=T=1 sn ve harmoniğin frekansı 1 Hz'e eşittir. İkinci harmoniğin periyodu sinyalimizin süresinin 2'ye bölünmesine eşit olacaktır (T2=T/2=0,5 sn.) ve frekansı 2 Hz'e eşittir. Üçüncü harmonik için, T3=T/3 sn ve frekans 3 Hz'dir. Ve böyle devam eder.

Bu durumda harmonikler arasındaki adım 1 Hz'dir.

Böylece, 1 saniye süreli bir sinyal, 1 Hz frekans çözünürlüğü ile harmonik bileşenlere ayrıştırılabilir (bir spektrum elde etmek için).
Çözünürlüğü 2 kat artırarak 0,5 Hz'e çıkarmak için, ölçüm süresini 2 kat artırarak 2 saniyeye çıkarmak gerekir. 10 saniyelik bir sinyal, 0,1 Hz frekans çözünürlüğüne sahip harmonik bileşenlere (spektrum) ayrıştırılabilir. Frekans çözünürlüğünü artırmanın başka bir yolu yoktur. Bu ilişkiyi bizim FFT Çözünürlük Hesaplayıcısı.

Örnek dizisine sıfırlar ekleyerek sinyal süresini yapay olarak artırmanın bir yolu vardır. Ancak bu gerçek frekans çözünürlüğünü artırmaz.

Ayrık sinyaller ve ayrık Fourier dönüşümü

Dijital teknolojinin gelişmesiyle birlikte ölçüm verilerinin (sinyallerin) saklanma yöntemleri değişmiştir. Önceden bir sinyal bir teybe kaydedilip analog formda bir kasette saklanabilirken, artık sinyaller dijitalleştirilmekte ve bilgisayar belleğindeki dosyalarda bir dizi sayı (sayım) olarak saklanmaktadır.

Sinyal ölçümü ve sayısallaştırmanın olağan şeması aşağıdaki gibidir.

Ölçüm dönüştürücüsü —- Sinyal normalleştirici —- ADC —– Bilgisayar
(Şekil 9 Ölçüm kanalının şeması)

Ölçüm transdüserinden gelen sinyal, T süresi boyunca ADC'ye gider. T süresi boyunca alınan sinyal okumaları (örnekleme) bilgisayara iletilir ve belleğe kaydedilir.

Sinyal sayısallaştırma parametreleri için gereksinimler nelerdir? Giriş analog sinyalini ayrık bir koda (dijital sinyal) dönüştüren bir cihaza analog-dijital dönüştürücü (ADC) denir (© Wiki).

ADC'nin temel parametrelerinden biri maksimum örnekleme hızıdır – yani zaman içinde sürekli olan bir sinyalin örneklenme frekansı. Örnekleme hızı hertz cinsinden ölçülür. ((© Wiki))

Kotelnikov teoremine göre, sürekli bir sinyalin spektrumu Fmax frekansıyla sınırlıysa, zaman aralıkları Δt ≤ 1/(2*Fmax) ile alınan ayrık örneklerinden, yani Fd ≥ 2*Fmax örnekleme frekansıyla, tam ve tekil olarak yeniden oluşturulabilir; burada Fd – örnekleme frekansı; Fmax – sinyal spektrumunun maksimum frekansıdır. Başka bir deyişle, sinyal sayısallaştırma frekansı (ADC örnekleme frekansı), ölçmek istediğimiz sinyalin maksimum frekansının en az iki katı olmalıdır.

Peki, Kotelnikov'un teoreminin gerektirdiğinden daha düşük frekansta örnek alırsak ne olur?

Bu durumda bir “örtüşme (aliasing)Bu durumda, sayısallaştırmadan sonra yüksek frekanslı bir sinyalin aslında var olmayan düşük frekanslı bir sinyale dönüştüğü bir "aliasing" etkisi (diğer adıyla stroboskopik etki, moiré etkisi) vardır. Şekil 11'de yüksek frekanslı kırmızı sinüs dalgası gerçek sinyaldir. Düşük frekanslı mavi sinüs dalgası, örnekleme süresi boyunca yüksek frekanslı sinyalin yarım periyodundan daha fazla zaman geçmesi nedeniyle ortaya çıkan hayali bir sinyaldir.

 

Aliasing etkisini önlemek için özel bir anti-aliasing filtresi (alçak geçiren filtre) ADC'nin önüne yerleştirilir. Bu filtre, ADC örnekleme frekansının yarısından daha düşük frekansları geçirir ve daha yüksek frekansları keser.

Sinyal spektrumunu ayrık örnekleri kullanılarak hesaplamak için ayrık Fourier dönüşümü (DFT) kullanılır. Ayrık bir sinyalin spektrumunun “tanım gereği” örnekleme frekansı Fd'nin yarısından daha küçük bir Fmax frekansı ile sınırlı olduğuna tekrar dikkat edin. Bu nedenle, ayrık bir sinyalin spektrumu şu toplamla gösterilebilir: sonlu harmonik sayısı ile gösterilir; bu, spektrumu sınırsız olabilen sürekli bir sinyalin Fourier serisindeki sonsuz toplamdan farklıdır. Kotelnikov'un teoremine göre, bir harmoniğin maksimum frekansı en az iki örneğe karşılık gelecek şekilde olmalıdır; bu nedenle harmonik sayısı, ayrık bir sinyaldeki örnek sayısının yarısına eşittir. Yani örnekte N örnek varsa, spektrumdaki harmonik sayısı N/2 olacaktır.

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünü (DFT) ele alalım.

Fourier serisi ile karşılaştırıldığında

 

Gördüğümüz gibi, FFT'de zamanın ayrık olması ve harmonik sayısının örnek sayısının yarısı olan N/2 ile sınırlı olması dışında çakışmaktadırlar.

DFT formülleri boyutsuz tamsayı değişkenleri k, s cinsinden yazılır; burada k sinyal örneklerinin sayısı, s ise spektral bileşenlerin sayısıdır.
s değeri, T periyodu (sinyal ölçüm süresi) başına tam harmonik salınım sayısını gösterir. Ayrık Fourier dönüşümü, harmoniklerin genliklerini ve fazlarını sayısal olarak, yani “bilgisayarda” bulmak için kullanılır.

Yukarıda da belirtildiği gibi, periyodik olmayan bir fonksiyon (sinyalimiz) Fourier serilerine ayrıştırıldığında, ortaya çıkan Fourier serisi aslında T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyona karşılık gelir (Şekil 12).

 

 

Şekil 12’de görüldüğü gibi, f(x) fonksiyonu T₀ periyotlu bir periyodik fonksiyondur. Ancak, ölçüm örneği uzunluğu T’nin fonksiyon periyodu T₀’a eşit olmaması nedeniyle, Fourier serisi olarak elde edilen fonksiyon T noktasında bir süreksizlik gösterir. Sonuç olarak, bu fonksiyonun spektrumu çok sayıda yüksek frekanslı harmonik içerecektir. Bu olguya spektral sızıntıve pratikte bu, pencereleme dönüşümden önceki sinyal. Ölçüm örneği T’nin süresi T0 fonksiyonunun periyodu ile çakışıyorsa, Fourier dönüşümünden sonra elde edilen spektrum yalnızca birinci harmoniği (örneğin süresine eşit periyoda sahip bir sinüzoid) içerecektir; çünkü f(x) fonksiyonu bir sinüzoiddir.

Başka bir deyişle, DFT programı sinyalimizin bir “sinüs dalgası kesiti” olduğunu “bilmez”; bunun yerine, sinüs dalgasının ayrı parçalarının süreksizliği nedeniyle süreksizlik içeren periyodik bir fonksiyonu seri olarak temsil etmeye çalışır.

Sonuç olarak, bu süreksizlik de dahil olmak üzere toplamda fonksiyonun şeklini temsil etmesi gereken spektrumda harmonikler ortaya çıkar.

Dolayısıyla, farklı periyotlara sahip birkaç sinüzoidin toplamı olan bir sinyalin “doğru” spektrumunu elde etmek için, dönemlerinin tamsayı sayısı her sinüzoid sinyalin ölçüm periyodunda mevcut olmalıdır. Pratikte, bu koşul yeterince uzun bir sinyal ölçüm süresi ile karşılanabilir.

 

 

Daha kısa sürelerde görüntü “daha kötü” görünecektir:

 

 

 

 

Pratikte, bileşen periyotları ile sinyal örnekleme sürelerinin uyuşmamasından veya dalga biçimindeki “sıçrama ve kopmalardan” kaynaklanan “gerçek bileşenlerin” nerede, “artefaktların” nerede olduğunu anlamak zor olabilir. Elbette, “gerçek bileşenler” ve “artefaktlar” ifadeleri boşuna tırnak içinde verilmemiştir. Spektrum grafiğinde çok sayıda harmonik bulunması, sinyalimizin gerçekte bunlardan oluştuğu anlamına gelmez. Bu, 7 sayısının 3 ve 4 sayılarından “oluştuğunu” düşünmeye benzer. 7 sayısı 3 ve 4'ün toplamı olarak düşünülebilir – bu doğrudur.

Dolayısıyla bizim sinyalimiz de… ya da daha doğrusu “bizim sinyalimiz” bile değil, sinyalimizin (örneğimizin) tekrarlanmasıyla oluşturulan periyodik bir fonksiyon, belirli genlik ve fazlara sahip harmoniklerin (sinüs dalgalarının) toplamı olarak temsil edilebilir. Ancak pratikte önemli olan birçok durumda (bkz. yukarıdaki şekiller), spektrumda elde edilen harmonikleri döngüsel karaktere sahip ve sinyalin biçimine önemli katkı yapan gerçek süreçlerle ilişkilendirmek gerçekten mümkündür.

Bazı sonuçlar

1. ADC tarafından sayısallaştırılan, yani bir dizi ayrık örnek (N adet) ile temsil edilen T saniye süreli gerçek bir ölçülen sinyal, bir dizi harmonik (N/2 adet) ile temsil edilen ayrık periyodik olmayan bir spektruma sahiptir.

2. Sinyal bir gerçek değerler kümesiyle temsil edilir. DFT spektrumu, eşlenik simetriye sahip bir karmaşık katsayılar kümesidir; bunlardan genlik spektrumu elde edilir — pozitif frekanslarda gerçek, negatif olmayan genlikler (ve fazlar) kümesi — ve pratikte çizilen bu tek taraflı genlik spektrumudur. Negatif frekanslı çift taraflı karmaşık biçim ile tek taraflı genlik/faz biçimi aynı spektrumun eşdeğer gösterimleridir — sinyal analizi için genellikle tek taraflı genlik spektrumuyla çalışmak daha uygundur.

3. T zamanında ölçülen sinyal yalnızca T zaman aralığında belirlenmiştir. Sinyali ölçmeye başlamadan önce ne olduğu ve bundan sonra ne olacağı bilinmez. Bizim durumumuzda da bu ilginç değildir. Zamanla sınırlı sinyalin FFT'si, belirli koşullar altında bileşenlerinin genliğini ve frekansını hesaplamaya izin verdiği anlamında onun “gerçek” spektrumunu verir.