Andrejs Šelkovenko. Viens no Vibromera izstrādātājiem un dibinātājs.
Raksta tulkojumā var būt neprecizitātes.
- Furjē transformācija un signāla spektrs
Daudzos gadījumos signāla spektra iegūšanas (aprēķināšanas) uzdevums ir šāds. Ir ADC, kas ar paraugu ņemšanas frekvenci Fd pārveido nepārtrauktu signālu, kas nonāk uz tā ieejas laikā T, ciparu paraugos - N gabalos. Pēc tam šo paraugu masīvu padod kādai programmai (piemēram. FourierScope), kas izvada N/2 dažas skaitliskas vērtības.
Lai pārbaudītu, vai programma darbojas pareizi, mēs veidojam paraugu masīvu kā divu sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) summu un ievadām to programmā. Programma uzzīmēja sekojošo:
1. attēls Signāla laika funkcijas grafiks
2. attēls Signāla spektra grafiks
Uz spektra diagrammas ir divas harmonikas - 5 Hz ar amplitūdu 0,5 V un 10 Hz ar amplitūdu 1 V, viss ir kā sākotnējā signāla formulā. Viss ir kārtībā, grogramma darbojas pareizi.
Tas nozīmē, ka, ja ADC ieejā padodam reālu signālu no divu sinusoīdu maisījuma, mēs saņemsim līdzīgu spektru, kas sastāv no divām harmonikām.
Tātad mūsu īsts izmērītais signāls 5 sek. ilgs, ko digitalizē ar ADC, t. i., attēlo ar diskrētu paraugus, ir diskrēti neperiodiski spektrs.
No matemātiskā viedokļa - cik daudz kļūdu ir šajā frāzē?
Tagad mēģināsim izmērīt to pašu signālu 0,5 sekunžu laikā.
3. attēls Funkcijas sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) grafiks 0,5 s mērījumu periodam.
4. attēls Funkcijas spektrs
Kaut kas šeit nav kārtībā! Harmonika pie 10 Hz tiek zīmēta normāli, bet harmonikas pie 5 Hz vietā ir dažas neskaidras harmonikas.
Internetā viņi saka, ka parauga beigās ir nepieciešams pievienot nulles, un spektrs tiks sastādīts normāli.
5. attēls Paraugam esam pievienojuši nulles līdz 5 sek.
6. attēls. Iegūtais spektrs.
Tas tā nemaz nav. Man būs jānodarbojas ar teoriju. Dosimies uz wikipedia - zināšanu avots.
2. Nepārtraukta funkcija un tās Furjē rindu attēlojums
Matemātiski mūsu signāls, kura ilgums ir T sekunžu, ir kāda funkcija f(x), kas dota intervālā {0, T} (X šajā gadījumā ir laiks). Šādu funkciju vienmēr var attēlot kā harmonisko funkciju (sinusa vai kosinusa) summu:
(1), kur:
k ir trigonometriskās funkcijas numurs (harmoniskās komponentes numurs, harmonikas numurs).
T - posms, kurā definēta funkcija (signāla ilgums).
Ak - k-tās harmoniskās komponentes amplitūda,
θk- k-tās harmoniskās komponentes sākotnējā fāze
Ko nozīmē "attēlot funkciju kā rindu summu"? Tas nozīmē, ka, saskaitot Furjē virknes harmonisko komponenšu vērtības katrā punktā, mēs iegūstam mūsu funkcijas vērtību šajā punktā.
(Precīzāk sakot, virknes vidējā kvadrātiskā novirze no funkcijas f(x) tiecas uz nulli, bet, neraugoties uz vidējo kvadrātisko konverģenci, funkcijas Furjē virknei, vispārīgi runājot, nav nepieciešams, lai tā punkts pēc punkta konverģētu pie tās. )
Šo sēriju var rakstīt arī formā:
(2),
kur 
, k-tā kompleksā amplitūda.
vai
(3)
Attiecību starp koeficientiem (1) un (3) izsaka šādas formulas:
Ievērojiet, ka visi šie trīs Furjē rindu atveidojumi ir pilnīgi līdzvērtīgi. Dažreiz, strādājot ar Furjē rindām, ir ērtāk sinusu un kosīnu vietā izmantot iedomātā argumenta eksponentus, t.i., izmantot Furjē transformāciju kompleksā formā. Bet mums ir ērti izmantot formulu (1), kur Furjē rindu attēlo kā kosinusu summu ar atbilstošām amplitūdām un fāzēm. Jebkurā gadījumā ir nepareizi teikt, ka reālā signāla Furjē transformācijas rezultāts būs kompleksās harmoniskās amplitūdas. Kā pareizi teikts Wiki: "Furjē transformācija (ℱ) ir operācija, kas vienu reālā mainīgā funkciju attēlo citā reālā mainīgā funkcijā.".
Apakšējā līnija:
Signālu spektrālās analīzes matemātiskais pamats ir Furjē transformācija.
Furjē transformācija ļauj attēlot nepārtrauktu funkciju f(x) (signālu), kas definēta intervālā {0, T}, kā bezgalīgi daudzu trigonometrisko funkciju (sinusa un/vai kosīna) summu (bezgalīgu rindu) ar noteiktām amplitūdām un fāzēm, kas arī tiek apskatītas intervālā {0, T}. Šādu rindu sauc par Furjē rindu.
Ņemiet vērā vēl dažus punktus, kuru izpratne ir nepieciešama, lai pareizi piemērotu Furjē transformāciju signālu analīzei. Ja aplūkosim Furjē rindu (sinusoīdu summu) uz visas X ass, redzēsim, ka ārpus intervāla {0, T} Furjē rindu funkcija periodiski atkārtos mūsu funkciju.
Piemēram, 7. attēlā attēlotajā grafikā sākotnējā funkcija ir definēta intervālā {-T\2, +T\2}, un Furjē rinda ir periodiska funkcija, kas definēta uz visas x ass.
Tas ir tāpēc, ka sinusoīdas pašas par sevi ir periodiskas funkcijas, tāpēc arī to summa būs periodiska funkcija.
7. attēls Neperiodiskas avota funkcijas attēlošana ar Furjē rindu
Tādējādi:
Mūsu sākotnējā funkcija ir nepārtraukta, neperiodiska funkcija, kas definēta uz kāda T garuma posma.
Šīs funkcijas spektrs ir diskrēts, t. i., to attēlo kā bezgalīgu harmonisko komponenšu virkni - Furjē virkni.
Patiesībā Furjē rinda definē kādu periodisku funkciju, kas sakrīt ar mūsu funkciju intervālā {0, T}, bet mums šī periodiskums nav būtisks.
Nākamais.
Harmonisko komponenšu periodi ir intervāla {0, T}, kurā definēta sākotnējā funkcija f(x), reizinātāji. Citiem vārdiem sakot, harmonisko komponenšu periodi ir signāla mērījuma ilguma reizinātāji. Piemēram, Furjē virknes pirmās harmonikas periods ir vienāds ar intervālu T, kurā definēta funkcija f(x). Otrās harmonikas periods Furjē virknē ir vienāds ar intervālu T/2. Un tā tālāk (sk. 8. attēlu).
8. attēls Furjē virknes harmonisko komponenšu periodi (frekvences) (šeit T=2π)
Attiecīgi harmonisko komponenšu frekvences ir 1/T reizinātāji. Tas ir, harmonisko komponenšu Fk frekvences ir Fk= k\T, kur k ir vērtības no 0 līdz ∞, piemēram, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;..... Fk= k\T (pie nulles frekvences, konstanta komponente).
Lai mūsu sākotnējā funkcija ir signāls, kas ierakstīts laikā T=1 sek. Tad pirmās harmonikas periods būs vienāds ar mūsu signāla ilgumu T1=T=1 sek, un harmonikas frekvence ir 1 Hz. Otrās harmonikas periods būs vienāds ar mūsu signāla ilgumu, kas dalīts ar 2 (T2=T/2=0,5 s), un frekvence ir 2 Hz. Trešajai harmoniskajai ir T3=T/3 s, un frekvence ir 3 Hz. Un tā tālāk.
Soli starp harmoniskajām šajā gadījumā ir 1 Hz.
Tādējādi signālu, kura ilgums ir 1 sekunde, var sadalīt harmoniskajās komponentēs (lai iegūtu spektru) ar frekvences izšķirtspēju 1 Hz.
Lai palielinātu izšķirtspēju 2 reizes līdz 0,5 Hz, ir nepieciešams palielināt mērījumu ilgumu 2 reizes līdz 2 sek. 10 sekunžu signālu var sadalīt harmoniskajās komponentēs (spektrā) ar frekvences izšķirtspēju 0,1 Hz. Nav citu veidu, kā palielināt frekvences izšķirtspēju.
Ir veids, kā mākslīgi palielināt signāla ilgumu, paraugu masīvam pievienojot nulles. Taču tas nepalielina reālo frekvenču izšķirtspēju.
3. Diskrētie signāli un diskrētā Furjē transformācija
Līdz ar digitālo tehnoloģiju attīstību ir mainījušies mērījumu datu (signālu) glabāšanas veidi. Ja agrāk signālu varēja ierakstīt magnetofona lentē un saglabāt lentē analogā formā, tad tagad signālus digitalizē un saglabā datnēs datora atmiņā kā skaitļu kopu (skaitļu).
Parastā signāla mērīšanas un digitalizācijas shēma izskatās šādi.
Mērīšanas devējs -- Signāla normalizētājs -- ADC -- Dators
(9. attēls Mērīšanas kanāla shēma)
Signāls no mērpārveidotāja nonāk ADC uz laika periodu T. Laika periodā T saņemtie signāla rādījumi (paraugu ņemšana) tiek pārsūtīti uz datoru un saglabāti atmiņā.
10. attēls Digitalizēts signāls - N paraugi, kas saņemti laikā T
Kādas ir prasības signālu digitalizācijas parametriem? Ierīci, kas pārveido ieejas analogo signālu diskrētā kodā (ciparu signālā), sauc par analogo ciparu pārveidotāju (ADC) (© Wiki).
Viens no ADC pamatparametriem ir maksimālais paraugu ņemšanas ātrums - nepārtraukta signāla paraugu ņemšanas biežums laikā. Paraugu ņemšanas frekvenci mēra hercos. ((© Wiki))
Saskaņā ar Kotelņikova teorēmu, ja nepārtrauktam signālam ir spektrs, ko ierobežo frekvence Fmax, to var pilnībā un viennozīmīgi rekonstruēt no tā diskrētajiem paraugiem, kas ņemti laika intervālos T = 1/2*Fmax, t. i., ar frekvenci Fd ≥ 2*Fmax, kur Fd - paraugu ņemšanas frekvence; Fmax - signāla spektra maksimālā frekvence. Citiem vārdiem sakot, signāla digitalizācijas frekvencei (ADC paraugu ņemšanas frekvencei) jābūt vismaz 2 reizes lielākai par mērāmā signāla maksimālo frekvenci.
Un kas notiks, ja mēs ņemsim paraugus ar mazāku biežumu, nekā pieprasa Kotelņikova teorēma?
Šajā gadījumā rodas "aliasing" efekts (pazīstams arī kā stroboskopiskais efekts, moirē efekts), kad augstfrekvences signāls pēc digitalizācijas pārvēršas par zemas frekvences signālu, kas patiesībā nepastāv. attēlā 11. attēlā sarkanais augstas frekvences sinusoidālais vilnis ir īstais signāls. Zemākas frekvences zilais sinusoidālais vilnis ir fiktīvs signāls, kas rodas tāpēc, ka paraugu ņemšanas laikā ir pagājis vairāk nekā pusperiods no augstfrekvences signāla.
11. attēls. Nepareiza zemas frekvences signāla parādīšanās pie nepietiekami augsta paraugu ņemšanas ātruma
Lai izvairītos no izlīdzināšanas efekta, pirms ADC tiek ievietots īpašs pretizlīdzināšanas filtrs (zemfrekvences filtrs). Tas caurlaiž frekvences, kas ir zemākas par pusi no ADC paraugu ņemšanas frekvences, un nogriež augstākas frekvences.
Lai aprēķinātu signāla spektru pēc diskrētiem paraugiem, tiek izmantota diskrētā Furjē transformācija (DFT). Vēlreiz jāatzīmē, ka diskrēta signāla spektrs "pēc definīcijas" ir ierobežots ar frekvenci Fmax, kas ir mazāka par pusi no paraugu ņemšanas frekvences Fd. Tāpēc diskrēta signāla spektru var attēlot kā summu no a galīgs harmoniku skaits, atšķirībā no bezgalīgās summas nepārtraukta signāla Furjē virknei, kuras spektrs var būt neierobežots. Saskaņā ar Kotelņikova teorēmu harmonikas maksimālajai frekvencei jābūt tādai, lai tā atbilstu vismaz diviem paraugiem, tāpēc harmoniku skaits ir vienāds ar pusi no diskrētā signāla paraugu skaita. Tas ir, ja paraugā ir N paraugu, tad harmoniku skaits spektrā būs N/2.
Tagad aplūkojiet diskrēto Furjē transformāciju (DFT).
Salīdzinot to ar Furjē sēriju
Kā redzams, tie sakrīt, izņemot to, ka laiks FFT ir diskrēts un harmoniku skaits ir ierobežots līdz N/2, kas ir puse no paraugu skaita.
DFT formulas tiek rakstītas bezdimensiju veselos mainīgajos k, s, kur k ir signāla paraugu skaits, s ir spektrālo komponenšu skaits.
Vērtība s parāda pilno harmonisko svārstību skaitu periodā T (signāla mērīšanas ilgums). Diskrēto Furjē transformāciju izmanto, lai harmoniku amplitūdas un fāzes atrastu skaitliski, t. i., "datorā".
Kā jau minēts iepriekš, sadalot neperiodisku funkciju (mūsu signālu) Furjē virknē, iegūtā Furjē virkne faktiski atbilst periodiskai funkcijai ar periodu T (12. attēls).
12. attēls. Periodiska funkcija f(x) ar periodu T0, ar periodu T>T0
Kā redzams 12. attēlā, funkcija f(x) ir periodiska ar periodu T0. Tomēr, tā kā mērījumu parauga garums T nav vienāds ar funkcijas periodu T0, funkcijai, kas iegūta kā Furjē rinda, ir pārrāvums punktā T. Rezultātā šīs funkcijas spektrs satur lielu skaitu augstfrekvences harmoniku. Ja mērīšanas parauga ilgums T sakristu ar funkcijas periodu T0, tad spektrs, kas iegūts pēc Furjē transformācijas, saturētu tikai pirmo harmoniku (sinusoīdu ar periodu, kas vienāds ar parauga ilgumu), jo funkcija f(x) ir sinusoīda.
Citiem vārdiem sakot, DFT programma "nezina", ka mūsu signāls ir "sinusoīdā viļņa šķēlums", bet mēģina kā virkni attēlot periodisku funkciju, kurai ir pārtrauktība, ko rada atsevišķu sinusoīdā viļņa daļu pārtrauktība.
Rezultātā spektrā parādās harmonikas, kurām kopumā būtu jāatspoguļo funkcijas forma, ieskaitot šo pārrāvumu.
Tādējādi, lai iegūtu "pareizu" spektru signālam, kas ir vairāku sinusoīdu ar dažādiem periodiem summa, ir nepieciešams, lai vesels skaitlis periodu skaits katrai sinusoīdai jābūt signāla mērīšanas periodā. Praksē šo nosacījumu var izpildīt, ja signāla mērīšanas ilgums ir pietiekami ilgs.
13. attēls Pārnesumkārbas kinemātiskās kļūdas signāla funkcijas un spektra piemērs
Īsākā laikā attēls izskatās "sliktāks":
14. attēls Rotora vibrāciju funkcijas un spektra piemērs
Praksē var būt grūti saprast, kur ir "īstie komponenti" un kur "artefakti", ko izraisa komponentu periodu un signāla paraugu ņemšanas ilguma neatbilstība vai "lēcieni un pārtraukumi" viļņu formā. Protams, vārdi "īstās komponentes" un "artefakti" ne velti ir doti pēdiņās. Daudzu harmoniku klātbūtne spektra grafikā nenozīmē, ka mūsu signāls patiešām sastāv no tām. Tas ir tāpat kā domāt, ka skaitlis 7 "sastāv" no skaitļiem 3 un 4. Skaitli 7 var uzskatīt par 3 un 4 summu - tas ir pareizi.
Tātad arī mūsu signālu... vai drīzāk pat ne "mūsu signālu", bet periodisku funkciju, kas veidota, atkārtojot mūsu signālu (paraugu), var attēlot kā harmoniku (sinusoīdu) summu ar noteiktām amplitūdām un fāzēm. Bet daudzos praksē svarīgos gadījumos (sk. attēlus iepriekš) patiešām ir iespējams spektrā iegūtās harmonikas saistīt arī ar reāliem procesiem, kam ir ciklisks raksturs un kas būtiski ietekmē signāla formu.
Daži rezultāti
1. Reālam izmērītam signālam ar T sek. ilgumu, kas digitalizēts ar ADC, t. i., attēlots ar diskrētu paraugu kopu (N vienību), ir diskrēts neperiodisks spektrs, ko attēlo harmoniku kopa (N/2 vienības).
2. Signālu attēlo derīgu vērtību kopa, un tā spektru attēlo derīgu vērtību kopa. Harmoniku frekvences ir pozitīvas. Tas, ka matemātiski ir ērtāk spektru attēlot kompleksā formā, izmantojot negatīvas frekvences, nenozīmē, ka "tā ir pareizi" un "tā vienmēr vajadzētu darīt".
3. Signāls, kas izmērīts laikā T, ir noteikts tikai laikā T. Kas notika pirms mēs sākām mērīt signālu un kas notiks pēc tam, zinātnei nav zināms. Un mūsu gadījumā tas nav interesanti. Laika ierobežotā signāla FFT dod tā "reālo" spektru tādā nozīmē, ka pie noteiktiem nosacījumiem ļauj aprēķināt tā komponenšu amplitūdu un frekvenci.