Vibrasiya Siqnallarının Analizi üçün Fur'e Çevrilməsinin Tətbiqi

Andrei Şelkovenko. Vibromera-nın inkişaf etdiricilərindən biri və təsisçisi.
Məqalənin tərcüməsi qeyri-dəqiqliklər ehtiva edə bilər.

Fourier çevrilməsi və siqnal spektri

Bir çox hallarda siqnalın spektr alınması (hesablanması) vəzifəsi aşağıdakı kimidir. ADC var, bu da seçmə ilə tezlik Fd zaman T ərzində girişinə gələn davamlı siqnalı rəqəmsal nümunələrə — N ədədə — çevirir. Sonra bu nümunə qrupunun bəzi proqrama (məsələn Fourier Spektroskopu) hansı ki, N/2 ədəd dəyər çıxarır.

Proqramın düzgün işlədiyini yoxlamaq üçün nümunələr massivini iki sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) cəmi kimi formalaşdırıb proqramın içine daxil edirik. Proqram aşağıdakını çəkdi:

 

 

There are two harmoniklər spektr qrafikində — 0.5 V amplitudası ilə 5 Hz və 1 V amplitudası ilə 10 Hz, hər şey orijinal siqnal düsturunda olduğu kimidir. Hər şey yaxşıdır, proqram düzgün işləyir.

Bu o deməkdir ki, əgər ADC girişinə iki sinusoid qarışığından ibarət real siqnal verəriksə, iki harmonikadan ibarət oxşar spektr əldə edəcəyik.

Beləliklə, bizim həqiqi ölçülmüş siqnal 5 saniyəlik müddət, ADC tərəfindən rəqəmsallaşdırılmış, yəni təmsil olunmuş ayrı-ayrı nümunələr, malikdir ayrı-ayrı dövrü olmayan Spektr.
From a mathematical point of view – how many errors in this phrase?

Now let’s try to measure the same signal for 0.5 sec.

 

 

Burada nəsə səhvdir! 10 Hz-dəki harmonik normal şəkildə təsvir olunub, 5 Hz-dəki harmonikin əvəzinə isə bəzi qeyri-müəyyən harmoniklər var.

İnternetdə deyirlər ki, nümunənin sonuna sıfırlar əlavə etmək lazımdır və spektr normal şəkildə çəkiləcək.

 

 

That’s not it at all. I will have to deal with the theory. Let’s go to vikipediya – the source of knowledge.

Davamlı funksiya və onun Fourier silsiləsi təmsilçiliyi

Riyazi baxımdan, T saniyə davamlı siqnalımız {0, T} intervallarında verilmiş f(x) funksiyasıdır (bu halda X zaman deməkdir). Belə bir funksiya həmişə aşağıdakı formadakı harmonik funksiyaların (sinus və ya kosinus) cəmi kimi təqdim oluna bilər:

k trigonometrik funksiyanın nömrəsidir (harmonik komponentin nömrəsi, harmonikin nömrəsi)
T – segment where the function is defined (the duration of the signal)
Ak - k-cı harmonik komponentin amplitudu,
θk - k-ci harmonik komponentin ilkin fazası
What does it mean to “represent the function as the sum of the series”? It means that by adding the values of the harmonic components of the Fourier series at each point, we get the value of our function at that point.
Daha dəqiq desək, sıra ilə f(x) funksiyası arasındakı orta kvadrat xətanın qiyməti sıfıra doğru meyllənəcək, lakin orta kvadrat yaxınlaşmasına baxmayaraq, ümumilikdə bir funksiyanın Fourier sırası nöqtə-nöqtə ona yaxınlaşmaya bilər.
Bu sıra həmçinin aşağıdakı formada da yazıla bilər:

 

 

 

Harada , k-cı kompleks amplituda.

 

or

 

 

 

Koeffisientlər (1) və (3) arasındakı əlaqə aşağıdakı düsturlarla ifadə olunur:

 

 

 

 

Note that all these three representations of Fourier series are perfectly equivalent. Sometimes when working with Fourier series, it is more convenient to use exponents of imaginary argument instead of sines and cosines, i.e. to use Fourier transform in complex form. But it is convenient for us to use formula (1), where the Fourier series is represented as a sum of cosines with corresponding amplitudes and phases. In any case, it is wrong to say that the result of the Fourier transform of the real signal will be complex harmonic amplitudes. As Wiki correctly says, “The Fourier transform (ℱ) is an operation that maps one function of a real variable to another function also of a real variable.”

 

Nəticə:
Siqnalların spektral təhlili üçün riyazi baza Fourier çevrilməsidir.

Fourier çevrilməsi fasiləsiz funksiyanı f(x) (siqnal) {0, T} intervalları üzərində trigonometrik funksiyaların (sinus və/və ya kosinus) müəyyən amplitudalar və fazalar toplusu kimi ifadə etməyə imkan verir. Belə sıra Fourier sırası adlanır.

Bir neçə əlavə məqamı nəzərə alın, onların anlaşılması Fourier çevrilməsinin siqnal analizində düzgün tətbiqi üçün vacibdir. Əgər Fourier seriyasını (sinusoidaların cəmini) bütün X oxu boyunca nəzərdən keçirsək, {0, T} intervallarından kənarda Fourier seriyası funksiyasının funksiyamızı periodik şəkildə təkrarladığını görərik.

Məsələn, 7-ci fiqurun qrafikində ilkin funksiya {-T/2, +T/2} intervallarında müəyyən edilir, Fourier silsiləsi isə bütün x oxu boyunca müəyyən edilmiş dövri funksiyanı təmsil edir.

Bu, sinusoidlərin özləri periodik funksiyalar olduğuna görə, onların cəmi də periodik funksiya olacaq.

Beləliklə:

Orijinal funksiyamız T uzunluğunda bir intervaldə təyin olunmuş fasiləsiz, dövri olmayan funksiyadır.
The spectrum of this function is discrete, i.e. it is represented as an infinite series of harmonic components – a Fourier series.
Əslində Fourier silsiləsi müəyyən dövri funksiyanı müəyyən edir, bu funksiya {0, T} intervallarında bizim funksiyamızla üst-üstə düşür, lakin bizim üçün bu dövrilik əsas deyil.

Sonrakı

Harmonik komponentlərin dövrləri, ilkin funksiya f(x)-in təyin olunduğu {0, T} intervallarının çoxluqlarıdır. Başqa sözlə, harmoniklərin dövrləri siqnal ölçmə müddətinin çoxluqlarıdır. Məsələn, Fourier seriyasında birinci harmonikin dövrü funksiya f(x)-in təyin olunduğu intervala, yəni T-yə bərabərdir. Fourier seriyasında ikinci harmonikin dövrü isə T/2 intervalına bərabərdir. Və s. (Bax Şəkil 8).

Accordingly, the frequencies of harmonic components are multiples of 1/T. That is, frequencies of harmonic components Fk are Fk= k\T, where k runs values from 0 to ∞, for example, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (at zero frequency, a constant component).

Başlanğıc funksiyamız T=1 s müddətində qeydə alınmış siqnaldır. O zaman birinci harmonikin dövrü siqnalımızın müddəti T1=T=1 s-ə bərabər olacaq və harmonikin tezliyi 1 Hz-dir. İkinci harmonikin dövrü siqnalımızın müddətinin 2-yə bölünməsinə bərabərdir (T2=T/2=0,5 s) və tezliyi 2 Hz-dir. Üçüncü harmonik üçün T3=T/3 s və tezliyi 3 Hz-dir. Və s.

Bu halda harmoniklər arasındakı addım 1 Hz-dir.

Beləliklə, 1 saniyəlik siqnal 1 Hz tezlik ayırdetməsi ilə harmonik komponentlərə ayrılıb spektri əldə edilə bilər.
Həlledici gücü 2 dəfə 0.5 Hz-ə qədər artırmaq üçün, ölçmə müddətini 2 dəfə 2 saniyəyə qədər artırmaq lazımdır. 10 saniyəlik siqnal harmonik komponentlərə (spektrə) 0.1 Hz tezlik həllediciliyi ilə parçalanır. Tezlik həllediciliyini artırmaq üçün başqa üsullar yoxdur. Bu münasibəti öyrənə bilərsiniz bizim FFT Çözünürlük Kalkulyatoru.

Sinyal müddətini süni şəkildə artırmaq üçün nümunələr massivinə sıfırlar əlavə etmək mümkündür. Lakin bu, real tezlik ayırdetməsini artırmır.

Diskret siqnallar və diskret Fur'e çevrilməsi

Rəqəmsal texnologiyanın inkişafı ilə ölçmə məlumatlarının (sinyalların) saxlanma üsulları dəyişib. Əvvəllər siqnal lentli maqnitofonla lentə analoq formada yazıla bilirdisə, indi siqnallar rəqəmsallaşdırılır və kompüter yaddaşındakı fayllarda rəqəmlər (saylar) toplusu kimi saxlanılır.

Siqnalın ölçülməsi və rəqəmsallaşdırılmasının adi sxemi aşağıdakı kimidir.

Measuring transducer —- Signal normalizer —- ADC —– Computer
(Şək.9 Ölçmə kanalının sxemi)

Ölçü transdüserindən gələn siqnal T müddəti ərzində ADC-yə ötürülür. T müddəti ərzində alınan siqnal oxunuşları (nümunə götürmə) kompüterə göndərilir və yaddaşda saxlanılır.

Sayısallaşdırma parametrlərini siqnalizasiya etmək üçün tələblər nədir? Giriş analoq siqnalını diskret koda (sayısal siqnal) çevirən qurğuya analoq-sayısal çevirici (ADC) deyilir (© Wiki).

One of the basic parameters of ADC is the maximum sampling rate – the frequency of sampling of a signal which is continuous in time. Sample rate is measured in hertz. ((© Wiki))

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals  T = 1/2*Fmax, ie with a frequency Fd ≥ 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least 2 times higher than the maximum frequency of the signal we want to measure.

And what will happen if we take samples with lower frequency than required by Kotelnikov’s theorem?

Bu haldaləqəbIn this case there is an “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), in which a high frequency signal after digitization turns into a low frequency signal, which in fact does not exist. In Fig. 11 the red sine wave of high frequency is the real signal. The blue sine wave of lower frequency is a fictitious signal, arising due to the fact that during the sampling time has time to pass more than half a period of the high-frequency signal.

 

Aliasinq effektini qarşılamaq üçün, xüsusi anti-aliasinq filtri (aşağı ötürmə filtr) ADC-dən əvvəl yerləşdirilir. O, ADC seçmə tezliyinin yarısından aşağı tezlikləri keçir və daha yüksək tezlikləri kəsir.

Siqnal spektrini onun diskret nümunələri ilə hesablamaq üçün diskret Fur'e çevrilməsi (DFT) istifadə olunur. Yenə qeyd etsək ki, diskret siqnalın spektri «tərifə görə» seçmə tezliyinin Fd yarısından kiçik Fmax tezliyinə məhdudlaşır. Beləliklə, diskret siqnalın spektri aşağıdakıların cəmi ilə təmsil oluna bilər: məhdud number of harmonics, in contrast to the infinite sum for the Fourier series of a continuous signal, whose spectrum can be unlimited. According to Kotelnikov’s theorem, the maximum frequency of a harmonic must be such that it accounts for at least two samples, so the number of harmonics is equal to half the number of samples of a discrete signal. That is, if there are N samples in the sample, the number of harmonics in the spectrum will be N/2.

İndi diskret Fourier çevrilməsini (DFT) nəzərdən keçirin.

Onu Fourier silsiləsi ilə müqayisə etmək

 

Gördüyümüz kimi, onlar üst-üstə düşür, yeganə fərq odur ki, FFT-də zaman diskretdir və harmonikaların sayı nümunələrin sayının yarısına bərabər olan N/2 ilə məhdudlaşır.

DFT formulları ölçüsüz bütöv dəyişənlər k və s-də yazılır, burada k siqnal nümunələrinin sayını, s isə spektral komponentlərin sayını göstərir.
The value s shows the number of full harmonic oscillations per period T (signal measurement duration). The discrete Fourier transform is used to find the amplitudes and phases of harmonics numerically, i.e. “on the computer”.

Yuxarıda artıq qeyd edildiyi kimi, dövrü olmayan funksiyanı (sinyalımızı) Fourier cərgələrinə ayırdıqda, əldə olunan Fourier cərgəsi əslində T dövrə malik dövrü funksiyaya uyğundur (Şək.12).

 

 

Şəkil 12-də görünə biləcəyi kimi, f(x) funksiyası T0 periodu ilə periodikdir. Bununla belə, ölçü nümunəsinin uzunluğu T, funksiyanın periodu T0-a bərabər olmadığı üçün, Fur'e seriyası kimi alınan funksiya T nöqtəsində kəsilməlidir. Nəticə etibarilə, bu funksiyanın spektri çoxlu sayda yüksək tezlikli harmonikalar ehtiva edəcəkdir. Bu fenomen kimi tanınır spektral sızma, və praktikada pəncərələmə siqnaldan əvvəl. Əgər ölçü nümunəsinin T müddəti funksiyanın T0 periodilə üst-üstə düşürdüsə, Fur'e çevrilməsindən sonra alınan spektr yalnız birinci harmonikası (nümunənin müddətinə bərabər period ilə sinusoid) ehtiva edərdi, çünki f(x) funksiyası sinusoiddir.

In other words, the DFT program “does not know” that our signal is a “slice of a sine wave”, but tries to represent as a series a periodic function which has a discontinuity due to the discontinuity of separate pieces of the sine wave.

Nəticədə spektrdə harmonikalar peyda olur ki, onlar ümumilikdə bu diskontinuiteti də daxil etməklə funksiyanın formasını təmsil etməlidir.

Thus, to get a “correct” spectrum of a signal which is a sum of several sinusoids with different periods, it is necessary that an dövrlərin tam ədədi Hər bir sinusoid siqnalın ölçmə dövründə mövcud olmalıdır. Praktikada bu şərt siqnalın kifayət qədər uzun müddət ölçülməsi ilə təmin edilə bilər.

 

 

At shorter duration the picture will look “worse”:

 

 

 

 

In practice, it can be difficult to understand where the “real components” and where the “artifacts” caused by inconsistency of component periods and signal sampling durations or “jumps and breaks” in the waveform. Of course, the words “real components” and “artifacts” are put in quotes for a reason. The presence of many harmonics on the spectrum graph does not mean that our signal actually consists of them. It is like thinking that number 7 “consists” of numbers 3 and 4. The number 7 can be thought of as the sum of 3 and 4 – that is correct.

So also our signal… or rather not even “our signal”, but a periodic function composed by repeating our signal (sample) can be represented as a sum of harmonics (sine waves) with certain amplitudes and phases. But in many cases important for practice (see figures above) it is indeed possible to relate the harmonics obtained in the spectrum also to real processes having cyclic character and contributing significantly to the form of the signal.

Bəzi nəticələr

1. ADC tərəfindən T saniyə müddəti üçün rəqəmsallaşdırılmış real ölçülmüş siqnal, yəni N ədəd diskret nümunələr toplusu şəklində təqdim olunan siqnal, diskret, dövri olmayan spektrə malikdir və bu spektr harmoniklər toplusu (N/2 ədəd) ilə təsvir olunur.

2. The signal is represented by a set of valid values and its spectrum is represented by a set of valid values. The frequencies of the harmonics are positive. Just because it is mathematically more convenient to represent the spectrum in complex form using negative frequencies does not mean that “this is right” and “this is how you should always do it”.

3. The signal measured at time T is determined only at time T. What happened before we started measuring the signal and what will happen after that is unknown to science. And in our case it is not interesting. FFT of the time-limited signal gives its “real” spectrum, in the sense that under certain conditions it allows to calculate the amplitude and frequency of its components.