Andrej Šelkovenko. Jeden z vývojářů a zakladatelů společnosti Vibromera.
Překlad článku může obsahovat nepřesnosti.
- Fourierova transformace a spektrum signálu
V mnoha případech je úkolem získat (vypočítat) spektrum signálu následujícím způsobem. Existuje ADC, který se vzorkovací frekvencí Fd transformuje spojitý signál, který přichází na jeho vstup v čase T, na digitální vzorky - N kusů. Toto pole vzorků se pak přivede do nějakého programu (např. FourierScope), který vypisuje N/2 nějakých číselných hodnot.
Abychom ověřili, zda program funguje správně, vytvoříme pole vzorků jako součet dvou sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme je do programu. Program nakreslil následující:
Obr.1 Graf časové funkce signálu
Obr.2 Graf spektra signálu
Na grafu spektra jsou dvě harmonické - 5 Hz s amplitudou 0,5 V a 10 Hz s amplitudou 1 V, vše je jako ve vzorci původního signálu. Vše je v pořádku, grogram funguje správně.
To znamená, že pokud na vstup ADC přivedeme reálný signál ze směsi dvou sinusovek, dostaneme podobné spektrum složené ze dvou harmonických.
Takže naše skutečné měřený signál o délce 5 sekund, digitalizované pomocí ADC, tj. reprezentované diskrétní vzorků, má diskrétní neperiodické spektrum.
Z matematického hlediska - kolik chyb je v této větě?
Nyní zkusíme měřit stejný signál po dobu 0,5 s.
Obr.3 Graf funkce sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pro periodu měření 0,5 s.
Obr.4 Spektrum funkce
Něco je špatně! Harmonická na 10 Hz je vykreslena normálně a místo harmonické na 5 Hz jsou zde nejasné harmonické.
Na internetu se píše, že je třeba přidat nuly na konec vzorku a spektrum se vykreslí normálně.
Obr.5 Do vzorku jsme přidali nuly až do 5 s.
Obr.6. Získané spektrum.
Tak to vůbec není. Budu se muset zabývat teorií. Přejděme k wikipedia - zdroj poznání.
2. Spojitá funkce a její reprezentace Fourierovou řadou
Matematicky je náš signál s dobou trvání T sekund nějaká funkce f(x) zadaná na intervalu {0, T} (X je v tomto případě čas). Takovou funkci lze vždy reprezentovat jako součet harmonických funkcí (sinus nebo kosinus) ve tvaru:
(1), kde:
k je číslo trigonometrické funkce ( číslo harmonické složky, číslo harmonické).
T - úsek, kde je funkce definována (doba trvání signálu)
Ak - amplituda k-té harmonické složky,
θk- počáteční fáze k-té harmonické složky
Co znamená "reprezentovat funkci jako součet řad"? Znamená to, že sečtením hodnot harmonických složek Fourierovy řady v každém bodě získáme hodnotu naší funkce v tomto bodě.
(Přesněji řečeno, střední kvadratická odchylka řady od funkce f(x) bude směřovat k nule, ale navzdory střední kvadratické konvergenci k ní Fourierova řada funkce obecně nemusí bod po bodu konvergovat. )
Tuto řadu lze také zapsat ve tvaru:
(2),
kde 
, k-tá komplexní amplituda.
nebo
(3)
Vztah mezi koeficienty (1) a (3) je vyjádřen následujícími vzorci:
Všimněte si, že všechny tyto tři reprezentace Fourierových řad jsou naprosto ekvivalentní. Někdy je při práci s Fourierovými řadami výhodnější použít místo sinusů a kosinů exponenty imaginárního argumentu, tj. použít Fourierovu transformaci v komplexním tvaru. Pro nás je však výhodné použít vzorec (1), kde je Fourierova řada reprezentována jako součet kosinů s odpovídajícími amplitudami a fázemi. V každém případě je nesprávné tvrdit, že výsledkem Fourierovy transformace reálného signálu budou komplexní harmonické amplitudy. Jak správně uvádí Wiki: "Fourierova transformace (ℱ) je operace, která mapuje jednu funkci reálné proměnné na jinou funkci rovněž reálné proměnné.".
Podtrženo a sečteno:
Matematickým základem spektrální analýzy signálů je Fourierova transformace.
Fourierova transformace umožňuje reprezentovat spojitou funkci f(x) (signál) definovanou na intervalu {0, T} jako součet nekonečného počtu (nekonečné řady) trigonometrických funkcí (sinus a/nebo kosinus) s určitými amplitudami a fázemi uvažovanými rovněž na intervalu {0, T}. Taková řada se nazývá Fourierova řada.
Všimněte si několika dalších bodů, jejichž pochopení je nezbytné pro správné použití Fourierovy transformace při analýze signálů. Uvažujeme-li Fourierovu řadu (součet sinusovek) na celé ose X, zjistíme, že mimo interval {0, T} bude funkce Fourierovy řady periodicky opakovat naši funkci.
Například v grafu na obr. 7 je původní funkce definována na intervalu {-T\2, +T\2} a Fourierova řada představuje periodickou funkci definovanou na celé ose x.
Je to proto, že samotné sinusoidy jsou periodické funkce, takže jejich součet bude také periodická funkce.
Obrázek 7 Zobrazení neperiodické zdrojové funkce pomocí Fourierovy řady
Tedy:
Naše původní funkce je spojitá neperiodická funkce definovaná na úseku délky T.
Spektrum této funkce je diskrétní, tj. je reprezentováno jako nekonečná řada harmonických složek - Fourierova řada.
Ve skutečnosti Fourierova řada definuje nějakou periodickou funkci, která se shoduje s naší funkcí na intervalu {0, T}, ale pro nás tato periodičnost není podstatná.
Další.
Periody harmonických složek jsou násobky intervalu {0, T}, na kterém je definována počáteční funkce f(x). Jinými slovy, periody harmonických složek jsou násobky doby trvání měření signálu. Například perioda první harmonické ve Fourierově řadě je rovna intervalu T, na kterém je definována funkce f(x). Perioda druhé harmonické ve Fourierově řadě je rovna intervalu T/2. A tak dále (viz obrázek 8).
Obr. 8 Periody (frekvence) harmonických složek Fourierovy řady (zde T=2π)
Frekvence harmonických složek jsou proto násobky 1/T. To znamená, že frekvence harmonických složek Fk jsou Fk= k\T, kde k nabývá hodnot od 0 do ∞, například k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;..... Fk= k\T (při nulové frekvenci, konstantní složka).
Nechť naše počáteční funkce je signál zaznamenaný během T=1 s. Pak perioda první harmonické bude rovna době trvání našeho signálu T1=T=1 sec a frekvence harmonické je rovna 1 Hz. Perioda druhé harmonické se bude rovnat době trvání našeho signálu dělené 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvence je rovna 2 Hz. Pro třetí harmonickou platí, že T3=T/3 s a frekvence je rovna 3 Hz. A tak dále.
Krok mezi harmonickými je v tomto případě 1 Hz.
Signál s dobou trvání 1 s lze tedy rozložit na harmonické složky (a získat tak spektrum) s frekvenčním rozlišením 1 Hz.
Pro zvýšení rozlišení o 2 až 0,5 Hz je nutné prodloužit dobu měření o 2 až 2 sekundy. Desetisekundový signál lze rozložit na harmonické složky (spektrum) s frekvenčním rozlišením 0,1 Hz. Jiné způsoby zvýšení frekvenčního rozlišení neexistují.
Existuje způsob, jak uměle prodloužit dobu trvání signálu přidáním nul do pole vzorků. Tím se však nezvýší skutečné frekvenční rozlišení.
3. Diskrétní signály a diskrétní Fourierova transformace
S rozvojem digitální technologie se změnily způsoby ukládání měřených dat (signálů). Zatímco dříve bylo možné signál zaznamenat na magnetofon a uložit na pásku v analogové podobě, nyní jsou signály digitalizovány a ukládány do souborů v paměti počítače jako soubor čísel (počtů).
Obvyklé schéma měření a digitalizace signálu vypadá následovně.
Měřicí převodník -- Normalizátor signálu -- ADC -- Počítač
(Obr.9 Schéma měřicího kanálu)
Signál z měřicího snímače přechází do ADC po dobu T. Údaje o signálu (vzorkování) získané během doby T jsou přenášeny do počítače a ukládány do paměti.
Obr.10 Digitalizovaný signál - N vzorků přijatých pro čas T
Jaké jsou požadavky na parametry digitalizace signálu? Zařízení, které převádí vstupní analogový signál na diskrétní kód (digitální signál), se nazývá analogově-digitální převodník (ADC) (© Wiki).
Jedním ze základních parametrů ADC je maximální vzorkovací frekvence - frekvence vzorkování signálu, který je spojitý v čase. Vzorkovací frekvence se měří v hertzích. ((© Wiki))
Podle Kotelnikovovy věty, má-li spojitý signál spektrum omezené frekvencí Fmax, lze jej plně a jednoznačně rekonstruovat z jeho diskrétních vzorků odebraných v časových intervalech T = 1/2*Fmax, tj. s frekvencí Fd ≥ 2*Fmax, kde Fd - vzorkovací frekvence; Fmax - maximální frekvence spektra signálu. Jinými slovy, frekvence digitalizace signálu (vzorkovací frekvence ADC) musí být alespoň 2krát vyšší než maximální frekvence signálu, který chceme měřit.
A co se stane, když budeme brát vzorky s nižší frekvencí, než vyžaduje Kotelnikovova věta?
V tomto případě dochází k "aliasing" efektu (tzv. stroboskopický efekt, moiré efekt), kdy se vysokofrekvenční signál po digitalizaci změní na nízkofrekvenční signál, který ve skutečnosti neexistuje. Na obr. 11 je červená sinusoida vysoké frekvence skutečným signálem. Modrá sinusoida nižší frekvence je fiktivní signál, který vzniká v důsledku toho, že během doby vzorkování stihne projít více než polovina periody vysokofrekvenčního signálu.
Obr. 11. Vznik falešného nízkofrekvenčního signálu při nedostatečně vysoké vzorkovací frekvenci
Aby se zabránilo aliasingovému efektu, je před ADC umístěn speciální anti-aliasingový filtr (dolní propust). Ten propouští frekvence nižší než polovina vzorkovací frekvence ADC a odřezává vyšší frekvence.
K výpočtu spektra signálu pomocí diskrétních vzorků se používá diskrétní Fourierova transformace (DFT). Všimněte si znovu, že spektrum diskrétního signálu je "z definice" omezeno na frekvenci Fmax menší než polovina vzorkovací frekvence Fd. Proto lze spektrum diskrétního signálu reprezentovat součtem těchto hodnot a konečný počet harmonických, na rozdíl od nekonečného součtu Fourierovy řady spojitého signálu, jehož spektrum může být neomezené. Podle Kotelnikovovy věty musí být maximální frekvence harmonické taková, aby na ni připadaly alespoň dva vzorky, takže počet harmonických je roven polovině počtu vzorků diskrétního signálu. To znamená, že pokud je ve vzorku N vzorků, počet harmonických ve spektru bude N/2.
Uvažujme nyní diskrétní Fourierovu transformaci (DFT).
Srovnání s Fourierovou řadou
Jak vidíme, shodují se, až na to, že čas ve FFT je diskrétní a počet harmonických je omezen na N/2, což je polovina počtu vzorků.
Vzorce DFT se zapisují v bezrozměrných celočíselných proměnných k, s, kde k je počet vzorků signálu, s je počet spektrálních složek.
Hodnota s udává počet plných harmonických kmitů za periodu T (doba trvání měření signálu). Diskrétní Fourierova transformace se používá k numerickému zjištění amplitud a fází harmonických kmitů, tj. "na počítači".
Jak již bylo řečeno výše, při rozkladu neperiodické funkce (našeho signálu) na Fourierovy řady odpovídá výsledná Fourierova řada vlastně periodické funkci s periodou T (obr. 12).
Obr.12. Periodická funkce f(x) s periodou T0, s periodou T>T0
Jak je vidět na obr. 12, funkce f(x) je periodická s periodou T0. Avšak vzhledem k tomu, že délka měřicího vzorku T není rovna periodě funkce T0, má funkce získaná jako Fourierova řada nespojitost v bodě T. V důsledku toho bude spektrum této funkce obsahovat velké množství vysokofrekvenčních harmonických. Pokud by se doba trvání měřeného vzorku T shodovala s periodou funkce T0, pak by spektrum získané po Fourierově transformaci obsahovalo pouze první harmonickou (sinusoidu s periodou rovnou době trvání vzorku), protože funkce f(x) je sinusoida.
Jinými slovy, program DFT "neví", že náš signál je "řez sinusovky", ale snaží se reprezentovat jako sérii periodickou funkci, která má nespojitost v důsledku nespojitosti jednotlivých částí sinusovky.
V důsledku toho se ve spektru objevují harmonické, které by měly celkově reprezentovat tvar funkce včetně této nespojitosti.
Proto, abychom získali "správné" spektrum signálu, který je součtem několika sinusoid s různými periodami, je nutné, aby se v něm nacházelo celočíselný počet období každá sinusoida by měla být přítomna v měřicí periodě signálu. V praxi lze tuto podmínku splnit při dostatečně dlouhé době měření signálu.
Obr.13 Příklad funkce a spektra signálu kinematické chyby převodovky
Při kratším trvání bude obraz vypadat "hůře":
Obr.14 Příklad vibrační funkce a spektra rotoru
V praxi může být obtížné pochopit, kde se nacházejí "skutečné složky" a kde "artefakty" způsobené nesouladem period složek a dob trvání vzorkování signálu nebo "skoky a zlomy" v průběhu. Slova "skutečné složky" a "artefakty" jsou samozřejmě v uvozovkách z nějakého důvodu. Přítomnost mnoha harmonických složek na grafu spektra neznamená, že se z nich náš signál skutečně skládá. Je to jako myslet si, že číslo 7 se "skládá" z čísel 3 a 4. Číslo 7 si můžeme představit jako součet čísel 3 a 4 - to je správně.
Takže i náš signál... nebo spíše ani ne "náš signál", ale periodickou funkci složenou z opakování našeho signálu (vzorku) lze reprezentovat jako součet harmonických (sinusovek) s určitými amplitudami a fázemi. V mnoha případech důležitých pro praxi (viz obrázky výše) je však skutečně možné vztahovat harmonické získané ve spektru také k reálným procesům, které mají cyklický charakter a významně se podílejí na podobě signálu.
Některé výsledky
1. Reálný měřený signál o trvání T s digitalizovaný ADC, tj. reprezentovaný souborem diskrétních vzorků (N kusů), má diskrétní neperiodické spektrum reprezentované souborem harmonických (N/2 kusů).
2. Signál je reprezentován souborem platných hodnot a jeho spektrum je reprezentováno souborem platných hodnot. Frekvence harmonických jsou kladné. To, že je matematicky výhodnější reprezentovat spektrum v komplexním tvaru pomocí záporných frekvencí, neznamená, že "je to tak správně" a "tak by se to mělo dělat vždy".
3. Signál naměřený v čase T je určen pouze v čase T. Co se stalo předtím, než jsme začali signál měřit, a co se stane potom, není vědě známo. A v našem případě to není zajímavé. FFT časově omezeného signálu poskytuje jeho "skutečné" spektrum v tom smyslu, že za určitých podmínek umožňuje vypočítat amplitudu a frekvenci jeho složek.