ფურიეს გარდაქმნის გამოყენება ვიბრაციის სიგნალების ანალიზში

ანდრეი შელკოვენკო. Vibromera-ს ერთ-ერთი შემქმნელი და დამფუძნებელი.
სტატიის თარგმანი შეიძლება შეიცავდეს უზუსტობებს.

ფურიეს ტრანსფორმაცია და სიგნალის სპექტრი

ბევრ შემთხვევაში ამოცანა მისაღები (გამოთვლის) სპექტრი სიგნალის შემდეგია. არსებობს ADC, რომელიც ნიმუშის აღების სიხშირე Fd აქცევს უწყვეტ სიგნალს, რომელიც მოდის მის შეყვანილზე დროის T განმავლობაში, ციფრულ ნიმუშებში – N ცალი. შემდეგ ეს ნიმუშების მასივი იკვებება რაიმე პროგრამაში (მაგალითად FourierScope) რომელიც გამოსავალზე იძლევა N/2 რიცხვით მნიშვნელობას.

იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, მუშაობს თუ არა პროგრამა სწორად, ჩვენ ვქმნით ნიმუშების მასივს ორი sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) ჯამის სახით და ვაწვდით მას პროგრამაში. პროგრამა ასახავდა შემდეგს:

 

 

არსებობს ორი ჰარმონიკები სპექტრული გრაფიკზე – 5 Hz ამპლიტუდით 0.5 V და 10 Hz ამპლიტუდით 1 V, ყველაფერი შესაბამისია ორიგინალური სიგნალის ფორმულასთან. ყველაფერი კარგია, პროგრამა სწორად მუშაობს.

ეს ნიშნავს, რომ თუ ჩვენ მივაწვდით რეალურ სიგნალს ორი სინუსოიდის ნარევიდან ADC შეყვანაში, მივიღებთ მსგავს სპექტრს, რომელიც შედგება ორი ჰარმონიისგან.

ასე რომ, ჩვენი რეალური გაზომილი სიგნალი 5 წმ. ხანგრძლივობის, გაციფრული ADC-ით, ანუ წარმოდგენილი დისკრეტული ნიმუშებით წარმოდგენილ სიგნალს აქვს დისკრეტული არაპერიოდული სპექტრი.
მათემატიკური თვალსაზრისით - რამდენი შეცდომაა ამ ფრაზაში?

ახლა შევეცადოთ გავზომოთ იგივე სიგნალი 0,5 წამის განმავლობაში.

 

 

აქ რაღაც რიგზე არ არის! 10 Hz-ზე ჰარმონიკა ნორმალურად არის გამოსახული, ხოლო 5 Hz-ზე ჰარმონიკის ნაცვლად რამდენიმე გაურკვეველი ჰარმონიკა ჩანს.

ინტერნეტში ამბობენ, რომ ნიმუშის ბოლოში ნულების დამატებაა საჭირო და სპექტრი ნორმალურად დაიხაზება.

 

 

ეს სულაც არ არის ის, რაც გვჭირდება. ჩანს, თეორიაში გარკვევა მოგვიწევს. გადავიდეთ ვიკიპედია - ცოდნის წყარო.

უწყვეტი ფუნქცია და მისი ფურიეს სერიის წარმოდგენა

მათემატიკურად, ჩვენი სიგნალი T წამის ხანგრძლივობით არის გარკვეული ფუნქცია f(x) მოცემული ინტერვალზე {0, T} (ამ შემთხვევაში X არის დრო). ასეთი ფუნქცია ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმის ჰარმონიული ფუნქციების ჯამი (სინუსი ან კოსინუსი):

k არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რიცხვი (ჰარმონიული კომპონენტის რაოდენობა, ჰარმონიის რაოდენობა)
T - სეგმენტი, სადაც ფუნქცია განისაზღვრება (სიგნალის ხანგრძლივობა)
Ak — k-ე ჰარმონიკული კომპონენტის ამპლიტუდა,
θk — k-ე ჰარმონიკული კომპონენტის საწყისი ფაზა
რას ნიშნავს „ფუნქციის სერიის ჯამის სახით წარმოდგენა“? ეს ნიშნავს, რომ ფურიეს სერიის ჰარმონიული კომპონენტების მნიშვნელობების დამატებით თითოეულ წერტილში, ჩვენ ვიღებთ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში.
(უფრო მკაცრად, სერიის საშუალო კვადრატული გადახრა f(x) ფუნქციიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, მაგრამ მიუხედავად საშუალო კვადრატული კონვერგენციისა, ფუნქციის ფურიეს სერიები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის საჭირო, რომ მას წერტილი-პუნქტი ემთხვეოდეს.)
ეს სერია ასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმით:

 

 

 

სადაც , k-ე კომპლექსური ამპლიტუდა.

 

ან

 

 

 

(1) და (3) კოეფიციენტებს შორის კავშირი გამოიხატება შემდეგი ფორმულებით:

 

 

 

 

გაითვალისწინეთ, რომ ფურიეს მწკრივის ეს სამივე წარმოდგენა სრულიად ეკვივალენტურია. ზოგჯერ ფურიეს მწკრივებთან მუშაობისას უფრო მოსახერხებელია წარმოსახვითი არგუმენტის მქონე ექსპონენტების გამოყენება სინუსებისა და კოსინუსების ნაცვლად, ანუ ფურიეს გარდაქმნის კომპლექსურ ფორმაში გამოყენება. მაგრამ ჩვენთვის მოსახერხებელია ფორმულა (1), სადაც ფურიეს მწკრივი წარმოდგენილია შესაბამისი ამპლიტუდებისა და ფაზების მქონე კოსინუსების ჯამის სახით. მკაცრად რომ ვთქვათ, რეალური სიგნალის ფურიეს გარდაქმნა მართლაც წარმოქმნის კომპლექსურ კოეფიციენტებს (ფორმა (3)): თითოეული კოეფიციენტი ატარებს თავისი ჰარმონიკის როგორც ამპლიტუდას, ისე ფაზას. რეალური სიგნალისთვის ამ კომპლექსურ კოეფიციენტებს აქვთ შეუღლებული (ჰერმიტული) სიმეტრია — უარყოფითი სიხშირეების ნახევარი უბრალოდ ასახავს დადებითი სიხშირეების ნახევარს და დამატებით ინფორმაციას არ შეიცავს. ამიტომ კომპლექსური კოეფიციენტებიდან ყოველთვის შეგვიძლია გადავიდეთ ფორმულა (1)-ის რეალურ არაუარყოფით ამპლიტუდებზე Ak და ფაზებზე θk — და ანალიზის პროგრამები სწორედ ამ ამპლიტუდურ სპექტრს ხატავენ.

 

შეჯამება:
სიგნალების სპექტრული ანალიზის მათემატიკური საფუძველია ფურიეს ტრანსფორმაცია.

ფურიეს ტრანსფორმაცია საშუალებას იძლევა, ინტერვალზე {0, T} განსაზღვრული უწყვეტი ფუნქცია f(x) (სიგნალი) წარმოდგენილი იყოს განსაზღვრული ამპლიტუდებისა და ფაზების მქონე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (სინუსებისა და/ან კოსინუსების) უსასრულო ჯამის სახით, რომლებიც ასევე განიხილება ინტერვალზე {0, T}. ასეთ რიგს ფურიეს რიგი ეწოდება.

გაითვალისწინეთ კიდევ რამდენიმე პუნქტი, რომელთა გაგებაც საჭიროა სიგნალის ანალიზში ფურიეს ტრანსფორმაციის სწორი გამოყენებისთვის. თუ განვიხილავთ ფურიეს სერიას (სინუსოიდების ჯამს) მთელ X ღერძზე, დავინახავთ, რომ ინტერვალის გარეთ {0, T} ფურიეს სერიის ფუნქცია პერიოდულად გაიმეორებს ჩვენს ფუნქციას.

მაგალითად, ნახ. 7-ის გრაფიკზე თავდაპირველი ფუნქცია განსაზღვრულია ინტერვალზე {-T\2, +T\2}, ხოლო ფურიეს სერია წარმოადგენს პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულია მთელ x ღერძზე.

ეს იმიტომ, რომ სინუსოიდები თავად პერიოდული ფუნქციებია, ამიტომ მათი ჯამიც პერიოდული ფუნქცია იქნება.

ამგვარად:

ჩვენი თავდაპირველი ფუნქცია არის უწყვეტი, არაპერიოდული ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია T სიგრძის მქონე მონაკვეთზე.
ამ ფუნქციის სპექტრი დისკრეტულია, ანუ წარმოდგენილია ჰარმონული კომპონენტების უსასრულო რიგის სახით – ფურიეს რიგით.
სინამდვილეში, ფურიეს რიგი განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ჩვენს ფუნქციას ემთხვევა ინტერვალზე {0, T}, მაგრამ ჩვენთვის ეს პერიოდულობა არსებითი არ არის.

შემდეგ.

ჰარმონიკული კომპონენტების პერიოდები იმ ინტერვალის {0, T} ჯერადებია, რომელზეც საწყისი ფუნქცია f(x) არის განსაზღვრული. სხვა სიტყვებით, ჰარმონიკების პერიოდები სიგნალის გაზომვის ხანგრძლივობის ჯერადებია. მაგალითად, ფურიეს რიგის პირველი ჰარმონიკის პერიოდი ტოლია იმ ინტერვალისა T, რომელზეც ფუნქცია f(x) არის განსაზღვრული. ფურიეს რიგის მეორე ჰარმონიკის პერიოდი ტოლია T/2-ის. და ასე შემდეგ (იხ. ნახ. 8).

შესაბამისად, ჰარმონიკული კომპონენტების სიხშირეები 1/T-ის მრავლობითია. ანუ, ჰარმონიკული კომპონენტების სიხშირეები Fk არის Fk= k\\T, სადაც k იცვლება 0-დან უსასრულობამდე, მაგალითად, k=0 F0=0; k=1 F1=1\\T; k=2 F2=2\\T; k=3 F3=3\\T;…. Fk= k/T (ნულოვანი სიხშირისას, მუდმივი კომპონენტი).

დავუშვათ, რომ ჩვენი საწყისი ფუნქცია არის სიგნალი, რომელიც T=1 წმ-ის განმავლობაშია ჩაწერილი. მაშინ პირველი ჰარმონიკის პერიოდი იქნება ჩვენი სიგნალის ხანგრძლივობის ტოლი, T1=T=1 წმ, ხოლო ჰარმონიკის სიხშირე იქნება 1 ჰც. მეორე ჰარმონიკის პერიოდი იქნება ჩვენი სიგნალის ხანგრძლივობის ნახევარი (T2=T/2=0.5 წმ) და სიხშირე 2 ჰც. მესამე ჰარმონიკისთვის, T3=T/3 წმ და სიხშირე 3 ჰც. და ა.შ.

ამ შემთხვევაში ჰარმონიკებს შორის ინტერვალი 1 ჰც-ია.

ამგვარად, 1 წმ. ხანგრძლივობის სიგნალი შეიძლება დაიშალოს ჰარმონიკულ კომპონენტებად (სპექტრის მისაღებად) 1 Hz სიხშირული გარჩევადობით.
გარჩევადობის 2-ჯერ გაზრდისთვის 0.5 Hz-მდე აუცილებელია გაზომვის ხანგრძლივობის 2-ჯერ გაზრდა 2 წამამდე. 10 წამიანი სიგნალი შეიძლება დაიშალოს ჰარმონიულ კომპონენტებად (სპექტრი) 0.1 Hz სიხშირის გარჩევადობით. სიხშირის გარჩევადობის გაზრდის სხვა გზა არ არსებობს. ამ კავშირის ზომიერება შეგიძლიათ გამოიკვლიოთ ჩვენი FFT გარჩევადობის კალკულატორი.

არსებობს სიგნალის ხანგრძლივობის ხელოვნურად გაზრდის გზა — ნიმუშების მასივში ნულების დამატება. მაგრამ ეს რეალურ სიხშირულ გარჩევადობას არ ზრდის.

დისკრეტული სიგნალები და დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია

ციფრული ტექნოლოგიების განვითარებასთან ერთად შეიცვალა საზომი მონაცემების (სიგნალების) შენახვის მეთოდები. თუ ადრე სიგნალის ჩაწერა შესაძლებელი იყო მაგნიტურ ლენტაზე და მისი შენახვა ანალოგური სახით, ახლა სიგნალები ციფრული ფორმატით გარდაიქმნება და კომპიუტერის მეხსიერებაში ფაილების სახით, რიცხვების (თვლების) ნაკრების სახით ინახება.

სიგნალის გაზომვისა და დისკრეტიზაციის ჩვეულებრივი სქემა შემდეგნაირია.

ტრანსდუსერის საზომი —- სიგნალის ნორმალიზატორი —- ადაპტერული გარდამქმნელი (ADC) —– კომპიუტერი
(ნახ.9 საზომი არხის სქემა

საზომი ტრანსდუჩერიდან სიგნალი გარკვეული დროის განმავლობაში, T, მიეწოდება ანალოგ-ციფრულ გადამყვანს (ADC). დრო T-ის განმავლობაში მიღებული სიგნალის გაზომვების (დამუშავების) შედეგები გადაეცემა კომპიუტერს და ინახება მეხსიერებაში.

რა მოთხოვნები არსებობს სიგნალის დიგიტალიზაციის პარამეტრებისთვის? მოწყობილობას, რომელიც შემავალ ანალოგურ სიგნალს დისკრეტულ კოდში (ციფრულ სიგნალში) გარდაქმნის, ანალოგ-ციფრული გარდამქმნელი (ADC) ეწოდება (© Wiki).

ADC-ის ერთ-ერთი ძირითადი პარამეტრია მაქსიმალური ნიმუშის აღების სიხშირე – დროში უწყვეტი სიგნალის ნიმუშის აღების სიხშირე. ნიმუშის აღების სიხშირე იზომება ჰერცებში. ((© Wiki))

კოტელნიკოვის თეორემის თანახმად, თუ უწყვეტ სიგნალს აქვს სპექტრი, რომელიც შეზღუდულია სიხშირით Fmax, მისი სრულად და უნიკალურად აღდგენა შესაძლებელია მისი დისკრეტული ნიმუშებიდან, რომლებიც აღებულია დროის ინტერვალებით Δt ≤ 1/(2*Fmax), ანუ დისკრეტიზაციის სიხშირით Fd ≥ 2*Fmax, სადაც Fd — დისკრეტიზაციის სიხშირე; Fmax — სიგნალის სპექტრის მაქსიმალური სიხშირე. სხვა სიტყვებით, სიგნალის დიგიტალიზაციის სიხშირე (ADC-ს დისკრეტიზაციის სიხშირე) უნდა იყოს მინიმუმ ორჯერ მეტი იმ სიგნალის მაქსიმალურ სიხშირეზე, რომლის გაზომვაც გვინდა.

და რა მოხდება, თუ ნიმუშებს კოტელნიკოვის თეორემით მოთხოვნილზე დაბალი სიხშირით ავიღებთ?

ამ შემთხვევაში მოიძებნება “ალიასინგიამ შემთხვევაში არსებობს "ალიასინგის" ეფექტი (იგივე სტრობოსკოპული ეფექტი, მოირეს ეფექტი), რომლის დროსაც მაღალი სიხშირის სიგნალი ციფრული გარდაქმნის შემდეგ გარდაიქმნება დაბალი სიხშირის სიგნალად, რომელიც სინამდვილეში არ არსებობს. ნახ. 11-ზე მაღალი სიხშირის წითელი სინუსოიდა არის ნამდვილი სიგნალი. უფრო დაბალი სიხშირის ლურჯი სინუსოიდა კი — წარმოსული სიგნალია, რომელიც ჩნდება იმის გამო, რომ ნიმუშის აღების დროში მაღალი სიხშირის სიგნალის ნახევარ პერიოდზე მეტი გადის.

 

ალიასინგის ეფექტის თავიდან ასაცილებლად, სპეციალური ანტიალიასინგის ფილტრი (დაბალი სიხშირის ფილტრი) დამონტაჟდება ADC-ის წინ. იგი ატარებს სიხშირებს, რომლებიც ADC-ის ნიმუშების აღების სიხშირის ნახევარზე დაბალია, და აკვეთს უფრო მაღალი სიხშირებს.

სიგნალის სპექტრის გამოსათვლელად მისი დისკრეტული ნიმუშების მიერ გამოიყენება დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია (DFT) გამოიყენება. კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ დისკრეტული სიგნალის სპექტრი “განმარტების მიხედვით” შეზღუდულია სიხშირით Fmax, რომელიც ADC-ის ნიმუშების აღების სიხშირის Fd ნახევარზე ნაკლებია. შესაბამისად, დისკრეტული სიგნალის სპექტრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საბოლოო ჰარმონიკების რაოდენობა, უსასრულო ჯამისგან განსხვავებით, რომელიც უწყვეტი სიგნალის ფურიეს რიგის სპექტრს შეიძლება ჰქონდეს, შეზღუდულია. კოტელნიკოვის თეორემის თანახმად, ჰარმონიკის მაქსიმალური სიხშირე ისეთია, რომ ის სულ მცირე ორ ნიმუშს მოიცავს, ამიტომ ჰარმონიკების რაოდენობა დისკრეტული სიგნალის ნიმუშების რაოდენობის ნახევარს უდრის. ანუ, თუ ნიმუშში N რაოდენობის წერტილია, სპექტრში ჰარმონიკების რაოდენობა N/2 იქნება.

განვიხილოთ ახლა დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა (DFT).

ფურიეს რიგებთან შედარება

 

როგორც ვხედავთ, ისინი ემთხვევა ერთმანეთს, გარდა იმისა, რომ FFT-ში დრო დისკრეტულია და ჰარმონიკების რაოდენობა შეზღუდულია N/2-ით, რაც ნიმუშების რაოდენობის ნახევარია.

DFT-ის ფორმულები წერილობითია უზომო მთელ რიცხვთა ცვლადებში k, s, სადაც k სიგნალის ნიმუშების რაოდენობაა, ხოლო s — სპექტრული კომპონენტების რაოდენობა.
მნიშვნელობა s აჩვენებს სრული ჰარმონიკული რხევების რაოდენობას ერთ პერიოდში T (სიგნალის გაზომვის ხანგრძლივობა). დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა გამოიყენება ჰარმონიკების ამპლიტუდებისა და ფაზების რიცხვითი მეთოდით გამოსათვლელად, ანუ "კომპიუტერზე".

როგორც ზემოთ უკვე აღინიშნა, არაპერიოდული ფუნქციის (ჩვენი სიგნალის) ფურიეს რიგებად დეკომპოზიციისას, მიღებული ფურიეს რიგები, ფაქტობრივად, პერიოდულ ფუნქციას შეესაბამება პერიოდით T (ნახ. 12).

 

 

როგორც ჩანს 12-ე სურათზე, ფუნქცია f(x) პერიოდული T0 პერიოდით. თუმცა იმის გამო, რომ გაზომვის ნიმუშის ხანგრძლივობა T არ უტოლდება ფუნქციის პერიოდს T0, ფურიეს სერიის საშუალებით მიღებული ფუნქცია წყვეტას აქვს T წერტილში. შედეგად, ამ ფუნქციის სპექტრი შეიცავს დიდ რაოდენობას მაღალი სიხშირის ჰარმონიკებს. ეს მოვლენა ცნობილია როგორც სპექტრული გაჟონვა, და პრაქტიკაში იგი შემცირდება ფანჯარა სიგნალის ტრანსფორმაციის წინ. თუ გაზომვის ნიმუშის ხანგრძლივობა T დაემთხვა ფუნქციის პერიოდს T0, მაშინ ფურიეს ტრანსფორმაციის შემდეგ მიღებული სპექტრი შეიცავდა მხოლოდ პირველ ჰარმონიკას (სინუსოიდი პერიოდით, რომელიც ტოლია ნიმუშის ხანგრძლივობისა), რადგან ფუნქცია f(x) სინუსოიდია.

სხვა სიტყვებით, DFT პროგრამას "არ იცის", რომ ჩვენი სიგნალი "სინუსოიდის ნაჭერია", მაგრამ ცდილობს, წარმოდგენა გააკეთოს სერიების სახით პერიოდული ფუნქციის, რომელსაც შეუწყვეტლობა გააჩნია სინუსოიდის ცალკეული ნაწილების შეუწყვეტლობის გამო.

შედეგად, სპექტრში ჩნდება ჰარმონიკები, რომლებმაც ერთობლივად უნდა აღწერონ ფუნქციის ფორმა, ამ წყვეტის ჩათვლით.

ამგვარად, სიგნალის "სწორი" სპექტრის მისაღებად, რომელიც წარმოადგენს სხვადასხვა პერიოდის მქონე რამდენიმე სინუსოიდის ჯამს, აუცილებელია, რომ პერიოდების მთელი რიცხვი თითოეული სინუსოიდი სიგნალის გაზომვის პერიოდში უნდა იყოს წარმოდგენილი. პრაქტიკაში, ეს პირობა შეიძლება დაკმაყოფილდეს სიგნალის გაზომვის საკმარისად ხანგრძლივი ხანგრძლივობით.

 

 

უფრო ხანმოკლე ხანგრძლივობისას სურათი "უფრო ცუდად" გამოჩნდება:

 

 

 

 

პრაქტიკაში შეიძლება რთული იყოს იმის გაგება, სად არის "ნამდვილი კომპონენტები" და სად — "არტეფაქტები", რომლებიც გამოწვეულია კომპონენტების პერიოდებისა და სიგნალის ნიმუნირების ხანგრძლივობების შეუსაბამობით, ან ტალღის ფორმის "ხტომებითა და წყვეტებით". რა თქმა უნდა, სიტყვები "ნამდვილი კომპონენტები" და "არტეფაქტები" ფრჩხილებში არა უშედეგოდ არის მოქცეული. სპექტრის გრაფიკზე ბევრი ჰარმონიკის არსებობა არ ნიშნავს, რომ ჩვენი სიგნალი სინამდვილეში მათგან შედგება. ეს იმის მსგავსია, თითქოს ფიქრობდეთ, რომ რიცხვი 7 "შედგება" რიცხვების 3-ისა და 4-ისგან. რიცხვი 7 შეიძლება განვიხილოთ, როგორც 3-ისა და 4-ის ჯამი – და ეს სწორია.

ასევე ჩვენი სიგნალი... ან, უფრო სწორად, არა "ჩვენი სიგნალი", არამედ პერიოდული ფუნქცია, რომელიც ჩვენი სიგნალის (ნიმუშის) განმეორებით მიიღება, შეიძლება წარმოდგენილ იქნას ჰარმონიკების (სინუსოიდების) გარკვეული ამპლიტუდებითა და ფაზებით შეკრებად. მაგრამ პრაქტიკისთვის მნიშვნელოვან ბევრ შემთხვევაში (იხილეთ ზემოთ მოცემული სურათები) ნამდვილად შესაძლებელია სპექტრში მიღებული ჰარმონიკების დაკავშირება ციკლური ხასიათის რეალურ პროცესებთან, რომლებიც მნიშვნელოვნად განაპირობებენ სიგნალის ფორმას.

ზოგიერთი შედეგი

1. ნამდვილ, გაზომილ სიგნალს T წმ. ხანგრძლივობით, რომელიც ADC-ის მიერ არის გაციფრულებული და შესაბამისად დისკრეტული ნიმუშების (N ცალი) ნაკრებით არის წარმოდგენილი, აქვს დისკრეტული არაპერიოდული სპექტრი, რომელიც ჰარმონიკების (N/2 ცალი) ნაკრებით არის წარმოდგენილი.

2. სიგნალი წარმოდგენილია რეალური მნიშვნელობების ნაკრებით. მისი DFT სპექტრი არის კომპლექსური კოეფიციენტების ნაკრები შეუღლებული სიმეტრიით; მათგან მიიღება ამპლიტუდური სპექტრი — დადებით სიხშირეებზე რეალური არაუარყოფითი ამპლიტუდების (და ფაზების) ნაკრები, და პრაქტიკაში სწორედ ეს ცალმხრივი ამპლიტუდური სპექტრი იგება. უარყოფითი სიხშირეების მქონე ორმხრივი კომპლექსური ფორმა და ცალმხრივი ამპლიტუდა/ფაზის ფორმა ერთი და იმავე სპექტრის ეკვივალენტური წარმოდგენებია — სიგნალის ანალიზისთვის ჩვეულებრივ უფრო მოსახერხებელია ცალმხრივ ამპლიტუდურ სპექტრთან მუშაობა.

3. T დროზე გაზომილი სიგნალი განისაზღვრება მხოლოდ T დროს. რა მოხდა მანამ, სანამ დავიწყებდით სიგნალის გაზომვას და რა მოხდება ამის შემდეგ, მეცნიერებისთვის უცნობია. და ჩვენს შემთხვევაში ეს არ არის საინტერესო. დროში შეზღუდული სიგნალის FFT იძლევა მის "რეალურ" სპექტრს, იმ გაგებით, რომ გარკვეულ პირობებში ის საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მისი კომპონენტების ამპლიტუდა და სიხშირე.