A Fourier-transzformáció alkalmazása a rezgésjelek elemzésében

Andrej Shelkovenko. A Vibromera egyik fejlesztője és alapítója.
A cikk fordítása pontatlanságokat tartalmazhat.

Fourier-transzformáció és jelspektrum

Sok esetben a spektrum A jel feldolgozása a következőképpen történik. Van egy ADC, amely mintavételezéssel frekvencia Az Fd a T időtartam alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet N darab digitális mintává alakítja át. Ezután ezt a mintatömböt továbbítja egy programnak (például FourierScope), amely N/2 numerikus értéket ad ki.

Hogy ellenőrizzük, hogy a program helyesen működik-e, képezzünk egy mintatömböt két sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) összegeként, és tápláljuk be a programba. A program a következőket rajzolta ki:

 

 

Két felharmonikusok a spektrumgrafikonon – 5 Hz-es, 0,5 V-os amplitúdóval, és 10 Hz-es, 1 V-os amplitúdóval; minden pontosan az eredeti jel képletének megfelelően alakul. Minden rendben van, a program megfelelően működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszoid keverékéből álló valós jelet táplálunk az ADC bemenetére, akkor egy hasonló, két felharmonikusból álló spektrumot kapunk.

Tehát, a mi valódi mért jel 5 másodperces időtartamú, az ADC által digitalizálva, azaz ábrázolva diszkréten minták, van egy diszkrét nem periodikus spektrum.
Matematikai szempontból - hány hiba van ebben a mondatban?

Most próbáljuk meg ugyanazt a jelet 0,5 másodpercig mérni.

 

 

Itt valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus normálisan kirajzolódik, és az 5 Hz-es felharmonikus helyett néhány tisztázatlan felharmonikus van.

Az interneten azt mondják, hogy a minta végéhez nullákat kell hozzáadni, és a spektrum normálisan kirajzolódik.

 

 

Egyáltalán nem erről van szó. Az elmélettel kell foglalkoznom. Menjünk a wikipedia - a tudás forrása.

Folyamatos függvény és Fourier-soros ábrázolása

Matematikailag a T másodperces időtartamú jelünk egy f(x) függvény, amely a {0, T} intervallumon van megadva (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

k a trigonometrikus függvény száma ( a harmonikus komponens száma, a harmonikus száma)
T - szegmens, ahol a függvényt definiálják (a jel időtartama)
Ak- a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk- a k-edik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent az, hogy “a függvényt a sorozatok összegeként ábrázoljuk”? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sorozat harmonikus komponenseinek értékeit minden egyes pontban összeadva megkapjuk a függvényünk értékét az adott pontban.
(Szűkebb értelemben a sorozat f(x) függvénytől való átlagos négyzetes eltérése nullához fog tendálni, de az átlagos négyzetes konvergencia ellenére egy függvény Fourier-sorozatának általában nem kell pontról pontra konvergálnia hozzá. )
Ez a sorozat a következő formában is leírható:

 

 

 

ahol , a k-adik komplex amplitúdó.

 

vagy

 

 

 

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletek fejezik ki:

 

 

 

 

Vegyük észre, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. A Fourier-sorokkal végzett munka során néha kényelmesebb a képzetes argumentumú exponenseket használni szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformáció komplex alakját alkalmazni. Számunkra azonban kényelmes a (1) képlet használata, ahol a Fourier-sor a megfelelő amplitúdójú és fázisú koszinuszok összegeként szerepel. Szigorúan véve egy valós jel Fourier-transzformációja valóban komplex együtthatókat ad (3. alak): minden együttható hordozza a saját harmonikusának amplitúdóját és fázisát. Valós jel esetén ezek a komplex együtthatók konjugált (Hermit-féle) szimmetriával rendelkeznek — a negatív frekvenciás fél egyszerűen tükrözi a pozitív frekvenciás felet, és nem hordoz többletinformációt. Ezért a komplex együtthatókból mindig át lehet térni az (1) képlet valós, nem negatív Ak amplitúdóira és θk fázisaira — és pontosan ezt az amplitúdóspektrumot ábrázolják az elemzőprogramok.

 

A lényeg:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a {0, T} intervallumon definiált f(x) folytonos függvényt (jelet) a szintén a {0, T} intervallumon meghatározott amplitúdóval és fázissal rendelkező, végtelen számú (végtelen sorozat) trigonometrikus függvény (szinusz és/vagy koszinusz) összegeként ábrázoljuk. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezzük.

Megjegyzünk még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelelemzésben. Ha a Fourier-sorozatot (szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen vizsgáljuk, akkor azt látjuk, hogy a {0, T} intervallumon kívül a Fourier-sorozat függvénye periodikusan ismétli a függvényünket.

Például a 7. ábrán látható grafikonon az eredeti függvényt a {-T\2, +T\2} intervallumon definiáljuk, és a Fourier-sorozat egy periodikus függvényt reprezentál, amelyet a teljes x-tengelyen definiálunk.

Ez azért van így, mert maguk a szinuszoidok periodikus függvények, így összegük is periodikus függvény lesz.

Így:

Az eredeti függvényünk egy folytonos, nem periodikus függvény, amelyet egy T hosszúságú szakaszon definiálunk.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus összetevők végtelen sorozataként - Fourier-sorozatként - jelenik meg.
Valójában a Fourier-sorok definiálnak egy periodikus függvényt, amely egybeesik a mi függvényünkkel a {0, T} intervallumon, de számunkra ez a periodicitás nem lényeges.

Következő.

A harmonikus komponensek periódusai a {0, T} intervallum többszörösei, amelyen a kezdeti f(x) függvényt definiáljuk. Más szóval, a harmonikusok periódusai a jelmérés időtartamának többszörösei. Például egy Fourier-sorozat első harmonikusának periódusa egyenlő azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvényt definiálták. A Fourier-sorozat második harmonikusának periódusa egyenlő a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd a 8. ábrát).

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái az 1/T többszörösei. Vagyis az Fk harmonikus komponensek frekvenciája Fk= k\T, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;..... Fk= k\T (nulla frekvencián, állandó komponens).

Legyen a kezdeti függvényünk egy T=1 sec alatt rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa megegyezik a T1=T=1 sec jelünk időtartamával, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 sec), és a frekvencia 2 Hz. A harmadik harmonikus esetében T3=T/3 sec, és a frekvencia 3 Hz. És így tovább.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 másodperces időtartamú jel 1 Hz-es frekvenciafelbontással harmonikus összetevőkre bontható (spektrumot kapunk).
Ahhoz, hogy a felbontást kétszeresére, 0,5 Hz-re növeljük, a mérés időtartamát is kétszeresére, 2 másodpercre kell növelni. Egy 10 másodperces jel 0,1 Hz-es frekvenciafelbontással harmonikus komponensekre (spektrumra) bontható. A frekvenciafelbontás növelésére nincs más módszer. Ezt az összefüggést a mi FFT felbontás kalkulátor.

A jel időtartamát mesterségesen megnövelhetjük úgy, hogy nullákat adunk hozzá a minták sorához. Ez azonban nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

Diszkrét jelek és diszkrét Fourier-transzformáció

A digitális technológia fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módja megváltozott. Míg korábban egy jelet magnószalagra lehetett rögzíteni és analóg formában szalagon tárolni, ma már a jeleket digitalizálják és számok (mintavételi értékek) halmazaként fájlokban tárolják a számítógép memóriájában.

A jelmérés és a digitalizálás szokásos sémája a következőképpen néz ki.

Mérőátalakító -- Jel normalizáló -- ADC -- Számítógép
(9. ábra A mérőcsatorna vázlata)

A mérőátalakítóból érkező jel T ideig az ADC-be kerül. A T idő alatt kapott jelértékeket (mintavételezés) a számítógépbe továbbítják, és a memóriában tárolják.

Milyen követelmények vonatkoznak a jel digitalizálási paramétereire? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC) nevezzük (© Wiki).

Az ADC egyik alapvető paramétere a maximális mintavételi sebesség - az időben folyamatos jel mintavételezésének gyakorisága. A mintavételi sebességet hertzben mérik. ((© Wiki))

A Kotelnikov-tétel szerint, ha egy folytonos jel spektruma az Fmax frekvenciával van korlátozva, akkor a jel teljesen és egyértelműen rekonstruálható a Δt ≤ 1/(2*Fmax) időközönként vett diszkrét mintáiból, azaz Fd ≥ 2*Fmax mintavételi frekvenciával, ahol Fd – mintavételi frekvencia; Fmax – a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szóval, a jel digitalizálásának frekvenciája (az ADC mintavételi frekvenciája) legalább kétszerese kell legyen annak a maximális frekvenciának, amelyet mérni szeretnénk.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által előírtnál kisebb frekvenciával veszünk mintát?

Ebben az esetben van egy „aliasingEbben az esetben "aliasing" hatás (más néven stroboszkópikus hatás, moiré hatás) lép fel, amelyben a magas frekvenciájú jel a digitalizálás után olyan alacsony frekvenciájú jellé alakul át, amely valójában nem is létezik. A 11. ábrán a magas frekvenciájú piros szinuszhullám a valódi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy fiktív jel, amely azért keletkezik, mert a mintavételezési idő alatt a nagyfrekvenciás jelnek több mint fél periódusa van ideje eltelni.

 

Az aliasing-hatás elkerülése érdekében egy speciális anti-alias szűrő (aluláteresztő szűrő) az ADC elé van helyezve. Ez átengedi az ADC mintavételi frekvenciájának felénél alacsonyabb frekvenciákat, a magasabbakat pedig kiszűri.

A jel spektrumának a diszkrét minták alapján történő kiszámításához a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) használjuk. Ismételten megjegyezzük, hogy egy diszkrét jel spektruma „definíció szerint” egy Fmax frekvenciára korlátozódik, amely kisebb, mint a mintavételi frekvencia Fd fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma a következő összeggel ábrázolható egy véges felharmonikusok száma, ellentétben egy folytonos jel Fourier-sorozatának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. Kotelnyikov tétele szerint egy felharmonikus maximális frekvenciájának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát tegyen ki, így a felharmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha a mintában N minta van, akkor a spektrumban a felharmonikusok száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier-transzformációt (DFT).

Összehasonlítva a Fourier-sorozattal

 

Amint láthatjuk, egybeesnek, kivéve azt a tényt, hogy az FFT-ben az idő diszkrét, és a felharmonikusok száma N/2-re korlátozódik, ami a minták számának fele.

A DFT-képleteket dimenziótlan egész számú k, s változókban írjuk fel, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s érték a teljes harmonikus rezgések számát mutatja T periódusonként (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikusan, azaz "a számítógépen" történő meghatározására használják.

Mint fentebb már említettük, amikor egy nem periodikus függvényt (a jelünket) Fourier-sorozatokra bontunk, az így kapott Fourier-sorozat valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

 

 

Amint az a 12. ábrán látható, az f(x) függvény T₀ periódussal periodikus. Mivel azonban a mérési minta hossza T nem egyezik meg a függvény periódusával T₀, a Fourier-sorozatként kapott függvénynek a T pontban van folytonossági hiánya. Ennek következtében a függvény spektruma nagyszámú magas frekvenciájú harmonikát fog tartalmazni. Ezt a jelenséget spektrális szivárgás, és a gyakorlatban ezt csökkentjük ablakozás a transzformáció előtti jel. Ha a T mérési minta időtartama egybeesett a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrum csak az első harmonikát tartalmazná (egy olyan szinuszgörbét, amelynek periódusa megegyezik a minta időtartamával), mivel az f(x) függvény szinuszgörbe.

Más szóval, a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám szelete", hanem megpróbál egy periodikus függvényt sorozatban ábrázolni, amely a szinuszhullám különálló darabjainak szakadozottsága miatt diszkontinuitást mutat.

Ennek eredményeképpen a spektrumban harmonikusok jelennek meg, amelyeknek összességében a függvény alakját kell reprezentálniuk, beleértve ezt a diszkontinuitást is.

Így ahhoz, hogy egy olyan jel "helyes" spektrumát kapjuk, amely több különböző periódusú szinuszoid összegéből áll, szükséges, hogy egy egész számú periódusa minden egyes szinusznak jelen kell lennie a jel mérési periódusában. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamával teljesíthető.

 

 

Rövidebb időtartamnál a kép "rosszabbul" fog kinézni:

 

 

 

 

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hogy hol vannak a "valódi komponensek" és hol a "műtermékek", amelyeket a komponensek periódusainak és a jel mintavételezési időtartamának következetlensége vagy a hullámforma "ugrásai és szünetei" okoznak. Természetesen a "valódi komponensek" és a "műtermékek" szavak nem véletlenül vannak idézőjelben. A sok felharmonikus jelenléte a spektrumgrafikonon nem jelenti azt, hogy a jelünk valóban ezekből áll. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és 4-es számokból "áll". A 7-es számot a 3 és a 4 összegeként lehet elképzelni - ez így van rendjén.

Tehát a jelünk is... vagy inkább nem is "a mi jelünk", hanem a jelünk (mintánk) ismétléséből összeállított periodikus függvény bizonyos amplitúdókkal és fázisokkal rendelkező felharmonikusok (szinuszok) összegeként ábrázolható. De sok, a gyakorlat szempontjából fontos esetben (lásd a fenti ábrákat) valóban lehetséges a spektrumban kapott felharmonikusokat a jel alakjához jelentősen hozzájáruló, ciklikus jellegű valós folyamatokhoz is kapcsolni.

Néhány eredmény

1. A T másodperces időtartamú, ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták (N darab) által reprezentált valós mért jelnek van egy diszkrét, nem periodikus spektruma, amelyet a harmonikusok (N/2 darab) halmaza reprezentál.

2. A jelet valós értékek halmaza reprezentálja. A DFT-spektruma konjugált szimmetriájú komplex együtthatók halmaza; ezekből áll elő az amplitúdóspektrum — a pozitív frekvenciákhoz tartozó valós, nem negatív amplitúdók (és fázisok) halmaza, és a gyakorlatban ezt az egyoldalas amplitúdóspektrumot ábrázolják. A negatív frekvenciákat is tartalmazó kétoldalas komplex alak és az egyoldalas amplitúdó-/fázisalak ugyanannak a spektrumnak egyenértékű reprezentációi — jelelemzéshez általában kényelmesebb az egyoldalas amplitúdóspektrummal dolgozni.

3. A T időpontban mért jelet csak a T időpontban határozzuk meg. Hogy mi történt a jel mérése előtt, és mi fog történni utána, azt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben nem is érdekes. Az időben korlátozott jel FFT-je megadja annak "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi az összetevők amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.