A Fourier-transzformáció alkalmazása a rezgésjelek elemzésében

Andrej Shelkovenko. A Vibromera egyik fejlesztője és alapítója.
A cikk fordítása pontatlanságokat tartalmazhat.

Fourier-transzformáció és jelspektrum

Sok esetben a spektrum A jel feldolgozása a következőképpen történik. Van egy ADC, amely mintavételezéssel frekvencia Az Fd a T időtartam alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet N darab digitális mintává alakítja át. Ezután ezt a mintatömböt továbbítja egy programnak (például FourierScope), amely N/2 numerikus értéket ad ki.

Hogy ellenőrizzük, hogy a program helyesen működik-e, képezzünk egy mintatömböt két sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) összegeként, és tápláljuk be a programba. A program a következőket rajzolta ki:

 

 

There are two felharmonikusok a spektrumgrafikonon – 5 Hz-es, 0,5 V-os amplitúdóval, és 10 Hz-es, 1 V-os amplitúdóval; minden pontosan az eredeti jel képletének megfelelően alakul. Minden rendben van, a program megfelelően működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszoid keverékéből álló valós jelet táplálunk az ADC bemenetére, akkor egy hasonló, két felharmonikusból álló spektrumot kapunk.

Tehát, a mi valódi mért jel 5 másodperces időtartamú, az ADC által digitalizálva, azaz ábrázolva diszkréten minták, van egy diszkrét nem periodikus spektrum.
Matematikai szempontból - hány hiba van ebben a mondatban?

Most próbáljuk meg ugyanazt a jelet 0,5 másodpercig mérni.

 

 

Itt valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus normálisan kirajzolódik, és az 5 Hz-es felharmonikus helyett néhány tisztázatlan felharmonikus van.

Az interneten azt mondják, hogy a minta végéhez nullákat kell hozzáadni, és a spektrum normálisan kirajzolódik.

 

 

Egyáltalán nem erről van szó. Az elmélettel kell foglalkoznom. Menjünk a wikipedia - a tudás forrása.

Folyamatos függvény és Fourier-soros ábrázolása

Matematikailag a T másodperces időtartamú jelünk egy f(x) függvény, amely a {0, T} intervallumon van megadva (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

k a trigonometrikus függvény száma ( a harmonikus komponens száma, a harmonikus száma)
T - szegmens, ahol a függvényt definiálják (a jel időtartama)
Ak- a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk- a k-edik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent az, hogy “a függvényt a sorozatok összegeként ábrázoljuk”? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sorozat harmonikus komponenseinek értékeit minden egyes pontban összeadva megkapjuk a függvényünk értékét az adott pontban.
(Szűkebb értelemben a sorozat f(x) függvénytől való átlagos négyzetes eltérése nullához fog tendálni, de az átlagos négyzetes konvergencia ellenére egy függvény Fourier-sorozatának általában nem kell pontról pontra konvergálnia hozzá. )
Ez a sorozat a következő formában is leírható:

 

 

 

ahol , a k-adik komplex amplitúdó.

 

vagy

 

 

 

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletek fejezik ki:

 

 

 

 

Vegyük észre, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. A Fourier-sorokkal végzett munka során néha kényelmesebb a képzetes argumentumú exponenseket használni szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformáció komplex alakját alkalmazni. Számunkra azonban kényelmes a (1) képlet használata, ahol a Fourier-sor a megfelelő amplitúdójú és fázisú koszinuszok összegeként szerepel. Szigorúan véve egy valós jel Fourier-transzformációja valóban komplex együtthatókat ad (3. alak): minden együttható hordozza a saját harmonikusának amplitúdóját és fázisát. Valós jel esetén ezek a komplex együtthatók konjugált (Hermit-féle) szimmetriával rendelkeznek — a negatív frekvenciás fél egyszerűen tükrözi a pozitív frekvenciás felet, és nem hordoz többletinformációt. Ezért a komplex együtthatókból mindig át lehet térni az (1) képlet valós, nem negatív Ak amplitúdóira és θk fázisaira — és pontosan ezt az amplitúdóspektrumot ábrázolják az elemzőprogramok.

 

A lényeg:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a {0, T} intervallumon definiált f(x) folytonos függvényt (jelet) a szintén a {0, T} intervallumon meghatározott amplitúdóval és fázissal rendelkező, végtelen számú (végtelen sorozat) trigonometrikus függvény (szinusz és/vagy koszinusz) összegeként ábrázoljuk. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezzük.

Megjegyzünk még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelelemzésben. Ha a Fourier-sorozatot (szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen vizsgáljuk, akkor azt látjuk, hogy a {0, T} intervallumon kívül a Fourier-sorozat függvénye periodikusan ismétli a függvényünket.

Például a 7. ábrán látható grafikonon az eredeti függvényt a {-T\2, +T\2} intervallumon definiáljuk, és a Fourier-sorozat egy periodikus függvényt reprezentál, amelyet a teljes x-tengelyen definiálunk.

Ez azért van így, mert maguk a szinuszoidok periodikus függvények, így összegük is periodikus függvény lesz.

Így:

Az eredeti függvényünk egy folytonos, nem periodikus függvény, amelyet egy T hosszúságú szakaszon definiálunk.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus összetevők végtelen sorozataként - Fourier-sorozatként - jelenik meg.
Valójában a Fourier-sorok definiálnak egy periodikus függvényt, amely egybeesik a mi függvényünkkel a {0, T} intervallumon, de számunkra ez a periodicitás nem lényeges.

Következő.

A harmonikus komponensek periódusai a {0, T} intervallum többszörösei, amelyen a kezdeti f(x) függvényt definiáljuk. Más szóval, a harmonikusok periódusai a jelmérés időtartamának többszörösei. Például egy Fourier-sorozat első harmonikusának periódusa egyenlő azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvényt definiálták. A Fourier-sorozat második harmonikusának periódusa egyenlő a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd a 8. ábrát).

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái az 1/T többszörösei. Vagyis az Fk harmonikus komponensek frekvenciája Fk= k\T, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;..... Fk= k\T (nulla frekvencián, állandó komponens).

Legyen a kezdeti függvényünk egy T=1 sec alatt rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa megegyezik a T1=T=1 sec jelünk időtartamával, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 sec), és a frekvencia 2 Hz. A harmadik harmonikus esetében T3=T/3 sec, és a frekvencia 3 Hz. És így tovább.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 másodperces időtartamú jel 1 Hz-es frekvenciafelbontással harmonikus összetevőkre bontható (spektrumot kapunk).
Ahhoz, hogy a felbontást kétszeresére, 0,5 Hz-re növeljük, a mérés időtartamát is kétszeresére, 2 másodpercre kell növelni. Egy 10 másodperces jel 0,1 Hz-es frekvenciafelbontással harmonikus komponensekre (spektrumra) bontható. A frekvenciafelbontás növelésére nincs más módszer. Ezt az összefüggést a mi FFT felbontás kalkulátor.

A jel időtartamát mesterségesen megnövelhetjük úgy, hogy nullákat adunk hozzá a minták sorához. Ez azonban nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

Diszkrét jelek és diszkrét Fourier-transzformáció

A digitális technológia fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módja megváltozott. Míg korábban egy jelet magnószalagra lehetett rögzíteni és analóg formában szalagon tárolni, ma már a jeleket digitalizálják és számok (mintavételi értékek) halmazaként fájlokban tárolják a számítógép memóriájában.

A jelmérés és a digitalizálás szokásos sémája a következőképpen néz ki.

Mérőátalakító -- Jel normalizáló -- ADC -- Számítógép
(9. ábra A mérőcsatorna vázlata)

A mérőátalakítóból érkező jel T ideig az ADC-be kerül. A T idő alatt kapott jelértékeket (mintavételezés) a számítógépbe továbbítják, és a memóriában tárolják.

Milyen követelmények vonatkoznak a jel digitalizálási paramétereire? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC) nevezzük (© Wiki).

Az ADC egyik alapvető paramétere a maximális mintavételi sebesség - az időben folyamatos jel mintavételezésének gyakorisága. A mintavételi sebességet hertzben mérik. ((© Wiki))

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals Δt ≤ 1/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd ≥ 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által előírtnál kisebb frekvenciával veszünk mintát?

Ebben az esetben van egy „aliasingEbben az esetben "aliasing" hatás (más néven stroboszkópikus hatás, moiré hatás) lép fel, amelyben a magas frekvenciájú jel a digitalizálás után olyan alacsony frekvenciájú jellé alakul át, amely valójában nem is létezik. A 11. ábrán a magas frekvenciájú piros szinuszhullám a valódi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy fiktív jel, amely azért keletkezik, mert a mintavételezési idő alatt a nagyfrekvenciás jelnek több mint fél periódusa van ideje eltelni.

 

Az aliasing-hatás elkerülése érdekében egy speciális anti-alias szűrő (aluláteresztő szűrő) az ADC elé van helyezve. Ez átengedi az ADC mintavételi frekvenciájának felénél alacsonyabb frekvenciákat, a magasabbakat pedig kiszűri.

A jel spektrumának a diszkrét minták alapján történő kiszámításához a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) használjuk. Ismételten megjegyezzük, hogy egy diszkrét jel spektruma „definíció szerint” egy Fmax frekvenciára korlátozódik, amely kisebb, mint a mintavételi frekvencia Fd fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma a következő összeggel ábrázolható egy véges felharmonikusok száma, ellentétben egy folytonos jel Fourier-sorozatának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. Kotelnyikov tétele szerint egy felharmonikus maximális frekvenciájának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát tegyen ki, így a felharmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha a mintában N minta van, akkor a spektrumban a felharmonikusok száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier-transzformációt (DFT).

Összehasonlítva a Fourier-sorozattal

 

Amint láthatjuk, egybeesnek, kivéve azt a tényt, hogy az FFT-ben az idő diszkrét, és a felharmonikusok száma N/2-re korlátozódik, ami a minták számának fele.

A DFT-képleteket dimenziótlan egész számú k, s változókban írjuk fel, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s érték a teljes harmonikus rezgések számát mutatja T periódusonként (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikusan, azaz "a számítógépen" történő meghatározására használják.

Mint fentebb már említettük, amikor egy nem periodikus függvényt (a jelünket) Fourier-sorozatokra bontunk, az így kapott Fourier-sorozat valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

 

 

Amint az a 12. ábrán látható, az f(x) függvény T₀ periódussal periodikus. Mivel azonban a mérési minta hossza T nem egyezik meg a függvény periódusával T₀, a Fourier-sorozatként kapott függvénynek a T pontban van folytonossági hiánya. Ennek következtében a függvény spektruma nagyszámú magas frekvenciájú harmonikát fog tartalmazni. Ezt a jelenséget spektrális szivárgás, és a gyakorlatban ezt csökkentjük ablakozás a transzformáció előtti jel. Ha a T mérési minta időtartama egybeesett a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrum csak az első harmonikát tartalmazná (egy olyan szinuszgörbét, amelynek periódusa megegyezik a minta időtartamával), mivel az f(x) függvény szinuszgörbe.

Más szóval, a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám szelete", hanem megpróbál egy periodikus függvényt sorozatban ábrázolni, amely a szinuszhullám különálló darabjainak szakadozottsága miatt diszkontinuitást mutat.

Ennek eredményeképpen a spektrumban harmonikusok jelennek meg, amelyeknek összességében a függvény alakját kell reprezentálniuk, beleértve ezt a diszkontinuitást is.

Így ahhoz, hogy egy olyan jel "helyes" spektrumát kapjuk, amely több különböző periódusú szinuszoid összegéből áll, szükséges, hogy egy egész számú periódusa minden egyes szinusznak jelen kell lennie a jel mérési periódusában. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamával teljesíthető.

 

 

Rövidebb időtartamnál a kép "rosszabbul" fog kinézni:

 

 

 

 

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hogy hol vannak a "valódi komponensek" és hol a "műtermékek", amelyeket a komponensek periódusainak és a jel mintavételezési időtartamának következetlensége vagy a hullámforma "ugrásai és szünetei" okoznak. Természetesen a "valódi komponensek" és a "műtermékek" szavak nem véletlenül vannak idézőjelben. A sok felharmonikus jelenléte a spektrumgrafikonon nem jelenti azt, hogy a jelünk valóban ezekből áll. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és 4-es számokból "áll". A 7-es számot a 3 és a 4 összegeként lehet elképzelni - ez így van rendjén.

Tehát a jelünk is... vagy inkább nem is "a mi jelünk", hanem a jelünk (mintánk) ismétléséből összeállított periodikus függvény bizonyos amplitúdókkal és fázisokkal rendelkező felharmonikusok (szinuszok) összegeként ábrázolható. De sok, a gyakorlat szempontjából fontos esetben (lásd a fenti ábrákat) valóban lehetséges a spektrumban kapott felharmonikusokat a jel alakjához jelentősen hozzájáruló, ciklikus jellegű valós folyamatokhoz is kapcsolni.

Néhány eredmény

1. A T másodperces időtartamú, ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták (N darab) által reprezentált valós mért jelnek van egy diszkrét, nem periodikus spektruma, amelyet a harmonikusok (N/2 darab) halmaza reprezentál.

2. A jelet valós értékek halmaza reprezentálja. A DFT-spektruma konjugált szimmetriájú komplex együtthatók halmaza; ezekből áll elő az amplitúdóspektrum — a pozitív frekvenciákhoz tartozó valós, nem negatív amplitúdók (és fázisok) halmaza, és a gyakorlatban ezt az egyoldalas amplitúdóspektrumot ábrázolják. A negatív frekvenciákat is tartalmazó kétoldalas komplex alak és az egyoldalas amplitúdó-/fázisalak ugyanannak a spektrumnak egyenértékű reprezentációi — jelelemzéshez általában kényelmesebb az egyoldalas amplitúdóspektrummal dolgozni.

3. A T időpontban mért jelet csak a T időpontban határozzuk meg. Hogy mi történt a jel mérése előtt, és mi fog történni utána, azt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben nem is érdekes. Az időben korlátozott jel FFT-je megadja annak "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi az összetevők amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.