وائبریشن سگنلز کے تجزیے کے لیے فوریئر ٹرانسفارم کا اطلاق

آندرے شیلکووینکو۔ وائبرومیرا کے بانیوں اور ڈویلپرز میں سے ایک۔
مضمون کا ترجمہ غلطیاں پر مشتمل ہو سکتا ہے۔

فوریئر ٹرانسفارم اور سگنل سپیکٹرم

بہت سے معاملات میں کسی سگنل کا سپیکٹرم حاصل کرنے (حساب لگانے) کا کام اس طرح ہے۔ ایک ADC موجود ہے، جو سیمپلنگ تعدد Fd کے ساتھ مسلسل سگنل کو، جو وقت T کے دوران اس کے ان پٹ پر آتا ہے، ڈیجیٹل سیمپلز – N ٹکڑوں میں تبدیل کرتا ہے۔ پھر سیمپلز کی یہ صف کسی پروگرام (مثلاً فوریئرسکوپ) جو N/2 عددی اقدار آؤٹ پٹ کرتا ہے۔

یہ چیک کرنے کے لیے کہ پروگرام صحیح کام کر رہا ہے، ہم نمونوں کی ایک صف بناتے ہیں جو دو sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) کے مجموعے کے برابر ہوتی ہے اور اسے پروگرام میں داخل کرتے ہیں۔ پروگرام نے مندرجہ ذیل خاکہ پیش کیا:

 

 

There are two ہارمونکس اسپیکٹرم گراف پر – 5 Hz بمع 0.5 V کی طول و عرض اور 10 Hz بمع 1 V کی طول و عرض، بالکل اسی طرح جیسے اصل سگنل کے فارمولے میں ہے۔ سب کچھ درست ہے، پروگرام صحیح طریقے سے کام کر رہا ہے۔

اس کا مطلب ہے کہ اگر ہم دو سائنوسائیڈز کے مخلوط سے حقیقی سگنل کو ADC ان پٹ میں داخل کریں تو ہمیں دو ہارمونکس پر مشتمل ایک مماثل سپیکٹرم ملے گا۔

تو، ہمارا حقیقی ماپا گیا سگنل 5 سیکنڈ کے دورانیے کا, اے ڈی سی کے ذریعے ڈیجیٹائز کیا گیا، یعنی نمائندہ ذریعہ نمونے، کا مفصل غیر دورانی سپیکٹرم.
ریاضیاتی نقطہ نظر سے – اس جملے میں کتنی غلطیاں ہیں؟

اب ہم ایک ہی سگنل کو 0.5 سیکنڈ کے لیے ماپنے کی کوشش کریں۔

 

 

یہاں کچھ غلط ہے! 10 ہرٹز پر ہارمونک درست طریقے سے دکھایا گیا ہے، اور 5 ہرٹز پر ہارمونک کے بجائے کچھ غیر واضح ہارمونکس ہیں۔

انٹرنیٹ پر کہا جاتا ہے کہ نمونے کے آخر میں صفر شامل کرنا ضروری ہے اور اسپیکٹرم معمول کے مطابق کھینچا جائے گا۔

 

 

یہ بالکل بھی وہ نہیں ہے۔ مجھے اس نظریے سے نمٹنا پڑے گا۔ چلیں جائیں۔ وکیپیڈیا – علم کا ماخذ۔

مسلسل فنکشن اور اس کی فورئیر سیریز کی نمائندگی

ریاضیاتی طور پر، ہمارا سگنل جس کی دورانیہ T سیکنڈ ہے، وقفہ {0, T} پر دیا گیا کوئی فنکشن f(x) ہے (اس صورت میں X وقت ہے)۔ ایسا فنکشن ہمیشہ ہارمونک فنکشنز (سائن یا کوسائن) کے مجموعے کی صورت میں پیش کیا جا سکتا ہے:

k ٹرائیگونومیٹرک فنکشن کی تعداد ہے (ہارمونک جزو کی تعداد، ہارمونک کی تعداد)
T – وہ حصہ جہاں فنکشن متعین ہوتا ہے ( سگنل کی مدت )
Ak- k-ویں ہارمونک جزو کی ایمپلیٹیوڈ،
θk- kویں ہارمونک جزو کا ابتدائی مرحلہ
''فنکشن کو سیریز کے مجموعے کے طور پر پیش کرنے کا کیا مطلب ہے؟'' اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر نقطے پر فورئیر سیریز کے ہارمونک اجزاء کی قدروں کو جمع کر کے ہمیں اس نقطے پر ہمارے فنکشن کی قدر حاصل ہوتی ہے۔
(مزید سختی کے ساتھ، سلسلے کا فنکشن f(x) سے اوسط مربع انحراف صفر کی طرف رجحان کرے گا، لیکن اوسط مربع تقرب کے باوجود، عمومی طور پر کسی فنکشن کی فورئیر سیریز کو ہر نقطے پر اس کی طرف تقرب کرنا ضروری نہیں ہوتا۔)
اس سلسلے کو مندرجہ ذیل شکل میں بھی لکھا جا سکتا ہے:

 

 

 

کہاں ، k-واں پیچیدہ امپلیٹیوڈ۔

 

یا

 

 

 

محضات (1) اور (3) کے درمیان تعلق درج ذیل فارمولوں سے ظاہر ہوتا ہے:

 

 

 

 

نوٹ کریں کہ فورئیر سیریز کی یہ تینوں نمائندگیاں بالکل مساوی ہیں۔ کبھی کبھی فورئیر سیریز کے ساتھ کام کرتے وقت سائن اور کوسائن کے بجائے خیالی محرک کے نما بر استعمال کرنا زیادہ آسان ہوتا ہے، یعنی فورئیر ٹرانسفارم کو کمپلیکس شکل میں استعمال کرنا۔ لیکن ہمارے لیے فارمولہ (1) استعمال کرنا زیادہ آسان ہے، جہاں فورئیر سیریز کو متعلقہ ایمپلیٹیوڈز اور فیزز کے ساتھ کوسائنوں کے مجموعے کے طور پر پیش کیا گیا ہے۔ بہرحال، یہ کہنا غلط ہے کہ حقیقی سگنل کے فورئیر ٹرانسفارم کا نتیجہ کمپلیکس ہارمونک ایمپلیٹیوڈز ہوگا۔ جیسا کہ وکی پیڈیا نے درست کہا ہے، "فورئیر ٹرانسفارم (ℱ) ایک ایسی کارروائی ہے جو ایک حقیقی متغیر کے فنکشن کو دوسرے ایسے ہی حقیقی متغیر کے فنکشن میں تبدیل کرتی ہے۔"

 

خلاصۂ کلام:
سگنلز کے طیفی تجزیے کی ریاضیاتی بنیاد فورئیر ٹرانسفارم ہے۔

فوریئر ٹرانسفارم ایک مسلسل فنکشن f(x) (سگنل) کو، جو وقفہ {0, T} پر تعریف شدہ ہو، ایک لامتناہی تعداد (لامتناہی سلسلے) پر مشتمل ٹرائیگونومیٹرک فنکشنز (سائن اور/یا کوسائن) کے مجموعے کے طور پر پیش کرنے کی اجازت دیتا ہے، جن کے مقررہ ایمپلیٹیوڈز اور فیزز بھی وقفہ {0, T} پر ہی مدنظر رکھے جاتے ہیں۔ ایسی سیریز کو فوریئر سیریز کہا جاتا ہے۔

مزید چند نکات پر غور کریں، جن کی سمجھ فورئیر ٹرانسفارم کو سگنل تجزیے میں درست طور پر لاگو کرنے کے لیے ضروری ہے۔ اگر ہم پورے X محور پر فورئیر سیریز (سائنوئڈز کا مجموعہ) پر غور کریں تو ہم دیکھیں گے کہ {0, T} وقفے سے باہر فورئیر سیریز فنکشن ہمارے فنکشن کو باقاعدگی سے دہرائے گا۔

مثال کے طور پر، شکل 7 کے گراف میں اصل فنکشن وقفہ {-T/2، +T/2} پر تعریف کیا گیا ہے، اور فورئیر سیریز ایک دورانیاتی فنکشن کی نمائندگی کرتی ہے جو پورے x محور پر تعریف کیا گیا ہے۔

یہ اس لیے ہے کہ سائنوسائڈز خود دورانیاتی افعال ہیں، لہٰذا ان کا مجموعہ بھی ایک دورانیاتی فعل ہوگا۔

یوں:

ہماری اصل فنکشن ایک مسلسل، غیر دورانیاتی فنکشن ہے جو T طوالت کے کسی حصے پر تعریف شدہ ہے۔
اس فنکشن کا اسپیکٹرم منفصل ہے، یعنی اسے ہارمونک اجزاء کی لامتناہی سیریز کے طور پر پیش کیا جاتا ہے – فورئیر سیریز۔
درحقیقت، فورئیر سیریز ایک ایسا دورانیہ دار فنکشن متعین کرتی ہے جو وقفہ {0, T} پر ہمارے فنکشن کے برابر ہے، لیکن ہمارے لیے یہ دورانیہ داری ضروری نہیں ہے۔

اگلا۔

ہارمونک اجزاء کی دورانیات {0, T} کے وقفے کے ضربات ہوتی ہیں، جس پر ابتدائی فنکشن f(x) متعین ہوتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ہارمونکس کی دورانیات سگنل کی پیمائش کی مدت کے ضربات ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، فورئیر سیریز میں پہلے ہارمونک کا دورانیہ اس وقفے T کے برابر ہوتا ہے جس میں فنکشن f(x) متعین ہوتا ہے۔ فورئیر سیریز میں دوسرے ہارمونک کا دورانیہ وقفے T/2 کے برابر ہوتا ہے۔ اور اسی طرح (دیکھیں شکل 8)۔

اس کے مطابق، ہارمونک اجزاء کی تعددیں 1/T کے ضربِ کامل ہوتی ہیں۔ یعنی ہارمونک اجزاء Fk کی تعددیں Fk = k/T ہیں، جہاں k صفر سے لامتناہی تک کے اعداد میں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، k = 0 کے لیے F0 = 0؛ k = 1 کے لیے F1 = 1/T؛ k = 2 کے لیے F2 = 2/T؛ k = 3 کے لیے F3 = 3/T؛ …۔ Fk = k/T (صفر تعدد پر ایک مستقل جزو)۔

فرض کریں ہمارا ابتدائی فنکشن ایک سگنل ہے جو T=1 سیکنڈ کے دوران ریکارڈ کیا گیا ہے۔ پھر پہلے ہارمونک کی پیریڈ ہماری سگنل کی مدت T1=T=1 سیکنڈ کے برابر ہوگی اور ہارمونک کی فریکوئنسی 1 ہرٹز کے برابر ہوگی۔ دوسری ہارمونک کا دورانیہ ہمارے سگنل کے دورانیے کو 2 سے تقسیم کرنے کے برابر ہوگا (T2=T/2=0.5 سیکنڈ) اور اس کی تعدد 2 ہرٹز ہے۔ تیسری ہارمونک کے لیے T3=T/3 سیکنڈ اور اس کی تعدد 3 ہرٹز ہے۔ اور اسی طرح۔

اس صورت میں ہارمونکس کے درمیان وقفہ 1 ہرٹز ہے۔

اس طرح، ایک سیکنڈ کے دورانیے والا سگنل 1 ہرتز کی تعدد کی قرارداد کے ساتھ ہارمونک اجزاء میں تجزیہ کیا جا سکتا ہے (تاکہ ایک طیف حاصل کیا جا سکے)۔
ریزولیوشن کو 2 گنا بڑھا کر 0.5 Hz تک لے جانے کے لیے، پیمائش کی مدت کو 2 گنا بڑھا کر 2 سیکنڈ کرنا ضروری ہے۔ 10 سیکنڈ کے سگنل کو 0.1 Hz کی فریکوئنسی ریزولیوشن کے ساتھ ہارمونک اجزاء (اسپیکٹرم) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ فریکوئنسی ریزولیوشن بڑھانے کا کوئی اور طریقہ نہیں ہے۔ آپ ہمارے ایف ایف ٹی ریزولوشن کیلکولیٹر.

سگنل کی دورانیہ کو مصنوعی طور پر بڑھانے کا ایک طریقہ ہے: سیمپلز کے مجموعے میں صفر شامل کرنا۔ لیکن اس سے حقیقی فریکوئنسی کی قرارداد میں اضافہ نہیں ہوتا۔

ڈسکریٹ سگنلز اور ڈسکریٹ فوریئر ٹرانسفارم

ڈیجیٹل ٹیکنالوجی کی ترقی کے ساتھ پیمائش کے ڈیٹا ( سگنلز) کے ذخیرہ کرنے کے طریقے بدل گئے ہیں۔ جہاں پہلے ایک سگنل کو ٹیپ ریکارڈر پر ریکارڈ کر کے ٹیپ میں اینالاگ شکل میں محفوظ کیا جاتا تھا، اب سگنلز کو ڈیجیٹائز کر کے کمپیوٹر میموری میں فائلوں میں اعداد (گنتی) کے مجموعے کی صورت میں محفوظ کیا جاتا ہے۔

سگنل کی پیمائش اور ڈیجیٹائزیشن کا معمول کا طریقہ کار درج ذیل ہے۔

ٹرانسڈوسر کی پیمائش —- سگنل نارملائزر —- اے ڈی سی —– کمپیوٹر
(شکل 9: پیمائش کے چینل کا خاکہ

ماپنے والے ٹرانسڈوسر سے آنے والا سگنل ایک مقررہ مدت T کے لیے اینالاگ ٹو ڈیجیٹل کنورٹر (ADC) میں جاتا ہے۔ مدت T کے دوران موصول ہونے والی سگنل ریڈنگز (سیمپلنگ) کمپیوٹر کو بھیجی جاتی ہیں اور میموری میں محفوظ کی جاتی ہیں۔

ڈیجیٹائزیشن کے پیرامیٹرز کو سگنل کرنے کے لیے کیا ضروریات ہیں؟ ایک آلہ جو ان پٹ اینالاگ سگنل کو ایک الگ الگ کوڈ (ڈیجیٹل سگنل) میں تبدیل کرتا ہے اسے اینالاگ ٹو ڈیجیٹل کنورٹر (ADC) کہا جاتا ہے (© ویکی)۔

اے ڈی سی کے بنیادی پیرامیٹرز میں سے ایک زیادہ سے زیادہ سیمپلنگ ریٹ ہے – ایک ایسے سگنل کی سیمپلنگ کی تعدد جو وقت کے لحاظ سے مسلسل ہو۔ سیمپلنگ ریٹ ہرٹز میں ناپی جاتی ہے۔ ((© ویکی))

کوٹیلنیکوف کے نظریے کے مطابق، اگر ایک مسلسل سگنل کا اسپیکٹرم Fmax تعدد تک محدود ہو، تو اسے اس کے ان متفرق نمونوں سے مکمل اور یکتا طور پر دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے جو وقفے T = 1/2*Fmax پر لیے گئے ہوں، یعنی ایسی تعدد Fd ≥ 2*Fmax کے ساتھ، جہاں Fd – سیمپلنگ تعدد؛ Fmax – سگنل کے اسپیکٹرم کی زیادہ سے زیادہ تعدد۔ دوسرے الفاظ میں، سگنل کی ڈیجیٹائزیشن (ADC کی سیمپلنگ فریکوئنسی) کی فریکوئنسی اس سگنل کی زیادہ سے زیادہ فریکوئنسی سے کم از کم دو گنا زیادہ ہونی چاہیے جسے ہم ماپنا چاہتے ہیں۔

اور اگر ہم کوٹیلنکوف کے نظریے کے مطابق درکار فریکوئنسی سے کم فریکوئنسی پر نمونے لیں تو کیا ہوگا؟

اس صورت میں ایک “عرفیتاس صورت میں ایک 'ایلیئسنگ' اثر (جسے اسٹروبوسکوپک اثر یا موئیرے اثر بھی کہا جاتا ہے) ہوتا ہے، جس میں ڈیجیٹائزیشن کے بعد ایک اعلیٰ تعدد والا سگنل ایک کم تعدد والے سگنل میں تبدیل ہو جاتا ہے، جو حقیقت میں موجود نہیں ہوتا۔ شکل 11 میں سرخ سائن لہر جو زیادہ تعدد کی حامل ہے، حقیقی سگنل ہے۔ نیلی سائن لہر جو کم تعدد کی حامل ہے، ایک خیالی سگنل ہے، جو اس حقیقت کی وجہ سے پیدا ہوتی ہے کہ سیمپلنگ کے دوران زیادہ تعدد والے سگنل کا نصف سے زیادہ دورانیہ گزر جاتا ہے۔

 

ایلیاسنگ اثر سے بچنے کے لیے، ADC سے پہلے ایک خصوصی اینٹی-ایلیاس فلٹر (لو پاس فلٹر) لگایا جاتا ہے۔ یہ ADC کی سیمپلنگ فریکوئنسی کے نصف سے کم فریکوئنسیاں گزرنے دیتا ہے اور زیادہ فریکوئنسیاں کاٹ دیتا ہے۔

ڈسکریٹ سیمپلز کی مدد سے سگنل اسپیکٹرم حاصل کرنے کے لیے ڈسکریٹ فوریئر ٹرانسفارم (DFT) استعمال کیا جاتا ہے۔ یہاں دوبارہ نوٹ کریں کہ ڈسکریٹ سگنل کا اسپیکٹرم “تعریف کے مطابق” سیمپلنگ فریکوئنسی Fd کے نصف سے کم فریکوئنسی Fmax تک محدود ہوتا ہے۔ لہٰذا، ڈسکریٹ سگنل کے اسپیکٹرم کو محدود ہارمونکس کی تعداد، مسلسل سگنل کی فورئیر سیریز کے لامتناہی مجموعے کے برعکس، جس کا اسپیکٹرم لامحدود ہو سکتا ہے، محدود ہوتی ہے۔ کوٹیلنکوف کے نظریے کے مطابق، کسی ہارمونک کی زیادہ سے زیادہ تعدد ایسی ہونی چاہیے کہ وہ کم از کم دو سیمپلز کو کور کرے، لہٰذا ہارمونکس کی تعداد ایک غیر مسلسل سگنل کے سیمپلز کی تعداد کے نصف کے برابر ہوتی ہے۔ یعنی اگر سیمپل میں N سیمپلز ہوں تو اسپیکٹرم میں ہارمونکس کی تعداد N/2 ہوگی۔

اب ڈسکریٹ فورئیر ٹرانسفارم (DFT) پر غور کریں۔

اس کا فورئیر سیریز کے ساتھ موازنہ

 

جیسا کہ ہم دیکھ سکتے ہیں، یہ ایک دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں، سوائے اس کے کہ FFT میں وقت غیر مسلسل ہوتا ہے اور ہارمونکس کی تعداد N/2 تک محدود ہے، جو کہ نمونوں کی تعداد کا نصف ہے۔

ڈی ایف ٹی کے فارمولا بُعد سے پاک صحیح اعداد k اور s میں لکھے جاتے ہیں، جہاں k سگنل کے نمونوں کی تعداد ہے اور s طیفی اجزاء کی تعداد ہے۔
ویلیو s ہر دورانیہ T ( سگنل کی پیمائش کی مدت ) میں مکمل ہارمونک ارتعاشات کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ ڈسکریٹ فورئیر ٹرانسفارم ہارمونکس کے ایمپلیٹیوڈز اور فیزز کو عددی طور پر، یعنی کمپیوٹر پر، معلوم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

جیسا کہ اوپر پہلے ہی کہا جا چکا ہے، جب کسی غیر دورانیاتی فنکشن (ہمارا سگنل) کو فورئیر سیریز میں تجزیہ کیا جاتا ہے، تو حاصل ہونے والی فورئیر سیریز درحقیقت ایک دورانیاتی فنکشن کے برابر ہوتی ہے جس کی دورانی T ہوتی ہے (شکل 12)۔

 

 

جیسا کہ تصویر 12 میں دیکھا جا سکتا ہے، فنکشن f(x) دورانیہ T0 کے ساتھ متواتر ہے۔ تاہم، اس حقیقت کی وجہ سے کہ پیمائش کے نمونے کی لمبائی T فنکشن کے دورانیہ T0 کے برابر نہیں ہے، فوریئر سیریز کے طور پر حاصل کردہ فنکشن میں نقطہ T پر ایک رکاوٹ ہے۔ نتیجتاً، اس فنکشن کے اسپیکٹرم میں کثیر تعداد میں ہائی فریکوئنسی ہارمونکس شامل ہوں گے۔ یہ مظہر سپیکٹرل رساوکے نام سے جانا جاتا ہے، اور عملی طور پر اسے کھڑکی ٹرانسفارم سے پہلے سگنل کو ویندو کر کے کم کیا جاتا ہے۔ اگر پیمائش کے نمونے کی مدت T فنکشن کے دورانیہ T0 سے مطابقت رکھتی، تو فوریئر ٹرانسفارم کے بعد حاصل کردہ اسپیکٹرم میں صرف پہلی ہارمونک (نمونے کی مدت کے برابر دورانیہ والی سائنوسائڈ) ہوتی، کیونکہ فنکشن f(x) ایک سائنوسائڈ ہے۔

دوسرے الفاظ میں، ڈی ایف ٹی پروگرام یہ نہیں جانتا کہ ہمارا سگنل سائن لہر کا ایک ٹکڑا ہے، بلکہ یہ ایک دورانیاتی فنکشن کو سریر کے طور پر پیش کرنے کی کوشش کرتا ہے، جس میں سائن لہر کے الگ الگ ٹکڑوں کی غیر تسلسل کی وجہ سے خود بھی غیر تسلسل پایا جاتا ہے۔

نتیجتاً، ہارمونکس سپیکٹرم میں نمودار ہوتے ہیں، جو مجموعی طور پر فنکشن کی شکل، بشمول اس غیر تسلسل، کی نمائندگی کرتے ہیں۔

لہٰذا، ایک سگنل کا "صحیح" سپیکٹرم حاصل کرنے کے لیے، جو مختلف پیریڈز کے متعدد سائنوسوئیڈز کا مجموعہ ہو، ضروری ہے کہ ایک کی ادوار کی صحیح تعداد ہر سائنوسوئڈ سگنل کی پیمائش کے دورانیے میں موجود ہونا چاہیے۔ عملی طور پر، یہ شرط سگنل کی پیمائش کے لیے کافی طویل دورانیہ ہونے پر پوری کی جا سکتی ہے۔

 

 

کم دورانیے پر تصویر "خراب" نظر آئے گی:

 

 

 

 

عملی طور پر یہ سمجھنا مشکل ہو سکتا ہے کہ کون سے 'حقیقی اجزاء' ہیں اور کون سے 'آرٹیفیکٹس' جو اجزاء کے ادوار اور سگنل کے سیمپلنگ دورانیوں کی عدم مطابقت یا لہر کی شکل میں 'چھلانگوں اور وقفوں' کی وجہ سے پیدا ہوتے ہیں۔ ظاہر ہے کہ الفاظ 'حقیقی اجزاء' اور 'آرٹیفیکٹس' کو مخصوص وجوہات کی بنا پر کوٹس میں رکھا گیا ہے۔ سپیکٹرم گراف پر بہت سے ہارمونکس کا ہونا اس بات کی ضمانت نہیں کہ ہمارا سگنل حقیقتاً انہی پر مشتمل ہے۔ یہ ایسے ہی ہے جیسے سوچا جائے کہ عدد 7 'مشتمل' ہے اعداد 3 اور 4 پر۔ عدد 7 کو 3 اور 4 کے مجموعے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے – اور یہ درست ہے۔

اسی طرح ہمارا سگنل… یا درحقیقت "ہمارا سگنل" بھی نہیں، بلکہ ہمارا سگنل (سیمپل) کو دہرا کر بنایا گیا ایک دورانیاتی فنکشن مخصوص ایمپلیٹیوڈز اور مراحل کے حامل ہارمونکس (سائن لہروں) کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ لیکن عملی اعتبار سے اہم کئی صورتوں میں (اوپر دیے گئے خاکوں کو دیکھیں) واقعی یہ ممکن ہے کہ سپیکٹرم میں حاصل ہونے والے ہارمونکس کو ایسے حقیقی عملوں سے بھی منسوب کیا جائے جن کا کردار چکری ہو اور جو سگنل کی شکل میں نمایاں حصہ ڈالتے ہوں۔

کچھ نتائج

1. ایک حقیقی ماپا گیا سگنل جس کی دورانیہ T سیکنڈ ہے اور اسے ADC کے ذریعے ڈیجیٹائز کیا گیا ہے، یعنی یہ جدا جدا نمونوں (N عدد) کے مجموعے کی صورت میں پیش کیا گیا ہے، ایک غیر دورانی غیر مسلسل سپیکٹرم رکھتا ہے جو ہارمونکس (N/2 عدد) کے مجموعے کی صورت میں پیش کیا گیا ہے۔

2. سگنل کو جائز اقدار کے ایک مجموعے سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اس کے اسپیکٹرم کو بھی جائز اقدار کے ایک مجموعے سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ہارمونکس کی تعددیں مثبت ہیں۔ صرف اس لیے کہ ریاضیاتی طور پر اسپیکٹرم کو منفی تعددوں کے استعمال سے کمپلیکس شکل میں پیش کرنا زیادہ آسان ہے، اس کا یہ مطلب نہیں کہ "یہ درست ہے" اور "آپ کو ہمیشہ ایسا ہی کرنا چاہیے"۔

3. وقت T پر ماپا گیا سگنل صرف وقت T پر ہی طے ہوتا ہے۔ سگنل کی پیمائش شروع کرنے سے پہلے کیا ہوا اور اس کے بعد کیا ہوگا، یہ سائنس کے لیے نامعلوم ہے۔ اور ہمارے معاملے میں یہ دلچسپی کا باعث نہیں ہے۔ وقت کی حد تک محدود سگنل کا FFT اس کا "حقیقی" اسپیکٹرم فراہم کرتا ہے، اس معنی میں کہ مخصوص حالات میں یہ اس کے اجزاء کے ایمپلیٹیوڈ اور فریکوئنسی کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے۔