Application of the Fourier Transform to the Analysis of Vibration Signals

آندری شلکوونکو. یکی از توسعه‌دهندگان و بنیان‌گذاران ویبرومر.
ترجمه‌ی مقاله ممکن است حاوی خطاهایی باشد.

تبدیل فوریه و طیف سیگنال

In many cases the task of obtaining (calculating) the طیف of a signal is as follows. There is an ADC, which with sampling فرکانس Fd transforms continuous signal, which comes to its input during time T, into digital samples – N pieces. Then this array of samples is fed to some program (for example فوریه اسکوپ) که N/2 مقدار عددی را خروجی می‌دهد.

برای بررسی اینکه برنامه به‌درستی کار می‌کند، یک آرایه از نمونه‌ها را به‌عنوان مجموع دو عبارت sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) تشکیل داده و آن را به برنامه وارد می‌کنیم. برنامه نمودار زیر را رسم کرد:

 

 

There are two هارمونیک ها on the spectrum graph – 5 Hz with amplitude of 0.5 V and 10 Hz with amplitude of 1 V, everything is as in the formula of the original signal. Everything is fine, the grogram works correctly.

این بدان معناست که اگر سیگنال واقعی را از مخلوط دو سینوس به ورودی ADC وارد کنیم، طیف مشابهی شامل دو هارمونیک خواهیم داشت.

پس، ما واقعی سیگنال اندازه‌گیری‌شده به مدت ۵ ثانیه, دیجیتالی‌شده توسط ADC، یعنی نمایش داده شده توسط گسسته نمونه‌ها، دارد گسسته غیر دوره‌ای طیف.
از دیدگاه ریاضی – چند خطا در این عبارت وجود دارد؟

حالا بیایید تلاش کنیم تا همان سیگنال را به مدت ۰.۵ ثانیه اندازه‌گیری کنیم.

 

 

در اینجا مشکلی وجود دارد! هارمونیک ۱۰ هرتز به‌طور طبیعی رسم شده است و به‌جای هارمونیک ۵ هرتز، چند هارمونیک نامشخص وجود دارد.

در اینترنت می‌گویند که لازم است صفرها را به انتهای نمونه اضافه کرد تا طیف به‌طور معمول رسم شود.

 

 

این اصلاً درست نیست. باید با نظریه کنار بیایم. بیایید برویم به ویکی‌پدیا – منبع دانش.

تابع پیوسته و نمایش آن به سری فوریه

از نظر ریاضی، سیگنال ما با مدت‌زمان T ثانیه، تابعی f(x) است که بر بازهٔ {0, T} تعریف شده است (در این مورد X نمایانگر زمان است). چنین تابعی را همیشه می‌توان به صورت مجموعی از توابع هارمونیک (سینوس یا کسینوس) به شکل زیر نمایش داد:

k شماره تابع مثلثاتی است (شماره مؤلفه هارمونیک، شماره هارمونیک)
T – بخشی که تابع در آن تعریف شده است (مدت‌زمان سیگنال)
A- دامنهٔ مؤلفهٔ هارمونیک k-ام،
θk- فاز اولیهٔ مؤلفهٔ هارمونیک kام
«نمایندگی تابع به‌صورت جمع سری» به چه معناست؟ یعنی با جمع کردن مقادیر اجزای هارمونیک سری فوریه در هر نقطه، مقدار تابع خود را در آن نقطه به‌دست می‌آوریم.
(به‌طور دقیق‌تر، میانگین مربعات خطا بین سری و تابع f(x) به صفر میل می‌کند، اما با وجود همگرایی میانگین مربعات، سری فوریه یک تابع لزوماً به‌طور کلی نقطه‌به‌نقطه به آن همگرا نمی‌شود.)
این سری همچنین می‌تواند به شکل زیر نوشته شود:

 

 

 

کجا ، امپلیتود مختلط k-اُم.

 

یا

 

 

 

رابطه بین ضرایب (۱) و (۳) با فرمول‌های زیر بیان می‌شود:

 

 

 

 

توجه کنید که هر سه نمایش سری فوریه کاملاً معادل هستند. گاهی هنگام کار با سری‌های فوریه، استفاده از توان‌های عدد موهومی به جای سینوس‌ها و کسینوس‌ها راحت‌تر است، یعنی استفاده از تبدیل فوریه در شکل مختلط. اما برای ما استفاده از فرمول (۱) مناسب‌تر است، جایی که سری فوریه به صورت مجموعی از کسینوس‌ها با دامنه‌ها و فازهای مربوطه نمایش داده می‌شود. در هر صورت، این اشتباه است که بگوییم نتیجه تبدیل فوریه سیگنال حقیقی، دامنه‌های هارمونیک مختلط خواهد بود. همان‌طور که ویکی‌پدیا به‌درستی می‌گوید: «تبدیل فوریه (ℱ) عملیاتی است که یک تابع از یک متغیر حقیقی را به تابع دیگری که آن نیز از یک متغیر حقیقی است، نگاشت می‌کند.»

 

خلاصه کلام:
پایهٔ ریاضی تحلیل طیفی سیگنال‌ها، تبدیل فوریه است.

تبدیل فوریه امکان می‌دهد تابع پیوسته f(x) (سیگنال) را که بر روی بازهٔ {0, T} تعریف شده است، به صورت مجموعی از تعداد نامتناهی (مجموعهٔ نامتناهی) از توابع مثلثاتی (سینوس و/یا کسینوس) با ضرایب دامنه و فاز مشخص که آن‌ها نیز بر روی بازهٔ {0, T} در نظر گرفته شده‌اند، نمایش دهد. چنین مجموعه‌ای سری فوریه نامیده می‌شود.

چند نکتهٔ دیگر را در نظر بگیرید که درک آن‌ها برای به‌کارگیری صحیح تبدیل فوریه در تحلیل سیگنال ضروری است. اگر سری فوریه (مجموع سینوسوئیدها) را روی کل محور X در نظر بگیریم، خواهیم دید که خارج از بازهٔ {0, T}، تابع سری فوریه به‌صورت دوره‌ای تابع ما را تکرار می‌کند.

برای مثال، در نمودار شکل ۷، تابع اصلی روی بازهٔ {−T/2، +T/2} تعریف شده است و سری فوریه نمایانگر یک تابع دوره‌ای است که روی کل محور x تعریف شده است.

این به این دلیل است که خود سینوسوئیدها توابع دوره‌ای هستند، بنابراین جمع آن‌ها نیز تابعی دوره‌ای خواهد بود.

بدین ترتیب:

تابع اصلی ما تابعی پیوسته و غیر دوره‌ای است که بر روی یک بازه به طول T تعریف شده است.
طیف این تابع گسسته است، یعنی به صورت یک سری بی‌نهایت از اجزای هارمونیک – سری فوریه – نمایش داده می‌شود.
در واقع، سری فوریه یک تابع دوره‌ای را تعریف می‌کند که در بازهٔ {0, T} با تابع ما هم‌خوانی دارد، اما برای ما این دوره‌ای بودن ضروری نیست.

بعدی

دوره‌های اجزای هارمونیک مضربی از بازهٔ {0, T} هستند که تابع اولیه f(x) در آن تعریف شده است. به عبارت دیگر، دوره‌های هارمونیک‌ها مضربی از مدت زمان اندازه‌گیری سیگنال هستند. برای مثال، دورهٔ اولین هارمونیک در یک سری فوریه برابر با فاصلهٔ T است که تابع f(x) در آن تعریف شده است. دورهٔ دومین هارمونیک در یک سری فوریه برابر با فاصلهٔ T/2 است. و به همین ترتیب (به شکل ۸ مراجعه کنید).

بنابراین، فرکانس‌های اجزای هارمونیک مضربی از ۱/T هستند. یعنی فرکانس‌های اجزای هارمونیک Fk برابر با Fk = k·1/T است، که k از ۰ تا ∞ متغیر است. برای مثال، k = 0، F0 = 0؛ k = 1، F1 = 1/T؛ k = 2، F2 = 2/T؛ k = 3، F3 = 3/T؛ … Fk = k/T (در فرکانس صفر، یک مؤلفه ثابت).

فرض کنید تابع اولیه ما سیگنالی است که در بازه زمانی T=1 ثانیه ضبط شده است. در این صورت دوره اولین هارمونیک برابر با مدت زمان سیگنال ما یعنی T1=T=1 ثانیه خواهد بود و فرکانس این هارمونیک برابر با 1 هرتز است. دورهٔ هارمونیک دوم برابر با مدت‌زمان سیگنال ما تقسیم بر ۲ (T2=T/2=0.5 ثانیه) و فرکانس آن برابر با ۲ هرتز است. برای هارمونیک سوم، T3=T/3 ثانیه و فرکانس آن ۳ هرتز است. و به همین ترتیب.

در این مورد، گام بین هارمونیک‌ها ۱ هرتز است.

بدین ترتیب، سیگنالی با مدت ۱ ثانیه را می‌توان به اجزای هارمونیک (برای به‌دست‌آوردن طیف) با وضوح فرکانسی ۱ هرتز تجزیه کرد.
To increase the resolution by a factor of 2 to 0.5 Hz, it is necessary to increase the duration of measurement by a factor of 2 to 2 sec. A 10-second signal can be decomposed into harmonic components (spectrum) with a frequency resolution of 0.1 Hz. There are no other ways to increase frequency resolution. You can explore this relationship with our ماشین حساب تفکیک پذیری FFT.

راهی وجود دارد که با افزودن صفرها به آرایهٔ نمونه‌ها، به‌طور مصنوعی مدت‌زمان سیگنال را افزایش دهیم. اما این کار وضوح فرکانس واقعی را افزایش نمی‌دهد.

Discrete signals and discrete Fourier transform

با توسعه فناوری دیجیتال، روش‌های ذخیره‌سازی داده‌های اندازه‌گیری (سیگنال‌ها) تغییر کرده‌اند. در حالی که قبلاً می‌توانست یک سیگنال را روی دستگاه ضبط نوار ثبت و به‌صورت آنالوگ روی نوار ذخیره کرد، اکنون سیگنال‌ها دیجیتالی شده و به‌صورت مجموعه‌ای از اعداد (شمارش‌ها) در فایل‌های حافظه کامپیوتر ذخیره می‌شوند.

طرح معمول اندازه‌گیری و دیجیتال‌سازی سیگنال به شرح زیر است.

مبدل اندازه‌گیری —- نرمالایزر سیگنال —- ADC —– کامپیوتر
(شکل ۹ شماتیک کانال اندازه‌گیری)

سیگنال ترانسدیوسر اندازه‌گیری برای مدت زمان T به ADC ارسال می‌شود. مقادیر سیگنال (نمونه‌برداری) دریافت‌شده در بازه زمانی T به کامپیوتر منتقل و در حافظه ذخیره می‌شوند.

نیازمندی‌ها برای نشانه‌گذاری پارامترهای دیجیتالی‌سازی سیگنال چیست؟ دستگاهی که سیگنال آنالوگ ورودی را به یک کد گسسته (سیگنال دیجیتال) تبدیل می‌کند، مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC) نامیده می‌شود (© ویکی).

یکی از پارامترهای اساسی ADC، حداکثر نرخ نمونه‌برداری است – فرکانس نمونه‌برداری از سیگنالی که در زمان پیوسته است. نرخ نمونه‌برداری بر حسب هرتز اندازه‌گیری می‌شود. ((© ویکی))

طبق قضیه کوتلنیکوف، اگر یک سیگنال پیوسته دارای طیفی محدودشده با فرکانس Fmax باشد، می‌توان آن را به‌طور کامل و منحصربه‌فرد از نمونه‌های گسسته‌ای که در فواصل زمانی T = 1/2*Fmax گرفته شده‌اند، بازسازی کرد؛ یعنی با فرکانس نمونه‌برداری Fd ≥ 2*Fmax، که در آن Fd فرکانس نمونه‌برداری و Fmax حداکثر فرکانس طیف سیگنال است. به عبارت دیگر، فرکانس نمونه‌برداری سیگنال (فرکانس نمونه‌برداری ADC) باید حداقل دو برابر فرکانس حداکثر سیگنالی باشد که می‌خواهیم اندازه‌گیری کنیم.

و اگر نمونه‌برداری را با فرکانس پایین‌تر از آنچه نظریه کوتلنیکوف ایجاب می‌کند انجام دهیم، چه اتفاقی می‌افتد؟

In this case there is an “نام مستعاردر این حالت یک اثر «آلیاسینگ» (که به آن اثر استروبوسکوپی یا اثر مویر نیز گفته می‌شود) وجود دارد، که در آن یک سیگنال با فرکانس بالا پس از دیجیتال‌سازی به سیگنالی با فرکانس پایین تبدیل می‌شود که در واقع وجود ندارد. در شکل ۱۱ موج سینوسی قرمز با فرکانس بالا سیگنال واقعی است. موج سینوسی آبی با فرکانس پایین‌تر یک سیگنال خیالی است که به این دلیل ایجاد می‌شود که در طول زمان نمونه‌برداری بیش از نیم دوره سیگنال با فرکانس بالا سپری می‌شود.

 

To avoid the aliasing effect, a special anti-alias filter (پاس‌پایین) is placed before the ADC. It passes frequencies lower than half of the ADC sampling frequency and cuts off higher frequencies.

In order to calculate signal spectrum by its discrete samples the discrete Fourier transform (DFT) is used. Note again that the spectrum of a discrete signal is “by definition” limited to a frequency Fmax smaller than half the sampling frequency Fd. Therefore, the spectrum of a discrete signal can be represented by the sum of محدود تعداد هارمونیک‌ها، برخلاف جمع بی‌نهایت در سری فوریه یک سیگنال پیوسته که طیف آن می‌تواند نامحدود باشد، محدود است. بر اساس قضیه کوتلنیکوف، حداکثر فرکانس یک هارمونیک باید طوری باشد که حداقل دو نمونه را پوشش دهد، بنابراین تعداد هارمونیک‌ها برابر با نصف تعداد نمونه‌های یک سیگنال گسسته است. یعنی اگر N نمونه در مجموعه نمونه‌ها وجود داشته باشد، تعداد هارمونیک‌ها در طیف N/2 خواهد بود.

اکنون تبدیل فوریه گسسته (DFT) را در نظر بگیرید.

مقایسه آن با سری فوریه

 

همان‌طور که می‌بینیم، آن‌ها هم‌پوشانی دارند، به جز این که زمان در FFT گسسته است و تعداد هارمونیک‌ها به N/2 محدود است که نصف تعداد نمونه‌هاست.

فرمول‌های DFT در متغیرهای عددی بی‌بعد k و s نوشته می‌شوند، که k تعداد نمونه‌های سیگنال و s تعداد مؤلفه‌های طیفی است.
مقدار s نشان‌دهنده تعداد نوسانات هارمونیک کامل در هر دوره T (مدت زمان اندازه‌گیری سیگنال) است. تبدیل فوریه گسسته برای یافتن دامنه‌ها و فازهای هارمونیک‌ها به‌صورت عددی، یعنی «روی کامپیوتر»، استفاده می‌شود.

همان‌طور که قبلاً گفته شد، وقتی یک تابع غیرم دوره‌ای (سیگنال ما) را به سری فوریه تجزیه می‌کنیم، سری فوریه حاصل در واقع معادل یک تابع دوره‌ای با دوره T است (شکل ۱۲).

 

 

As can be seen in Fig. 12, the function f(x) is periodic with period T0. However, due to the fact that the measuring sample length T is not equal to the function period T0, the function obtained as a Fourier series has a discontinuity at point T. As a result, the spectrum of this function will contain a large number of high-frequency harmonics. This phenomenon is known as نشت طیفی, and in practice it is reduced by پنجره سازی the signal before the transform. If the duration of measuring sample T coincided with the period of function T0, then the spectrum obtained after the Fourier transform would contain only the first harmonic (a sinusoid with a period equal to the duration of the sample), because the function f(x) is a sinusoid.

به عبارت دیگر، برنامه DFT «نمی‌داند» که سیگنال ما «برشی از یک موج سینوسی» است، اما تلاش می‌کند یک تابع دوره‌ای را به‌صورت سری نمایش دهد؛ تابعی که به‌دلیل ناپیوستگی قطعات جداگانه موج سینوسی، خود نیز ناپیوسته است.

در نتیجه، هارمونیک‌ها در طیف ظاهر می‌شوند که در مجموع باید شکل تابع، از جمله این ناپیوستگی، را نشان دهند.

بنابراین، برای به‌دست آوردن طیف «صحیح» یک سیگنال که مجموع چندین موج سینوسی با دوره‌های متفاوت است، ضروری است که یک تعداد صحیح دوره‌ها هر سینوسید باید در دورهٔ اندازه‌گیری سیگنال حضور داشته باشد. در عمل، این شرط با اندازه‌گیری سیگنال به مدت کافی طولانی قابل تحقق است.

 

 

در مدت زمان کوتاه‌تر تصویر «بدتر» به نظر خواهد رسید:

 

 

 

 

در عمل، ممکن است دشوار باشد که بفهمیم کجا «اجزای واقعی» هستند و کجا «آرتفکت‌ها» که ناشی از ناسازگاری دوره‌های اجزا و مدت نمونه‌برداری سیگنال یا «پرش‌ها و شکستگی‌ها» در شکل موج هستند. البته، واژه‌های «اجزای واقعی» و «آرتفکت‌ها» به دلیلی در گیومه قرار گرفته‌اند. وجود هارمونیک‌های زیاد در نمودار طیف به این معنا نیست که سیگنال ما در واقع از آن‌ها تشکیل شده است. این مانند این است که فکر کنیم عدد ۷ «از» اعداد ۳ و ۴ تشکیل شده است. می‌توان عدد ۷ را مجموع ۳ و ۴ در نظر گرفت – و این درست است.

به همین ترتیب سیگنال ما… یا بهتر است بگوییم حتی «سیگنال ما» نیست، بلکه یک تابع دوره‌ای است که از تکرار سیگنال (نمونه‌) ما تشکیل شده و می‌توان آن را به‌صورت مجموع هارمونیک‌ها (موج‌های سینوسی) با آمپلیتویدها و فازهای مشخص نمایش داد. اما در بسیاری از موارد مهم از نظر عملی (رجوع شود به شکل‌های بالا) در واقع می‌توان هارمونیک‌های به‌دست‌آمده در طیف را نیز به فرآیندهای واقعی با ماهیت دوره‌ای مرتبط دانست که به‌طور قابل‌توجهی در شکل سیگنال نقش دارند.

برخی نتایج

۱. یک سیگنال واقعی اندازه‌گیری‌شده با مدت T ثانیه که توسط ADC دیجیتال شده است، یعنی به صورت مجموعه‌ای از نمونه‌های گسسته (N عدد) نمایش داده می‌شود، دارای طیف گسسته غیرم دوره‌ای است که به صورت مجموعه‌ای از هارمونیک‌ها (N/2 عدد) نمایش داده می‌شود.

۲. سیگنال با مجموعه‌ای از مقادیر معتبر نمایش داده می‌شود و طیف آن نیز با مجموعه‌ای از مقادیر معتبر نمایش داده می‌شود. فرکانس‌های هارمونیک‌ها مثبت هستند. صرف اینکه از نظر ریاضی نمایش طیف در قالب مختلط با استفاده از فرکانس‌های منفی راحت‌تر باشد، به این معنا نیست که «این روش درست است» و «همیشه باید این‌گونه عمل کنید».

۳. سیگنال اندازه‌گیری‌شده در زمان T تنها در زمان T مشخص می‌شود. آنچه قبل از شروع اندازه‌گیری سیگنال رخ داده و آنچه پس از آن اتفاق خواهد افتاد برای علم ناشناخته است. و در مورد ما جالب نیست. تبدیل فوریه سریع (FFT) سیگنال محدود در زمان، طیف «واقعی» آن را ارائه می‌دهد، به این معنی که تحت شرایط خاص امکان محاسبه دامنه و فرکانس اجزای آن را فراهم می‌کند.