تطبيق تحويل فورييه في تحليل إشارات الاهتزاز

أندريه شيلكوفينكو. أحد المطورين ومؤسس شركة «فيبروميرا».
قد تحتوي ترجمة المقالة على أخطاء.

تحويل فورييه وطيف الإشارة

في كثير من الحالات، تتمثل المهمة في الحصول على (حساب) نطاق لإشارة ما هي كما يلي. يوجد محول رقمي-تناظري (ADC)، والذي يقوم بالتقسيم تكرار يقوم Fd بتحويل الإشارة المستمرة، التي تصل إلى مدخله خلال الفترة الزمنية T، إلى عينات رقمية – N عينة. ثم يتم تغذية مصفوفة العينات هذه إلى برنامج ما (على سبيل المثال فوريير سكوب) التي تُخرج N/2 من القيم العددية.

للتحقق من صحة عمل البرنامج، قمنا بتكوين مصفوفة من العينات على شكل مجموع معادلتين: sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x)، ثم أدخلناها في البرنامج. وقد رسم البرنامج ما يلي:

 

 

There are two التوافقيات على الرسم البياني للطيف – 5 هرتز بسعة 0.5 فولت و10 هرتز بسعة 1 فولت، كل شيء يتوافق مع معادلة الإشارة الأصلية. كل شيء على ما يرام، البرنامج يعمل بشكل صحيح.

وهذا يعني أنه إذا قمنا بتغذية مدخل محول ADC بإشارة حقيقية ناتجة عن مزيج من موجتين جيبيتين، فسنحصل على طيف مشابه يتكون من ترددين متناسقين.

إذن، لدينا حقيقي الإشارة المقاسة لمدة 5 ثوانٍ، تم رقمنتها بواسطة ADC، أي تم تمثيلها بواسطة discrete العينات، لديها متفرقة غير دورية الطيف.
من الناحية الحسابية – كم عدد الأخطاء في هذه العبارة؟

والآن دعونا نحاول قياس الإشارة نفسها لمدة 0.5 ثانية.

 

 

هناك خطب ما هنا! التوافقي عند 10 هرتز مرسوم بشكل طبيعي، وبدلاً من التوافقي عند 5 هرتز تظهر بعض التوافقيات غير الواضحة.

يُقال على الإنترنت إنه من الضروري إضافة أصفار في نهاية العينة، وعندها سيتم رسم الطيف بشكل طبيعي.

 

 

ليس الأمر كذلك على الإطلاق. سيتعين عليّ التعامل مع هذه النظرية. دعنا ننتقل إلى ويكيبيديا – مصدر المعرفة.

الدالة المتصلة وتمثيلها بسلسلة فورييه

من الناحية الرياضية، فإن إشارتنا التي تبلغ مدتها T ثانية هي دالة ما f(x) محددة على الفترة {0, T} (حيث يمثل X في هذه الحالة الزمن). ويمكن دائمًا تمثيل هذه الدالة على أنها مجموع دوال توافقية (جيب أو جيب التمام) على الصورة التالية:

k هو رقم الدالة المثلثية (رقم المكون التوافقي، رقم التوافقي)
الجزء T الذي تُعرَّف فيه الدالة (مدة الإشارة)
Ak - سعة المكون التوافقي رقم k،
θk- المرحلة الأولية للمكون التوافقي k
ما معنى عبارة «تمثيل الدالة على أنها مجموع المتسلسلة»؟ يعني ذلك أنه من خلال جمع قيم المكونات التوافقية لمتسلسلة فورييه عند كل نقطة، نحصل على قيمة الدالة عند تلك النقطة.
(وبشكل أكثر دقة، فإن الانحراف المربع المتوسط للسلسلة عن الدالة f(x) سوف يقترب من الصفر، ولكن على الرغم من تقارب الانحراف المربع المتوسط، فإن سلسلة فورييه للدالة لا تتقارب بالضرورة، بشكل عام، معها نقطة بنقطة.)
ويمكن أيضًا كتابة هذه المتسلسلة بالصيغة التالية:

 

 

 

أين ، السعة المركبة رقم k.

 

أو

 

 

 

تُعبر الصيغتان التاليتان عن العلاقة بين المعاملين (1) و(3):

 

 

 

 

لاحظ أن هذه التمثيلات الثلاثة لسلسلة فورييه متكافئة تمامًا. في بعض الأحيان، عند التعامل مع سلسلة فورييه، يكون من الأفضل استخدام الأسس ذات الحجة التخيلية بدلاً من الجيب وجيب التمام، أي استخدام تحويل فورييه في صيغته المركبة. لكن من الملائم لنا استخدام الصيغة (1)، حيث تُمثَّل سلسلة فورييه على أنها مجموع جيب التمامات مع السعات والطور المقابلة. على أي حال، من الخطأ القول إن نتيجة تحويل فورييه للإشارة الحقيقية ستكون سعات توافقية معقدة. كما يقول ويكي بشكل صحيح، «تحويل فورييه (ℱ) هو عملية تقوم بتعيين دالة متغيرة حقيقية إلى دالة أخرى متغيرة حقيقية أيضًا.»

 

خلاصة القول:
يُعد تحويل فورييه الأساس الرياضي للتحليل الطيفي للإشارات.

يسمح تحويل فورييه بتمثيل دالة متصلة f(x) (إشارة) محددة على الفترة {0, T} على أنها مجموع عدد لا نهائي (متسلسلة لا نهائية) من الدوال المثلثية (الجيب و/أو الجيب التمام) ذات السعات والمراحل المحددة، والتي تُعتبر هي الأخرى على الفترة {0, T}. وتُسمى هذه المتسلسلة بمتسلسلة فورييه.

تجدر الإشارة إلى بعض النقاط الإضافية التي يتعين فهمها من أجل التطبيق الصحيح لتحويل فورييه في تحليل الإشارات. فإذا ما نظرنا إلى متسلسلة فورييه (مجموع الموجات الجيبية) على كامل محور السين، فسوف نلاحظ أن دالة متسلسلة فورييه ستكرر دالتنا بشكل دوري خارج الفترة {0، T}.

على سبيل المثال، في الرسم البياني الموضح في الشكل 7، تُعرَّف الدالة الأصلية على الفترة {-T/2، +T/2}، بينما تمثل متسلسلة فورييه دالة دورية مُعرَّفة على كامل محور x.

وذلك لأن الموجات الجيبية نفسها دالات دورية، لذا فإن مجموعها سيكون دالة دورية أيضًا.

وبالتالي:

الدالة الأصلية لدينا هي دالة متصلة غير دورية مُعرَّفة على مقطع طوله T.
نطاق هذه الدالة متقطع، أي أنه يُعبَّر عنه بسلسلة لا نهائية من المكونات التوافقية – سلسلة فورييه.
في الواقع، تُعرِّف متسلسلة فورييه دالة دورية ما، تتطابق مع دالتنا على الفترة {0، T}، لكن هذه الدورية ليست ضرورية بالنسبة لنا.

التالي.

تكون فترات المكونات التوافقية مضاعفات للفاصل الزمني {0، T}، الذي تُعرَّف عليه الدالة الأولية f(x). وبعبارة أخرى، فإن فترات المكونات التوافقية هي مضاعفات لمدة قياس الإشارة. على سبيل المثال، تساوي فترة التوافقي الأول في متسلسلة فورييه الفاصل الزمني T الذي تُعرَّف فيه الدالة f(x). وتساوي فترة التوافقي الثاني في متسلسلة فورييه الفاصل الزمني T/2. وهكذا دواليك (انظر الشكل 8).

وبناءً على ذلك، فإن ترددات المكونات التوافقية هي مضاعفات لـ 1/T. أي أن ترددات المكونات التوافقية F_k تساوي F_k = k/T، حيث تتراوح قيمة k من 0 إلى ∞؛ على سبيل المثال، k = 0 فـ F₀ = 0؛ k = 1 فـ F₁ = 1/T؛ k = 2 فـ F₂ = 2/T؛ k = 3 فـ F₃ = 3/T؛ ... Fk= k\\T (عند التردد صفر، مكون ثابت).

لنفترض أن دالتنا الأولية هي إشارة مسجلة خلال فترة T=1 ثانية. عندئذٍ ستكون فترة التوافقي الأول مساوية لمدة الإشارة T1=T=1 ثانية، وتكون تردد التوافقي 1 هرتز. وستكون فترة التوافقي الثاني مساوية لمدة الإشارة مقسومة على 2 (T2=T/2=0.5 ثانية)، وتكون التردد مساوية لـ 2 هرتز. وبالنسبة للتوافقي الثالث، T3=T/3 ثانية، وتكون التردد 3 هرتز. وهكذا دواليك.

الفرق بين التوافقيات في هذه الحالة هو 1 هرتز.

وبالتالي، يمكن تحليل إشارة مدتها ثانية واحدة إلى مكونات توافقية (للحصول على طيف) بدقة تردد تبلغ 1 هرتز.
لزيادة الدقة بمقدار الضعف لتصل إلى 0.5 هرتز، من الضروري زيادة مدة القياس بمقدار الضعف لتصل إلى ثانيتين. يمكن تحليل إشارة مدتها 10 ثوانٍ إلى مكونات توافقية (طيف) بدقة تردد تبلغ 0.1 هرتز. ولا توجد طرق أخرى لزيادة دقة التردد. يمكنك استكشاف هذه العلاقة باستخدام حاسبة دقة تحويل فورييه السريع.

هناك طريقة لزيادة مدة الإشارة بشكل مصطنع عن طريق إضافة أصفار إلى مصفوفة العينات. لكن ذلك لا يؤدي إلى زيادة دقة التردد الفعلية.

الإشارات المتقطعة وتحويل فورييه المتقطع

مع تطور التكنولوجيا الرقمية، تغيرت طرق تخزين بيانات القياس (الإشارات). ففي حين كان من الممكن في السابق تسجيل الإشارة على جهاز تسجيل وتخزينها على شريط في شكل تناظري، أصبحت الإشارات الآن تُحوَّل إلى صيغة رقمية وتُخزَّن في ملفات بذاكرة الكمبيوتر كمجموعة من الأرقام (القيم).

يبدو المخطط المعتاد لقياس الإشارات وتحويلها إلى صيغة رقمية كما يلي.

محول القياس —- مُعادل الإشارة —- محول الإشارة الرقمية —– الكمبيوتر
(الشكل 9: رسم تخطيطي لقناة القياس)

تُرسل الإشارة الصادرة عن محول القياس إلى محول الإشارة الرقمية (ADC) لمدة زمنية تبلغ T. وتُنقل قراءات الإشارة (العينات) التي يتم تلقيها خلال الفترة الزمنية T إلى الكمبيوتر وتُحفظ في الذاكرة.

ما هي متطلبات تحويل الإشارات إلى معلمات رقمية؟ يُطلق على الجهاز الذي يحول الإشارة التناظرية الواردة إلى رمز منفصل (إشارة رقمية) اسم «محول تناظري إلى رقمي» (ADC) (© ويكيبيديا).

يُعد معدل أخذ العينات الأقصى أحد المعلمات الأساسية لمحول الإشارة الرقمية إلى التناظرية (ADC) – وهو تردد أخذ العينات من إشارة مستمرة زمنياً. ويُقاس معدل أخذ العينات بالهرتز. ((© ويكيبيديا))

وفقًا لنظرية كوتيلنيكوف، إذا كان طيف إشارة مستمرة محدودًا بالتردد Fmax، فيمكن إعادة بنائها بشكل كامل وفريد من عيناتها المنفصلة المأخوذة على فترات زمنية T = 1/2*Fmax، أي بتردد Fd ≥ 2*Fmax، حيث Fd – تردد أخذ العينات؛ وFmax – التردد الأقصى لطيف الإشارة. بعبارة أخرى، يجب أن يكون تردد رقمنة الإشارة (تردد أخذ العينات لمحول ADC) أعلى بمقدار مرتين على الأقل من التردد الأقصى للإشارة التي نريد قياسها.

وماذا سيحدث إذا أخذنا عينات بتردد أقل مما تنص عليه نظرية كوتيلنيكوف؟

في هذه الحالة، يوجد «التعرجاتفي هذه الحالة، يحدث تأثير «التشويه» (المعروف أيضًا باسم التأثير الستروبوسكوبي أو تأثير الموير)، حيث تتحول الإشارة عالية التردد بعد الرقمنة إلى إشارة منخفضة التردد، وهي في الواقع غير موجودة. في الشكل 11، الموجة الجيبية الحمراء ذات التردد العالي هي الإشارة الحقيقية. أما الموجة الجيبية الزرقاء ذات التردد المنخفض فهي إشارة وهمية، تنشأ بسبب حقيقة أنه خلال وقت أخذ العينات يمر أكثر من نصف دورة للإشارة عالية التردد.

 

لتجنب ظاهرة التداخل، يُستخدم مرشح خاص لمكافحة التداخل (مرشح تمرير منخفض) يتم وضعه قبل محول ADC. وهو يمرر الترددات الأقل من نصف تردد أخذ العينات لمحول ADC ويقطع الترددات الأعلى.

من أجل حساب طيف الإشارة من خلال عيناتها المنفصلة، فإن المنفصلة تحويل فورييه (DFT) يُستخدم. لاحظ مرة أخرى أن طيف الإشارة المتقطعة يقتصر «بحكم التعريف» على تردد Fmax أقل من نصف تردد أخذ العينات Fd. وبالتالي، يمكن تمثيل طيف الإشارة المتقطعة بمجموع محدود عدد التوافقيات، على عكس المجموع اللامتناهي لسلسلة فورييه للإشارة المستمرة، التي قد يكون طيفها غير محدود. ووفقًا لنظرية كوتيلنيكوف، يجب أن يكون الحد الأقصى لتردد التوافقي بحيث يشمل عينتين على الأقل، وبالتالي فإن عدد التوافقيات يساوي نصف عدد عينات الإشارة المتقطعة. أي أنه إذا كان هناك N عينة في الإشارة، فإن عدد التوافقيات في الطيف سيكون N/2.

لننظر الآن إلى تحويل فورييه المنفصل (DFT).

مقارنتها بسلسلة فورييه

 

وكما نرى، فإنهما متطابقان، باستثناء أن الزمن في التحويل الترددي السريع (FFT) هو زمن متقطع، وأن عدد التوافقيات يقتصر على N/2، وهو نصف عدد العينات.

تُكتب معادلات DFT بمتغيرات صحيحة غير ذات أبعاد هي k و s، حيث يمثل k عدد عينات الإشارة، ويمثل s عدد المكونات الطيفية.
تشير القيمة s إلى عدد التذبذبات التوافقية الكاملة في كل فترة T (مدة قياس الإشارة). ويُستخدم تحويل فورييه المنفصل لإيجاد سعات ومراحل التوافقيات عدديًّا، أي «عبر الحاسوب».

وكما ذُكر سابقًا، عند تحليل دالة غير دورية (إشارتنا) إلى متسلسلة فورييه، فإن متسلسلة فورييه الناتجة تتوافق في الواقع مع دالة دورية ذات فترة T (الشكل 12).

 

 

كما يتضح من الشكل 12، فإن الدالة f(x) دورية وفترة دوريتها T0. ومع ذلك، ونظرًا لأن طول عينة القياس T لا يساوي فترة الدالة T0، فإن الدالة التي يتم الحصول عليها كسلسلة فورييه تنطوي على انقطاع عند النقطة T. ونتيجة لذلك، سيحتوي طيف هذه الدالة على عدد كبير من التوافقيات عالية التردد. تُعرف هذه الظاهرة باسم تسرب طيفي، وفي الواقع يتم تقليصها بمقدار النوافذ الإشارة قبل التحويل. إذا تزامنت مدة العينة T مع فترة الدالة T0، فإن الطيف الناتج بعد تحويل فورييه سيحتوي فقط على التوافقي الأول (موجة جيبية ذات فترة تساوي مدة العينة)، لأن الدالة f(x) هي موجة جيبية.

بعبارة أخرى، فإن برنامج DFT «لا يدرك» أن إشارتنا هي «جزء من موجة جيبية»، بل يحاول تمثيلها كسلسلة من الدوال الدورية التي تتسم بانقطاع بسبب انقطاع الأجزاء المنفصلة من الموجة الجيبية.

ونتيجة لذلك، تظهر التوافقيات في الطيف، والتي ينبغي أن تمثل، في مجملها، شكل الدالة، بما في ذلك هذا الانقطاع.

وبالتالي، للحصول على الطيف «الصحيح» لإشارة تمثل مجموع عدة موجات جيبية ذات فترات مختلفة، من الضروري أن يكون العدد الصحيح لعدد الدورات في يجب أن تكون كل موجة جيبية موجودة خلال فترة قياس الإشارة. وفي الواقع العملي، يمكن تلبية هذا الشرط من خلال إجراء قياس للإشارة لمدة كافية.

 

 

عند استخدام مدة أقصر، ستبدو الصورة «أسوأ»:

 

 

 

 

في الواقع العملي، قد يكون من الصعب التمييز بين "المكونات الحقيقية" و"الآثار الزائفة" الناتجة عن عدم تناسق فترات المكونات ومدة أخذ عينات الإشارة، أو "القفزات والانقطاعات" في شكل الموجة. وبالطبع، فإن وضع كلمتي "المكونات الحقيقية" و"الآثار الزائفة" بين علامتي اقتباس له سبب وجيه. إن وجود العديد من التوافقيات على الرسم البياني للطيف لا يعني أن إشارتنا تتكون منها بالفعل. إنه مثل الاعتقاد بأن الرقم 7 "يتكون" من الرقمين 3 و4. يمكن اعتبار الرقم 7 مجموع الرقمين 3 و4 – وهذا صحيح.

وبالمثل، فإن إشارتنا... أو بالأحرى ليست «إشارتنا» فحسب، بل دالة دورية تتكون من تكرار إشارتنا (العينة)، يمكن تمثيلها على أنها مجموع التوافقيات (موجات جيبية) ذات سعات ومراحل معينة. ولكن في العديد من الحالات المهمة من الناحية العملية (انظر الأشكال أعلاه)، من الممكن بالفعل ربط التوافقيات المستخلصة من الطيف بعمليات حقيقية ذات طابع دوري وتساهم بشكل كبير في شكل الإشارة.

بعض النتائج

1. إن الإشارة الحقيقية المقاسة التي تبلغ مدتها T ثانية، والتي تم تحويلها إلى صيغة رقمية بواسطة محول ADC، أي التي تم تمثيلها بمجموعة من العينات المنفصلة (N عينة)، لها طيف منفصل غير دوري يتم تمثيله بمجموعة من التوافقيات (N/2 توافقي).

2. يتم تمثيل الإشارة بمجموعة من القيم الصحيحة، كما يتم تمثيل طيفها بمجموعة من القيم الصحيحة. وتكون ترددات التوافقيات موجبة. ومجرد أن التمثيل الرياضي للطيف في صيغة مركبة باستخدام ترددات سالبة يعد أكثر ملاءمة من الناحية الحسابية، لا يعني أن «هذا هو الصحيح» أو «هذه هي الطريقة التي يجب اتباعها دائمًا».

3. لا يتم تحديد الإشارة المقاسة في الزمن T إلا في الزمن T نفسه. وما حدث قبل أن نبدأ في قياس الإشارة وما سيحدث بعد ذلك يظل مجهولاً للعلم. وفي حالتنا هذه، لا يهمنا ذلك. فالتحويل السريع للفورييرا (FFT) للإشارة المحدودة زمنياً يعطي طيفها «الحقيقي»، بمعنى أنه يسمح، في ظل ظروف معينة، بحساب سعة وتردد مكوناتها.