Penggunaan Transformasi Fourier dalam Analisis Isyarat Getaran

Andrei Shelkovenko. Salah seorang pembangun dan pengasas Vibromera.
Terjemahan artikel mungkin mengandungi ketidaktepatan.

Transformasi Fourier dan spektrum isyarat

Dalam banyak kes, tugas untuk mendapatkan (mengira) spektrum daripada isyarat adalah seperti berikut. Terdapat ADC, yang dengan pensampelan kekerapan Fd menukarkan isyarat berterusan yang tiba pada inputnya sepanjang masa T kepada sampel digital – N keping. Kemudian susunan sampel ini diberi kepada beberapa program (contohnya FourierScope) yang mengeluarkan N/2 beberapa nilai berangka.

Untuk menyemak sama ada atur cara berfungsi dengan betul, kami membentuk tatasusunan sampel sebagai jumlah dua sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) dan suapkannya ke dalam atur cara. Program ini menarik perkara berikut:

 

 

Terdapat dua harmonik Pada graf spektrum – 5 Hz dengan amplitud 0.5 V dan 10 Hz dengan amplitud 1 V, semuanya seperti dalam formula isyarat asal. Segalanya baik, grogram berfungsi dengan betul.

Ini bermakna jika kita memberi isyarat sebenar daripada campuran dua sinusoid ke input ADC, kita akan mendapat spektrum yang serupa yang terdiri daripada dua harmonik.

Jadi, kami sebenar isyarat yang diukur daripada 5 saat. tempoh masa, didigitalkan oleh ADC, iaitu diwakili secara diskret sampel, mempunyai a diskret tidak berkala spektrum.
Dari sudut pandangan matematik - berapa banyak kesilapan dalam frasa ini?

Sekarang mari kita cuba mengukur isyarat yang sama selama 0.5 saat.

 

 

Ada yang tidak kena di sini! Harmonik pada 10 Hz dilukis secara normal, dan bukannya harmonik pada 5 Hz terdapat beberapa harmonik yang tidak jelas.

Di Internet mereka mengatakan bahawa adalah perlu untuk menambah sifar pada penghujung sampel dan spektrum akan dilukis secara normal.

 

 

Bukan itu sahaja. Saya perlu berurusan dengan teori. Mari pergi ke wikipedia - sumber ilmu.

Fungsi berterusan dan perwakilan siri Fouriernya

Secara matematik, isyarat kami dengan tempoh T saat ialah beberapa fungsi f(x) yang diberikan pada selang {0, T} (X dalam kes ini ialah masa). Fungsi sedemikian sentiasa boleh diwakili sebagai jumlah fungsi harmonik (sinus atau kosinus) dalam bentuk:

k ialah bilangan fungsi trigonometri ( bilangan komponen harmonik, bilangan harmonik)
T – segmen di mana fungsi ditentukan (tempoh isyarat)
Ak- amplitud komponen harmonik ke-k,
θk- fasa awal komponen harmonik kth
Apakah yang dimaksudkan untuk "mewakili fungsi sebagai jumlah siri"? Ini bermakna dengan menambah nilai komponen harmonik siri Fourier pada setiap titik, kita mendapat nilai fungsi kita pada ketika itu.
(Lebih tegas lagi, sisihan purata kuasa dua siri daripada fungsi f(x) akan cenderung kepada sifar, tetapi walaupun terdapat penumpuan kuasa dua purata, siri Fourier bagi suatu fungsi tidak perlu, secara amnya, menumpu kepadanya titik demi titik. )
Siri ini juga boleh ditulis dalam bentuk:

 

 

 

di mana , amplitud kompleks kth.

 

atau

 

 

 

Hubungan antara pekali (1) dan (3) dinyatakan dengan formula berikut:

 

 

 

 

Ambil perhatian bahawa ketiga-tiga perwakilan siri Fourier ini adalah setara dengan sempurna. Kadangkala apabila bekerja dengan siri Fourier, adalah lebih mudah untuk menggunakan eksponen hujah khayalan dan bukannya sinus dan kosinus, iaitu menggunakan transformasi Fourier dalam bentuk kompleks. Tetapi adalah mudah untuk kita menggunakan formula (1), di mana siri Fourier diwakili sebagai jumlah kosinus dengan amplitud dan fasa yang sepadan. Walau apa pun, adalah salah untuk mengatakan bahawa hasil transformasi Fourier bagi isyarat sebenar akan menjadi amplitud harmonik yang kompleks. Seperti yang dinyatakan Wiki dengan betul, "Transformasi Fourier (ℱ) ialah operasi yang memetakan satu fungsi pembolehubah sebenar kepada fungsi lain juga pembolehubah sebenar."

 

Pokoknya:
Asas matematik untuk analisis spektrum isyarat ialah transformasi Fourier.

Transformasi Fourier membolehkan untuk mewakili fungsi berterusan f(x) (isyarat) yang ditakrifkan pada selang {0, T} sebagai jumlah nombor tak terhingga (siri tak terhingga) fungsi trigonometri (sinus dan/atau kosinus) dengan amplitud dan fasa yang pasti juga dipertimbangkan pada selang {0, T}. Siri sedemikian dipanggil siri Fourier.

Perhatikan beberapa perkara lagi, pemahaman yang diperlukan untuk aplikasi yang betul bagi transformasi Fourier kepada analisis isyarat. Jika kita menganggap siri Fourier (jumlah sinusoid) pada keseluruhan paksi X kita akan melihat bahawa di luar selang {0, T} fungsi siri Fourier akan mengulangi fungsi kita secara berkala.

Sebagai contoh, dalam graf dalam Rajah 7, fungsi asal ditakrifkan pada selang {-T\2, +T\2}, dan siri Fourier mewakili fungsi berkala yang ditakrifkan pada keseluruhan paksi-x.

Ini kerana sinusoid itu sendiri adalah fungsi periodik, jadi jumlahnya juga akan menjadi fungsi periodik.

Dengan demikian:

Fungsi asal kami adalah fungsi berterusan, tidak berkala yang ditakrifkan pada suatu segmen sepanjang T.
The spectrum of this function is discrete, i.e. it is represented as an infinite series of harmonic components – a Fourier series.
Sebenarnya, siri Fourier mentakrifkan suatu fungsi berkala yang bertepatan dengan fungsi kita pada selang {0, T}, tetapi bagi kita, sifat berkala ini tidak penting.

Seterusnya.

Tempoh komponen harmonik adalah gandaan selang {0, T}, di mana fungsi awal f(x) ditakrifkan. Dengan kata lain, tempoh harmonik adalah gandaan tempoh pengukuran isyarat. Sebagai contoh, tempoh harmonik pertama dalam siri Fourier adalah sama dengan selang T di mana fungsi f(x) ditakrifkan. Tempoh harmonik kedua dalam siri Fourier adalah sama dengan selang T/2. Dan seterusnya (lihat Rajah 8).

Accordingly, the frequencies of harmonic components are multiples of 1/T. That is, frequencies of harmonic components Fk are Fk= k\T, where k runs values from 0 to ∞, for example, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (at zero frequency, a constant component).

Biarkan fungsi awal kita adalah isyarat yang dirakam sepanjang T=1 saat. Maka tempoh harmonik pertama akan sama dengan tempoh isyarat kita T1=T=1 saat dan frekuensi harmonik itu adalah 1 Hz. Periode harmonik kedua akan sama dengan tempoh isyarat kita dibahagikan dengan 2 (T2=T/2=0.5 saat) dan frekuensinya ialah 2 Hz. Untuk harmonik ketiga, T3=T/3 saat dan frekuensinya ialah 3 Hz. Dan seterusnya.

Langkah antara harmonik dalam kes ini ialah 1 Hz.

Oleh itu, isyarat dengan tempoh 1 saat boleh diuraikan kepada komponen harmonik (untuk mendapatkan spektrum) dengan resolusi frekuensi 1 Hz.
Untuk meningkatkan resolusi sebanyak 2 kali kepada 0.5 Hz, adalah perlu untuk meningkatkan tempoh pengukuran sebanyak 2 kali kepada 2 saat. Isyarat 10 saat boleh diuraikan kepada komponen harmonik (spektrum) dengan resolusi frekuensi 0.1 Hz. Tiada cara lain untuk meningkatkan resolusi frekuensi. Anda boleh meneroka hubungan ini dengan kami Kalkulator Resolusi FFT.

Terdapat cara untuk secara artifisial meningkatkan tempoh isyarat dengan menambah sifar ke dalam susunan sampel. Tetapi ia tidak meningkatkan resolusi frekuensi sebenar.

Sinyal diskrit dan transformasi Fourier diskrit

Dengan perkembangan teknologi digital, cara penyimpanan data pengukuran (sinyal) telah berubah. Dahulu, sinyal boleh dirakam pada perakam pita dan disimpan dalam pita dalam bentuk analog, kini sinyal didigitalkan dan disimpan dalam fail di memori komputer sebagai satu set nombor (bilangan).

Skim biasa pengukuran isyarat dan pendigitalan adalah seperti berikut.

Measuring transducer —- Signal normalizer —- ADC —– Computer
(Rajah 9 Skema saluran pengukuran)

Sinyal daripada penukar ukur dihantar ke ADC untuk tempoh masa T. Bacaan isyarat (pengambilan sampel) yang diterima sepanjang tempoh T dihantar ke komputer dan disimpan dalam memori.

Apakah keperluan untuk menandakan parameter pendigitalan? Peranti yang menukar isyarat analog input kepada kod diskret (isyarat digital) dipanggil penukar analog ke digital (ADC) (© Wiki).

One of the basic parameters of ADC is the maximum sampling rate – the frequency of sampling of a signal which is continuous in time. Sample rate is measured in hertz. ((© Wiki))

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals  T = 1/2*Fmax, ie with a frequency Fd ≥ 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least 2 times higher than the maximum frequency of the signal we want to measure.

And what will happen if we take samples with lower frequency than required by Kotelnikov’s theorem?

Dalam kes ini terdapat satu “penyimpanganIn this case there is an “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), in which a high frequency signal after digitization turns into a low frequency signal, which in fact does not exist. In Fig. 11 the red sine wave of high frequency is the real signal. The blue sine wave of lower frequency is a fictitious signal, arising due to the fact that during the sampling time has time to pass more than half a period of the high-frequency signal.

 

Untuk mengelakkan kesan aliasing, penapis anti-alias khas (penapis lulus rendah) diletakkan sebelum ADC. Ia membenarkan frekuensi yang lebih rendah daripada separuh frekuensi pensampelan ADC melalui dan memotong frekuensi yang lebih tinggi.

Untuk mengira spektrum isyarat oleh sampel diskretnya, diskret Transformasi Fourier (DFT) digunakan. Perhatikan sekali lagi bahawa spektrum isyarat diskret “mengikut definisi” terhad kepada frekuensi Fmax yang lebih kecil daripada separuh frekuensi pensampelan Fd. Oleh itu, spektrum isyarat diskret boleh diwakili oleh jumlah terhad number of harmonics, in contrast to the infinite sum for the Fourier series of a continuous signal, whose spectrum can be unlimited. According to Kotelnikov’s theorem, the maximum frequency of a harmonic must be such that it accounts for at least two samples, so the number of harmonics is equal to half the number of samples of a discrete signal. That is, if there are N samples in the sample, the number of harmonics in the spectrum will be N/2.

Pertimbangkan kini transformasi Fourier diskret (DFT).

Membandingkannya dengan siri Fourier

 

Seperti yang dapat kita lihat, ia bertepatan, kecuali hakikat bahawa masa dalam FFT adalah diskret dan bilangan harmonik terhad kepada N/2, iaitu separuh daripada bilangan sampel.

Formula DFT ditulis dalam pembolehubah integer tanpa dimensi k dan s, di mana k ialah bilangan sampel isyarat, dan s ialah bilangan komponen spektral.
The value s shows the number of full harmonic oscillations per period T (signal measurement duration). The discrete Fourier transform is used to find the amplitudes and phases of harmonics numerically, i.e. “on the computer”.

Seperti yang telah disebutkan di atas, apabila memecahkan fungsi bukan berkala (signal kita) ke dalam siri Fourier, siri Fourier yang terhasil sebenarnya sepadan dengan fungsi berkala berperiod T (Rajah 12).

 

 

Seperti yang dapat dilihat dalam Rajah 12, fungsi f(x) bersifat berkala dengan tempoh T0. Walau bagaimanapun, disebabkan panjang sampel pengukuran T tidak sama dengan tempoh fungsi T0, fungsi yang diperoleh sebagai siri Fourier mempunyai ketidakterusan pada titik T. Oleh itu, spektrum fungsi ini akan mengandungi sejumlah besar harmonik frekuensi tinggi. Fenomena ini dikenali sebagai kebocoran spektrum, dan dalam amalan ia dikurangkan oleh Bertingkap signal sebelum transformasi. Jika tempoh sampel pengukuran T bertepatan dengan tempoh fungsi T0, maka spektrum yang diperoleh selepas transformasi Fourier hanya mengandungi harmonik pertama (satu sinusoid dengan tempoh sama dengan tempoh sampel), kerana fungsi f(x) adalah sinusoid.

In other words, the DFT program “does not know” that our signal is a “slice of a sine wave”, but tries to represent as a series a periodic function which has a discontinuity due to the discontinuity of separate pieces of the sine wave.

Akibatnya, harmonik muncul dalam spektrum, yang secara keseluruhan sepatutnya mewakili bentuk fungsi, termasuk ketidakterusan ini.

Thus, to get a “correct” spectrum of a signal which is a sum of several sinusoids with different periods, it is necessary that an bilangan bulat kitaran Setiap sinusoid harus hadir pada tempoh pengukuran isyarat. Dalam praktik, syarat ini boleh dipenuhi dengan tempoh pengukuran isyarat yang cukup lama.

 

 

At shorter duration the picture will look “worse”:

 

 

 

 

In practice, it can be difficult to understand where the “real components” and where the “artifacts” caused by inconsistency of component periods and signal sampling durations or “jumps and breaks” in the waveform. Of course, the words “real components” and “artifacts” are put in quotes for a reason. The presence of many harmonics on the spectrum graph does not mean that our signal actually consists of them. It is like thinking that number 7 “consists” of numbers 3 and 4. The number 7 can be thought of as the sum of 3 and 4 – that is correct.

So also our signal… or rather not even “our signal”, but a periodic function composed by repeating our signal (sample) can be represented as a sum of harmonics (sine waves) with certain amplitudes and phases. But in many cases important for practice (see figures above) it is indeed possible to relate the harmonics obtained in the spectrum also to real processes having cyclic character and contributing significantly to the form of the signal.

Beberapa keputusan

1. Isyarat sebenar yang diukur dengan tempoh T saat yang didigitalkan oleh ADC, iaitu diwakili oleh satu set sampel diskret (N keping), mempunyai spektrum diskret tidak berkala yang diwakili oleh satu set harmonik (N/2 keping).

2. Isyarat diwakili oleh satu set nilai yang sah dan spektrumnya diwakili oleh satu set nilai yang sah. Frekuensi harmonik adalah positif. Hanya kerana secara matematik lebih mudah untuk mewakili spektrum dalam bentuk kompleks menggunakan frekuensi negatif tidak bermakna "ini betul" dan "ini adalah cara anda harus sentiasa melakukannya".

3. Isyarat yang diukur pada masa T hanya ditentukan pada masa T. Apa yang berlaku sebelum kita mula mengukur isyarat dan apa yang akan berlaku selepas itu tidak diketahui oleh sains. Dan dalam kes kami ia tidak menarik. FFT isyarat terhad masa memberikan spektrum "sebenar", dalam erti kata bahawa dalam keadaan tertentu ia membolehkan untuk mengira amplitud dan kekerapan komponennya.