Εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στην ανάλυση σημάτων δόνησης.

Andrei Shelkovenko. Ένας από τους προγραμματιστές και ιδρυτής της Vibromera.
Η μετάφραση του άρθρου ενδέχεται να περιέχει ανακρίβειες.

1. Μετασχηματισμός Fourier και φάσμα σήματος
   Σε πολλές περιπτώσεις, το έργο της απόκτησης (υπολογισμού) του φάσματος ενός σήματος έχει ως εξής. Υπάρχει ένας ADC, ο οποίος με συχνότητα δειγματοληψίας Fd μετασχηματίζει το συνεχές σήμα, το οποίο έρχεται στην είσοδό του κατά τη διάρκεια του χρόνου T, σε ψηφιακά δείγματα - N κομμάτια. Στη συνέχεια, αυτή η σειρά δειγμάτων τροφοδοτείται σε κάποιο πρόγραμμα (για παράδειγμα FourierScope) η οποία εξάγει N/2 αριθμητικές τιμές.
   Για να ελέγξουμε αν το πρόγραμμα λειτουργεί σωστά, σχηματίζουμε έναν πίνακα δειγμάτων ως άθροισμα δύο sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) και τον τροφοδοτούμε στο πρόγραμμα. Το πρόγραμμα ζωγράφισε τα εξής:

 

 

Υπάρχουν δύο αρμονικές στο γράφημα φάσματος - 5 Hz με πλάτος 0,5 V και 10 Hz με πλάτος 1 V, όλα είναι όπως στον τύπο του αρχικού σήματος. Όλα είναι εντάξει, το grogram λειτουργεί σωστά.

Αυτό σημαίνει ότι αν τροφοδοτήσουμε ένα πραγματικό σήμα από ένα μείγμα δύο ημιτονοειδών στην είσοδο του ADC, θα λάβουμε ένα παρόμοιο φάσμα που αποτελείται από δύο αρμονικές.

Έτσι, η δική μας πραγματικό μετρούμενο σήμα διάρκειας 5 δευτερολέπτων, ψηφιοποιείται από τον ADC, δηλαδή αντιπροσωπεύεται με διακριτή δείγματα, έχει διακριτή μη περιοδική φάσμα.
Από μαθηματική άποψη - πόσα λάθη υπάρχουν σε αυτή τη φράση;

Τώρα ας προσπαθήσουμε να μετρήσουμε το ίδιο σήμα για 0,5 δευτερόλεπτο.

 

 

Κάτι δεν πάει καλά εδώ! Η αρμονική στα 10 Hz σχεδιάζεται κανονικά και αντί της αρμονικής στα 5 Hz υπάρχουν κάποιες ασαφείς αρμονικές.

Στο Διαδίκτυο λένε ότι είναι απαραίτητο να προσθέσετε μηδενικά στο τέλος του δείγματος και το φάσμα θα σχεδιαστεί κανονικά.

 

 

Δεν είναι καθόλου αυτό. Θα πρέπει να ασχοληθώ με τη θεωρία. Ας πάμε στο wikipedia - η πηγή της γνώσης.

2. Συνεχής συνάρτηση και αναπαράσταση της σειράς Fourier
Μαθηματικά, το σήμα μας με διάρκεια T δευτερολέπτων είναι κάποια συνάρτηση f(x) που δίνεται στο διάστημα {0, T} (X σε αυτή την περίπτωση είναι ο χρόνος). Μια τέτοια συνάρτηση μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων (ημίτονο ή συνημίτονο) της μορφής:

k είναι ο αριθμός της τριγωνομετρικής συνάρτησης ( ο αριθμός της αρμονικής συνιστώσας, ο αριθμός της αρμονικής)
T - τμήμα όπου ορίζεται η συνάρτηση (η διάρκεια του σήματος)
Ak- πλάτος της k-οστής αρμονικής συνιστώσας,
θk- η αρχική φάση της k-οστής αρμονικής συνιστώσας
Τι σημαίνει να "αναπαραστήσετε τη συνάρτηση ως το άθροισμα των σειρών"; Σημαίνει ότι προσθέτοντας τις τιμές των αρμονικών συνιστωσών της σειράς Fourier σε κάθε σημείο, παίρνουμε την τιμή της συνάρτησής μας στο σημείο αυτό.
(Πιο αυστηρά, η μέση τετραγωνική απόκλιση της σειράς από τη συνάρτηση f(x) θα τείνει στο μηδέν, αλλά παρά τη μέση τετραγωνική σύγκλιση, η σειρά Fourier μιας συνάρτησης δεν χρειάζεται, γενικά μιλώντας, να συγκλίνει σε αυτήν σημείο προς σημείο. )
Αυτή η σειρά μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή:

 

 

 

όπου , το k-οστό μιγαδικό πλάτος.

 

ή

 

 

 

Η σχέση μεταξύ των συντελεστών (1) και (3) εκφράζεται από τους ακόλουθους τύπους:

 

 

 

 

Σημειώστε ότι και οι τρεις αυτές αναπαραστάσεις των σειρών Fourier είναι απολύτως ισοδύναμες. Μερικές φορές, όταν εργάζεστε με σειρές Fourier, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε εκθέτες με φανταστικό όρισμα αντί για ημίτονα και συνημίτονα, δηλαδή να χρησιμοποιείτε το μετασχηματισμό Fourier σε μιγαδική μορφή. Όμως για εμάς είναι βολικό να χρησιμοποιούμε τον τύπο (1), όπου η σειρά Fourier αναπαρίσταται ως άθροισμα συνημίτονων με αντίστοιχα πλάτη και φάσεις. Σε κάθε περίπτωση, είναι λάθος να λέμε ότι το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού Fourier του πραγματικού σήματος θα είναι μιγαδικά αρμονικά πλάτη. Όπως σωστά λέει το Wiki, "Ο μετασχηματισμός Fourier (ℱ) είναι μια πράξη που απεικονίζει μια συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής σε μια άλλη συνάρτηση επίσης πραγματικής μεταβλητής".

 

Τελική γραμμή:
Η μαθηματική βάση για τη φασματική ανάλυση των σημάτων είναι ο μετασχηματισμός Fourier.

Ο μετασχηματισμός Fourier επιτρέπει την αναπαράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f(x) (σήμα) που ορίζεται στο διάστημα {0, T} ως άθροισμα άπειρου αριθμού (άπειρη σειρά) τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημίτονο ή/και συνημίτονο) με καθορισμένα πλάτη και φάσεις που θεωρούνται επίσης στο διάστημα {0, T}. Μια τέτοια σειρά ονομάζεται σειρά Fourier.

Σημειώστε μερικά ακόμη σημεία, η κατανόηση των οποίων είναι απαραίτητη για τη σωστή εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στην ανάλυση σημάτων. Αν εξετάσουμε τη σειρά Fourier (άθροισμα ημιτονοειδών) σε ολόκληρο τον άξονα Χ θα δούμε ότι εκτός του διαστήματος {0, T} η συνάρτηση της σειράς Fourier θα επαναλαμβάνει περιοδικά τη συνάρτησή μας.

Για παράδειγμα, στο γράφημα του Σχ. 7, η αρχική συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα {-T\2, +T\2} και η σειρά Fourier αντιπροσωπεύει μια περιοδική συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρο τον άξονα x.

Αυτό συμβαίνει επειδή τα ίδια τα ημιτονοειδή είναι περιοδικές συναρτήσεις, οπότε και το άθροισμά τους θα είναι επίσης περιοδική συνάρτηση.

Έτσι:

Η αρχική μας συνάρτηση είναι μια συνεχής, μη περιοδική συνάρτηση που ορίζεται σε κάποιο τμήμα μήκους Τ.
Το φάσμα αυτής της συνάρτησης είναι διακριτό, δηλαδή αναπαρίσταται ως μια άπειρη σειρά αρμονικών συνιστωσών - μια σειρά Fourier.
Στην πραγματικότητα, η σειρά Fourier ορίζει κάποια περιοδική συνάρτηση, η οποία συμπίπτει με τη συνάρτησή μας στο διάστημα {0, T}, αλλά για εμάς αυτή η περιοδικότητα δεν είναι απαραίτητη.

Επόμενος.

Οι περίοδοι των αρμονικών συνιστωσών είναι πολλαπλάσια του διαστήματος {0, T}, στο οποίο ορίζεται η αρχική συνάρτηση f(x). Με άλλα λόγια, οι περίοδοι των αρμονικών συνιστωσών είναι πολλαπλάσια της διάρκειας της μέτρησης του σήματος. Για παράδειγμα, η περίοδος της πρώτης αρμονικής σε μια σειρά Fourier είναι ίση με το διάστημα T στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση f(x). Η περίοδος της δεύτερης αρμονικής σε μια σειρά Fourier είναι ίση με το διάστημα T/2. Και ούτω καθεξής (βλέπε σχήμα 8).

Συνεπώς, οι συχνότητες των αρμονικών συνιστωσών είναι πολλαπλάσια του 1/T. Δηλαδή, οι συχνότητες των αρμονικών συνιστωσών Fk είναι Fk= k\T, όπου το k έχει τιμές από 0 έως ∞, για παράδειγμα, k=0 F0=0- k=1 F1=1\T- k=2 F2=2\T- k=3 F3=3\T- .... Fk= k\T (σε μηδενική συχνότητα, μια σταθερή συνιστώσα).

Έστω η αρχική μας συνάρτηση, είναι ένα σήμα που καταγράφηκε κατά τη διάρκεια T=1 sec. Τότε η περίοδος της πρώτης αρμονικής θα είναι ίση με τη διάρκεια του σήματος μας T1=T=1 sec και η συχνότητα της αρμονικής είναι ίση με 1 Hz. Η περίοδος της δεύτερης αρμονικής θα είναι ίση με τη διάρκεια του σήματος μας διαιρεμένη δια 2 (T2=T/2=0,5 sec.) και η συχνότητα είναι ίση με 2 Hz. Για την τρίτη αρμονική, T3=T/3 sec και η συχνότητα είναι 3 Hz. Και ούτω καθεξής.

Το βήμα μεταξύ των αρμονικών στην περίπτωση αυτή είναι 1 Hz.

Έτσι, ένα σήμα διάρκειας 1 δευτερολέπτου μπορεί να αναλυθεί σε αρμονικές συνιστώσες (για να ληφθεί ένα φάσμα) με ανάλυση συχνότητας 1 Hz.
Για την αύξηση της ανάλυσης κατά έναν παράγοντα 2 έως 0,5 Hz, είναι απαραίτητο να αυξηθεί η διάρκεια της μέτρησης κατά έναν παράγοντα 2 έως 2 δευτερόλεπτα. Ένα σήμα 10 δευτερολέπτων μπορεί να αναλυθεί σε αρμονικές συνιστώσες (φάσμα) με ανάλυση συχνότητας 0,1 Hz. Δεν υπάρχουν άλλοι τρόποι αύξησης της ανάλυσης συχνότητας.

Υπάρχει ένας τρόπος να αυξήσετε τεχνητά τη διάρκεια του σήματος προσθέτοντας μηδενικά στη σειρά δειγμάτων. Αλλά αυτό δεν αυξάνει την πραγματική ανάλυση συχνότητας.

3. Διακριτά σήματα και διακριτός μετασχηματισμός Fourier
Με την ανάπτυξη της ψηφιακής τεχνολογίας οι τρόποι αποθήκευσης των δεδομένων μέτρησης (σημάτων) έχουν αλλάξει. Ενώ προηγουμένως ένα σήμα μπορούσε να καταγραφεί σε ένα μαγνητόφωνο και να αποθηκευτεί σε μια ταινία σε αναλογική μορφή, τώρα τα σήματα ψηφιοποιούνται και αποθηκεύονται σε αρχεία στη μνήμη του υπολογιστή ως σύνολο αριθμών (μετρήσεις).

Το συνηθισμένο σχήμα μέτρησης και ψηφιοποίησης σήματος έχει ως εξής.

Μετατροπέας μέτρησης -- Κανονικοποιητής σήματος -- ADC -- Υπολογιστής
(Σχ.9 Σχηματική αναπαράσταση του καναλιού μέτρησης)

Το σήμα από τον μετατροπέα μέτρησης πηγαίνει στον ADC για μια χρονική περίοδο T. Οι ενδείξεις του σήματος (δειγματοληψία) που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια του χρόνου T μεταδίδονται στον υπολογιστή και αποθηκεύονται στη μνήμη.

Ποιες είναι οι απαιτήσεις για τις παραμέτρους ψηφιοποίησης σήματος; Μια συσκευή που μετατρέπει το αναλογικό σήμα εισόδου σε διακριτό κώδικα (ψηφιακό σήμα) ονομάζεται αναλογικό-ψηφιακός μετατροπέας (ADC) (© Wiki).

Μια από τις βασικές παραμέτρους του ADC είναι ο μέγιστος ρυθμός δειγματοληψίας - η συχνότητα δειγματοληψίας ενός σήματος που είναι συνεχές στο χρόνο. Ο ρυθμός δειγματοληψίας μετράται σε Hertz. ((© Wiki))

Σύμφωνα με το θεώρημα του Kotelnikov, εάν ένα συνεχές σήμα έχει φάσμα που περιορίζεται από τη συχνότητα Fmax, μπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως και μοναδικά από τα διακριτά δείγματά του που λαμβάνονται σε χρονικά διαστήματα T = 1/2*Fmax, δηλαδή με συχνότητα Fd ≥ 2*Fmax, όπου Fd - συχνότητα δειγματοληψίας- Fmax - η μέγιστη συχνότητα του φάσματος του σήματος. Με άλλα λόγια, η συχνότητα ψηφιοποίησης του σήματος (συχνότητα δειγματοληψίας του ADC) πρέπει να είναι τουλάχιστον 2 φορές μεγαλύτερη από τη μέγιστη συχνότητα του σήματος που θέλουμε να μετρήσουμε.

Και τι θα συμβεί αν πάρουμε δείγματα με μικρότερη συχνότητα από αυτή που απαιτεί το θεώρημα του Kotelnikov;

Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα φαινόμενο "aliasing" (ή αλλιώς στροβοσκοπικό φαινόμενο, φαινόμενο moiré), κατά το οποίο ένα σήμα υψηλής συχνότητας μετά την ψηφιοποίηση μετατρέπεται σε σήμα χαμηλής συχνότητας, το οποίο στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Στο Σχ. 11 το κόκκινο ημιτονοειδές κύμα υψηλής συχνότητας είναι το πραγματικό σήμα. Το μπλε ημιτονοειδές χαμηλής συχνότητας είναι ένα πλασματικό σήμα, που προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου δειγματοληψίας έχει προλάβει να περάσει πάνω από τη μισή περίοδο του σήματος υψηλής συχνότητας.

 

Για να αποφευχθεί το φαινόμενο aliasing, ένα ειδικό φίλτρο anti-alias (χαμηλοπερατό φίλτρο) τοποθετείται πριν από τον ADC. Διέρχεται από συχνότητες χαμηλότερες από το ήμισυ της συχνότητας δειγματοληψίας του ADC και αποκόπτει τις υψηλότερες συχνότητες.

Για τον υπολογισμό του φάσματος του σήματος με τα διακριτά δείγματά του χρησιμοποιείται ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT). Σημειώστε και πάλι ότι το φάσμα ενός διακριτού σήματος περιορίζεται "εξ ορισμού" σε μια συχνότητα Fmax μικρότερη από το μισό της συχνότητας δειγματοληψίας Fd. Επομένως, το φάσμα ενός διακριτού σήματος μπορεί να αναπαρασταθεί από το άθροισμα μια πεπερασμένη αριθμό αρμονικών, σε αντίθεση με το άπειρο άθροισμα για τη σειρά Fourier ενός συνεχούς σήματος, του οποίου το φάσμα μπορεί να είναι απεριόριστο. Σύμφωνα με το θεώρημα του Kotelnikov, η μέγιστη συχνότητα μιας αρμονικής πρέπει να είναι τέτοια ώστε να αντιπροσωπεύει τουλάχιστον δύο δείγματα, οπότε ο αριθμός των αρμονικών είναι ίσος με το μισό του αριθμού των δειγμάτων ενός διακριτού σήματος. Δηλαδή, εάν υπάρχουν Ν δείγματα στο δείγμα, ο αριθμός των αρμονικών στο φάσμα θα είναι Ν/2.

Εξετάστε τώρα τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier (DFT).

Συγκρίνοντάς την με τη σειρά Fourier

 

Όπως βλέπουμε, συμπίπτουν, εκτός από το γεγονός ότι ο χρόνος στον FFT είναι διακριτός και ο αριθμός των αρμονικών περιορίζεται σε N/2, που είναι το μισό του αριθμού των δειγμάτων.

Οι τύποι του DFT γράφονται σε ακέραιες μεταβλητές χωρίς διαστάσεις k, s, όπου k είναι ο αριθμός των δειγμάτων του σήματος, s είναι ο αριθμός των φασματικών συνιστωσών.
Η τιμή s δείχνει τον αριθμό των πλήρων αρμονικών ταλαντώσεων ανά περίοδο Τ (διάρκεια μέτρησης σήματος). Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται για να βρεθούν τα πλάτη και οι φάσεις των αρμονικών αριθμητικά, δηλαδή "στον υπολογιστή".

Όπως έχει ήδη ειπωθεί παραπάνω, όταν αναλύουμε μια μη περιοδική συνάρτηση (το σήμα μας) σε σειρές Fourier, η σειρά Fourier που προκύπτει αντιστοιχεί στην πραγματικότητα σε μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ (Σχήμα 12).

 

 

Όπως φαίνεται στο Σχήμα 12, η συνάρτηση f(x) είναι περιοδική με περίοδο T0. Ωστόσο, λόγω του γεγονότος ότι το μήκος του δείγματος μέτρησης T δεν είναι ίσο με την περίοδο T0 της συνάρτησης, η συνάρτηση που λαμβάνεται ως σειρά Fourier έχει ασυνέχεια στο σημείο T. Ως αποτέλεσμα, το φάσμα αυτής της συνάρτησης θα περιέχει μεγάλο αριθμό αρμονικών υψηλής συχνότητας. Εάν η διάρκεια του δείγματος μέτρησης T συνέπιπτε με την περίοδο της συνάρτησης T0, τότε το φάσμα που λαμβάνεται μετά το μετασχηματισμό Fourier θα περιείχε μόνο την πρώτη αρμονική (ημιτονοειδές με περίοδο ίση με τη διάρκεια του δείγματος), επειδή η συνάρτηση f(x) είναι ημιτονοειδές.

Με άλλα λόγια, το πρόγραμμα DFT "δεν γνωρίζει" ότι το σήμα μας είναι μια "φέτα ενός ημιτόνου", αλλά προσπαθεί να αναπαραστήσει ως σειρά μια περιοδική συνάρτηση η οποία έχει μια ασυνέχεια λόγω της ασυνέχειας των ξεχωριστών κομματιών του ημιτόνου.

Ως αποτέλεσμα, εμφανίζονται αρμονικές στο φάσμα, οι οποίες θα πρέπει, συνολικά, να αντιπροσωπεύουν τη μορφή της συνάρτησης, συμπεριλαμβανομένης αυτής της ασυνέχειας.

Έτσι, για να λάβουμε ένα "σωστό" φάσμα ενός σήματος το οποίο είναι άθροισμα πολλών ημιτονοειδών με διαφορετικές περιόδους, είναι απαραίτητο ένα ακέραιος αριθμός περιόδων του κάθε ημιτονοειδές πρέπει να είναι παρόν κατά την περίοδο μέτρησης του σήματος. Στην πράξη, η προϋπόθεση αυτή μπορεί να ικανοποιηθεί με αρκετά μεγάλη διάρκεια μέτρησης του σήματος.

 

 

Σε μικρότερη διάρκεια η εικόνα θα φαίνεται "χειρότερη":

 

 

 

 

Στην πράξη, μπορεί να είναι δύσκολο να καταλάβει κανείς πού βρίσκονται τα "πραγματικά στοιχεία" και πού τα "τεχνουργήματα" που προκαλούνται από την ασυνέπεια των περιόδων των στοιχείων και της διάρκειας δειγματοληψίας του σήματος ή από τα "άλματα και τα διαλείμματα" στην κυματομορφή. Φυσικά, οι λέξεις "πραγματικές συνιστώσες" και "τεχνουργήματα" τίθενται σε εισαγωγικά για κάποιο λόγο. Η παρουσία πολλών αρμονικών στο γράφημα φάσματος δεν σημαίνει ότι το σήμα μας αποτελείται πραγματικά από αυτές. Είναι σαν να πιστεύουμε ότι ο αριθμός 7 "αποτελείται" από τους αριθμούς 3 και 4. Ο αριθμός 7 μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των 3 και 4 - αυτό είναι σωστό.

Έτσι και το σήμα μας... ή μάλλον όχι καν "το σήμα μας", αλλά μια περιοδική συνάρτηση που αποτελείται από την επανάληψη του σήματος (δείγματος) μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα αρμονικών (ημιτονοειδών) με συγκεκριμένα πλάτη και φάσεις. Αλλά σε πολλές περιπτώσεις σημαντικές για την πράξη (βλ. παραπάνω σχήματα) είναι πράγματι δυνατό να συσχετίσουμε τις αρμονικές που προκύπτουν στο φάσμα και με πραγματικές διεργασίες που έχουν κυκλικό χαρακτήρα και συμβάλλουν σημαντικά στη μορφή του σήματος.

Μερικά αποτελέσματα
1. Ένα πραγματικό μετρούμενο σήμα διάρκειας T sec. που ψηφιοποιείται από ADC, δηλαδή αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο διακριτών δειγμάτων (N τεμάχια), έχει ένα διακριτό μη περιοδικό φάσμα που αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο αρμονικών (N/2 τεμάχια).

2. Το σήμα αναπαρίσταται από ένα σύνολο έγκυρων τιμών και το φάσμα του αναπαρίσταται από ένα σύνολο έγκυρων τιμών. Οι συχνότητες των αρμονικών είναι θετικές. Το γεγονός ότι είναι μαθηματικά πιο βολικό να αναπαραστήσετε το φάσμα σε μιγαδική μορφή χρησιμοποιώντας αρνητικές συχνότητες δεν σημαίνει ότι "αυτό είναι σωστό" και "έτσι πρέπει να το κάνετε πάντα".

3. Το σήμα που μετράται τη στιγμή Τ καθορίζεται μόνο τη στιγμή Τ. Το τι συνέβη πριν αρχίσουμε να μετράμε το σήμα και τι θα συμβεί μετά από αυτό είναι άγνωστο στην επιστήμη. Και στην περίπτωσή μας δεν είναι ενδιαφέρον. Ο FFT του χρονικά περιορισμένου σήματος δίνει το "πραγματικό" φάσμα του, με την έννοια ότι υπό ορισμένες συνθήκες επιτρέπει τον υπολογισμό του πλάτους και της συχνότητας των συνιστωσών του.