Aplicação da Transformada de Fourier à Análise de Sinais de Vibração

Andrei Shelkovenko. Um dos desenvolvedores e fundador da Vibromera.
A tradução do artigo pode conter imprecisões.

Transformada de Fourier e espectro do sinal

Em muitos casos, a tarefa de obter (calcular) o espectro de um sinal é a seguinte. Existe um ADC, que com frequência de amostragem frequência Fd transforma o sinal contínuo, que chega à sua entrada durante o tempo T, em amostras digitais – N peças. Em seguida, essa matriz de amostras é alimentada em algum programa (por exemplo FourierScope) que produz N/2 alguns valores numéricos.

Para verificar se o programa funciona corretamente, formamos uma matriz de amostras como uma soma de dois sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e a alimentamos no programa. O programa desenhou o seguinte:

 

 

Existem dois harmônicos no gráfico do espectro – 5 Hz com amplitude de 0,5 V e 10 Hz com amplitude de 1 V, tudo está como na fórmula do sinal original. Tudo bem, o programa funciona corretamente.

Isso significa que se alimentarmos um sinal real de uma mistura de duas senoides na entrada do ADC, obteremos um espectro semelhante consistindo de duas harmônicas.

Então, nosso real sinal medido de duração de 5 seg., digitalizado pelo ADC, ou seja, representado por amostras discretas, tem um não periódico discreto espectro.
Do ponto de vista matemático – quantos erros nesta frase?

Agora vamos tentar medir o mesmo sinal por 0,5 seg.

 

 

Algo está errado aqui! A harmônica em 10 Hz é desenhada normalmente, e em vez da harmônica em 5 Hz há algumas harmônicas pouco claras.

Na Internet dizem que é necessário adicionar zeros ao final da amostra e o espectro será desenhado normalmente.

 

 

Isso não é nada disso. Terei que lidar com a teoria. Vamos para wikipedia – a fonte de conhecimento.

Função contínua e sua representação em série de Fourier

Matematicamente, nosso sinal com duração de T segundos é alguma função f(x) definida no intervalo {0, T} (X neste caso é o tempo). Tal função sempre pode ser representada como uma soma de funções harmônicas (seno ou cosseno) da forma:

k é o número da função trigonométrica (o número do componente harmônico, o número da harmônica)
T – segmento onde a função é definida (a duração do sinal)
Ak- amplitude do k-ésimo componente harmônico,
θk- a fase inicial do k-ésimo componente harmônico
O que significa “representar a função como a soma da série”? Significa que, somando os valores dos componentes harmônicos da série de Fourier em cada ponto, obtemos o valor de nossa função naquele ponto.
(Mais rigorosamente, o desvio quadrático médio da série em relação à função f(x) tenderá a zero, mas apesar da convergência quadrática média, a série de Fourier de uma função não precisa, em geral, convergir para ela ponto a ponto. )
Esta série também pode ser escrita na forma:

 

 

 

onde , a amplitude complexa k-ésima.

 

ou

 

 

 

A relação entre os coeficientes (1) e (3) é expressa pelas seguintes fórmulas:

 

 

 

 

Note que todas essas três representações da série de Fourier são perfeitamente equivalentes. Às vezes, ao trabalhar com séries de Fourier, é mais conveniente usar expoentes de argumento imaginário em vez de senos e cossenos, ou seja, usar a transformada de Fourier na forma complexa. Mas é conveniente para nós usar a fórmula (1), onde a série de Fourier é representada como uma soma de cossenos com amplitudes e fases correspondentes. Estritamente falando, a transformada de Fourier de um sinal real realmente produz coeficientes complexos (forma (3)): cada coeficiente carrega tanto a amplitude quanto a fase de seu harmônico. Para um sinal real, esses coeficientes complexos possuem simetria conjugada (Hermitiana) — a metade de frequência negativa simplesmente espelha a metade de frequência positiva e não carrega informações extras. É por isso que, a partir dos coeficientes complexos, sempre podemos passar para as amplitudes reais não negativas Ak e as fases θk da fórmula (1) — e é exatamente esse espectro de amplitude que os programas de análise plotam.

 

Em resumo:
A base matemática para a análise espectral de sinais é a transformada de Fourier.

A transformada de Fourier permite representar uma função contínua f(x) (sinal) definida no intervalo {0, T} como uma soma de número infinito (série infinita) de funções trigonométricas (seno e/ou cosseno) com amplitudes e fases definidas também consideradas no intervalo {0, T}. Tal série é chamada de série de Fourier.

Observe mais alguns pontos, cuja compreensão é necessária para a aplicação correta da transformada de Fourier à análise de sinais. Se considerarmos a série de Fourier (soma de senoides) em todo o eixo X, veremos que fora do intervalo {0, T} a função da série de Fourier repetirá periodicamente nossa função.

Por exemplo, no gráfico da Fig. 7, a função original é definida no intervalo {-T\2, +T\2}, e a série de Fourier representa uma função periódica definida em todo o eixo x.

Isso ocorre porque as próprias senoides são funções periódicas, portanto, sua soma também será uma função periódica.

Assim:

Nossa função original é uma função contínua e não periódica definida em algum segmento de comprimento T.
O espectro dessa função é discreto, ou seja, é representado como uma série infinita de componentes harmônicas – uma série de Fourier.
Na verdade, a série de Fourier define uma certa função periódica, que coincide com nossa função no intervalo {0, T}, mas para nós essa periodicidade não é essencial.

A seguir.

Os períodos das componentes harmônicas são múltiplos do intervalo {0, T}, no qual a função inicial f(x) é definida. Em outras palavras, os períodos das harmônicas são múltiplos da duração da medição do sinal. Por exemplo, o período da primeira harmônica em uma série de Fourier é igual ao intervalo T no qual a função f(x) é definida. O período da segunda harmônica em uma série de Fourier é igual ao intervalo T/2. E assim por diante (veja a Figura 8).

Consequentemente, as frequências das componentes harmônicas são múltiplos de 1/T. Ou seja, as frequências das componentes harmônicas Fk são Fk= k\T, onde k assume valores de 0 a ∞, por exemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (na frequência zero, uma componente constante).

Seja nossa função inicial um sinal gravado durante T=1 seg. Então o período da primeira harmônica será igual à duração do nosso sinal T1=T=1 seg e a frequência da harmônica será igual a 1 Hz. O período da segunda harmônica será igual à duração do nosso sinal dividida por 2 (T2=T/2=0,5 seg.) e a frequência será igual a 2 Hz. Para a terceira harmônica, T3=T/3 seg e a frequência é de 3 Hz. E assim por diante.

O passo entre as harmônicas neste caso é de 1 Hz.

Assim, um sinal com duração de 1 seg pode ser decomposto em componentes harmônicas (para obter um espectro) com uma resolução de frequência de 1 Hz.
Para aumentar a resolução por um fator de 2 para 0,5 Hz, é necessário aumentar a duração da medição por um fator de 2 para 2 segundos. Um sinal de 10 segundos pode ser decomposto em componentes harmônicos (espectro) com uma resolução de frequência de 0,1 Hz. Não há outras maneiras de aumentar a resolução de frequência. Você pode explorar essa relação com nosso Calculadora de Resolução FFT.

Existe uma maneira de aumentar artificialmente a duração do sinal adicionando zeros ao conjunto de amostras. Mas isso não aumenta a resolução de frequência real.

Sinais discretos e transformada discreta de Fourier

Com o desenvolvimento da tecnologia digital, as formas de armazenamento de dados de medição (sinais) mudaram. Enquanto anteriormente um sinal podia ser gravado em uma fita cassete e armazenado em uma fita em forma analógica, agora os sinais são digitalizados e armazenados em arquivos na memória do computador como um conjunto de números (contagens).

O esquema usual de medição e digitalização de sinais é o seguinte.

Transdutor de medição —- Normalizador de sinal —- ADC —– Computador
(Fig.9 Esquema do canal de medição)

O sinal do transdutor de medição vai para o ADC por um período de tempo T. As leituras do sinal (amostragem) recebidas durante o tempo T são transmitidas para o computador e salvas na memória.

Quais são os requisitos para os parâmetros de digitalização do sinal? Um dispositivo que converte o sinal analógico de entrada em um código discreto (sinal digital) é chamado de conversor analógico-digital (ADC) (© Wiki).

Um dos parâmetros básicos do ADC é a taxa máxima de amostragem – a frequência de amostragem de um sinal que é contínuo no tempo. A taxa de amostragem é medida em hertz. ((© Wiki))

De acordo com o teorema de Kotelnikov, se um sinal contínuo tem um espectro limitado pela frequência Fmax, ele pode ser totalmente e unicamente reconstruído a partir de suas amostras discretas tomadas em intervalos de tempo Δt ≤ 1/(2*Fmax), ou seja, com uma frequência de amostragem Fd ≥ 2*Fmax, onde Fd – frequência de amostragem; Fmax – a frequência máxima do espectro do sinal. Em outras palavras, a frequência de digitalização do sinal (frequência de amostragem do ADC) deve ser pelo menos duas vezes a frequência máxima do sinal que queremos medir.

E o que acontecerá se tomarmos amostras com frequência menor do que a exigida pelo teorema de Kotelnikov?

Neste caso, há um “aliasing” efeito (também conhecido como efeito estroboscópico, efeito moiré), no qual um sinal de alta frequência após a digitalização se transforma em um sinal de baixa frequência, que na verdade não existe. Na Fig. 11, a onda senoidal vermelha de alta frequência é o sinal real. A onda senoidal azul de frequência mais baixa é um sinal fictício, surgindo devido ao fato de que durante o tempo de amostragem tem tempo de passar mais de meio período do sinal de alta frequência.

 

Para evitar o efeito de aliasing, um filtro anti-alias especial (filtro passa-baixas) é colocado antes do ADC. Ele passa frequências menores que metade da frequência de amostragem do ADC e corta as frequências mais altas.

Para calcular o espectro do sinal por suas amostras discretas, a transformada discreta de Fourier (DFT) é usada. Note novamente que o espectro de um sinal discreto é “por definição” limitado a uma frequência Fmax menor que metade da frequência de amostragem Fd. Portanto, o espectro de um sinal discreto pode ser representado pela soma de um número finito de harmônicas, em contraste com a soma infinita para a série de Fourier de um sinal contínuo, cujo espectro pode ser ilimitado. De acordo com o teorema de Kotelnikov, a frequência máxima de uma harmônica deve ser tal que ela contabilize pelo menos duas amostras, portanto, o número de harmônicas é igual à metade do número de amostras de um sinal discreto. Ou seja, se houver N amostras na amostra, o número de harmônicas no espectro será N/2.

Consideremos agora a transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparando-a com a série de Fourier

 

Como podemos ver, elas coincidem, exceto pelo fato de que o tempo na FFT é discreto e o número de harmônicas é limitado a N/2, que é a metade do número de amostras.

As fórmulas da DFT são escritas em variáveis inteiras adimensionais k, s, onde k é o número de amostras do sinal, s é o número de componentes espectrais.
O valor s mostra o número de oscilações harmônicas completas por período T (duração da medição do sinal). A transformada discreta de Fourier é usada para encontrar as amplitudes e fases das harmônicas numericamente, ou seja, “no computador”.

Como já foi dito acima, ao decompor uma função não periódica (nosso sinal) em série de Fourier, a série de Fourier resultante na verdade corresponde a uma função periódica com período T (Fig.12).

 

 

Como pode ser visto na Fig. 12, a função f(x) é periódica com período T0. No entanto, devido ao fato de que o comprimento da amostra de medição T não é igual ao período da função T0, a função obtida como uma série de Fourier tem uma descontinuidade no ponto T. Como resultado, o espectro dessa função conterá um grande número de harmônicos de alta frequência. Esse fenômeno é conhecido como vazamento espectral, e na prática é reduzido por janelamento o sinal antes da transformada. Se a duração da amostra de medição T coincidisse com o período da função T0, então o espectro obtido após a transformada de Fourier conteria apenas o primeiro harmônico (uma senoide com um período igual à duração da amostra), porque a função f(x) é uma senoide.

Em outras palavras, o programa DFT “não sabe” que nosso sinal é um “pedaço de uma onda senoidal”, mas tenta representar como uma série uma função periódica que tem uma descontinuidade devido à descontinuidade de pedaços separados da onda senoidal.

Como resultado, harmônicas aparecem no espectro, que devem, no total, representar a forma da função, incluindo essa descontinuidade.

Assim, para obter um espectro “correto” de um sinal que é uma soma de várias senoides com diferentes períodos, é necessário que um número inteiro de períodos de cada senoide esteja presente no período de medição do sinal. Na prática, essa condição pode ser atendida com uma duração suficientemente longa da medição do sinal.

 

 

Em durações mais curtas, a imagem parecerá “pior”:

 

 

 

 

Na prática, pode ser difícil entender onde estão as “componentes reais” e onde estão os “artefatos” causados pela inconsistência dos períodos das componentes e das durações de amostragem do sinal ou “saltos e quebras” na forma de onda. Claro, as palavras “componentes reais” e “artefatos” estão entre aspas por um motivo. A presença de muitas harmônicas no gráfico do espectro não significa que nosso sinal realmente consista nelas. É como pensar que o número 7 “consiste” nos números 3 e 4. O número 7 pode ser pensado como a soma de 3 e 4 – isso está correto.

Assim também nosso sinal… ou melhor, nem mesmo “nosso sinal”, mas uma função periódica composta pela repetição do nosso sinal (amostra) pode ser representada como uma soma de harmônicas (ondas senoidais) com certas amplitudes e fases. Mas em muitos casos importantes para a prática (veja as figuras acima) é de fato possível relacionar as harmônicas obtidas no espectro também a processos reais que têm caráter cíclico e contribuem significativamente para a forma do sinal.

Alguns resultados

1. Um sinal real medido com duração de T segundos, digitalizado por um ADC, ou seja, representado por um conjunto de amostras discretas (N peças), possui um espectro discreto não periódico representado por um conjunto de harmônicos (N/2 peças).

2. O sinal é representado por um conjunto de valores reais. Seu espectro DFT é um conjunto de coeficientes complexos com simetria conjugada; a partir deles, o espectro de amplitude é obtido — um conjunto de amplitudes reais não negativas (e fases) em frequências positivas, e é esse espectro de amplitude unilateral que é plotado na prática. A forma complexa bilateral com frequências negativas e a forma de amplitude/fase unilateral são representações equivalentes do mesmo espectro — para análise de sinais, geralmente é mais conveniente trabalhar com o espectro de amplitude unilateral.

3. O sinal medido no tempo T é determinado apenas no tempo T. O que aconteceu antes de começarmos a medir o sinal e o que acontecerá depois disso é desconhecido pela ciência. E, no nosso caso, não é interessante. A FFT do sinal limitado no tempo fornece seu espectro “real”, no sentido de que, sob certas condições, permite calcular a amplitude e a frequência de seus componentes.