傅立葉變換在振動訊號分析中的應用

Andrei Shelkovenko。Vibromera 的開發者與創辦人之一。
本文翻譯可能含有不準確之處。

傅立葉變換與訊號頻譜

在許多情況下，獲取（計算） 頻譜 訊號的任務如下。有一個 ADC，它以採樣 頻率 Fd 將時長為 T 內輸入其端子的連續訊號轉換為數位樣本 – N 個。然後將這組樣本輸入某個程式（例如 FourierScope）該程式會輸出 N/2 個數值。

為了檢查程式是否正常運作，我們構建一個由兩個正弦函數相加而成的樣本陣列 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) 並輸入程式。程式繪製出以下結果：

 

 

有兩個 諧波 在頻譜圖上 – 5 Hz 振幅為 0.5 V，10 Hz 振幅為 1 V，一切與原始訊號公式中的情況一致。沒問題，程式運作正確。

這意味著，如果我們將由兩個正弦波混合而成的真實訊號輸入 ADC，我們將獲得一個由兩個諧波組成的類似頻譜。

因此，我們的 真實 測量訊號 持續時間為 5 秒，經 ADC 數位化，即表示為 離散 樣本，具有 離散非週期性 頻譜。
從數學角度來看 – 這句話有多少處錯誤？

現在讓我們嘗試測量同一訊號，持續時間為 0.5 秒。

 

 

這裡有些問題！10 Hz 的諧波繪製正常，但 5 Hz 的諧波位置出現了一些不明確的諧波。

網路上說需要在樣本末尾補零，頻譜就會正常繪製。

 

 

這完全不是那麼回事。我必須深入研究理論。讓我們前往 wikipedia – 知識的來源。

連續函數及其傅立葉級數表示

從數學角度來看，我們持續時間為 T 秒的訊號是定義在區間 {0, T} 上的某個函數 f(x)（此處 X 為時間）。此類函數總可以表示為以下形式的諧波函數（正弦或餘弦）之和：

k 為三角函數的序數（諧波分量的序數，諧波的序數）
T – 函數定義的區間（訊號的持續時間）
Ak- 第 k 個諧波分量的振幅，
θk- 第 k 個諧波分量的初始相位
「將函數表示為級數之和」是什麼意思？這意味著，通過在每個點上將傅立葉級數的諧波分量值相加，我們得到該點上我們函數的值。
（更嚴格地說，級數與函數 f(x) 的均方偏差將趨於零，但儘管存在均方收斂，一般而言，函數的傅立葉級數不一定逐點收斂於該函數。）
此級數也可以寫成以下形式：

 

 

 

其中 ，第 k 個複振幅。

 

或

 

 

 

係數（1）與（3）之間的關係由以下公式表示：

 

 

 

 

注意，傅立葉級數的這三種表示法完全等效。有時在處理傅立葉級數時，使用虛數參數的指數而非弦波與餘弦波（即使用複數形式的傅立葉變換）會更方便。但對我們而言，使用公式 (1) 更為方便，其中傅立葉級數表示為具有對應振幅與相位的餘弦波之和。嚴格來說，真實訊號的傅立葉變換確實會產生複數係數（形式 (3)）：每個係數同時攜帶其諧波的振幅與相位。對於真實訊號，這些複數係數具有共軛（厄米特）對稱性 – 負頻率半部單純是正頻率半部的鏡像，且不攜帶額外資訊。因此，從複數係數中，我們總能轉換至公式 (1) 的實數非負振幅 Ak 與相位 θk – 而分析程式繪製的正是此振幅頻譜。

 

總結：
訊號頻譜分析的數學基礎是傅立葉變換。

傅立葉變換允許將定義在區間 {0, T} 上的連續函數 f(x)（訊號）表示為無窮多個（無窮級數）具有確定振幅和相位的三角函數（正弦和/或餘弦）之和，這些三角函數同樣考慮在區間 {0, T} 上。此類級數稱為傅立葉級數。

請注意更多要點，理解這些要點對於正確將傅立葉變換應用於訊號分析是必需的。如果我們在整個 X 軸上考慮傅立葉級數（正弦波之和），我們會發現，在區間 {0, T} 之外，傅立葉級數函數將週期性地重複我們的函數。

例如，在圖 7 的圖表中，原始函數定義在區間 {-T\2, +T\2} 上，而傅立葉級數表示定義在整個 x 軸上的週期函數。

這是因為正弦波本身就是週期函數，因此它們的總和也會是週期函數。

因此：

我們的原始函數是定義在長度為 T 的某區段上的連續非週期函數。
此函數的頻譜是離散的,亦即以無限個諧波分量組成的級數——傅立葉級數——來表示。
實際上，傅立葉級數定義的是某個週期函數，該函數在區間{0, T}上與我們的函數重合，但對我們而言，這種週期性並非關鍵所在。

下一步。

諧波分量的週期是區間 {0, T} 的倍數,初始函數 f(x) 即定義在此區間上。換言之,諧波的週期是訊號量測持續時間的倍數。例如,傅立葉級數中第一諧波的週期等於函數 f(x) 所定義的區間 T。第二諧波的週期等於 T/2,依此類推(見圖 8)。

因此,諧波分量的頻率為 1/T 的整數倍。也就是說,諧波分量的頻率 Fk 為 Fk= k\T,其中 k 的取值範圍為 0 至 ∞,例如:k=0 時 F0=0;k=1 時 F1=1\T;k=2 時 F2=2\T;k=3 時 F3=3\T;…。Fk= k\T(頻率為零時,即為直流分量)。

假設我們的初始函數是在 T=1 秒內記錄的訊號。那麼第一諧波的週期將等於訊號的持續時間 T1=T=1 秒,其頻率為 1 Hz。第二諧波的週期將等於訊號持續時間除以 2(T2=T/2=0.5 秒),其頻率為 2 Hz。第三諧波則為 T3=T/3 秒,頻率為 3 Hz。依此類推。

本例中諧波之間的間距為1 Hz。

因此，持續時間為 1 秒的訊號可分解為諧波分量（以取得頻譜），其頻率解析度為 1 Hz。
若要將解析度提高 2 倍至 0.5 Hz，則必須將測量時長提高 2 倍至 2 秒。10 秒的訊號可分解為頻率解析度為 0.1 Hz 的諧波分量（頻譜）。沒有其他方法可提高頻率解析度。您可以透過我們的 FFT 解析度計算器.

有一種方法可以透過在取樣陣列中補零來人為延長訊號時長，但這並不會提升真實的頻率解析度。

離散訊號與離散傅立葉變換

隨著數位技術的發展,量測數據(訊號)的儲存方式也隨之改變。過去訊號可以用磁帶錄音機記錄,以類比形式儲存在磁帶上;而現在訊號則被數位化,並以一組數字(採樣點)的形式儲存在電腦記憶體的檔案中。

訊號測量與數位化的一般流程如下所示。

測量感測器 —- 訊號調理器 —- ADC —– 電腦
(圖9 測量通道示意圖)

來自測量傳感器的訊號會在時間T內送入類比數位轉換器（ADC）。在時間T內取得的訊號讀數（取樣值）會被傳送至電腦並儲存於記憶體中。

訊號數位化參數有哪些要求?將輸入類比訊號轉換為離散代碼(數位訊號)的裝置稱為類比數位轉換器(ADC)(© Wiki)。

類比數位轉換器（ADC）的基本參數之一是最大取樣率——即對時間上連續的訊號進行取樣的頻率。取樣率以赫茲為單位。((© Wiki))

根據科捷爾尼科夫定理，若連續訊號的頻譜受限於頻率 Fmax，則可從以時間間隔 Δt ≤ 1/(2*Fmax)（即採樣頻率 Fd ≥ 2*Fmax）取得的離散樣本中完整且唯一地重建該訊號，其中 Fd – 採樣頻率；Fmax – 訊號頻譜的最大頻率。換言之，訊號數位化的頻率（ADC 的採樣頻率）必須至少為我們欲測量訊號最大頻率的兩倍。

那麼,如果我們以低於科捷利尼科夫定理(Kotelnikov's theorem)所要求的頻率進行採樣,會發生什麼情況呢?

在這種情況下存在「混疊」效應（亦稱頻閃效應、莫爾效應），其中高頻訊號在數位化後轉變為實際上並不存在低頻訊號。在圖 11 中，紅色高頻弦波為真實訊號。藍色低頻弦波為虛構訊號，其產生原因是採樣時間內已超過高頻訊號的一半週期。

 

為避免混疊效應，會在 ADC 之前放置特殊的抗混疊濾波器（低通濾波器）。它允許低於 ADC 採樣頻率一半的頻率通過，並切斷更高的頻率。

為了根據離散樣本計算訊號頻譜，需使用離散 傅立葉變換（DFT） 。再次注意，離散訊號的頻譜「根據定義」受限於小於採樣頻率 Fd 一半的頻率 Fmax。因此，離散訊號的頻譜可表示為 一個有限的 諧波數量有限,這與連續訊號的傅立葉級數(其頻譜可以是無限的)之無窮總和不同。根據科捷利尼科夫定理,諧波的最高頻率必須至少對應兩個採樣點,因此諧波數量等於離散訊號採樣點數的一半。也就是說,若採樣中有 N 個採樣點,則頻譜中的諧波數量將為 N/2。

現在來看離散傅立葉變換（DFT）。

將其與傅立葉級數比較

 

如我們所見,兩者是一致的,唯一的區別在於 FFT 中的時間是離散的,且諧波數量被限制為 N/2,即採樣點數的一半。

離散傅立葉變換（DFT）公式以無因次的整數變數k、s表示，其中k為訊號取樣點數，s為頻譜分量數。
數值 s 代表每個週期 T(訊號測量時長)內完整諧波振盪的次數。離散傅立葉變換用於以數值方式(即「在電腦上」)求得各諧波的幅值與相位。

如前所述,當將非週期函數(我們的訊號)分解為傅立葉級數時,所得到的傅立葉級數實際上對應於一個週期為 T 的週期函數(圖12)。

 

 

如圖 12 所示，函數 f(x) 為週期為 T0 的週期函數。然而，由於測量樣本長度 T 不等於函數週期 T0，作為傅立葉級數獲得的函數在 T 點處存在不連續性。結果，該函數的頻譜將包含大量高頻諧波。此現象稱為 頻譜洩漏，在實務上可透過 加窗 變換前的訊號來減少。若測量樣本時長 T 與函數週期 T0 重合，則傅立葉變換後獲得的頻譜將僅包含第一諧波（週期等於樣本時長的弦波），因為函數 f(x) 為弦波。

換句話說，DFT 程式「並不知道」我們的訊號是「正弦波的一個片段」，而是試圖用級數來表示一個週期函數，該函數因各段正弦波之間的不連續而存在間斷。

因此，頻譜中會出現諧波，這些諧波整體上應能呈現該函數的形狀，包括其中的不連續點。

因此，若要得到由多個不同週期正弦波疊加而成之訊號的「正確」頻譜，就必須使 整數個週期的 每個正弦分量都應存在於訊號的測量週期內。在實務上，只要訊號測量時長足夠長，即可滿足此條件。

 

 

若持續時間較短,畫面看起來會「較差」:

 

 

 

 

在實務中，往往很難分辨哪些是“真實成分”，哪些是由於分量週期與訊號取樣時長不一致，或波形中出現“跳變與斷點”所造成的“偽像”。當然，“真實成分”與“偽像”這兩個詞之所以加上引號，是有原因的。頻譜圖上出現許多諧波，並不代表我們的訊號實際上就是由這些諧波組成的。這就好比認為數字7是由數字3和4“組成”一樣。可以說數字7是3與4之和–這是正確的。

所以我們的訊號……更確切地說，並非「我們的訊號」，而是由我們的訊號（樣本）重複而構成的週期函數，可以表示為若干具有特定振幅與相位的諧波（正弦波）之和。但在許多對實務很重要的情況下（見上圖），確實可以將頻譜中得到的諧波，與具有週期性且對訊號形狀有顯著貢獻的實際過程聯繫起來。

部分結果

1. 經 ADC 數位化、時長為 T 秒的實際測量訊號，即由一組離散樣本（N 個）表示，其頻譜為離散非週期性，由一組諧波分量（N/2 個）表示。

2. 訊號由一組實數值表示。其 DFT 頻譜為一組具有共軛對稱性的複數係數；由此可獲得振幅頻譜 – 即正頻率處的實數非負振幅（與相位）集合，而實務上繪製的正是此單邊振幅頻譜。包含負頻率的雙邊複數形式與單邊振幅/相位形式為同一頻譜的等效表示 – 對於訊號分析而言，通常使用單邊振幅頻譜更為方便。

3. 在時間 T 內測量的訊號僅在時間 T 內被確定。在我們開始測量訊號之前發生了什麼，以及之後會發生什麼，科學上並不知道。而在我們的情況下，這也不重要。有限時間訊號的 FFT 給出了其「真實」頻譜，意即在特定條件下，它允許計算其分量的振幅與頻率。