傅立葉變換在振動訊號分析中的應用

Andrei Shelkovenko。Vibromera 的開發者與創辦人之一。
本文翻譯可能含有不準確之處。

傅立葉變換與訊號頻譜

在許多情況下，獲取（計算） 頻譜 訊號的任務如下。有一個 ADC，它以採樣 頻率 Fd 將時長為 T 內輸入其端子的連續訊號轉換為數位樣本 – N 個。然後將這組樣本輸入某個程式（例如 FourierScope）該程式會輸出 N/2 個數值。

為了檢查程式是否正常運作，我們構建一個由兩個正弦函數相加而成的樣本陣列 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) 並輸入程式。程式繪製出以下結果：

 

 

有兩個 諧波 在頻譜圖上 – 5 Hz 振幅為 0.5 V，10 Hz 振幅為 1 V，一切與原始訊號公式中的情況一致。沒問題，程式運作正確。

這意味著，如果我們將由兩個正弦波混合而成的真實訊號輸入 ADC，我們將獲得一個由兩個諧波組成的類似頻譜。

因此，我們的 真實 測量訊號 持續時間為 5 秒，經 ADC 數位化，即表示為 離散 樣本，具有 離散非週期性 頻譜。
從數學角度來看 – 這句話有多少處錯誤？

現在讓我們嘗試測量同一訊號，持續時間為 0.5 秒。

 

 

這裡有些問題！10 Hz 的諧波繪製正常，但 5 Hz 的諧波位置出現了一些不明確的諧波。

網路上說需要在樣本末尾補零，頻譜就會正常繪製。

 

 

這完全不是那麼回事。我必須深入研究理論。讓我們前往 wikipedia – 知識的來源。

連續函數及其傅立葉級數表示

從數學角度來看，我們持續時間為 T 秒的訊號是定義在區間 {0, T} 上的某個函數 f(x)（此處 X 為時間）。此類函數總可以表示為以下形式的諧波函數（正弦或餘弦）之和：

k 為三角函數的序數（諧波分量的序數，諧波的序數）
T – 函數定義的區間（訊號的持續時間）
Ak- 第 k 個諧波分量的振幅，
θk- 第 k 個諧波分量的初始相位
「將函數表示為級數之和」是什麼意思？這意味著，通過在每個點上將傅立葉級數的諧波分量值相加，我們得到該點上我們函數的值。
（更嚴格地說，級數與函數 f(x) 的均方偏差將趨於零，但儘管存在均方收斂，一般而言，函數的傅立葉級數不一定逐點收斂於該函數。）
此級數也可以寫成以下形式：

 

 

 

其中 ，第 k 個複振幅。

 

或

 

 

 

係數（1）與（3）之間的關係由以下公式表示：

 

 

 

 

注意，傅立葉級數的這三種表示法完全等效。有時在處理傅立葉級數時，使用虛數參數的指數而非弦波與餘弦波（即使用複數形式的傅立葉變換）會更方便。但對我們而言，使用公式 (1) 更為方便，其中傅立葉級數表示為具有對應振幅與相位的餘弦波之和。嚴格來說，真實訊號的傅立葉變換確實會產生複數係數（形式 (3)）：每個係數同時攜帶其諧波的振幅與相位。對於真實訊號，這些複數係數具有共軛（厄米特）對稱性 – 負頻率半部單純是正頻率半部的鏡像，且不攜帶額外資訊。因此，從複數係數中，我們總能轉換至公式 (1) 的實數非負振幅 Ak 與相位 θk – 而分析程式繪製的正是此振幅頻譜。

 

總結：
訊號頻譜分析的數學基礎是傅立葉變換。

傅立葉變換允許將定義在區間 {0, T} 上的連續函數 f(x)（訊號）表示為無窮多個（無窮級數）具有確定振幅和相位的三角函數（正弦和/或餘弦）之和，這些三角函數同樣考慮在區間 {0, T} 上。此類級數稱為傅立葉級數。

請注意更多要點，理解這些要點對於正確將傅立葉變換應用於訊號分析是必需的。如果我們在整個 X 軸上考慮傅立葉級數（正弦波之和），我們會發現，在區間 {0, T} 之外，傅立葉級數函數將週期性地重複我們的函數。

例如，在圖 7 的圖表中，原始函數定義在區間 {-T\2, +T\2} 上，而傅立葉級數表示定義在整個 x 軸上的週期函數。

這是因為正弦波本身就是週期函數，因此它們的總和也會是週期函數。

因此：

我們的原始函數是定義在長度為 T 的某區段上的連續非週期函數。
此函數的頻譜是離散的,亦即以無限個諧波分量組成的級數——傅立葉級數——來表示。
實際上，傅立葉級數定義的是某個週期函數，該函數在區間{0, T}上與我們的函數重合，但對我們而言，這種週期性並非關鍵所在。

下一步。

諧波分量的週期是區間 {0, T} 的倍數,初始函數 f(x) 即定義在此區間上。換言之,諧波的週期是訊號量測持續時間的倍數。例如,傅立葉級數中第一諧波的週期等於函數 f(x) 所定義的區間 T。第二諧波的週期等於 T/2,依此類推(見圖 8)。

因此,諧波分量的頻率為 1/T 的整數倍。也就是說,諧波分量的頻率 Fk 為 Fk= k\T,其中 k 的取值範圍為 0 至 ∞,例如:k=0 時 F0=0;k=1 時 F1=1\T;k=2 時 F2=2\T;k=3 時 F3=3\T;…。Fk= k\T(頻率為零時,即為直流分量)。

假設我們的初始函數是在 T=1 秒內記錄的訊號。那麼第一諧波的週期將等於訊號的持續時間 T1=T=1 秒,其頻率為 1 Hz。第二諧波的週期將等於訊號持續時間除以 2(T2=T/2=0.5 秒),其頻率為 2 Hz。第三諧波則為 T3=T/3 秒,頻率為 3 Hz。依此類推。

本例中諧波之間的間距為1 Hz。

因此，持續時間為 1 秒的訊號可分解為諧波分量（以取得頻譜），其頻率解析度為 1 Hz。
若要將解析度提高 2 倍至 0.5 Hz，則必須將測量時長提高 2 倍至 2 秒。10 秒的訊號可分解為頻率解析度為 0.1 Hz 的諧波分量（頻譜）。沒有其他方法可提高頻率解析度。您可以透過我們的 FFT 解析度計算器.

有一種方法可以透過在取樣陣列中補零來人為延長訊號時長，但這並不會提升真實的頻率解析度。

離散訊號與離散傅立葉變換

隨著數位技術的發展,量測數據(訊號)的儲存方式也隨之改變。過去訊號可以用磁帶錄音機記錄,以類比形式儲存在磁帶上;而現在訊號則被數位化,並以一組數字(採樣點)的形式儲存在電腦記憶體的檔案中。

訊號測量與數位化的一般流程如下所示。

Measuring transducer —- Signal normalizer —- ADC —– Computer
(圖9 測量通道示意圖)

來自測量傳感器的訊號會在時間T內送入類比數位轉換器（ADC）。在時間T內取得的訊號讀數（取樣值）會被傳送至電腦並儲存於記憶體中。

訊號數位化參數有哪些要求?將輸入類比訊號轉換為離散代碼(數位訊號)的裝置稱為類比數位轉換器(ADC)(© Wiki)。

類比數位轉換器（ADC）的基本參數之一是最大取樣率——即對時間上連續的訊號進行取樣的頻率。取樣率以赫茲為單位。((© Wiki))

根據科捷爾尼科夫定理，若連續訊號的頻譜受限於頻率 Fmax，則可從以時間間隔 Δt ≤ 1/(2*Fmax)（即採樣頻率 Fd ≥ 2*Fmax）取得的離散樣本中完整且唯一地重建該訊號，其中 Fd – 採樣頻率；Fmax – 訊號頻譜的最大頻率。換言之，訊號數位化的頻率（ADC 的採樣頻率）必須至少為我們欲測量訊號最大頻率的兩倍。

那麼,如果我們以低於科捷利尼科夫定理(Kotelnikov's theorem)所要求的頻率進行採樣,會發生什麼情況呢?

在這種情況下存在「混疊」效應（亦稱頻閃效應、莫爾效應），其中高頻訊號在數位化後轉變為實際上並不存在低頻訊號。在圖 11 中，紅色高頻弦波為真實訊號。藍色低頻弦波為虛構訊號，其產生原因是採樣時間內已超過高頻訊號的一半週期。

 

為避免混疊效應，會在 ADC 之前放置特殊的抗混疊濾波器（低通濾波器）。它允許低於 ADC 採樣頻率一半的頻率通過，並切斷更高的頻率。

為了根據離散樣本計算訊號頻譜，需使用離散 傅立葉變換（DFT） 。再次注意，離散訊號的頻譜「根據定義」受限於小於採樣頻率 Fd 一半的頻率 Fmax。因此，離散訊號的頻譜可表示為 一個有限的 諧波數量有限,這與連續訊號的傅立葉級數(其頻譜可以是無限的)之無窮總和不同。根據科捷利尼科夫定理,諧波的最高頻率必須至少對應兩個採樣點,因此諧波數量等於離散訊號採樣點數的一半。也就是說,若採樣中有 N 個採樣點,則頻譜中的諧波數量將為 N/2。

現在來看離散傅立葉變換（DFT）。

將其與傅立葉級數比較

 

如我們所見,兩者是一致的,唯一的區別在於 FFT 中的時間是離散的,且諧波數量被限制為 N/2,即採樣點數的一半。

離散傅立葉變換（DFT）公式以無因次的整數變數k、s表示，其中k為訊號取樣點數，s為頻譜分量數。
數值 s 代表每個週期 T(訊號測量時長)內完整諧波振盪的次數。離散傅立葉變換用於以數值方式(即「在電腦上」)求得各諧波的幅值與相位。

如前所述,當將非週期函數(我們的訊號)分解為傅立葉級數時,所得到的傅立葉級數實際上對應於一個週期為 T 的週期函數(圖12)。

 

 

如圖 12 所示，函數 f(x) 為週期為 T0 的週期函數。然而，由於測量樣本長度 T 不等於函數週期 T0，作為傅立葉級數獲得的函數在 T 點處存在不連續性。結果，該函數的頻譜將包含大量高頻諧波。此現象稱為 頻譜洩漏，在實務上可透過 加窗 變換前的訊號來減少。若測量樣本時長 T 與函數週期 T0 重合，則傅立葉變換後獲得的頻譜將僅包含第一諧波（週期等於樣本時長的弦波），因為函數 f(x) 為弦波。

In other words, the DFT program “does not know” that our signal is a “slice of a sine wave”, but tries to represent as a series a periodic function which has a discontinuity due to the discontinuity of separate pieces of the sine wave.

因此，頻譜中會出現諧波，這些諧波整體上應能呈現該函數的形狀，包括其中的不連續點。

Thus, to get a “correct” spectrum of a signal which is a sum of several sinusoids with different periods, it is necessary that an 整數個週期的 每個正弦分量都應存在於訊號的測量週期內。在實務上，只要訊號測量時長足夠長，即可滿足此條件。

 

 

若持續時間較短,畫面看起來會「較差」:

 

 

 

 

在實務中，往往很難分辨哪些是“真實成分”，哪些是由於分量週期與訊號取樣時長不一致，或波形中出現“跳變與斷點”所造成的“偽像”。當然，“真實成分”與“偽像”這兩個詞之所以加上引號，是有原因的。頻譜圖上出現許多諧波，並不代表我們的訊號實際上就是由這些諧波組成的。這就好比認為數字7是由數字3和4“組成”一樣。可以說數字7是3與4之和–這是正確的。

So also our signal… or rather not even “our signal”, but a periodic function composed by repeating our signal (sample) can be represented as a sum of harmonics (sine waves) with certain amplitudes and phases. But in many cases important for practice (see figures above) it is indeed possible to relate the harmonics obtained in the spectrum also to real processes having cyclic character and contributing significantly to the form of the signal.

部分結果

1. 經 ADC 數位化、時長為 T 秒的實際測量訊號，即由一組離散樣本（N 個）表示，其頻譜為離散非週期性，由一組諧波分量（N/2 個）表示。

2. 訊號由一組實數值表示。其 DFT 頻譜為一組具有共軛對稱性的複數係數；由此可獲得振幅頻譜 – 即正頻率處的實數非負振幅（與相位）集合，而實務上繪製的正是此單邊振幅頻譜。包含負頻率的雙邊複數形式與單邊振幅/相位形式為同一頻譜的等效表示 – 對於訊號分析而言，通常使用單邊振幅頻譜更為方便。

3. 在時間 T 內測量的訊號僅在時間 T 內被確定。在我們開始測量訊號之前發生了什麼，以及之後會發生什麼，科學上並不知道。而在我們的情況下，這也不重要。有限時間訊號的 FFT 給出了其「真實」頻譜，意即在特定條件下，它允許計算其分量的振幅與頻率。