定义：什么是固有频率？

快速回答

固有频率 是机械系统脱离平衡后自由摆动的频率。它由系统的 质量 和 刚性: fn = (1/2π) × √(k/m)，其中 k 为刚度（牛顿/米），m 为质量（千克）。当外力频率与固有频率一致时， 谐振 振动振幅会增加 10-50 倍，从而导致灾难性故障。在旋转机械中， 临界速度 (RPM) = fn × 60。使用静态挠度进行快速实地估算： fn ≈ 15.76 / √δ毫米.

A 固有频率 是指物理物体或系统从平衡位置受到干扰后，在没有任何持续的外部驱动力的情况下自由振动的特定频率。它是物体固有的基本属性，完全由其物理特性决定--主要是其 质量 (惯性）及其 刚性 (弹性）。从吉他弦到桥梁跨度，再到机器的支撑基座，每个物理对象都拥有一个或多个自然频率。.

自然频率有时也被称为 本征频率 (来自德文 "eigen"，意为 "自己的 "或 "特征"），相应的振动模式称为 模态振型 或 本征模式。像机器底座这样的复杂结构可能有数百个固有频率，每个频率都与独特的变形模式有关，如弯曲、扭曲、呼吸、摇摆等。

振动分析中的固有频率为何重要

在旋转机械中，振动问题往往不是由于过大的激振力（如不平衡）引起的，而是由于激振频率与结构固有频率不巧地重合。如果机器在结构共振处或附近运行，完全可以接受的不平衡量也会产生破坏性振动。因此，在调查原因不明的高振动时，确定固有频率是最重要的诊断步骤之一。

质量、刚度和固有频率之间的关系

质量、刚度和固有频率之间的基本关系是振动工程中最重要的概念之一。它既直观又具有数学上的精确性。

直观理解

  • 刚度 (k)： 较硬的物体具有 更高 自然频率。想想吉他弦：拉紧琴弦（增加张力/硬度）会提高音调（频率）。粗钢梁的振动频率远高于相同长度的细铝条。
  • 质量（m）： 质量更大的物体具有 降低 固有频率。想一想从桌子边缘伸出的尺子：较长、较重的尺子比较短、较轻的尺子摆动得更慢（频率更低）。给结构增加重量总会降低其固有频率。

基本公式

对于一个简单的单自由度（SDOF）系统（质量块与弹簧相连），其无阻尼固有频率为

无阻尼固有频率
fn = (1 / 2π) × √(k / m)
fn 单位为 Hz，k 单位为 N/m，m 单位为 kg。另：ωn = √（k/m），单位为拉德/秒

这一公式具有深远的现实意义：

  • 至 增加 fn 增加 2 倍，就必须增加 4 倍的刚度（因为是平方根）--或者减少 4 倍的质量
  • 至 减少 fn 2 倍，则必须将刚度降低 4 倍 - 或将质量增加 4 倍
  • 硬度和质量的变化 报酬递减：f 的每次加倍n 需要将参数

静态偏转快捷键

振动工程中最有用的实用公式之一是将固有频率与重力作用下的静态挠度直接联系起来：

静态挠度的固有频率
fn = (1 / 2π) × √(g / δ) ≈ 15.76 / √δ
fn 单位为 Hz，δ 单位为 mm，g = 9810 mm/s²。非常方便快速估算！

这一点非常有用，因为静态挠度通常很容易测量或估算：只需测量结构在机器重量作用下的挠度即可。一台下垂 1 毫米的机器的垂直固有频率约为 15.8 赫兹（948 转/分）。下垂 0.25 毫米的机器的固有频率为 fn ≈ 31.5 赫兹（1890 转/分）。

快速实地估算

需要在没有仪器的情况下快速估算固有频率？将刻度盘指示器放在机器轴承座下，观察施加机器重量时（如安装过程中）的静态挠度。计算公式 fn ≈ 15.76/√δ毫米 对基本垂直固有频率给出了非常好的第一近似值。

多自由度

实际结构并不是简单的单自由度系统——它们通过分布式刚度连接着许多质量块，从而产生许多固有频率。弹性支撑上的简单刚体有六个固有频率，对应六个自由度：三个平移自由度（垂直、横向、轴向）和三个旋转自由度（横滚、俯仰、偏航）。柔性结构具有无穷多个模态，但通常只有最低的几阶模态具有实际意义。

关键原则是 固有频率的数量等于模型的自由度数量用 10 个集中质量建模的简单梁有 10 个固有频率；而用 10,000 个节点建模的有限元模型则有 30,000 个（每个节点 3 个自由度）固有频率，但可能只有几十个频率在所关注的频率范围内。

阻尼的影响

实际系统总是存在一些阻尼--摩擦、材料滞后、向周围结构的辐射、流体阻力等。阻尼有两种效果：

  • 略微降低实际谐振频率： 阻尼固有频率为 fd = fn × √（1 - ζ²），其中 ζ 是阻尼比。对于典型的机械结构（ζ = 0.01-0.05），这种影响可以忽略不计--减幅小于 0.1%。.
  • 限制共振时的振幅： 如果没有阻尼，理论上共振振幅将是无限的。共振时的放大系数 Q（品质因数）约为 Q = 1/(2ζ)。对于 ζ = 0.02 的轻阻尼结构，Q = 25，即共振时的振幅是远离共振时的 25 倍。这就是为什么即使很小的不平衡量也会在临界转速下产生巨大振动的原因。

自然频率与共振：关键联系

固有频率的概念在工程学中至关重要，特别是因为它与共振现象直接相关。 谐振.

什么是共振？

当一个系统受到周期性外力作用时，其频率等于或非常接近系统的某个固有频率，这时就会产生共振。当这种情况发生时，系统会以最高效率吸收外力的能量，从而导致振动幅度急剧增大。强制函数的每个周期都会增加系统的能量，与系统的自然振荡完全同步，一个周期又一个周期地增加振幅，直到阻尼限制了振幅的进一步增长或结构失效。.

放大因素

共振时的振动放大主要取决于系统的阻尼。动态放大系数 (DMF) 描述的是与相同力产生的静态变形相比，动态响应要大多少：

动态放大系数
DMF = 1 / √[(1 - r²)² + (2ζr)²]
r = f迫使/fn (频率比），ζ = 阻尼比。r = 1 时：DMF ≈ 1/(2ζ)
阻尼比（ζ） 典型系统 Q 因子 (≈ 1/2ζ) 共振放大
0.005 焊接钢结构，无阻尼 100 100× 静态挠度
0.01 钢框架，螺栓连接 50 50× 静态挠度
0.02 典型的机械结构 25 25× 静态挠度
0.05 混凝土地基，螺栓连接 10 10× 静态挠度
0.10 橡胶安装，阻尼良好 5 5× 静态挠度
0.20 高阻尼（粘性阻尼器） 2.5 2.5 倍静态挠度

共振为何危险

共振尤其危险，因为振动幅值可能比仅根据激励幅值预计的要大 10-100 倍。一个具有 50 微米不平衡偏心的转子，在非共振转速下产生 1 毫米/秒的振动，在共振转速下可产生 25-50 毫米/秒的振动——足以损坏轴承、导致螺栓疲劳、造成焊缝开裂，并引发级联设备故障。

历史范例 - 塔科马海峡大桥（1940 年）

塔科马海峡大桥的倒塌仍是工程史上最引人注目的共振演示之一。频率接近大桥扭转固有频率的风力导致桥面振荡，振幅不断增大，直至结构失效。这一事件引发了桥梁工程的根本性变革，世界上每一门结构动力学课程都会学习这一内容。现代工程师经常进行模态分析，以确保结构设计远离可预见的激励频率。.

旋转机械的临界转速

在旋转机械中，固有频率最重要的表现形式是 临界速度 - 轴的旋转频率（1× RPM）与转子-轴承-支撑系统的固有频率重合时的转速。当机器以临界转速运行时，1× 不平衡力会激发固有频率，产生严重的共振。.

关键速度类型

  • 刚性体临界值 当轴的转速与转子在其轴承支撑上的固有频率相匹配，而轴本身基本保持平直时出现。这通常是第一阶和第二阶临界转速（弹跳和摇摆模式），出现在较低的转速下。可以通过改变轴承刚度或支撑结构质量来调整刚性转子临界转速。
  • 柔性转子临界值（弯曲临界值）： 当轴转速与轴弯曲变形相关的固有频率相匹配时出现。第一阶弯曲临界转速通常表现为轴弯曲成半正弦曲线形状。这种情况更为危险，因为它们涉及轴中跨处的大挠度，无法仅通过更换轴承来控制，必须对轴的几何形状本身进行修改。

分离裕度

行业标准（如 API 610、API 617）要求最低 分离裕度 运行速度和临界速度之间的关系：

  • API 典型要求： 运行速度必须与任何横向临界速度（无阻尼）相差至少 15-20%
  • 一般良好做法： 最低限度为 20%；关键设备最好为 30%
  • 变频驱动设备： 变频驱动器改变运行速度，可能会掠过临界转速。必须对整个运行范围进行检查，并确定范围内的临界转速，将其排除在外或进行快速通过编程。
实地平衡的实际意义

当对接近临界转速（但安全高于临界转速）的机器进行现场平衡时，不平衡与振动响应之间的相位关系将不同于 "低于共振 "机器的预期。振动信号可能比重载点提前 90-180° 而不是同相。良好 平衡设备 该功能通过试重响应测量自动完成此过程，但分析人员应注意，近临界操作会使简单的矢量分析变得复杂。

如何识别自然频率？

确定机器或结构的固有频率是一项基本的诊断技能。有多种方法可供选择，从简单到复杂不等：

1.冲击试验（碰撞试验）

确定结构固有频率最常用、最实用的实验方法。该过程包括敲击机器或结构（当其处于以下状态时 不是 用一个装有仪器的冲击锤敲击结构，并用加速度计测量由此产生的振动。冲击锤同时在宽广的频率范围内输入能量，结构自然会在其固有频率上 "响 "一下，从而在产生的 FFT 频谱中产生明显的峰值。.

实用程序

准备设备

在结构的相关点（通常是轴承座或支撑结构）上安装加速度计。连接到为冲击测试配置的 FFT 分析仪或数据采集器（时域触发、适当的频率范围，通常为 0–1000 Hz，用于结构共振）。

选择锤尖

不同硬度的冲击锤锤头会激发不同的频率范围。软橡胶锤头激发 0–200 Hz；中等塑料锤头激发 0–500 Hz；硬钢锤头激发 0–5000 Hz。选择能覆盖特定测试所需频率范围的锤尖。

敲击并记录

用干净利落的一击牢牢击中结构。避免双重撞击（弹跳）。分析仪应捕捉时间波形，显示撞击和由此产生的自由振动衰减。对这一响应的 FFT 显示出自然频率的峰值。.

多次敲击取平均值

取 3-5 次平均值，以提高信噪比并确认一致性。如果频率响应函数 (FRF) 在两次撞击之间变化很大，则应检查是否存在重复撞击、加速度计安装不良或边界条件变化。.

识别固有频率

固有频率在 FRF 幅值图中显示为峰值。使用相位图（自然频率显示 180° 相移）和相干函数（自然频率应接近 1.0）进行确认。记录频率并与运行速度和谐波进行比较。.

现场颠簸测试技巧

始终使用机器进行碰撞测试 组装 但 不运行当转子被移除（质量变化）或机器运行时（陀螺效应、轴承刚度随速度变化、热效应），固有频率会发生很大变化。在多个方向（垂直、水平、轴向）进行测试，以找到所有相关模态。在进行任何结构修改后重复测试，以验证修改是否达到预期效果。

2.上升/下降测试

对于运行中的机器，运行或滑行测试是确定旋转力激发的固有频率的最实用方法。随着机器速度的变化，1×不平衡力（以及任何其他与速度相关的力）会穿过一系列频率。当强迫频率与固有频率交叉时，振动幅值会出现一个明显的峰值，从而确定该固有频率为 临界速度.

该测试需要同时测量振动和转速计信号（键相位），以便将振动幅度和相位与轴转速相关联。数据通常显示为 Bode 图（振幅和相位与转速的关系）或极坐标图（振幅 × 相位矢量与转速的关系）。两者都能清晰显示临界转速的振幅峰值，并伴有 ~180° 的相位偏移。.

3.瀑布图/级联图分析

瀑布图（或级联图）是在机器上升或下降过程中以不同速度采集的多个 FFT 频谱的三维表示。它显示频率（水平）、振幅（垂直）和速度（深度轴）。在此格式中：

  • 随速度变化的谱线 （阶次）以对角线的形式出现：1×、2×、3× 等，随着速度的增加向右移动
  • 固有频率 出现垂直峰值（频率固定，与速度无关） - 它们不会随速度变化而移动
  • 共振 共振在与速度相关的阶次线与固有频率交叉的地方可见，产生局部振幅峰值

这是最强大的诊断工具之一，用于区分速度相关振动（来自不平衡、不对中等）和结构共振问题。.

4.有限元分析（FEA）

在设计阶段，工程师使用计算机模型来预测部件、机器和支撑结构的固有频率，然后再建造这些部件、机器和支撑结构。有限元分析将结构离散成成千上万个小元素，应用正确的材料属性（密度、弹性模量、泊松比），建立边界条件模型（螺栓连接、轴承支撑、地基），并求解特征值问题以提取固有频率和模态振型。.

有限元分析在以下方面非常有价值：

  • 在制造前设计结构以避免共振问题
  • 进行 "假设 "分析：如果我们增加一个加强筋会怎样？改变轴承跨度？使用不同的材料？
  • 预测难以进行实验测试的复杂几何结构的模态行为
  • 通过关联测量和预测的自然频率来验证实验结果

5.运行模式分析（OMA）

一种相对现代的技术，仅使用响应数据就能提取运行机器的固有频率和模态振型，无需控制激励（锤击或振动器）。OMA 采用先进的算法（如随机子空间识别），将机器的运行力视为 "白噪声 "激励。这对于无法停机进行碰撞测试或运行边界条件与停机条件差异较大的大型或关键设备尤为重要。.

工业机械中的实际案例

案例 1：立式泵振动过大

问题： 一台立式涡轮泵以 1780 RPM（29.7 Hz）的转速运行，电机顶部在 1×RPM 处出现 12 mm/s 的振动。尝试平衡后，振动暂时减小，但几周后又恢复。

调查： 对电机/泵组件进行的碰撞测试显示，其固有频率为 28.5 Hz，仅比运行速度低 4%。系统运行在共振频段。

解决方案 电机座上增加了一个钢制支撑架，提高了刚度。改装后的碰撞测试表明，固有频率已升至 42 Hz（比运行速度高 42%）。在没有任何平衡校正的情况下，振动下降到 2.5 mm/s——证实根本原因是共振，而不是不平衡。

案例 2：扇形基础共振

问题： 钢架基础上的大型引风机以 990 RPM（16.5 Hz）的转速运行。地基在 1×RPM 时的振动速度为 8 mm/s，而风机本身在轴承座处的振动速度仅为 2 mm/s。

调查： 地基振动大于振动源（风扇）是一个典型的共振指标。颠簸测试显示，地基的横向固有频率为 17.2 Hz，在运行速度的 4% 范围内。.

解决方案 考虑了两种方案：(1) 增加地基质量（降低 fn或 (2) 增加刚度（提高 fn).在地基框架上增加横梁，提高 fn 至 24 Hz。地基振动降至 1.8 mm/s。

案例 3：泵 BPF 的管道共振

问题： 连接到以 1480 RPM 运行的 5 叶片离心泵的管道在 123 Hz（= 5 × 24.7 Hz，叶片通过频率）处出现严重振动。管夹松动，焊接支撑处出现疲劳裂纹。.

调查： 对受影响的管道跨度进行的碰撞测试显示，其固有频率为 120 赫兹--几乎正好是泵的叶片通过频率（5× RPM = 123 赫兹）。.

解决方案 在中跨安装额外的管道支撑，将跨度的固有频率提高到 185 赫兹。另外，对于某些安装，在管道的反节点处增加一个调谐减震器（动态减震器）也很有效。加装支撑后，管道振动降低了 85%。.

避免共振问题的策略

解决共振问题的最佳时机是在设计阶段，但也可以在现场进行纠正。有三种基本策略：

1.解谐 - 改变固有频率

使固有频率远离激励频率。要求最小分离余量（通常为 20-30%）。选项包括

  • 增加刚度： 增加支撑、加强筋、桁架、加厚板或混凝土填充。这样可以提高n。对低于运行速度产生共振的结构进行最常见的修复。
  • 增加质量： 附加质量（钢板、混凝土）。这样可以降低 fn. .当固有频率略高于激励频率时使用，将其降低会更容易。.
  • 修改轴承刚度： 对于轴临界转速而言，改变轴承游隙、预紧力或类型可以改变临界转速。较硬的轴承会提高临界转速，较软的轴承会降低临界转速。
  • 改变轴的几何形状： 对于弯曲临界转速，增加轴的直径会提高临界转速（刚度增加快于质量增加）。缩短轴承跨度也会提高临界转速。

2.阻尼 - 减小共振时的振幅

如果固有频率无法远离激励频率，则应增加阻尼以限制共振幅度。选项包括：

  • 约束层阻尼 夹在结构板之间的粘弹性材料--对面板和外壳共振非常有效
  • 粘性阻尼器 挤压薄膜或粘滞性仪表盘阻尼器，常用于涡轮机械的轴承支撑中
  • 调谐减震器 与振动结构相连的质量弹簧系统可根据问题频率进行调整。吸收器反相振动，抵消结构在目标频率上的运动
  • 螺栓连接： 增加螺栓连接（与焊接相比）的数量可通过连接界面的微滑动产生摩擦阻尼

3.减少激振力

如果解谐和阻尼都不可行，则应减小激励幅度：

  • 更好的平衡： 通过更严格的平衡，减少 1× 激发 G级 - 即使没有共振，也会减少可用于激发任何共振的力
  • 精确校准： 减少偏差造成的 2 倍激励
  • 速度变化： 如果机器由 VFD 驱动，则应将共振速度排除在运行范围之外，或编制快速通过共振带的程序
  • 隔离： 安装隔振器，防止激励到达共振结构
20% 经验法则

在实际应用中，任何固有频率与任何重要激励频率之间的间隔至少应为 20%。对于关键应用（发电、近海、航空航天），最好达到 30% 或更高。这不仅适用于 1× RPM，也适用于 2×（错位）、叶片/叶片通过频率、齿轮啮合频率和任何其他周期性激励。避免共振的综合分析比较 全部 激励频率与 全部 系统的固有频率。

了解固有频率及其与共振的危险关系是振动分析和机械可靠性工程实践的基础。每位振动分析师都应具备以下能力：通过测试确定固有频率，解释其与运行条件的关系，以及在发现共振是导致振动问题的原因时建议采取适当的纠正措施。

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