Zbatimi i Transformimit Furie në Analizën e Sinjaleve të Vibrimit

Andrei Shelkovenko. Një nga zhvilluesit dhe themeluesi i Vibromera.
Përkthimi i artikullit mund të përmbajë pasaktësi.

Transformimi Furie dhe spektri i sinjalit

Në shumë raste, detyra e marrjes (llogaritjes) së spektri së sinjalit është si më poshtë. Ekziston një ADC, i cili me kampionim frekuencë Fd shndërron sinjalin e vazhdueshëm, i cili vjen në hyrjen e tij gjatë kohës T, në kampione dixhitale – N copë. Më pas ky varg kampionesh i jepet ndonjë programi (për shembull FourierScope) i cili prodhon N/2 disa vlera numerike.

Për të kontrolluar nëse programi funksionon saktë, formojmë një varg kampionesh si shumë e dy sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) dhe e japim atë në program. Programi vizatoi si vijon:

 

 

Ka dy harmonikat në grafikun e spektrit – 5 Hz me amplitudë 0.5 V dhe 10 Hz me amplitudë 1 V, gjithçka është si në formulën e sinjalit origjinal. Gjithçka është në rregull, programi funksionon saktë.

Kjo do të thotë se nëse i japim hyrjes së ADC-së një sinjal real, të përbërë nga një përzierje e dy sinusoideve, do të marrim një spektër të ngjashëm, të përbërë nga dy harmonika.

Pra, sinjali ynë real i matur me kohëzgjatje 5 sek., i dixhitalizuar nga ADC-ja, d.m.th. i paraqitur nga kampione diskrete, ka një spektër diskret jo-periodik spektrit.
Nga këndvështrimi matematik – sa gabime ka në këtë fjali?

Tani le të përpiqemi të matim të njëjtin sinjal për 0.5 sek.

 

 

Diçka nuk shkon këtu! Harmonika në 10 Hz vizatohet normalisht, dhe në vend të harmonikës në 5 Hz ka disa harmonika të paqarta.

Në internet thuhet se është e nevojshme të shtohen zero në fund të kampionit dhe spektri do të vizatohet normalisht.

 

 

Kjo nuk është aspak ajo. Do të më duhet të merrem me teorinë. Le të shkojmë te Wikipedia – burimi i njohurive.

Funksioni i vazhdueshëm dhe paraqitja e tij si seri Furie

Matematikisht, sinjali ynë me kohëzgjatje T sekonda është një funksion f(x) i dhënë në intervalin {0, T} (X në këtë rast është koha). Një funksion i tillë mund të paraqitet gjithmonë si shumë funksionesh harmonike (sinus ose kosinus) të formës:

k është numri i funksionit trigonometrik (numri i komponentit harmonik, numri i harmonikës)
T – segmenti ku është përcaktuar funksioni (kohëzgjatja e sinjalit)
Ak- amplituda e komponentit harmonik të k-të,
θk- faza fillestare e komponentit harmonik të k-të
Çfarë do të thotë “të paraqesësh funksionin si shumën e serisë”? Do të thotë se, duke mbledhur vlerat e komponentëve harmonikë të serisë Furie në çdo pikë, marrim vlerën e funksionit tonë në atë pikë.
(Më saktë, devijimi mesatar katror i serisë nga funksioni f(x) do të priret drejt zeros, por, pavarësisht konvergjencës mesatare katrore, seria Furie e një funksioni nuk është e detyruar, në përgjithësi, të konvergjojë drejt tij pikë për pikë. )
Kjo seri mund të shkruhet gjithashtu në formën:

 

 

 

ku , amplituda komplekse e së k-tës.

 

ose

 

 

 

Marrëdhënia midis koeficientëve (1) dhe (3) shprehet me formulat e mëposhtme:

 

 

 

 

Vini re se të tria këto paraqitje të serisë Furie janë plotësisht ekuivalente. Ndonjëherë, kur punohet me seritë Furie, është më e përshtatshme të përdoren eksponentë me argument imagjinar në vend të sinuseve dhe kosinuseve, d.m.th. të përdoret transformimi Furie në formë komplekse. Por për ne është më e përshtatshme të përdorim formulën (1), ku seria Furie paraqitet si shumë kosinusesh me amplituda dhe faza përkatëse. Në mënyrë të rreptë, transformimi Furie i një sinjali real prodhon koeficientë kompleksë (forma (3)): çdo koeficient bart si amplitudën, ashtu edhe fazën e harmonikës së tij. Për një sinjal real, këta koeficientë kompleksë kanë simetri të konjuguar (Hermitiane) — gjysma me frekuencë negative thjesht pasqyron gjysmën me frekuencë pozitive dhe nuk mbart informacion shtesë. Kjo është arsyeja pse, nga koeficientët kompleksë, mund të kalojmë gjithmonë te amplitudat reale jo-negative Ak dhe fazat θk të formulës (1) — dhe pikërisht ky spektër amplitudash është ai që vizatojnë programet e analizës.

 

Përfundimi:
Baza matematike për analizën spektrale të sinjaleve është transformimi Furie.

Transformimi Furie lejon të paraqitet një funksion i vazhdueshëm f(x) (sinjal) i përcaktuar në intervalin {0, T} si shumë e një numri të pafund (seri e pafund) funksionesh trigonometrike (sinus dhe/ose kosinus) me amplituda dhe faza të përcaktuara, gjithashtu të shqyrtuara në intervalin {0, T}. Një seri e tillë quhet seri Furie.

Le të vërejmë disa pika të tjera, kuptimi i të cilave është i nevojshëm për zbatimin e saktë të transformimit Furie në analizën e sinjalit. Nëse shqyrtojmë serinë Furie (shumën e sinusoideve) në të gjithë boshtin X, do të shohim se jashtë intervalit {0, T} funksioni i serisë Furie do të përsërisë periodikisht funksionin tonë.

Për shembull, në grafikun e Fig. 7, funksioni origjinal është i përcaktuar në intervalin {-T\2, +T\2}, ndërsa seria Furie përfaqëson një funksion periodik të përcaktuar në të gjithë boshtin x.

Kjo ndodh sepse vetë sinusoidat janë funksione periodike, prandaj edhe shuma e tyre do të jetë një funksion periodik.

Kështu:

Funksioni ynë origjinal është një funksion i vazhdueshëm, jo-periodik, i përcaktuar në një segment me gjatësi T.
Spektri i këtij funksioni është diskret, d.m.th. paraqitet si një seri e pafund komponentësh harmonikë – një seri Furie.
Në fakt, seria Furie përcakton një funksion periodik, i cili përputhet me funksionin tonë në intervalin {0, T}, por për ne ky periodicitet nuk është thelbësor.

Më tej.

Periudhat e komponentëve harmonikë janë shumëfisha të intervalit {0, T}, në të cilin është përcaktuar funksioni fillestar f(x). Me fjalë të tjera, periudhat e harmonikëve janë shumëfisha të kohëzgjatjes së matjes së sinjalit. Për shembull, periudha e harmonikut të parë në një seri Furie është e barabartë me intervalin T, në të cilin është përcaktuar funksioni f(x). Periudha e harmonikut të dytë në një seri Furie është e barabartë me intervalin T/2. E kështu me radhë (shih Figurën 8).

Rrjedhimisht, frekuencat e komponentëve harmonikë janë shumëfisha të 1/T. Domethënë, frekuencat e komponentëve harmonikë Fk janë Fk= k\T, ku k merr vlera nga 0 në ∞, për shembull, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (në frekuencë zero, një komponent konstant).

Le të jetë funksioni ynë fillestar një sinjal i regjistruar gjatë T=1 sek. Atëherë periudha e harmonikut të parë do të jetë e barabartë me kohëzgjatjen e sinjalit tonë T1=T=1 sek, dhe frekuenca e harmonikut do të jetë e barabartë me 1 Hz. Periudha e harmonikut të dytë do të jetë e barabartë me kohëzgjatjen e sinjalit tonë të pjesëtuar me 2 (T2=T/2=0.5 sek.), dhe frekuenca do të jetë e barabartë me 2 Hz. Për harmonikun e tretë, T3=T/3 sek, dhe frekuenca është 3 Hz. E kështu me radhë.

Hapi ndërmjet harmonikëve në këtë rast është 1 Hz.

Kështu, një sinjal me kohëzgjatje 1 sek mund të zbërthehet në komponentë harmonikë (për të marrë një spektër) me një rezolucion frekuence prej 1 Hz.
Për të rritur rezolucionin 2 herë, në 0.5 Hz, është e nevojshme të rritet kohëzgjatja e matjes 2 herë, në 2 sek. Një sinjal 10-sekondësh mund të zbërthehet në komponentë harmonikë (spektër) me një rezolucion frekuence prej 0.1 Hz. Nuk ka mënyra të tjera për të rritur rezolucionin e frekuencës. Ju mund ta eksploroni këtë lidhje me Kalkulatori i Rezolucionit FFT.

Ekziston një mënyrë për të rritur artificialisht kohëzgjatjen e sinjalit duke shtuar zero në vargun e kampioneve. Por kjo nuk e rrit rezolucionin real të frekuencës.

Sinjalet diskrete dhe transformimi Furie diskret

Me zhvillimin e teknologjisë digjitale, mënyrat e ruajtjes së të dhënave të matjes (sinjaleve) kanë ndryshuar. Ndërsa më parë një sinjal mund të regjistrohej në një magnetofon dhe të ruhej në një shirit në formë analoge, tani sinjalet digjitalizohen dhe ruhen në skedarë në memorien e kompjuterit si një bashkësi numrash (kampionesh).

Skema e zakonshme e matjes dhe digjitalizimit të sinjalit duket si më poshtë.

Përçues matës —- Normalizues sinjali —- ADC —– Kompjuter
(Fig.9 Skema e kanalit matës)

Sinjali nga përçuesi matës shkon në ADC për një periudhë kohore T. Leximet e sinjalit (kampionimi) të marra gjatë kohës T transmetohen te kompjuteri dhe ruhen në memorie.

Cilat janë kërkesat për parametrat e digjitalizimit të sinjalit? Një pajisje që konverton sinjalin analog hyrës në një kod diskret (sinjal digjital) quhet konvertues analog-digjital (ADC) (© Wiki).

Një nga parametrat bazë të ADC-së është shpejtësia maksimale e kampionimit – frekuenca e kampionimit të një sinjali që është i vazhdueshëm në kohë. Shpejtësia e kampionimit matet në herc. ((© Wiki))

Sipas teoremës së Kotelnikovit, nëse një sinjal i vazhdueshëm ka një spektër të kufizuar nga frekuenca Fmax, ai mund të rindërtohet plotësisht dhe në mënyrë unike nga kampionet e tij diskrete, të marra në intervale kohore Δt ≤ 1/(2*Fmax), pra me një frekuencë kampionimi Fd ≥ 2*Fmax, ku Fd – frekuenca e kampionimit; Fmax – frekuenca maksimale e spektrit të sinjalit. Me fjalë të tjera, frekuenca e digjitalizimit të sinjalit (frekuenca e kampionimit të ADC-së) duhet të jetë të paktën dyfishi i frekuencës maksimale të sinjalit që duam të matim.

Dhe çfarë do të ndodhë nëse marrim kampione me frekuencë më të ulët se ajo e kërkuar nga teorema e Kotelnikovit?

Në këtë rast ndodh një “aliasing” efekt (i njohur edhe si efekti stroboskopik, efekti moiré), në të cilin një sinjal me frekuencë të lartë, pas digjitalizimit, kthehet në një sinjal me frekuencë të ulët, i cili në fakt nuk ekziston. Në Fig. 11 vala sinusoidale e kuqe me frekuencë të lartë është sinjali real. Vala sinusoidale blu me frekuencë më të ulët është një sinjal fiktiv, që lind për shkak se gjatë kohës së kampionimit ka kohë të kalojë më shumë se gjysma e periudhës së sinjalit me frekuencë të lartë.

 

Për të shmangur efektin aliasing, një filtër special anti-alias (filtër me kalim të ulët) vendoset para ADC-së. Ai lejon kalimin e frekuencave më të ulëta se gjysma e frekuencës së kampionimit të ADC-së dhe pret frekuencat më të larta.

Për të llogaritur spektrin e sinjalit sipas kampioneve të tij diskrete, përdoret transformimi diskret Furie (DFT) përdoret. Vini re përsëri se spektri i një sinjali diskret është “sipas përkufizimit” i kufizuar në një frekuencë Fmax më të vogël se gjysma e frekuencës së kampionimit Fd. Prandaj, spektri i një sinjali diskret mund të përfaqësohet nga shuma e një numri të fundëm harmonikësh, në krahasim me shumën e pafundme për serinë Furie të një sinjali të vazhdueshëm, spektri i të cilit mund të jetë i pakufizuar. Sipas teoremës së Kotelnikovit, frekuenca maksimale e një harmoniku duhet të jetë e tillë që të përfshijë të paktën dy kampione, prandaj numri i harmonikëve është i barabartë me gjysmën e numrit të kampioneve të një sinjali diskret. Domethënë, nëse ka N kampione në kampionim, numri i harmonikëve në spektër do të jetë N/2.

Le të shqyrtojmë tani transformimin Furie diskret (DFT).

Duke e krahasuar atë me serinë Furie

 

Siç mund ta shohim, ato përputhen, përveç faktit se koha në FFT është diskrete dhe numri i harmonikëve kufizohet në N/2, që është gjysma e numrit të kampioneve.

Formulat e DFT shkruhen në variabla të plotë pa dimension k, s, ku k është numri i kampioneve të sinjalit, s është numri i komponentëve spektralë.
Vlera s tregon numrin e lëkundjeve të plota harmonike për periudhën T (kohëzgjatja e matjes së sinjalit). Transformimi Furie diskret përdoret për të gjetur amplitudat dhe fazat e harmonikëve në mënyrë numerike, d.m.th. “me kompjuter”.

Siç u tha edhe më sipër, kur zbërthehet një funksion jo-periodik (sinjali ynë) në seri Furie, seria Furie e përftuar në fakt korrespondon me një funksion periodik me periudhë T (Fig.12).

 

 

Siç mund të shihet në Fig. 12, funksioni f(x) është periodik me periudhë T0. Megjithatë, për shkak se gjatësia e kampionit matës T nuk është e barabartë me periudhën e funksionit T0, funksioni i përftuar si seri Furie ka një ndërprerje (diskontinuitet) në pikën T. Si rezultat, spektri i këtij funksioni do të përmbajë një numër të madh harmonikësh me frekuencë të lartë. Ky fenomen njihet si rrjedhje spektrale, dhe në praktikë reduktohet duke dritarizimi sinjalin përpara transformimit. Nëse kohëzgjatja e kampionit matës T do të përkonte me periudhën e funksionit T0, atëherë spektri i marrë pas transformimit Furie do të përmbante vetëm harmonikun e parë (një sinusoidë me periudhë të barabartë me kohëzgjatjen e kampionit), sepse funksioni f(x) është një sinusoidë.

Me fjalë të tjera, programi DFT “nuk e di” se sinjali ynë është një “fetë e një vale sinusoidale”, por përpiqet ta paraqesë si seri një funksion periodik që ka një ndërprerje për shkak të ndërprerjes së pjesëve të veçanta të valës sinusoidale.

Si rezultat, në spektër shfaqen harmonikë, të cilët, në total, duhet të përfaqësojnë formën e funksionit, duke përfshirë edhe këtë ndërprerje.

Kështu, për të marrë një spektër “korrekt” të një sinjali që është shuma e disa sinusoideve me periudha të ndryshme, është e nevojshme që një numër i plotë periudhash i çdo sinusoide të jetë i pranishëm brenda periudhës matëse të sinjalit. Në praktikë, ky kusht mund të plotësohet me një kohëzgjatje mjaftueshëm të gjatë të matjes së sinjalit.

 

 

Në kohëzgjatje më të shkurtër, pamja do të duket “më keq”:

 

 

 

 

Në praktikë, mund të jetë e vështirë të kuptohet se ku janë “përbërësit realë” dhe ku janë “artifaktet” e shkaktuara nga mospërputhja e periudhave të përbërësve me kohëzgjatjen e marrjes së mostrave të sinjalit, ose nga “kërcimet dhe ndërprerjet” në formën e valës. Sigurisht, fjalët “përbërës realë” dhe “artifakte” janë vendosur në thonjëza për një arsye. Prania e shumë harmonikëve në grafikun e spektrit nuk do të thotë që sinjali ynë përbëhet në të vërtetë prej tyre. Është njësoj si të mendosh se numri 7 “përbëhet” nga numrat 3 dhe 4. Numri 7 mund të konsiderohet si shuma e 3 dhe 4 – kjo është e saktë.

Kështu edhe sinjali ynë… ose më saktë jo edhe “sinjali ynë”, por një funksion periodik i përbërë nga përsëritja e sinjalit tonë (mostrës) mund të përfaqësohet si shuma e harmonikëve (valëve sinusoidale) me amplituda dhe faza të caktuara. Por në shumë raste të rëndësishme për praktikën (shih figurat më sipër) është vërtet e mundur t'i lidhësh harmonikët e marrë në spektër edhe me procese reale që kanë karakter ciklik dhe kontribuojnë ndjeshëm në formën e sinjalit.

Disa rezultate

1. Një sinjal real i matur me kohëzgjatje T sek., i digjitalizuar nga ADC-ja, d.m.th. i përfaqësuar nga një bashkësi mostrash diskrete (N copë), ka një spektër diskret jo-periodik, të përfaqësuar nga një bashkësi harmonikësh (N/2 copë).

2. Sinjali përfaqësohet nga një bashkësi vlerash reale. Spektri i tij DFT është një bashkësi koeficientësh kompleksë me simetri të konjuguar; nga këta merret spektri i amplitudës — një bashkësi amplitudash reale jo-negative (dhe fazash) në frekuenca pozitive, dhe është pikërisht ky spektër amplitude njëanësor që vizatohet në praktikë. Forma e dyanshme komplekse me frekuenca negative dhe forma njëanësore e amplitudës/fazës janë përfaqësime ekuivalente të të njëjtit spektër — për analizën e sinjalit është zakonisht më e përshtatshme të punohet me spektrin e amplitudës njëanësor.

3. Sinjali i matur në kohën T përcaktohet vetëm në kohën T. Çfarë ka ndodhur para se të fillonim matjen e sinjalit dhe çfarë do të ndodhë pas kësaj, shkencës nuk i dihet. Dhe në rastin tonë kjo nuk është interesante. FFT-ja e sinjalit të kufizuar në kohë jep spektrin e tij “real”, në kuptimin që, në kushte të caktuara, lejon të llogaritet amplituda dhe frekuenca e përbërësve të tij.