Application ng Fourier Transform sa Analysis ng Vibration Signals

Andrei Shelkovenko. Isa sa mga developers at founder ng Vibromera.
Ang translation ng article ay maaaring maglaman ng inaccuracies.

Fourier transform at signal spectrum

Sa maraming casos ang task ng pagkuha (pagkalkula) ng spectrum ng signal ay tulad ng sumusunod. May ADC, na may sampling frequency Fd transforms continuous signal, na dumadating sa input nito sa panahon ng T, sa digital samples – N pieces. Pagkatapos ang array ng samples na ito ay ipinapakain sa ilang program (halimbawa FourierScope) na naglulunsad ng N/2 na ilang mga halaga ng numero.

Para suriin kung ang program ay gumagana nang tama, bumuo kami ng array ng samples bilang sum ng dalawang sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) at ipinapakain ito sa program. Ang program ay gumuhit ng sumusunod:

 

 

There are two harmonics sa spectrum graph – 5 Hz na may amplitude ng 0.5 V at 10 Hz na may amplitude ng 1 V, lahat ay tulad ng sa formula ng original signal. Lahat ay maayos, ang program ay gumagana nang tama.

Ito ay nangangahulugan na kung ipinapakain natin ang real signal mula sa mixture ng dalawang sinusoids sa ADC input, makakakuha tayo ng similar spectrum na binubuo ng dalawang harmonics.

So, our real nasusukat na signal ng 5 sec. duration, digital-na-inilipat ng ADC, ibig sabihin ay kumakatawan by discrete samples, has a discrete non-periodic spectrum.
Mula sa mathematical point of view – ilang errors sa phrase na ito?

Ngayon hayaan nating sukatin ang parehong signal para sa 0.5 sec.

 

 

May problema dito! Ang harmonic sa 10 Hz ay nilikha nang normal, ngunit sa halip na ang harmonic sa 5 Hz may ilang unclear harmonics.

Sa Internet sinasabi nila na kailangan idagdag ang zeros sa dulo ng sample at ang spectrum ay isusulat nang normal.

 

 

Hindi iyon ito sa lahat. Kailangang harapin ko ang teorya. Tayo ay pumunta sa wikipedia – ang pinagkukunan ng kaalaman.

Patuloy na function at ang Fourier series na representasyon nito

Mathematically, ang aming signal na may tagal ng T segundo ay ilang function f(x) na ibinigay sa interval na {0, T} (ang X sa kasong ito ay oras). Ang ganitong function ay maaaring palaging na mailarawan bilang isang kabuuan ng harmonic functions (sine o cosine) ng form na:

k ay ang numero ng trigonometric function (ang numero ng harmonic component, ang numero ng harmonic)
T – segment kung saan ang function ay tinukoy (ang tagal ng signal)
Ak - amplitude ng k-th harmonic component,
θk - ang initial phase ng kth harmonic component
Ano ang ibig sabihin ng “ipakita ang function bilang kabuuan ng series”? Ibig sabihin nito na sa pamamagitan ng pagdagdag ng mga halaga ng harmonic components ng Fourier series sa bawat punto, nakakakuha tayo ng halaga ng aming function sa puntong iyon.
(Mas mahigpit, ang mean square deviation ng series mula sa function f(x) ay magiging zero, ngunit kahit na ang mean square convergence, ang Fourier series ng isang function ay hindi kailangang, sa pangkalahatang pagsasalita, magconverge dito point by point.)
Ang seryang ito ay maaari ring isulat sa form na:

 

 

 

where , ang kth complex amplitude.

 

or

 

 

 

Ang relasyon sa pagitan ng coefficients (1) at (3) ay ipinapahayag ng mga sumusunod na formula:

 

 

 

 

Note that all these three representations of Fourier series are perfectly equivalent. Sometimes when working with Fourier series, it is more convenient to use exponents of imaginary argument instead of sines and cosines, i.e. to use Fourier transform in complex form. But it is convenient for us to use formula (1), where the Fourier series is represented as a sum of cosines with corresponding amplitudes and phases. Strictly speaking, the Fourier transform of a real signal does produce complex coefficients (form (3)): each coefficient carries both the amplitude and the phase of its harmonic. For a real signal these complex coefficients possess conjugate (Hermitian) symmetry — the negative-frequency half simply mirrors the positive-frequency half and carries no extra information. That is why, from the complex coefficients, we can always pass to the real non-negative amplitudes Ak and phases θk of formula (1) — and it is exactly this amplitude spectrum that analysis programs plot.

 

Buod:
Ang mathematical basis para sa spectral analysis ng signals ay ang Fourier transform.

Ang Fourier transform ay nagpapahintulot na ipakita ang patuloy na function f(x) (signal) na tinukoy sa interval {0, T} bilang kabuuan ng infinite number (infinite series) ng trigonometric functions (sine at/o cosine) na may definite amplitudes at phases na iniisip din sa interval {0, T}. Ang ganitong serye ay tinatawag na Fourier series.

Tandaan ang ilang mas maraming punto, ang pag-unawa sa kung saan ay kinakailangan para sa tamang application ng Fourier transform sa signal analysis. Kung ating isasaalang-alang ang Fourier series (kabuuan ng sinusoids) sa buong X-axis ay makikita natin na sa labas ng interval {0, T} ang Fourier series function ay magiging periodic repetition ng aming function.

Halimbawa, sa graph sa Fig. 7, ang original function ay tinukoy sa interval na {-T\2, +T\2}, at ang Fourier series ay kumakatawan sa periodic function na tinukoy sa buong x-axis.

Ito ay dahil ang mga sinusoid mismo ay periodic functions, kaya ang kanilang kabuuan ay magiging periodic function din.

Thus:

Ang aming orihinal na function ay isang tuloy-tuloy, non-periodic function na tinukoy sa ilang segment ng haba T.
Ang spectrum ng function na ito ay discrete, ibig sabihin ito ay kinakatawan bilang isang infinite series ng harmonic components – isang Fourier series.
Ang katotohanan ay ang Fourier series ay nagde-define ng ilang periodic function, na sumasabay sa aming function sa interval {0, T}, ngunit para sa amin ang periodicity na ito ay hindi essential.

Next.

Ang mga period ng harmonic components ay multiples ng interval {0, T}, kung saan ang initial function f(x) ay tinukoy. Sa ibang salita, ang mga period ng harmonics ay multiples ng duration ng signal measurement. Halimbawa, ang period ng first harmonic sa Fourier series ay katumbas ng interval T kung saan ang function f(x) ay tinukoy. Ang period ng second harmonic sa Fourier series ay katumbas ng interval T/2. At iba pa (tingnan ang Figure 8).

Nang naaayon, ang mga frequency ng harmonic components ay multiples ng 1/T. Iyan ay, ang mga frequency ng harmonic components Fk ay Fk= k\T, kung saan ang k ay tumatakbo mula 0 hanggang ∞, halimbawa, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (sa zero frequency, isang constant component).

Hayaan ang aming initial function, ay isang signal na naitala sa T=1 sec. Kung gayon ang period ng first harmonic ay magiging katumbas sa duration ng aming signal T1=T=1 sec at ang frequency ng harmonic ay katumbas ng 1 Hz. Ang period ng second harmonic ay magiging katumbas sa duration ng aming signal na hinati ng 2 (T2=T/2=0.5 sec.) at ang frequency ay katumbas ng 2 Hz. Para sa third harmonic, T3=T/3 sec at ang frequency ay 3 Hz. At iba pa.

Ang step sa pagitan ng harmonics sa case na ito ay 1 Hz.

Kaya, isang signal na may duration na 1 sec ay maaaring i-decompose sa harmonic components (upang makakuha ng spectrum) na may frequency resolution na 1 Hz.
Upang dagdagan ang resolution ng factor na 2 hanggang 0.5 Hz, kinakailangan na dagdagan ang duration ng measurement ng factor na 2 hanggang 2 sec. Ang 10-second signal ay maaaring i-decompose sa harmonic components (spectrum) na may frequency resolution na 0.1 Hz. Walang ibang paraan upang madagdagan ang frequency resolution. Maaari mong tuklasin ang relationship na ito sa aming FFT Resolution Calculator.

May paraan upang artificial na dagdagan ang signal duration sa pamamagitan ng pagdadagdag ng zeros sa array ng samples. Ngunit ito ay hindi nagpapataas ng real frequency resolution.

Discrete signals at discrete Fourier transform

Sa pag-unlad ng digital technology ang mga paraan ng measurement data (signals) storage ay nagbago. Samantalang dati ang signal ay maaaring ma-record sa isang tape recorder at maipon sa tape sa analog form, ngayon ang mga signals ay di-digitize at naipon sa mga files sa computer memory bilang isang set ng mga numbers (counts).

Ang usual scheme ng signal measurement at digitization ay nagsisimula tulad ng sumusunod.

Sumusukat na transducer —- Signal normalizer —- ADC —– Computer
(Fig.9 Schematic ng measuring channel)

Ang signal mula sa measuring transducer ay napupunta sa ADC sa loob ng panahon T. Ang mga signal readings (sampling) na natanggap sa panahon T ay ipinapadala sa computer at sine-save sa memory.

Ano ang mga requirement para sa signal digitization parameters? Ang isang device na nagko-convert ng input analog signal sa discrete code (digital signal) ay tinatawag na analog-to-digital converter (ADC) (© Wiki).

Isa sa mga basic parameters ng ADC ay ang maximum sampling rate – ang frequency ng sampling ng isang signal na patuloy sa oras. Ang sample rate ay sinusukat sa hertz. ((© Wiki))

According to Kotelnikov’s theorem, if a continuous signal has a spectrum limited by the frequency Fmax, it can be fully and uniquely reconstructed from its discrete samples taken at time intervals Δt ≤ 1/(2*Fmax), ie with a sampling frequency Fd ≥ 2*Fmax, where Fd – sampling frequency; Fmax – the maximum frequency of the signal spectrum. In other words, the frequency of signal digitization (sampling frequency of ADC) must be at least twice the maximum frequency of the signal we want to measure.

At ano ang mangyayari kung kukunin natin ang samples sa mas mababang frequency kaysa sa kinakailangan ng Kotelnikov’s theorem?

Sa kasong ito ay may isang “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), kung saan ang isang high frequency signal pagkatapos ng digitization ay nagiging low frequency signal, na sa katotohanan ay hindi umiiral. Sa Fig. 11 ang red sine wave ng high frequency ay ang tunay na signal. Ang blue sine wave ng lower frequency ay isang fictitious signal, na nabuo dahil sa katotohanan na sa sampling time ay nakaraan ang higit pa sa kalahati ng isang period ng high-frequency signal.

 

Upang maiwasan ang aliasing effect, isang special anti-alias filter ("low-pass filter") ay inilalagay bago ang ADC. Ito ay nagpapahintulot ng mga frequencies na mas mababang kalahati ng ADC sampling frequency at kinukunot ang mas mataas na frequencies.

Upang makalkula ang signal spectrum sa pamamagitan ng mga discrete samples nito ang discrete Fourier transform (DFT) ay ginagamit. Tandaan muli na ang spectrum ng isang discrete signal ay “by definition” limitado sa isang frequency Fmax na mas maliit kaysa sa kalahati ng sampling frequency Fd. Samakatuwid, ang spectrum ng isang discrete signal ay maaaring ipresenta ng kabuuan ng a finite number ng harmonics, hindi tulad ng infinite sum para sa Fourier series ng isang continuous signal, na ang spectrum ay maaaring walang hangganan. Ayon sa Kotelnikov’s theorem, ang maximum frequency ng isang harmonic ay dapat na tulad na ito ay accounts para sa hindi bababa sa dalawang samples, kaya ang number ng harmonics ay katumbas ng kalahati ng number ng samples ng isang discrete signal. Iyon ay, kung may N samples sa sample, ang number ng harmonics sa spectrum ay magiging N/2.

Isaalang-alang na ngayon ang discrete Fourier transform (DFT).

Inihahambing ito sa Fourier series

 

Tulad ng nakikita natin, ang mga ito ay tumutugma, maliban sa katotohanan na ang oras sa FFT ay discrete at ang bilang ng mga harmonics ay limitado sa N/2, na kalahati ng bilang ng mga sample.

Ang mga formula ng DFT ay isinusulat sa dimensionless integer variables k, s, kung saan k ay ang bilang ng mga sample ng signal, s ay ang bilang ng mga spectral components.
Ang halaga ng s ay nagpapakita ng bilang ng buong harmonic oscillations sa bawat panahon T (tagal ng pagsusukat ng signal). Ang discrete Fourier transform ay ginagamit upang mahanap ang amplitudes at phases ng mga harmonics nang numerical, ibig sabihin “sa computer”.

Tulad ng sinabi na noon, kapag ang isang non-periodic function (ang ating signal) ay nababago-bago sa Fourier series, ang resultang Fourier series ay aktwal na tumutugma sa isang periodic function na may period T (Fig.12).

 

 

Tulad ng makikita sa Fig. 12, ang function f(x) ay periodic na may period T0. Subalit, dahil sa katotohanan na ang haba ng measuring sample T ay hindi katumbas sa period ng function T0, ang function na nakuha bilang Fourier series ay may discontinuity sa point T. Bilang resulta, ang spectrum ng function na ito ay maglalaman ng malaking bilang ng high-frequency harmonics. Ang phenomena na ito ay kilala bilang spectral leakage, at sa pagsasanay ito ay nabawasan ng windowing ang signal bago ang transform. Kung ang tagal ng measuring sample T ay tumugma sa period ng function T0, kung gayon ang spectrum na nakuha pagkatapos ng Fourier transform ay maglalaman lamang ng unang harmonic (isang sinusoid na may period na katumbas sa tagal ng sample), dahil ang function f(x) ay isang sinusoid.

Sa ibang salita, ang programa ng DFT ay “hindi alam” na ang ating signal ay isang “slice ng isang sine wave”, subalit sinisikap na ipakita bilang isang series ang isang periodic function na may discontinuity dahil sa discontinuity ng mga magkakahiwalay na piraso ng sine wave.

Bilang resulta, lumilitaw ang mga harmonics sa spectrum, na dapat, sa kabuuan, kumatawan sa hugis ng function, kasama ang discontinuity na ito.

Kaya naman, upang makakuha ng “tama” spectrum ng isang signal na nagpapakita ng kabuuan ng maraming sinusoids na may iba't ibang periods, kailangan na ang isang integer na bilang ng mga periods ng bawat sinusoid ay dapat na naroroon sa measuring period ng signal. Sa pagsasanay, ang kondisyon na ito ay maaaring tuparin sa sapat na mahabang tagal ng pagsusukat ng signal.

 

 

Sa mas maikling tagal ang larawan ay magiging “mas masama”:

 

 

 

 

Sa pagsasanay, maaaring maging mahirap na maunawaan kung saan ang “tunay na mga bahagi” at kung saan ang “mga artipisyo” na dulot ng hindi konsistensiyang mga panahon ng bahagi at tagal ng sampling ng signal o “mga pagtalon at putol” sa waveform. Siyempre, ang mga salitang “tunay na mga bahagi” at “mga artipisyo” ay nakalagay sa mga panipi para sa isang dahilan. Ang pagkakaroon ng maraming harmonics sa spectrum graph ay hindi nangangahulugang ang aming signal ay tunay na binubuo ng mga ito. Parang iniisip na ang numero 7 “ay binubuo” ng mga numero 3 at 4. Ang numero 7 ay maaaring isipin bilang ang kabuuan ng 3 at 4 – iyon ay tama.

Ganoon din ang aming signal… o mas hinihigit pa ay hindi pa “ang aming signal”, kundi isang periodic function na binuo ng pag-ulit ng aming signal (sample) ay maaaring ilarawan bilang kabuuan ng harmonics (sine waves) na may ilang amplitudes at phases. Ngunit sa maraming kaso na mahalaga para sa pagsasanay (tingnan ang mga figure sa itaas) tunay na posible ang pag-ugnay sa mga harmonics na nakuha sa spectrum din sa tunay na mga proseso na may cyclic character at nag-aambag nang malaki sa anyo ng signal.

Some results

1. Isang tunay na sinusukat na signal na may T sec. duration na nidi-digitize ng ADC, ibig sabihin ay kinakatawan ng isang set ng discrete samples (N pieces), ay may isang discrete non-periodic spectrum na kinakatawan ng isang set ng harmonics (N/2 pieces).

2. The signal is represented by a set of real values. Its DFT spectrum is a set of complex coefficients with conjugate symmetry; from them the amplitude spectrum is obtained — a set of real non-negative amplitudes (and phases) at positive frequencies, and it is this one-sided amplitude spectrum that is plotted in practice. The two-sided complex form with negative frequencies and the one-sided amplitude/phase form are equivalent representations of the same spectrum — for signal analysis it is usually more convenient to work with the one-sided amplitude spectrum.

3. Ang signal na sinusukat sa oras T ay tinutukoy lamang sa oras T. Kung ano ang naganap bago namin nagsimulang sukatin ang signal at kung ano ang mangyayari pagkatapos nito ay hindi alam ng agham. At sa aming kaso ito ay hindi interesante. Ang FFT ng time-limited signal ay nagbibigay ng “tunay” spectrum nito, sa kahulugan na sa ilang kondisyon ito ay nagpapahintulot na kalkulahin ang amplitude at frequency ng mga bahagi nito.