కంపన సంకేతాల విశ్లేషణకు ఫోరియర్ పరివర్తన యొక్క అనువర్తనం

Andrei Shelkovenko. Vibromera యొక్క డెవలపర్‌లలో ఒకరు మరియు స్థాపకుడు.
వ్యాసం యొక్క అనువాదంలో అసంగతులు ఉండవచ్చు.

ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ మరియు సిగ్నల్ స్పెక్ట్రమ్

చాలా సందర్భాలలో, ఒక సంకేతం యొక్క spectrum లను పొందే (లెక్కించే) పని క్రింది విధంగా ఉంటుంది. స్పెక్ట్రం ఒక సంకేతాన్ని శాంప్లింగ్ తో ఇలా చేయవచ్చు. ఒక ADC ఉంది, ఇది శాంప్లింగ్ తో ఫ్రీక్వెన్సీ Fd నిరంతర సంకేతాన్ని T కాలం పాటు దాని ఇన్‌పుట్‌కు వచ్చే సంకేతాన్ని డిజిటల్ శాంపిల్‌లుగా – N ముక్కలు – మారుస్తుంది. తర్వాత ఈ శాంపిల్‌ల శ్రేణిని ఏదైనా ప్రోగ్రామ్‌కు (ఉదాహరణకు FourierScope) ఇది N/2 కొన్ని సంఖ్యా విలువలను అవుట్‌పుట్ చేస్తుంది.

ప్రోగ్రాం సరిగ్గా పనిచేస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి, మేము రెండు sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) మొత్తంగా నమూనాల అరేని ఏర్పాటు చేసి దానిని ప్రోగ్రాంలోకి ఇస్తాము. ప్రోగ్రాం ఇది గీసింది:

 

 

రెండు ఉన్నాయి హార్మోనిక్స్ స్పెక్ట్రమ్ గ్రాఫ్‌లో – 0.5 V యాంప్లిట్యూడ్‌తో 5 Hz మరియు 1 V యాంప్లిట్యూడ్‌తో 10 Hz, అసలు సంకేత సూత్రంలో ఉన్నట్లే అన్నీ ఉన్నాయి. అన్నీ సరిగ్గా ఉన్నాయి, ప్రోగ్రామ్ సరిగ్గా పనిచేస్తోంది.

దీని అర్థం ఏమిటంటే, రెండు సైనుసాయిడ్ల మిశ్రమం నుండి వచ్చే నిజమైన సిగ్నల్‌ను ADC ఇన్‌పుట్‌కు అందిస్తే, రెండు హార్మోనిక్‌లతో కూడిన సారూప్య స్పెక్ట్రమ్‌ను పొందుతాము.

కాబట్టి, మన వాస్తవ కొలిచిన సిగ్నల్ 5 సెకన్ల వ్యవధి గల, ADC ద్వారా డిజిటైజ్ చేయబడిన, అంటే ప్రాతినిధ్యం వహించే వివిక్త నమూనాల రూపంలో, ఇది వివిక్త అనావర్తన స్పెక్ట్రమ్.
గణిత దృక్కోణం నుండి – ఈ వాక్యంలో ఎన్ని దోషాలు ఉన్నాయి?

ఇప్పుడు అదే సిగ్నల్‌ను 0.5 సెకన్లకు కొలవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

 

 

ఇక్కడ ఏదో తప్పు జరుగుతోంది! 10 Hz వద్ద ఉన్న హార్మోనిక్ సాధారణంగా గీయబడింది, కానీ 5 Hz వద్ద ఉన్న హార్మోనిక్ స్థానంలో కొన్ని అస్పష్టమైన హార్మోనిక్‌లు ఉన్నాయి.

ఇంటర్నెట్‌లో సాంపిల్ చివరకు సున్నాలను జోడించాలని, అప్పుడు స్పెక్ట్రమ్ సాధారణంగా గీయబడుతుందని చెబుతున్నారు.

 

 

ఇది ఏమీ కాదు. నేను సిద్ధాంతంతో పని చేయాల్సి ఉంటుంది. వెళ్దాం wikipedia – జ్ఞానానికి మూలం.

అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం మరియు దాని ఫోరియర్ శ్రేణి ప్రాతినిధ్యం

గణితపరంగా, T సెకన్ల వ్యవధి ఉన్న మా సిగ్నల్ అనేది {0, T} అంతరంపై ఇవ్వబడిన కొన్ని ఫంక్షన్ f(x) (ఈ సందర్భంలో X అనేది సమయం). అటువంటి ఫంక్షన్‌ను ఎల్లప్పుడూ ఈ రూపంలో హార్మోనిక్ ఫంక్షన్ల (సైన్ లేదా కొసైన్) మొత్తంగా ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు:

k అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ సంఖ్య (హార్మోనిక్ భాగం సంఖ్య, హార్మోనిక్ సంఖ్య)
T – ప్రమేయం నిర్వచించబడిన సెగ్మెంట్ (సిగ్నల్ యొక్క కాలం)
Ak- k-వ హార్మోనిక్ భాగం యొక్క ఆంప్లిట్యూడ్,
θk- k-వ హార్మోనిక్ భాగం యొక్క ప్రారంభ దశ
“ప్రమేయాన్ని శ్రేణి మొత్తంగా ప్రాతినిధ్యం వహించడం” అంటే ఏమిటి? ప్రతి బిందువు వద్ద ఫోరియర్ శ్రేణి యొక్క హార్మోనిక్ భాగాల విలువలను జోడించడం ద్వారా, ఆ బిందువు వద్ద మన ప్రమేయం యొక్క విలువను పొందుతామని అర్థం.
( మరింత కఠినంగా చెప్పాలంటే, ప్రమేయం f(x) నుండి శ్రేణి యొక్క సగటు వర్గ విచలనం సున్నా వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, కానీ సగటు వర్గ అభిసరణ ఉన్నప్పటికీ, సాధారణంగా ప్రమేయం యొక్క ఫోరియర్ శ్రేణి బిందువు వారీగా దానికి అభిసరించకపోవచ్చు. )
ఈ శ్రేణిని ఈ రూపంలో కూడా రాయవచ్చు:

 

 

 

ఇందులో , k-వ కాంప్లెక్స్ యాంప్లిట్యూడ్.

 

లేదా

 

 

 

గుణకాల (1) మరియు (3) మధ్య సంబంధం ఈ క్రింది సూత్రాల ద్వారా వ్యక్తపరచబడుతుంది:

 

 

 

 

ఫోరియర్ శ్రేణి యొక్క ఈ మూడు ప్రాతినిధ్యాలు అన్నీ ఖచ్చితంగా సమానమైనవి అని గమనించండి. కొన్నిసార్లు ఫోరియర్ శ్రేణితో పనిచేసేటప్పుడు, సైన్‌లు మరియు కొసైన్‌లకు బదులుగా కాల్పనిక ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఎక్స్‌పోనెంట్‌లను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, అంటే సంక్లిష్ట రూపంలో ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌ను ఉపయోగించడం. కానీ మనకు ఫార్ములా (1)ను ఉపయోగించడం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ఇందులో ఫోరియర్ శ్రేణి సంబంధిత ఆంప్లిట్యూడ్‌లు మరియు దశలతో కూడిన కొసైన్‌ల మొత్తంగా సూచించబడుతుంది. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఒక వాస్తవ సిగ్నల్ యొక్క ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ సంక్లిష్ట గుణకాలను (రూపం (3)) ఇస్తుంది: ప్రతి గుణకం దాని హార్మోనిక్ యొక్క ఆంప్లిట్యూడ్ మరియు దశ రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది. వాస్తవ సిగ్నల్ కోసం ఈ సంక్లిష్ట గుణకాలు కంజుగేట్ (హెర్మిటియన్) సౌష్టవాన్ని కలిగి ఉంటాయి — నెగటివ్-ఫ్రీక్వెన్సీ సగభాగం కేవలం పాజిటివ్-ఫ్రీక్వెన్సీ సగభాగాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది మరియు అదనపు సమాచారం ఏదీ కలిగి ఉండదు. అందుకే, సంక్లిష్ట గుణకాల నుండి, మనం ఎల్లప్పుడూ ఫార్ములా (1) యొక్క వాస్తవ నాన్-నెగటివ్ ఆంప్లిట్యూడ్‌లు Ak మరియు దశలు θk లకు మారవచ్చు — మరియు విశ్లేషణ ప్రోగ్రామ్‌లు ప్లాట్ చేసేది సరిగ్గా ఈ ఆంప్లిట్యూడ్ స్పెక్ట్రమే.

 

సారాంశం:
సిగ్నల్‌ల యొక్క స్పెక్ట్రల్ విశ్లేషణకు గణిత ఆధారం ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్.

ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ అనేది {0, T} అంతరంపై నిర్వచించబడిన నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) (సిగ్నల్) ను నిర్దిష్ట ఆంప్లిట్యూడ్లు మరియు దశలతో అనంతమైన సంఖ్యలో (అనంత శ్రేణి) త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల (సైన్ మరియు/లేదా కొసైన్) మొత్తంగా ప్రాతినిధ్యం వహించడానికి అనుమతిస్తుంది. అటువంటి శ్రేణిని ఫోరియర్ శ్రేణి అంటారు.

సిగ్నల్ విశ్లేషణకు ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌ను సరైన విధంగా అన్వయించడానికి అవసరమైన అర్థం కోసం మరికొన్ని బిందువులను గమనించండి. మనం మొత్తం X-అక్షంపై ఫోరియర్ శ్రేణిని (సైనుసాయిడ్ల మొత్తం) పరిగణలోకి తీసుకుంటే, అంతరం {0, T} వెలుపల ఫోరియర్ శ్రేణి ప్రమేయం మన ప్రమేయాన్ని ఆవర్తనంగా పునరావృతం చేస్తుందని చూస్తాము.

ఉదాహరణకు, చిత్రం 7 లోని గ్రాఫ్‌లో, అసలు ఫంక్షన్ {-T\2, +T\2} అంతరంపై నిర్వచించబడింది, మరియు ఫోరియర్ శ్రేణి అంతటా x-అక్షంపై నిర్వచించబడిన పీరియాడిక్ ఫంక్షన్‌ను ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది.

ఇది సైనుసాయిడ్‌లు స్వయంగా ఆవర్తన ప్రమేయాలు కావడం వల్ల, అందువల్ల వాటి మొత్తం కూడా ఆవర్తన ప్రమేయంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి:

మన అసలు ప్రమేయం T పొడవు గల కొంత సెగ్మెంట్‌పై నిర్వచించబడిన నిరంతర, అనావర్తన ప్రమేయం.
ఈ ప్రమేయం యొక్క స్పెక్ట్రమ్ డిస్క్రీట్‌గా ఉంటుంది, అంటే ఇది హార్మోనిక్ భాగాల అనంత శ్రేణిగా సూచించబడుతుంది – ఫోరియర్ శ్రేణి.
వాస్తవానికి, ఫోరియర్ శ్రేణి కొన్ని పీరియాడిక్ ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది, ఇది {0, T} అంతరంపై మా ఫంక్షన్‌తో సరిపోలుతుంది, కానీ మాకు ఈ పీరియాడిసిటీ ముఖ్యం కాదు.

తదుపరి.

హార్మోనిక్ భాగాల కాలావధులు {0, T} అంతరం యొక్క గుణిజాలు, దీనిపై ప్రారంభ ఫంక్షన్ f(x) నిర్వచించబడింది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, హార్మోనిక్స్ యొక్క కాలావధులు సిగ్నల్ కొలత వ్యవధి యొక్క గుణిజాలు. ఉదాహరణకు, ఫోరియర్ శ్రేణిలో మొదటి హార్మోనిక్ యొక్క కాలావధి ఫంక్షన్ f(x) నిర్వచించబడిన అంతరం T కు సమానం. ఫోరియర్ శ్రేణిలో రెండవ హార్మోనిక్ యొక్క కాలావధి అంతరం T/2 కు సమానం. ఇలాగే (చిత్రం 8 చూడండి).

దీని ప్రకారం, హార్మోనిక్ భాగాల పౌనఃపున్యాలు 1/T యొక్క గుణిజాలు. అంటే, హార్మోనిక్ భాగాల పౌనఃపున్యాలు Fk అనేవి Fk= k\T, ఇక్కడ k విలువలు 0 నుండి ∞ వరకు ఉంటాయి, ఉదాహరణకు, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (సున్నా పౌనఃపున్యం వద్ద, స్థిర భాగం).

మా ప్రారంభ ప్రమేయం, T=1 సెకన్ సమయంలో నమోదైన సిగ్నల్ అనుకుందాం. అప్పుడు మొదటి హార్మోనిక్ యొక్క కాలం మా సిగ్నల్ యొక్క వ్యవధికి సమానంగా ఉంటుంది T1=T=1 సెకన్ మరియు హార్మోనిక్ యొక్క పౌనఃపున్యం 1 Hz కి సమానంగా ఉంటుంది. రెండవ హార్మోనిక్ యొక్క కాలం మా సిగ్నల్ యొక్క వ్యవధిని 2 తో భాగించినట్లుగా ఉంటుంది (T2=T/2=0.5 సెకన్.) మరియు పౌనఃపున్యం 2 Hz కి సమానంగా ఉంటుంది. మూడవ హార్మోనిక్ కోసం, T3=T/3 సెకన్ మరియు పౌనఃపున్యం 3 Hz. ఇలాగే కొనసాగుతుంది.

ఈ సందర్భంలో హార్మోనిక్స్ మధ్య అంతరం 1 Hz.

అందువల్ల, 1 సెకన్ కాలం గల సిగ్నల్‌ను 1 Hz పౌనఃపున్య రిజల్యూషన్‌తో హార్మోనిక్ భాగాలుగా విభజించవచ్చు (స్పెక్ట్రమ్ పొందడానికి).
రిజల్యూషన్‌ను 2 రెట్లు పెంచి 0.5 Hz చేయడానికి, కొలత వ్యవధిని 2 రెట్లు పెంచి 2 సెకండ్లు చేయడం అవసరం. 10-సెకండ్ సంకేతాన్ని 0.1 Hz ఫ్రీక్వెన్సీ రిజల్యూషన్‌తో హార్మోనిక్ భాగాలుగా (స్పెక్ట్రమ్) విభజించవచ్చు. ఫ్రీక్వెన్సీ రిజల్యూషన్‌ను పెంచడానికి మరే ఇతర మార్గాలు లేవు. మీరు మా సాధనంతో ఈ సంబంధాన్ని అన్వేషించవచ్చు FFT రిజల్యూషన్ కాల్క్యులేటర్.

సాంపిల్‌ల అరేకు సున్నాలను జోడించడం ద్వారా సిగ్నల్ కాలాన్ని కృత్రిమంగా పెంచే మార్గం ఉంది. కానీ ఇది నిజమైన పౌనఃపున్య రిజల్యూషన్‌ను పెంచదు.

విభిన్న సంకేతాలు మరియు డిస్క్రీట్ ఫోరియర్ పరివర్తన

డిజిటల్ సాంకేతికత అభివృద్ధితో కొలత డేటా (సిగ్నల్‌ల) నిల్వ చేసే మార్గాలు మారాయి. గతంలో సిగ్నల్‌ను టేప్ రికార్డర్‌పై నమోదు చేసి టేప్‌పై అనలాగ్ రూపంలో నిల్వ చేయగలిగేవారు, ఇప్పుడు సిగ్నల్‌లు డిజిటైజ్ చేయబడి కంప్యూటర్ మెమరీలో సంఖ్యల సమూహంగా (సాంపిల్స్) ఫైల్‌లలో నిల్వ చేయబడతాయి.

సిగ్నల్ కొలత మరియు డిజిటైజేషన్ యొక్క సాధారణ పద్ధతి ఈ విధంగా ఉంటుంది.

కొలత ట్రాన్స్‌డ్యూసర్ —- సిగ్నల్ నార్మలైజర్ —- ADC —– కంప్యూటర్
(చిత్రం.9 కొలత ఛానెల్ స్కీమాటిక్ రేఖాచిత్రం)

కొలత ట్రాన్స్‌డ్యూసర్ నుండి సిగ్నల్ T కాలం పాటు ADC కు వెళ్తుంది. T సమయంలో పొందిన సిగ్నల్ రీడింగ్‌లు (సాంప్లింగ్) కంప్యూటర్‌కు పంపబడి మెమరీలో సేవ్ చేయబడతాయి.

సిగ్నల్ డిజిటైజేషన్ పారామితులకు అవసరమైన అవసరాలు ఏమిటి? ఇన్‌పుట్ అనలాగ్ సిగ్నల్‌ను డిస్క్రీట్ కోడ్ (డిజిటల్ సిగ్నల్) గా మార్చే పరికరాన్ని అనలాగ్-టు-డిజిటల్ కన్వర్టర్ (ADC) అంటారు (© Wiki).

ADC యొక్క ప్రాథమిక పారామితులలో ఒకటి గరిష్ట సాంప్లింగ్ రేట్ – సమయంలో నిరంతరంగా ఉన్న సిగ్నల్ యొక్క సాంప్లింగ్ పౌనఃపున్యం. సాంపిల్ రేట్ హెర్ట్జ్‌లో కొలవబడుతుంది. ((© Wiki))

కోటెల్నికోవ్ యొక్క సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక నిరంతర సిగ్నల్ యొక్క స్పెక్ట్రమ్ Fmax ఫ్రీక్వెన్సీ ద్వారా పరిమితం చేయబడితే, దానిని Δt ≤ 1/(2*Fmax) సమయ వ్యవధులలో తీసుకున్న దాని వివిక్త నమూనాల నుండి పూర్తిగా మరియు ప్రత్యేకంగా పునర్నిర్మించవచ్చు, అంటే Fd ≥ 2*Fmax అనే నమూనా ఫ్రీక్వెన్సీతో, ఇక్కడ Fd – నమూనా ఫ్రీక్వెన్సీ; Fmax – సిగ్నల్ స్పెక్ట్రమ్ యొక్క గరిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీ. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సిగ్నల్ డిజిటైజేషన్ ఫ్రీక్వెన్సీ (ADC యొక్క నమూనా ఫ్రీక్వెన్సీ) మనం కొలవాలనుకుంటున్న సిగ్నల్ యొక్క గరిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే కనీసం రెండు రెట్లు ఉండాలి。

మరి కోటెల్నికోవ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం అవసరమైన దానికంటే తక్కువ పౌనఃపున్యంతో సాంపిల్‌లు తీసుకుంటే ఏమవుతుంది?

ఈ సందర్భంలో ఒక “అలియాసింగ్In this case there is an “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), in which a high frequency signal after digitization turns into a low frequency signal, which in fact does not exist. In Fig. 11 the red sine wave of high frequency is the real signal. The blue sine wave of lower frequency is a fictitious signal, arising due to the fact that during the sampling time has time to pass more than half a period of the high-frequency signal.

 

అలియాసింగ్ ప్రభావాన్ని నివారించడానికి, ADC ముందు ఒక ప్రత్యేక యాంటీ-అలియాస్ ఫిల్టర్ (లో-పాస్ ఫిల్టర్) ADC ముందు ఉంచబడుతుంది. ఇది ADC శాంప్లింగ్ ఫ్రీక్వెన్సీలో సగం కంటే తక్కువ ఫ్రీక్వెన్సీలను పాస్ చేస్తుంది మరియు అధిక ఫ్రీక్వెన్సీలను కత్తిరిస్తుంది.

డిస్క్రీట్ శాంపిల్‌ల ద్వారా సంకేత స్పెక్ట్రమ్‌ను లెక్కించడానికి, డిస్క్రీట్ ఫోరియర్ రూపాంతరం (DFT) ఉపయోగించబడుతుంది. మళ్ళీ గమనించండి, డిస్క్రీట్ సంకేతం యొక్క స్పెక్ట్రమ్ “నిర్వచనం ప్రకారం” శాంప్లింగ్ ఫ్రీక్వెన్సీ Fd లో సగం కంటే తక్కువైన Fmax ఫ్రీక్వెన్సీకి పరిమితమవుతుంది. అందువల్ల, డిస్క్రీట్ సంకేతం యొక్క స్పెక్ట్రమ్‌ను పరిమితమైన హార్మోనిక్‌ల సంఖ్య, నిరంతర సిగ్నల్ యొక్క ఫోరియర్ శ్రేణికి అనంత మొత్తానికి విరుద్ధంగా, దాని స్పెక్ట్రమ్ అపరిమితంగా ఉండవచ్చు. కోటెల్నికోవ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, హార్మోనిక్ యొక్క గరిష్ట పౌనఃపున్యం కనీసం రెండు సాంపిల్‌లను కలిగి ఉండేలా ఉండాలి, అందువల్ల హార్మోనిక్‌ల సంఖ్య డిస్క్రీట్ సిగ్నల్ యొక్క సాంపిల్‌ల సంఖ్యలో సగంకు సమానంగా ఉంటుంది. అంటే, సాంపిల్‌లో N సాంపిల్‌లు ఉంటే, స్పెక్ట్రమ్‌లో హార్మోనిక్‌ల సంఖ్య N/2 అవుతుంది.

ఇప్పుడు వివిక్త ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ (DFT) ను పరిగణించండి.

దీనిని ఫోరియర్ శ్రేణితో పోల్చడం

 

మనం చూడగలిగినట్లుగా, FFT లో సమయం డిస్క్రీట్‌గా ఉండటం మరియు హార్మోనిక్‌ల సంఖ్య సాంపిల్‌ల సంఖ్యలో సగం అయిన N/2 కు పరిమితం కావడం తప్ప, అవి సరిపోలుతున్నాయి.

DFT సూత్రాలు డైమెన్షన్‌లెస్ పూర్ణాంక చరరాశులు k, s లో రాయబడ్డాయి, ఇక్కడ k సిగ్నల్ సాంపిల్‌ల సంఖ్య, s స్పెక్ట్రల్ భాగాల సంఖ్య.
విలువ s కాలం T (సిగ్నల్ కొలత కాలం) కు పూర్తి హార్మోనిక్ డోలనాల సంఖ్యను చూపిస్తుంది. హార్మోనిక్‌ల ఆంప్లిట్యూడ్‌లు మరియు దశలను సంఖ్యాపరంగా కనుగొనడానికి డిస్క్రీట్ ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే “కంప్యూటర్‌పై”.

పైన ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఒక అనావర్తన ప్రమేయాన్ని (మా సిగ్నల్) ఫోరియర్ శ్రేణిగా విభజించినప్పుడు, ఫలిత ఫోరియర్ శ్రేణి వాస్తవానికి T కాలం కలిగిన ఒక ఆవర్తన ప్రమేయానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది (చిత్రం.12).

 

 

Fig. 12లో చూడగలిగినట్లు, f(x) ఫంక్షన్ T0 పీరియడ్‌తో ఆవర్తన (periodic) అయి ఉంటుంది. అయితే, కొలత శాంపిల్ వ్యవధి T ఫంక్షన్ పీరియడ్ T0కు సమానంగా లేనందున, ఫోరియర్ శ్రేణిగా పొందిన ఫంక్షన్ T బిందువు వద్ద అవిచ్ఛిన్నత కలిగి ఉంటుంది. దీని ఫలితంగా, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క స్పెక్ట్రమ్ పెద్ద సంఖ్యలో అధిక-ఫ్రీక్వెన్సీ హార్మోనిక్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఈ దృగ్విషయం స్పెక్ట్రల్ లీకేజ్గా పిలవబడుతుంది, మరియు ఆచరణలో దీన్ని విండోయింగ్ పరివర్తనకు ముందు సంకేతాన్ని విండో చేయడం ద్వారా తగ్గించవచ్చు. కొలత శాంపిల్ వ్యవధి T, ఫంక్షన్ పీరియడ్ T0తో సరిపోల్చినప్పుడు, ఫోరియర్ పరివర్తన తర్వాత పొందిన స్పెక్ట్రమ్ కేవలం మొదటి హార్మోనిక్‌ను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది (శాంపిల్ వ్యవధికి సమాన పీరియడ్ కలిగిన సైనస్ వేవ్), ఎందుకంటే f(x) ఫంక్షన్ ఒక సైనస్ వేవ్.

ఇతర మాటలలో, DFT ప్రోగ్రామ్‌కు మా సిగ్నల్ ఒక "సైన్ వేవ్ ముక్క" అని “తెలియదు”, కానీ సైన్ వేవ్ యొక్క వేర్వేరు భాగాల అసంతతత్వం (విచ్ఛిన్నత) వల్ల అసంతతత్వం కలిగిన ఆవర్తన ప్రమేయాన్ని శ్రేణిగా సూచించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది.

ఫలితంగా, స్పెక్ట్రమ్‌లో హార్మోనిక్స్ కనిపిస్తాయి, ఇవి మొత్తం మీద ఈ అసంతతత్వాన్ని (విచ్ఛిన్నతను) కూడా కలిగి ఉన్న ప్రమేయం ఆకారాన్ని సూచించాలి.

కాబట్టి, వేర్వేరు ఆవర్తనాలు కలిగిన అనేక సైన్‌వేవ్‌ల మొత్తంగా ఉన్న సిగ్నల్ యొక్క "సరైన" స్పెక్ట్రమ్‌ను పొందడానికి, ఒక దీని పూర్ణాంక సంఖ్యలో పీరియడ్‌లు ప్రతి సైన్‌వేవ్ సిగ్నల్ యొక్క కొలత ఆవర్తనంలో ఉండాలి. వాస్తవానికి, సిగ్నల్ కొలత యొక్క సరిపోయేంత పొడవైన కాలంతో ఈ షరతును సంతృప్తి పరచవచ్చు.

 

 

క్లుప్తమైన కాలంలో చిత్రం "చెడుగా" కనిపిస్తుంది:

 

 

 

 

In practice, it can be difficult to understand where the “real components” and where the “artifacts” caused by inconsistency of component periods and signal sampling durations or “jumps and breaks” in the waveform. Of course, the words “real components” and “artifacts” are put in quotes for a reason. The presence of many harmonics on the spectrum graph does not mean that our signal actually consists of them. It is like thinking that number 7 “consists” of numbers 3 and 4. The number 7 can be thought of as the sum of 3 and 4 – that is correct.

అలాగే మా సిగ్నల్... లేదా మరింత చెప్పాలంటే "మా సిగ్నల్" కాకుండా, మా సిగ్నల్ (నమూనా) ను పునరావృతం చేయడం ద్వారా రూపొందించబడిన ఆవర్తన ప్రమేయాన్ని నిర్దిష్ట ఆంప్లిట్యూడ్ మరియు ఫేజ్‌లతో హార్మోనిక్స్ (సైన్ వేవ్‌ల) మొత్తంగా ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు. కానీ అనేక వాస్తవ ప్రాముఖ్యత కలిగిన సందర్భాల్లో (పైన ఉన్న చిత్రాలను చూడండి), స్పెక్ట్రమ్‌లో పొందిన హార్మోనిక్స్‌ను సిక్లిక్ స్వభావం కలిగి ఉండి సిగ్నల్ ఆకారానికి గణనీయంగా దోహదపడే వాస్తవ ప్రక్రియలతో కూడా సంబంధం కలిగి ఉండటం వాస్తవానికి సాధ్యమే.

కొన్ని ఫలితాలు

1. T సెకన్ల కాలం కలిగిన వాస్తవ కొలత సిగ్నల్ ADC ద్వారా డిజిటైజ్ చేయబడింది, అంటే డిస్క్రీట్ నమూనాల సమూహం (N ముక్కలు) ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహించబడింది, ఇది N/2 ముక్కల హార్మోనిక్స్ సమూహం ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహించబడే డిస్క్రీట్ నాన్-పీరియోడిక్ స్పెక్ట్రమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

2. సిగ్నల్ వాస్తవ విలువల సమితి ద్వారా సూచించబడుతుంది. దాని DFT స్పెక్ట్రమ్ కంజుగేట్ సౌష్టవంతో కూడిన సంక్లిష్ట గుణకాల సమితి; వాటి నుండి ఆంప్లిట్యూడ్ స్పెక్ట్రమ్ పొందబడుతుంది — పాజిటివ్ ఫ్రీక్వెన్సీల వద్ద వాస్తవ నాన్-నెగటివ్ ఆంప్లిట్యూడ్‌ల (మరియు దశల) సమితి, మరియు ఆచరణలో ప్లాట్ చేయబడేది ఈ వన్-సైడెడ్ ఆంప్లిట్యూడ్ స్పెక్ట్రమే. నెగటివ్ ఫ్రీక్వెన్సీలతో కూడిన టూ-సైడెడ్ కాంప్లెక్స్ రూపం మరియు వన్-సైడెడ్ ఆంప్లిట్యూడ్/దశ రూపం ఒకే స్పెక్ట్రమ్ యొక్క సమానమైన ప్రాతినిధ్యాలు — సిగ్నల్ విశ్లేషణ కోసం సాధారణంగా వన్-సైడెడ్ ఆంప్లిట్యూడ్ స్పెక్ట్రమ్‌తో పనిచేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

3. సమయం T వద్ద కొలవబడిన సిగ్నల్ సమయం T వద్ద మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది. మేము సిగ్నల్ కొలతను ప్రారంభించే ముందు ఏమి జరిగింది మరియు తర్వాత ఏమి జరుగుతుంది అనేది శాస్త్రానికి తెలియదు. మరియు మా సందర్భంలో ఇది ఆసక్తికరం కాదు. సమయ-పరిమిత సిగ్నల్ యొక్క FFT దాని "వాస్తవ" స్పెక్ట్రమ్‌ను ఇస్తుంది, అంటే నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో దాని భాగాల ఆంప్లిట్యూడ్ మరియు పౌనఃపున్యాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతిస్తుంది.