Primjena Fourierove transformacije na analizu vibracijskog signala

Andrei Shelkovenko. Jedan od developera i osnivač Vibromere.
Prijevod članka može sadržavati netočnosti.

Furijeova transformacija i spektar signala

U mnogim slučajevima zadatak dobijanja (proračuna) je kako slijedi: spektar signala je sljedeći. Postoji ADC koji sa uzorkovanjem frekvencija Fd pretvara kontinuirani signal koji dolazi na njegov ulaz tijekom vremena T u digitalne uzorke – N komada. Zatim se ovaj niz uzoraka šalje nekom programu (na primjer FourierScope) koji daje N/2 brojčanih vrijednosti.

Da bismo provjerili radi li program ispravno, formiramo niz uzoraka kao zbroj dviju funkcija sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) i unesemo ga u program. Program je nacrtao sljedeće:

 

 

Postoje dva harmonici na grafu spektra – 5 Hz sa amplitudom od 0,5 V i 10 Hz sa amplitudom od 1 V, sve je kao u formuli originalnog signala. Sve je u redu, program radi ispravno.

To znači da ako na ulaz ADC-a dovedemo stvarni signal koji je smjesa dvije sinusoide, dobit ćemo sličan spektar koji se sastoji od dvije harmonike.

Dakle, naš stvarni izmjereni signal trajanja 5 s., digitaliziran pomoću ADC-a, tj. predstavljen diskretnim odbircima, ima diskretan neperiodičan spektar.
Sa matematičke tačke gledišta – koliko grešaka ima u ovoj frazi?

Pokušajmo sada izmjeriti isti signal u trajanju od 0,5 sek.

 

 

Ovdje nešto nije u redu! Harmonika na 10 Hz je nacrtana normalno, a umjesto harmonike na 5 Hz nalaze se neke nejasne harmonike.

Na internetu kažu da je potrebno dodati nule na kraj uzorka i spektar će se nacrtati normalno.

 

 

Uopšte nije to. Morat ću se pozabaviti teorijom. Idemo na wikipedia – izvor znanja.

Neprekidna funkcija i njen prikaz Fourierovim redom

Matematički, naš signal trajanja T sekundi je neka funkcija f(x) zadana na intervalu {0, T} (X u ovom slučaju je vrijeme). Takva funkcija se uvijek može prikazati kao zbroj harmonijskih funkcija (sinus ili kosinus) oblika:

k je broj trigonometrijske funkcije (broj harmonijske komponente, broj harmonika)
T – segment na kojem je funkcija definisana (trajanje signala)
Ak - amplituda k-te harmonijske komponente,
θk - početna faza k-te harmonijske komponente
Šta znači “predstaviti funkciju kao zbir niza”? To znači da sabiranjem vrijednosti harmonijskih komponenti Fourierovog niza u svakoj tački dobijamo vrijednost naše funkcije u toj tački.
(Preciznije, srednja kvadratna devijacija reda od funkcije f(x) težit će nuli, ali uprkos konvergenciji u srednjem kvadratu, Fourierov red funkcije ne mora, općenito govoreći, konvergirati ka njoj tačka po tačku.)
Ovaj niz se također može zapisati u obliku:

 

 

 

gdje , k-ta kompleksna amplituda.

 

ili

 

 

 

Odnos između koeficijenata (1) i (3) izražen je sljedećim formulama:

 

 

 

 

Treba napomenuti da su sva ova tri prikaza Fourierovog reda potpuno ekvivalentna. Ponekad je, kada se radi sa Fourierovim redovima, praktičnije koristiti eksponente imaginarnog argumenta umjesto sinusa i kosinusa, tj. koristiti Fourierovu transformaciju u kompleksnom obliku. Ali nama je praktičnije koristiti formulu (1), gdje je Fourierov red predstavljen kao suma kosinusa sa odgovarajućim amplitudama i fazama. Strogo govoreći, Fourierova transformacija realnog signala zaista daje kompleksne koeficijente (oblik (3)): svaki koeficijent nosi i amplitudu i fazu svoje harmonike. Za realan signal ovi kompleksni koeficijenti posjeduju konjugovanu (Hermitovu) simetriju — negativno-frekvencijska polovina jednostavno je zrcalna slika pozitivno-frekvencijske polovine i ne nosi dodatnu informaciju. Zato, polazeći od kompleksnih koeficijenata, uvijek možemo preći na realne nenegativne amplitude Ak i faze θk iz formule (1) — i upravo je taj amplitudski spektar ono što programi za analizu prikazuju grafički.

 

Zaključak:
Matematička osnova za spektralnu analizu signala je Fourierova transformacija.

Fourierova transformacija omogućuje prikaz kontinuirane funkcije f(x) (signala) definirane na intervalu {0, T} kao zbroj beskonačnog broja (beskonačni niz) trigonometrijskih funkcija (sinus i/ili kosinus) s određenim amplitudama i fazama, također razmatranih na intervalu {0, T}. Takav niz se naziva Fourierov niz.

Napomenimo još nekoliko tačaka, čije razumijevanje je potrebno za ispravnu primjenu Fourierove transformacije na analizu signala. Ako posmatramo Fourierov red (zbir sinusoida) na cijeloj X-osi, vidjet ćemo da van intervala {0, T} funkcija Fourierovog reda periodično ponavlja našu funkciju.

Na primjer, na grafikonu na Slici 7, početna funkcija je definirana na intervalu {-T\2, +T\2}, a Fourierov niz predstavlja periodičnu funkciju definiranu na cijeloj x-osi.

To je zato što su same sinusoide periodične funkcije, pa će i njihov zbir biti periodična funkcija.

Dakle:

Naša izvorna funkcija je neprekidna, neperiodična funkcija definisana na nekom segmentu dužine T.
Spektar ove funkcije je diskretan, tj. predstavljen je beskonačnim nizom harmonijskih komponenti – Fourierovim redom.
Zapravo, Fourierov niz definira neku periodičnu funkciju, koja se podudara s našom funkcijom na intervalu {0, T}, ali za nas ta periodičnost nije bitna.

Dalje.

Periodi harmonijskih komponenti su višekratnici intervala {0, T}, na kojem je početna funkcija f(x) definirana. Drugim riječima, periodi harmonika su višekratnici trajanja mjerenja signala. Na primjer, period prvog harmonika u Fourierovom nizu jednak je intervalu T u kojem je funkcija f(x) definirana. Period drugog harmonika u Fourierovom nizu jednak je intervalu T/2. I tako dalje (vidi Sliku 8).

Shodno tome, frekvencije harmonijskih komponenti su višekratnici od 1/T. Odnosno, frekvencije harmonijskih komponenti Fk su Fk= k\T, gdje k uzima vrijednosti od 0 do ∞, na primjer, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (pri nultoj frekvenciji, konstantna komponenta).

Neka je naša početna funkcija signal snimljen tijekom T=1 sekunde. Tada će period prvog harmonika biti jednak trajanju našeg signala T1=T=1 sekunda, a frekvencija harmonika jednaka je 1 Hz. Period drugog harmonika bit će jednak trajanju našeg signala podijeljenom s 2 (T2=T/2=0.5 sek.) i frekvencija jednaka 2 Hz. Za treći harmonik, T3=T/3 sekundi, a frekvencija je 3 Hz. I tako dalje.

Korak između harmonika u ovom slučaju je 1 Hz.

Dakle, signal sa trajanjem od 1 sekunde može se rastaviti na harmonijske komponente (kako bi se dobio spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 1 Hz.
Da bi se rezolucija povećala za faktor 2 na 0,5 Hz, potrebno je povećati trajanje mjerenja za faktor 2 na 2 sekunde. Signal od 10 sekundi može se rastaviti na harmonijske komponente (spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 0,1 Hz. Ne postoji drugi način da se poveća frekvencijska rezolucija. Ovu vezu možete istražiti sa našim Kalkulator rezolucije FFT.

Postoji način da se umjetno poveća trajanje signala dodavanjem nula u niz uzoraka. Ali to ne povećava stvarnu frekvencijsku rezoluciju.

Diskretni signali i diskretna Fourierova transformacija

Razvojem digitalne tehnologije promijenili su se načini čuvanja podataka mjerenja (signala). Dok se ranije signal mogao snimiti na magnetofon i čuvati na traci u analognom obliku, sada se signali digitalizuju i čuvaju u datotekama u memoriji računara kao skup brojeva (odbiraka).

Uobičajena shema mjerenja signala i digitalizacije izgleda ovako.

Mjerni pretvarač —- Normalizator signala —- ADC —– Računar
(Slika 9. Shema mjernog kanala)

Signal sa mjernog pretvarača ide na ADC tokom vremenskog perioda T. Očitavanja signala (uzorkovanje) primljena tokom vremena T prenose se na računar i čuvaju u memoriji.

Kakvi su zahtjevi za parametre digitalizacije signala? Uređaj koji pretvara ulazni analogni signal u diskretni kod (digitalni signal) naziva se analogni-digitalni konverter (ADC) (© Wiki).

Jedan od osnovnih parametara ADC-a je maksimalna frekvencija uzorkovanja – frekvencija diskretizacije signala koji je neprekidan u vremenu. Frekvencija uzorkovanja mjeri se u hercima. ((© Wiki))

Prema Kotelnikovljevom teoremu, ako kontinuirani signal ima spektar ograničen frekvencijom Fmax, on se može potpuno i jednoznačno rekonstruisati iz svojih diskretnih odbiraka uzetih u vremenskim intervalima Δt ≤ 1/(2*Fmax), tj. sa frekvencijom uzorkovanja Fd ≥ 2*Fmax, gdje je Fd – frekvencija uzorkovanja; Fmax – maksimalna frekvencija spektra signala. Drugim riječima, frekvencija digitalizacije signala (frekvencija uzorkovanja ADC-a) mora biti najmanje dva puta veća od maksimalne frekvencije signala koji želimo izmjeriti.

A šta će se dogoditi ako uzorke uzimamo manjom frekvencijom nego što zahtijeva Kotelnikovljeva teorema?

U ovom slučaju postoji “aliasingIn this case there is an “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), in which a high frequency signal after digitization turns into a low frequency signal, which in fact does not exist. In Fig. 11 the red sine wave of high frequency is the real signal. The blue sine wave of lower frequency is a fictitious signal, arising due to the fact that during the sampling time has time to pass more than half a period of the high-frequency signal.

 

Da bi se izbjegao aliasing efekt, specijalni anti-aliasing filter (niskopropusni filtar) se postavlja prije ADC-a. Prolazi frekvencije niže od polovine frekvencije uzorkovanja ADC-a i odseca više frekvencije.

Da bi se izračunao spektar signala iz njegovih diskretnih uzoraka, koristi se diskretna Fourierova transformacija (DFT) se koristi. Napominjem opet da je spektar diskretnog signala “po definiciji” ograničen na frekvenciju Fmax manju od polovine frekvencije uzorkovanja Fd. Stoga se spektar diskretnog signala može predstaviti zbirom konačan broj harmonika, za razliku od beskonačnog zbira kod Fourierovog niza kontinuiranog signala, čiji spektar može biti neograničen. Prema Kotelnikovljevoj teoremi, maksimalna frekvencija harmonika mora biti takva da na nju otpadaju najmanje dva uzorka, pa je broj harmonika jednak polovini broja uzoraka diskretnog signala. Odnosno, ako uzorak sadrži N odbiraka, broj harmonika u spektru bit će N/2.

Razmotrimo sada diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT).

Upoređujući ga s Fourierovim redom

 

Kao što možemo vidjeti, oni se poklapaju, osim što je vrijeme u FFT-u diskretno, a broj harmonika ograničen na N/2, što je polovina broja uzoraka.

Formule DFT-a su napisane u bezdimenzionalnim cjelobrojnim varijablama k, s, gdje je k broj uzoraka signala, a s broj spektralnih komponenti.
Vrijednost s pokazuje broj punih harmonijskih oscilacija po periodu T (trajanju mjerenja signala). Diskretna Fourierova transformacija koristi se za numeričko određivanje amplituda i faza harmonika, tj. “na računaru”.

Kao što je već rečeno gore, pri rastavljanju neperiodične funkcije (našeg signala) na Fourierov niz, dobiveni Fourierov niz zapravo odgovara periodičnoj funkciji s periodom T (Slika 12).

 

 

Kao što se vidi na sl. 12, funkcija f(x) je periodična sa periodom T0. Međutim, zbog činjenice da dužina mjernog uzorka T nije jednaka periodi funkcije T0, funkcija dobijena kao Fourierov red ima diskontinuitet u točki T. Kao rezultat, spektar ove funkcije sadržavat će veliki broj visokofrekvencijskih harmonika. Ova pojava poznata je kao spektralno procurijevanje, a u praksi se smanjuje primjenom prozorska funkcija signalu prije transformacije. Ako bi trajanje mjernog uzorka T podudaralo sa periodom funkcije T0, tada bi spektar dobiven nakon Fourierove transformacije sadržavao samo prvi harmonik (sinusoid sa periodom jednakim trajanju uzorka), jer je funkcija f(x) sinusoid.

Drugim riječima, DFT program “ne zna” da je naš signal “isječak sinusoide”, nego pokušava predstaviti u obliku niza periodičnu funkciju koja ima diskontinuitet zbog prekida odvojenih dijelova sinusoide.

Kao rezultat toga, u spektru se pojavljuju harmonike, koje bi, u cjelini, trebale predstavljati oblik funkcije, uključujući i ovaj diskontinuitet.

Dakle, da bi se dobio “ispravan” spektar signala koji je zbir nekoliko sinusoida s različitim periodima, potrebno je da cijeli broj perioda svaka sinusoida bi trebala biti prisutna na mjernom periodu signala. U praksi, ovaj uslov se može ispuniti sa dovoljno dugim trajanjem mjerenja signala.

 

 

Pri kraćem trajanju slika će izgledati “gore”:

 

 

 

 

U praksi može biti teško razumjeti gdje su “stvarne komponente”, a gdje “artefakti” uzrokovani neusklađenošću perioda komponenti i trajanja uzorkovanja signala ili “skokovima i prelomima” u obliku signala. Naravno, riječi “stvarne komponente” i “artefakti” stavljene su pod navodnike s razlogom. Prisustvo mnogih harmonika na grafikonu spektra ne znači da se naš signal zaista sastoji od njih. To je kao da mislimo da se broj 7 “sastoji” od brojeva 3 i 4. Broj 7 se može smatrati zbirom 3 i 4 – to je tačno.

Tako se i naš signal… ili tačnije, čak ni “naš signal”, nego periodična funkcija sastavljena ponavljanjem našeg signala (uzorka), može predstaviti kao zbir harmonika (sinusoida) s određenim amplitudama i fazama. Ali u mnogim slučajevima važnim za praksu (vidi slike iznad) zaista je moguće dobivene harmonike u spektru povezati i sa stvarnim procesima ciklične prirode koji značajno doprinose obliku signala.

Neki rezultati

1. Stvarni izmjereni signal trajanja T sekundi, digitalizovan pomoću ADC-a, tj. predstavljen skupom diskretnih uzoraka (N komada), ima diskretni neperiodični spektar predstavljen skupom harmonika (N/2 komada).

2. Signal je predstavljen skupom realnih vrijednosti. Njegov DFT spektar je skup kompleksnih koeficijenata sa konjugovanom simetrijom; iz njih se dobija amplitudski spektar — skup realnih nenegativnih amplituda (i faza) na pozitivnim frekvencijama, i upravo je taj jednostrani amplitudski spektar ono što se u praksi prikazuje grafički. Dvostrani kompleksni oblik sa negativnim frekvencijama i jednostrani amplitudsko-fazni oblik su ekvivalentni prikazi istog spektra — za analizu signala obično je praktičnije raditi sa jednostranim amplitudskim spektrom.

3. Signal izmjeren u vremenu T određen je samo u vremenu T. Šta se događalo prije nego što smo počeli mjeriti signal i šta će se dogoditi poslije toga, nauci je nepoznato. A u našem slučaju to nije ni zanimljivo. FFT vremenski ograničenog signala daje njegov “pravi” spektar u smislu da pod određenim uslovima omogućava izračunavanje amplitude i frekvencije njegovih komponenti.