ਵਾਈਬ੍ਰੇਸ਼ਨ ਸਿਗਨਲਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਈ ਫੂਰੀਏ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ

ਆਂਦਰੇਈ ਸ਼ੇਲਕੋਵੇਂਕੋ। Vibromera ਦੇ ਵਿਕਾਸਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਅਤੇ ਸੰਸਥਾਪਕ।
ਇਸ ਲੇਖ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਫੂਰੀਏ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਅਤੇ ਸਿਗਨਲ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ

ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ (ਗਣਨਾ ਕਰਨ) ਦਾ ਕੰਮ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਸਿਗਨਲ ਦਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ। ਇੱਕ ADC ਹੈ, ਜੋ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਨਾਲ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ Fd ਲਗਾਤਾਰ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ, ਜੋ ਸਮਾਂ T ਦੌਰਾਨ ਇਸਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਡਿਜੀਟਲ ਸੈਂਪਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ – N ਟੁਕੜੇ। ਫਿਰ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਇਹ ਐਰੇ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ FourierScope) ਜੋ N/2 ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੋ sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਐਰੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੇ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆ ਖਿੱਚਿਆ:

 

 

ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੋ ਹਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ – 0.5 V ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਾਲ 5 Hz ਅਤੇ 1 V ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਾਲ 10 Hz, ਸਭ ਕੁਝ ਮੂਲ ਸਿਗਨਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਸਭ ਠੀਕ ਹੈ, ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਾਈਨਸਾਈਡਾਂ ਦੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਤੋਂ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਸਿਗਨਲ ADC ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਮਿਲੇਗਾ।

ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡਾ ਅਸਲੀ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸਿਗਨਲ 5 ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦਾ, ADC ਦੁਆਰਾ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਭਾਵ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਅਸੰਤਤ (discrete) ਦੁਆਰਾ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੰਤਤ ਗੈਰ-ਆਵਰਤੀ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ।
ਗਣਿਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ – ਇਸ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਗਲਤੀਆਂ ਹਨ?

ਹੁਣ ਆਓ ਉਸੇ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ 0.5 ਸਕਿੰਟ ਲਈ ਮਾਪਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ।

 

 

ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਗਲਤ ਹੈ! 10 Hz 'ਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ 5 Hz 'ਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦੀ ਬਜਾਏ ਕੁਝ ਅਸਪਸ਼ਟ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਹਨ।

ਇੰਟਰਨੈੱਟ 'ਤੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੈਂਪਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।

 

 

ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਮੈਨੂੰ ਸਿਧਾਂਤ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਚਲੋ ਚੱਲੀਏ ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ – ਗਿਆਨ ਦਾ ਸਰੋਤ।

ਲਗਾਤਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਫੂਰੀਏ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ

ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, T ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਾਲਾ ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ ਅੰਤਰਾਲ {0, T} 'ਤੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਹੈ (X ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ)। ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ) ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

k ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨੰਬਰ ਹੈ (ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦਾ ਨੰਬਰ, ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦਾ ਨੰਬਰ)
T – ਉਹ ਖੰਡ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ (ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਮਿਆਦ)
Ak- k-ਵੇਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ,
θk- k-ਵੇਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੜਾਅ
“ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ” ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੂਰੀਏ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
(ਹੋਰ ਸਖਤੀ ਨਾਲ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਤੋਂ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਮਾਧ ਵਰਗ ਵਿਚਲਨ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਰੁਝਾਨ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਮਾਧ ਵਰਗ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਫੂਰੀਏ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਿੰਦੂ-ਦਰ-ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। )
ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

 

 

 

ਜਿੱਥੇ , k-ਵਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ।

 

ਜਾਂ

 

 

 

ਗੁਣਾਂਕਾਂ (1) ਅਤੇ (3) ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

 

 

 

 

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੂਰੀਏ ਲੜੀ ਦੇ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ ਫੂਰੀਏ ਲੜੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਥਾਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਦੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਵਰਤਣਾ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ ਕੰਪਲੈਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੂਰੀਏ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਵਰਤਣਾ। ਪਰ ਸਾਡੇ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ (1) ਵਰਤਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਫੂਰੀਏ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸਬੰਧਿਤ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਕਹੀਏ ਤਾਂ, ਇੱਕ ਅਸਲ (real) ਸਿਗਨਲ ਦਾ ਫੂਰੀਏ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਾਂਕ (ਫਾਰਮ (3)) ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਆਪਣੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਦੋਵੇਂ ਲੈ ਕੇ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਿਗਨਲ ਲਈ ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਾਂਕ ਸੰਯੁਗਮ (ਹਰਮੀਸ਼ੀਅਨ) ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ — ਨੈਗੇਟਿਵ-ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਵਾਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਸਿਰਫ਼ ਪਾਜ਼ਿਟਿਵ-ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਵਾਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਫਾਰਮੂਲਾ (1) ਦੀਆਂ ਅਸਲ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ Ak ਅਤੇ ਫੇਜ਼ਾਂ θk ਵੱਲ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ — ਅਤੇ ਇਹੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।

 

ਸਿੱਟਾ:
ਸਿਗਨਲਾਂ ਦੇ ਸਪੈਕਟਰਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦਾ ਗਣਿਤਕ ਆਧਾਰ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਹੈ।

ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਅੰਤਰਾਲ {0, T} ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) (ਸਿਗਨਲ) ਨੂੰ ਉਸੇ ਅੰਤਰਾਲ {0, T} ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰੇ ਗਏ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (ਸਾਈਨ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ) ਦੀ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ (ਅਨੰਤ ਲੜੀ) ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਝ ਹੋਰ ਗੱਲਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਸਿਗਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਦੀ ਸਹੀ ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ (ਸਾਈਨਸਾਈਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ) ਨੂੰ ਪੂਰੇ X-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲ {0, T} ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮੇਂ-ਸਮੇਂ ਤੇ ਦੁਹਰਾਏਗਾ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ {-T\2, +T\2} ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਪੂਰੇ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨਸਾਈਡਾਂ ਖੁਦ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇਗਾ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ:

ਸਾਡਾ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ T ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਕਿਸੇ ਖੰਡ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵੱਖਰਿਤ (discrete) ਹੈ, ਭਾਵ ਇਸਨੂੰ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ – ਇੱਕ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ – ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਕਿਸੇ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ {0, T} ਉੱਤੇ ਸਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਡੇ ਲਈ ਇਹ ਆਵਰਤੀਪਣ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਅੱਗੇ।

ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੇ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ (periods), ਅੰਤਰਾਲ {0, T} ਦੇ ਗੁਣਜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੇ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਸਿਗਨਲ ਮਾਪ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੇ ਗੁਣਜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦਾ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ T ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦਾ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ T/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ)।

ਇਸ ਅਨੁਸਾਰ, ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ 1/T ਦੇ ਗੁਣਜ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਭਾਵ, ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ Fk, Fk= k\T ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k, 0 ਤੋਂ ∞ ਤੱਕ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (ਜ਼ੀਰੋ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਉੱਤੇ, ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹਿੱਸਾ)।

ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡਾ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, T=1 ਸਕਿੰਟ ਦੌਰਾਨ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਿਗਨਲ ਹੈ। ਤਦ ਪਹਿਲੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦਾ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਸਾਡੇ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਮਿਆਦ T1=T=1 ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 1 Hz ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦਾ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਸਾਡੇ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਮਿਆਦ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ (T2=T/2=0.5 ਸਕਿੰਟ) ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 2 Hz ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲਈ, T3=T/3 ਸਕਿੰਟ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 3 Hz ਹੈ। ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਵਿਚਕਾਰ ਸਟੈੱਪ 1 Hz ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 1 ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ 1 Hz ਦੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ)।
ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਗੁਣਾ ਵਧਾ ਕੇ 0.5 Hz ਕਰਨ ਲਈ, ਮਾਪ ਦੀ ਮਿਆਦ ਨੂੰ 2 ਗੁਣਾ ਵਧਾ ਕੇ 2 ਸਕਿੰਟ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਇੱਕ 10-ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ 0.1 Hz ਦੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹਿੱਸਿਆਂ (ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ) ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਹੋਰ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਸਾਡੇ FFT ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ.

ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਐਰੇ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਜੋੜ ਕੇ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਮਿਆਦ ਨੂੰ ਨਕਲੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਪਰ ਇਹ ਅਸਲ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਵਧਾਉਂਦਾ।

ਵੱਖਰਿਤ ਸਿਗਨਲ ਅਤੇ ਵੱਖਰਿਤ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ

ਡਿਜੀਟਲ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨਾਲ ਮਾਪ ਡਾਟਾ (ਸਿਗਨਲਾਂ) ਸਟੋਰ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਬਦਲ ਗਏ ਹਨ। ਜਦਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ ਟੇਪ ਰਿਕਾਰਡਰ ਉੱਤੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ ਅਤੇ ਟੇਪ ਉੱਤੇ ਐਨਾਲਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਟੋਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਹੁਣ ਸਿਗਨਲਾਂ ਨੂੰ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਮੈਮਰੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਸੈਂਪਲਾਂ) ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਫਾਈਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਟੋਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਿਗਨਲ ਮਾਪ ਅਤੇ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਆਮ ਸਕੀਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਦੀ ਹੈ।

ਮਾਪਣ ਟ੍ਰਾਂਸਡਿਊਸਰ —- ਸਿਗਨਲ ਨਾਰਮਲਾਈਜ਼ਰ —- ADC —– ਕੰਪਿਊਟਰ
(ਚਿੱਤਰ 9 ਮਾਪਣ ਚੈਨਲ ਦੀ ਸਕੀਮੈਟਿਕ)

ਮਾਪਣ ਟ੍ਰਾਂਸਡਿਊਸਰ ਤੋਂ ਸਿਗਨਲ, ਸਮੇਂ T ਦੀ ਮਿਆਦ ਲਈ ADC ਨੂੰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ T ਦੌਰਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈਆਂ ਸਿਗਨਲ ਰੀਡਿੰਗਾਂ (ਸੈਂਪਲਿੰਗ) ਕੰਪਿਊਟਰ ਨੂੰ ਭੇਜੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਮੈਮਰੀ ਵਿੱਚ ਸੇਵ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਿਗਨਲ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਲਈ ਕੀ ਲੋੜਾਂ ਹਨ? ਇੱਕ ਡਿਵਾਈਸ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਐਨਾਲਾਗ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ ਵੱਖਰਿਤ ਕੋਡ (ਡਿਜੀਟਲ ਸਿਗਨਲ) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਐਨਾਲਾਗ-ਟੂ-ਡਿਜੀਟਲ ਕਨਵਰਟਰ (ADC) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (© Wiki)।

ADC ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਰੇਟ ਹੈ – ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ। ਸੈਂਪਲ ਰੇਟ ਹਰਟਜ਼ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ((© Wiki))

ਕੋਟੈਲਨਿਕੋਵ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਸਿਗਨਲ ਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ Fmax ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ Δt ≤ 1/(2*Fmax) ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਲਏ ਗਏ ਇਸਦੇ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਸੈਂਪਲਾਂ ਤੋਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਨਿਰਮਾਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ Fd ≥ 2*Fmax ਦੀ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਨਾਲ, ਜਿੱਥੇ Fd – ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੈ; Fmax – ਸਿਗਨਲ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿਗਨਲ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ (ADC ਦੀ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ) ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਮਾਪੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।

ਅਤੇ ਜੇ ਅਸੀਂ ਕੋਟੇਲਨੀਕੋਵ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਲੋੜੀਂਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਨਾਲ ਸੈਂਪਲ ਲਈਏ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ “ਅਲਾਈਜ਼ਿੰਗ (aliasing)” ਪ੍ਰਭਾਵ (ਸਟ੍ਰੋਬੋਸਕੋਪਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ, ਮੋਇਰੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਡਿਜੀਟਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਉੱਚ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਗਨਲ ਇੱਕ ਨੀਵੀਂ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਗਨਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਲਾਲ ਰੰਗ ਦੀ ਉੱਚ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਾਲੀ ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਅਸਲੀ ਸਿਗਨਲ ਹੈ। ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੀ ਨੀਵੀਂ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਾਲੀ ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸਿਗਨਲ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਲਈ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਉੱਚ-ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਗਨਲ ਦੇ ਅੱਧੇ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੰਘ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

 

ਏਲਿਆਸਿੰਗ ਪ੍ਰਭਾਵ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ADC ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਐਂਟੀ-ਏਲਿਆਸ ਫਿਲਟਰ (ਲੋ-ਪਾਸ ਫਿਲਟਰ) ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ADC ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੇ ਅੱਧੇ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੰਘਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਚ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਵੱਖਰਿਤ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਿਗਨਲ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖਰਿਤ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ (DFT) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਖਰਿਤ ਸਿਗਨਲ ਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ “ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ” ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ Fd ਦੇ ਅੱਧੇ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ Fmax ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੱਖਰਿਤ ਸਿਗਨਲ ਦੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਲਈ ਅਨੰਤ ਜੋੜ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਅਸੀਮਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੋਟੇਲਨੀਕੋਵ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਅਜਿਹੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਸੈਂਪਲ ਹੋਣ, ਇਸ ਲਈ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਵੱਖਰਿਤ ਸਿਗਨਲ ਦੇ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੱਧੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇ ਸੈਂਪਲ ਵਿੱਚ N ਸੈਂਪਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਖਿਆ N/2 ਹੋਵੇਗੀ।

ਹੁਣ ਵੱਖਰਿਤ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ (DFT) ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਇਸਦੀ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ

 

ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ, ਸਿਵਾਏ ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਕਿ FFT ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਵੱਖਰਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਖਿਆ N/2 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜੋ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ।

DFT ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਯਾਮ-ਰਹਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ k, s ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਸਿਗਨਲ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, s ਸਪੈਕਟਰਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਮੁੱਲ s ਪ੍ਰਤੀ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ T (ਸਿਗਨਲ ਮਾਪ ਦੀ ਮਿਆਦ) ਪੂਰੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਓਸੀਲੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵੱਖਰਿਤ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਭਾਵ “ਕੰਪਿਊਟਰ ਉੱਤੇ” ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਉੱਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ) ਨੂੰ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਅਸਲ ਵਿੱਚ T ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12)।

 

 

ਜਿਵੇਂ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) T0 ਮਿਆਦ ਨਾਲ ਆਵਰਤੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਕਾਰਨ ਕਿ ਮਾਪਣ ਸੈਂਪਲ ਲੰਬਾਈ T, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮਿਆਦ T0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਫੂਰੀਅਰ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ T ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਿਘਨ (discontinuity) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਉੱਚ-ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਵਰਤਾਰੇ ਨੂੰ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਲੀਕੇਜਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਿਹਾਰਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਿੰਡੋਇੰਗ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ। ਜੇ ਮਾਪਣ ਸੈਂਪਲ T ਦੀ ਮਿਆਦ ਫੰਕਸ਼ਨ T0 ਦੀ ਮਿਆਦ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ, ਤਾਂ ਫੂਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲਾ ਹਾਰਮੋਨਿਕ (ਸੈਂਪਲ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਾਈਨਸਾਈਡ) ਹੁੰਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਇੱਕ ਸਾਈਨਸਾਈਡ ਹੈ।

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, DFT ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ “ਪਤਾ ਨਹੀਂ” ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ ਇੱਕ “ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਦਾ ਟੁਕੜਾ” ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਆਵਧਿਕ (periodic) ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚ੍ਛੇਦ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਬਰੇਕ (discontinuity) ਹੈ।

ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ, ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਇਸ ਬਰੇਕ ਸਮੇਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੀਰੀਅਡਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਈ ਸਾਈਨਸਾਈਡਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨਲ ਦਾ ਇੱਕ “ਸਹੀ” ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪੀਰੀਅਡਾਂ ਦੀ ਹਰੇਕ ਸਾਈਨਸਾਈਡ ਸਿਗਨਲ ਦੇ ਮਾਪ ਪੀਰੀਅਡ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਵਿਹਾਰਕ ਤੌਰ ’ਤੇ, ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਸਿਗਨਲ ਮਾਪ ਦੀ ਕਾਫ਼ੀ ਲੰਮੀ ਮਿਆਦ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

 

 

ਘੱਟ ਮਿਆਦ ’ਤੇ ਤਸਵੀਰ “ਬਦਤਰ” ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗੀ:

 

 

 

 

ਵਿਹਾਰਕ ਤੌਰ ’ਤੇ, ਇਹ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੱਥੇ “ਅਸਲ ਭਾਗ” ਹਨ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਪੀਰੀਅਡਾਂ ਅਤੇ ਸਿਗਨਲ ਸੈਂਪਲਿੰਗ ਮਿਆਦਾਂ ਵਿਚਲੀ ਬੇਮੇਲਤਾ ਜਾਂ ਵੇਵਫਾਰਮ ਵਿੱਚ “ਜੰਪ ਅਤੇ ਬਰੇਕ” ਕਾਰਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ “ਆਰਟੀਫੈਕਟ” ਹਨ। ਬੇਸ਼ੱਕ, “ਅਸਲ ਭਾਗ” ਅਤੇ “ਆਰਟੀਫੈਕਟ” ਸ਼ਬਦ ਕਿਸੇ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਹੀ ਕੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਗ੍ਰਾਫ ’ਤੇ ਕਈ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਸੋਚਣਾ ਕਿ ਸੰਖਿਆ 7 “ਬਣੀ” ਹੈ ਸੰਖਿਆ 3 ਅਤੇ 4 ਤੋਂ। ਸੰਖਿਆ 7 ਨੂੰ 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ – ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ… ਜਾਂ ਸਗੋਂ “ਸਾਡਾ ਸਿਗਨਲ” ਵੀ ਨਹੀਂ, ਪਰ ਸਾਡੇ ਸਿਗਨਲ (ਸੈਂਪਲ) ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਆਵਧਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖਾਸ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ (ਸਾਈਨ ਵੇਵਜ਼) ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਕਈ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ (ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵੇਖੋ) ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰੀ ਸੁਭਾਅ ਵਾਲੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਗਨਲ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਸਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।

ਕੁਝ ਨਤੀਜੇ

1. T ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਸਲ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸਿਗਨਲ, ADC ਦੁਆਰਾ ਡਿਜੀਟਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਭਾਵ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ ਸੈਂਪਲਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ (N ਟੁਕੜੇ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ, ਦਾ ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ ਗੈਰ-ਆਵਧਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਦੇ ਸੈੱਟ (N/2 ਟੁਕੜੇ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

2. ਸਿਗਨਲ ਨੂੰ ਅਸਲ (real) ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ DFT ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਸੰਯੁਗਮ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ; ਇਹਨਾਂ ਤੋਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ — ਪਾਜ਼ਿਟਿਵ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀਆਂ 'ਤੇ ਅਸਲ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ (ਅਤੇ ਫੇਜ਼ਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੈਗੇਟਿਵ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀਆਂ ਵਾਲਾ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਕੰਪਲੈਕਸ ਰੂਪ ਅਤੇ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ/ਫੇਜ਼ ਰੂਪ ਇੱਕੋ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਦੀਆਂ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹਨ — ਸਿਗਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

3. T ਸਮੇਂ ’ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸਿਗਨਲ ਸਿਰਫ਼ T ਸਮੇਂ ’ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਗਨਲ ਮਾਪਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਹ ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇਹ ਦਿਲਚਸਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਮੇਂ-ਸੀਮਿਤ ਸਿਗਨਲ ਦਾ FFT ਇਸਦਾ “ਅਸਲ” ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਇਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।