Uporaba Fourierjeve transformacije za analizo vibracijskih signalov.

Andrei Shelkovenko. Eden od razvijalcev in ustanovitelj podjetja Vibromera.
Prevod članka lahko vsebuje netočnosti.

1. Fourierova transformacija in spekter signala
   V mnogih primerih je naloga pridobivanja (izračunavanja) spektra signala naslednja. Obstaja ADC, ki s frekvenco vzorčenja Fd pretvori zvezni signal, ki pride na njegov vhod v času T, v digitalne vzorce - N kosov. Nato se ta niz vzorcev posreduje nekemu programu (na primer FourierScope), ki izpiše N/2 nekaterih številskih vrednosti.
   Da bi preverili, ali program deluje pravilno, oblikujemo polje vzorcev kot vsoto dveh sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) in ga vnesemo v program. Program je narisal naslednje:

 

 

Na spektralnem grafu sta dve harmoniki - 5 Hz z amplitudo 0,5 V in 10 Hz z amplitudo 1 V, vse je tako kot v formuli izvirnega signala. Vse je v redu, grogram deluje pravilno.

To pomeni, da če na vhod ADC pošljemo realni signal iz mešanice dveh sinusoid, bomo dobili podoben spekter, sestavljen iz dveh harmonskih.

Tako je naš pravi izmerjeni signal trajanja 5 sekund, digitaliziran z ADC, tj. predstavljen z diskretnim vzorcev, ima diskretni neperiodični spekter.
Koliko napak je v tem stavku z matematičnega vidika?

Poskusimo izmeriti isti signal za 0,5 sekunde.

 

 

Tu je nekaj narobe! Harmonika pri 10 Hz je narisana normalno, namesto harmonike pri 5 Hz pa je nekaj nejasnih harmonik.

Na internetu pravijo, da je treba na koncu vzorca dodati ničle in spekter se bo normalno izrisal.

 

 

To sploh ni tako. Moram se ukvarjati s teorijo. Pojdimo na wikipedia - vir znanja.

2. Plinska funkcija in njena predstavitev po Fourierjevi vrsti
Matematično gledano je naš signal s trajanjem T sekund nekakšna funkcija f(x), podana na intervalu {0, T} (X je v tem primeru čas). Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot vsoto harmonskih funkcij (sinus ali kosinus) v obliki:

k je število trigonometrične funkcije (število harmonske komponente, število harmonske)
T - odsek, kjer je funkcija definirana (trajanje signala)
Ak - amplituda k-te harmonske komponente,
θk- začetna faza k-te harmonske komponente
Kaj pomeni "predstaviti funkcijo kot vsoto vrst"? To pomeni, da s seštevanjem vrednosti harmonskih komponent Fourierove vrste v vsaki točki dobimo vrednost naše funkcije v tej točki.
(Natančneje, povprečni kvadratni odklon vrste od funkcije f(x) bo težil k ničli, vendar kljub povprečni kvadratni konvergenci ni nujno, da Fourierova vrsta funkcije konvergira k njej točko za točko. )
To serijo lahko zapišemo tudi v obliki:

 

 

 

kjer je , k-ta kompleksna amplituda.

 

ali

 

 

 

Razmerje med koeficientoma (1) in (3) je izraženo z naslednjimi formulami:

 

 

 

 

Upoštevajte, da so vse te tri predstavitve Fourierovih vrst popolnoma enakovredne. Včasih je pri delu s Fourierovimi vrstami namesto sinusov in kosinusov bolj priročno uporabiti eksponente imaginarnega argumenta, tj. uporabiti Fourierovo transformacijo v kompleksni obliki. Za nas pa je priročno, da uporabimo formulo (1), kjer je Fourierova vrsta predstavljena kot vsota kosinusov z ustreznimi amplitudami in fazami. V vsakem primeru je napačno reči, da bo rezultat Fourierove transformacije realnega signala kompleksna harmonska amplituda. Kot pravilno navaja Wiki: "Fourierova transformacija (ℱ) je operacija, ki eno funkcijo realne spremenljivke preslika v drugo funkcijo prav tako realne spremenljivke."

 

Spodnja vrstica:
Matematična osnova za spektralno analizo signalov je Fourierova transformacija.

S Fourierovo transformacijo lahko predstavimo zvezno funkcijo f(x) (signal), določeno na intervalu {0, T}, kot vsoto neskončnega števila (neskončne vrste) trigonometričnih funkcij (sinus in/ali kosinus) z določenimi amplitudami in fazami, ki prav tako veljajo na intervalu {0, T}. Takšno vrsto imenujemo Fourierova vrsta.

Upoštevajte še nekaj točk, katerih razumevanje je potrebno za pravilno uporabo Fourierjeve transformacije pri analizi signalov. Če obravnavamo Fourierovo vrsto (vsoto sinusoid) na celotni osi X, bomo videli, da bo zunaj intervala {0, T} funkcija Fourierove vrste periodično ponavljala našo funkcijo.

V grafu na sliki 7 je na primer izvirna funkcija opredeljena na intervalu {-T\2, +T\2}, Fourierova vrsta pa predstavlja periodično funkcijo, opredeljeno na celotni osi x.

To je zato, ker so sinusoide same po sebi periodične funkcije, zato bo tudi njihova vsota periodična funkcija.

Tako:

Naša izvirna funkcija je zvezna, neperiodična funkcija, definirana na nekem odseku dolžine T.
Spekter te funkcije je diskreten, tj. predstavljen je kot neskončna vrsta harmonskih komponent - Fourierova vrsta.
Dejansko Fourierova vrsta definira neko periodično funkcijo, ki sovpada z našo funkcijo na intervalu {0, T}, vendar za nas ta periodičnost ni bistvena.

Naslednji.

Obdobja harmonskih komponent so večkratniki intervala {0, T}, na katerem je definirana začetna funkcija f(x). Z drugimi besedami, periode harmonskih komponent so večkratniki trajanja merjenja signala. Na primer, perioda prve harmonske v Fourierjevi vrsti je enaka intervalu T, na katerem je definirana funkcija f(x). Perioda druge harmonske v Fourierjevi vrsti je enaka intervalu T/2. In tako naprej (glej sliko 8).

V skladu s tem so frekvence harmonskih komponent večkratniki 1/T. To pomeni, da so frekvence harmonskih komponent Fk Fk= k\T, kjer ima k vrednosti od 0 do ∞, na primer k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (pri ničelni frekvenci, konstantna komponenta).

Naj bo naša začetna funkcija signal, posnet med T=1 s. Potem bo perioda prve harmonske enaka trajanju našega signala T1=T=1 s, frekvenca harmonske pa je enaka 1 Hz. Obdobje druge harmonske bo enako trajanju našega signala, deljenemu z 2 (T2=T/2=0,5 s), frekvenca pa je enaka 2 Hz. Za tretjo harmonsko je T3=T/3 sekunde, frekvenca pa je 3 Hz. In tako naprej.

Korak med harmonskimi je v tem primeru 1 Hz.

Tako lahko signal, ki traja 1 s, razgradimo na harmonske komponente (in dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 1 Hz.
Za povečanje ločljivosti za faktor 2 do 0,5 Hz je treba trajanje meritve podaljšati za faktor 2 do 2 s. 10-sekundni signal je mogoče razgraditi na harmonične komponente (spekter) s frekvenčno ločljivostjo 0,1 Hz. Drugih načinov za povečanje frekvenčne ločljivosti ni.

Trajanje signala lahko umetno podaljšate tako, da v niz vzorcev dodate ničle. Vendar to ne poveča dejanske frekvenčne ločljivosti.

3. Diskretni signali in diskretna Fourierova transformacija
Z razvojem digitalne tehnologije so se spremenili načini shranjevanja merilnih podatkov (signalov). Medtem ko je bilo prej mogoče signal posneti na magnetofon in ga shraniti na trak v analogni obliki, so zdaj signali digitalizirani in shranjeni v datoteke v računalniškem pomnilniku kot niz številk (števcev).

Običajna shema merjenja in digitalizacije signala je naslednja.

Merilni pretvornik -- Normalizator signala -- ADC -- Računalnik
(Slika 9 Shema merilnega kanala)

Signal iz merilnega pretvornika gre v ADC za časovno obdobje T. Odčitki signala (vzorčenje), prejeti v času T, se prenesejo v računalnik in shranijo v pomnilnik.

Kakšne so zahteve glede parametrov digitalizacije signala? Naprava, ki vhodni analogni signal pretvori v diskretno kodo (digitalni signal), se imenuje analogno-digitalni pretvornik (ADC) (© Wiki).

Eden od osnovnih parametrov ADC je največja frekvenca vzorčenja - frekvenca vzorčenja signala, ki je zvezen v času. Hitrost vzorčenja se meri v hercih. ((© Wiki))

Če ima zvezni signal spekter, omejen s frekvenco Fmax, ga je v skladu s Kotelnikovim izrekom mogoče v celoti in enolično rekonstruirati iz njegovih diskretnih vzorcev, odvzetih v časovnih intervalih T = 1/2*Fmax, tj. s frekvenco Fd ≥ 2*Fmax, kjer je Fd - frekvenca vzorčenja; Fmax - največja frekvenca spektra signala. Z drugimi besedami, frekvenca digitalizacije signala (frekvenca vzorčenja ADC) mora biti vsaj 2-krat višja od največje frekvence signala, ki ga želimo meriti.

In kaj se bo zgodilo, če bomo jemali vzorce z manjšo frekvenco, kot zahteva Kotelnikov teorem?

V tem primeru pride do učinka "aliasing" (t. i. stroboskopski učinek, učinek moire), pri katerem se visokofrekvenčni signal po digitalizaciji spremeni v nizkofrekvenčni signal, ki v resnici ne obstaja. Na sliki 11 je rdeči sinusni val visoke frekvence pravi signal. Modri sinusni val nižje frekvence je fiktivni signal, ki nastane zaradi dejstva, da ima med časom vzorčenja čas preteči več kot polovica periode visokofrekvenčnega signala.

 

Da bi se izognili učinku aliasinga, je pred ADC nameščen poseben anti-alias filter (nizkoprepustni filter). Prepušča frekvence, nižje od polovice frekvence vzorčenja ADC, višje frekvence pa odreže.

Za izračun spektra signala z diskretnimi vzorci se uporablja diskretna Fourierova transformacija (DFT). Ponovno upoštevajte, da je spekter diskretnega signala "po definiciji" omejen na frekvenco Fmax, ki je manjša od polovice frekvence vzorčenja Fd. Zato lahko spekter diskretnega signala predstavimo z vsoto končni število harmonskih, v nasprotju z neskončno vsoto za Fourierovo vrsto zveznega signala, katerega spekter je lahko neomejen. V skladu s Kotelnikovim teoremom mora biti največja frekvenca harmonike takšna, da predstavlja vsaj dva vzorca, zato je število harmonik enako polovici števila vzorcev diskretnega signala. To pomeni, da če je v vzorcu N vzorcev, bo število harmonikov v spektru enako N/2.

Zdaj si oglejmo diskretno Fourierovo transformacijo (DFT).

Če jo primerjamo s Fourierovo vrsto

 

Kot vidimo, se ujemata, le da je čas v FFT diskreten in da je število harmonskih omejeno na N/2, kar je polovica števila vzorcev.

Formule DFT so zapisane v brezrazsežnih celoštevilskih spremenljivkah k, s, kjer je k število vzorcev signala, s pa število spektralnih komponent.
Vrednost s prikazuje število polnih harmonskih nihanj v periodi T (trajanje merjenja signala). Diskretna Fourierova transformacija se uporablja za numerično iskanje amplitud in faz harmonskih signalov, tj. "na računalniku".

Kot je bilo povedano že zgoraj, ko neperiodično funkcijo (naš signal) razgradimo v Fourierove vrste, dobljena Fourierova vrsta dejansko ustreza periodični funkciji s periodo T (slika 12).

 

 

Kot je razvidno iz slike 12, je funkcija f(x) periodična s periodo T0. Ker pa dolžina merilnega vzorca T ni enaka periodi funkcije T0, ima funkcija, dobljena kot Fourierova vrsta, prekinitev v točki T. Zato bo spekter te funkcije vseboval veliko število visokofrekvenčnih harmonskih. Če bi trajanje merilnega vzorca T sovpadalo s periodo funkcije T0, bi spekter, dobljen po Fourierjevi transformaciji, vseboval le prvo harmonsko (sinusoida s periodo, enako trajanju vzorca), saj je funkcija f(x) sinusoida.

Z drugimi besedami, program DFT "ne ve", da je naš signal "rezina sinusnega vala", ampak poskuša kot serijo predstaviti periodično funkcijo, ki ima diskontinuiteto zaradi diskontinuitete posameznih delov sinusnega vala.

Posledično se v spektru pojavijo harmonske komponente, ki bi morale v celoti predstavljati obliko funkcije, vključno s to diskontinuiteto.

Da bi dobili "pravilen" spekter signala, ki je vsota več sinusoid z različnimi periodami, je torej treba celoštevilčno število obdobij vsaka sinusoida mora biti prisotna v obdobju merjenja signala. V praksi je ta pogoj mogoče izpolniti z dovolj dolgim obdobjem merjenja signala.

 

 

Pri krajšem trajanju bo slika videti "slabša":

 

 

 

 

V praksi je težko razumeti, kje so "prave komponente" in kje "artefakti", ki so posledica neskladnosti period komponent in trajanja vzorčenja signala ali "skokov in prekinitev" v obliki vala. Seveda sta besedi "prave komponente" in "artefakti" z razlogom v narekovajih. Prisotnost številnih harmonskih na spektralnem grafu še ne pomeni, da je naš signal dejansko sestavljen iz njih. To je tako, kot če bi mislili, da je številka 7 "sestavljena" iz številk 3 in 4. Število 7 si lahko predstavljamo kot vsoto števil 3 in 4 - to je pravilno.

Tako lahko tudi naš signal ... ali bolje rečeno, niti ne "naš signal", temveč periodično funkcijo, ki jo sestavlja ponavljanje našega signala (vzorca), predstavimo kot vsoto harmonskih (sinusov) z določenimi amplitudami in fazami. V številnih primerih, pomembnih za prakso (glejte zgornje slike), pa je mogoče harmonike, dobljene v spektru, dejansko povezati tudi z realnimi procesi, ki imajo ciklični značaj in pomembno prispevajo k obliki signala.

Nekateri rezultati
1. Realni merjeni signal s trajanjem T s, digitaliziran z ADC, tj. predstavljen z množico diskretnih vzorcev (N kosov), ima diskretni neperiodični spekter, ki ga predstavlja množica harmonskih (N/2 kosov).

2. Signal je predstavljen z nizom veljavnih vrednosti, njegov spekter pa z nizom veljavnih vrednosti. Frekvence harmonskih so pozitivne. Samo zato, ker je matematično bolj priročno predstaviti spekter v kompleksni obliki z uporabo negativnih frekvenc, še ne pomeni, da je "tako prav" in "tako je treba vedno ravnati".

3. Signal, izmerjen v času T, je določen samo v času T. Kaj se je zgodilo, preden smo začeli meriti signal, in kaj se bo zgodilo po tem, znanosti ni znano. In v našem primeru to ni zanimivo. FFT časovno omejenega signala poda njegov "pravi" spekter v smislu, da pod določenimi pogoji omogoča izračun amplitude in frekvence njegovih komponent.