Primjena Fourierove transformacije na analizu vibracijskih signala

Andrei Shelkovenko. Jedan od programera i osnivača Vibromera.
Prijevod članka može sadržavati netočnosti.

Fourierova transformacija i spektar signala

U mnogim slučajevima zadatak dobivanja (izračunavanja) spektar signala je sljedeći. Postoji ADC, koji uzorkovanjem frekvencija Fd pretvara kontinuirani signal, koji dolazi na njegov ulaz tijekom vremena T, u digitalne uzorke – N komada. Zatim se taj niz uzoraka dovodi u neki program (na primjer FourierScope) koji izbacuje N/2 nekih numeričkih vrijednosti.

Da bismo provjerili radi li program ispravno, formiramo niz uzoraka kao zbroj dvaju sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) i unosimo ga u program. Program je nacrtao sljedeće:

 

 

Postoje dva harmonici Na spektralnom grafikonu – 5 Hz s amplitudom 0,5 V i 10 Hz s amplitudom 1 V, sve je kao u formuli izvornog signala. Sve je u redu, program radi ispravno.

To znači da ako na ulaz ADC-a dovedemo stvarni signal dobiven miješanjem dviju sinusoida, dobit ćemo sličan spektar koji se sastoji od dvije harmonike.

Dakle, naš stvaran izmjereni signal od trajanja 5 sekundi, digitaliziran od strane ADC-a, tj. predstavljen odvojeno uzorci, ima diskretni neperiodični Spektar.
From a mathematical point of view – how many errors in this phrase?

Now let’s try to measure the same signal for 0.5 sec.

 

 

Nešto ovdje nije u redu! Harmonik od 10 Hz je normalno prikazan, a umjesto harmonika od 5 Hz pojavljuju se neki nejasni harmonici.

Na internetu kažu da je potrebno dodati nule na kraj uzorka i spektar će biti ispravno iscrtan.

 

 

That’s not it at all. I will have to deal with the theory. Let’s go to wikipedija – the source of knowledge.

Kontinuirana funkcija i njezina Fourierova serijska reprezentacija

Matematikom je naš signal trajanja T sekundi neka funkcija f(x) definirana na intervalu {0, T} (X je u ovom slučaju vrijeme). Takvu se funkciju uvijek može predstaviti kao zbroj harmoničnih funkcija (sinusa ili kosinusa) oblika:

k je broj trigonometrijske funkcije (broj harmoničke komponente, broj harmonika)
T – segment where the function is defined (the duration of the signal)
Ak - amplituda k-te harmonijske komponente,
θk- početna faza k-te harmonijske komponente
Što znači “predstaviti funkciju kao zbroj niza”? To znači da zbrajanjem vrijednosti harmonijskih komponenti Fourierova niza u svakoj točki dobivamo vrijednost naše funkcije u toj točki.
(Strogo govoreći, srednja kvadratna devijacija niza od funkcije f(x) težit će nuli, ali unatoč srednjoj kvadratnoj konvergenciji Fourierovi nizovi neke funkcije općenito ne moraju konvergirati toj funkciji točku po točku.)
Ovaj niz se također može zapisati u obliku:

 

 

 

Gdje , k-ta kompleksna amplituda.

 

ili

 

 

 

Odnos između koeficijenata (1) i (3) izražen je sljedećim formulama:

 

 

 

 

Imajte na umu da su sva tri ova prikaza Fourierova reda potpuno ekvivalentna. Ponekad je pri radu s Fourierovim redovima praktičnije koristiti eksponente imaginarnog argumenta umjesto sinusa i kosinusa, tj. koristiti Fourierovu transformaciju u kompleksnom obliku. No nama je praktično koristiti formulu (1), u kojoj je Fourierov red prikazan kao zbroj kosinusa s odgovarajućim amplitudama i fazama. Strogo govoreći, Fourierova transformacija realnog signala doista daje kompleksne koeficijente (oblik (3)): svaki koeficijent nosi i amplitudu i fazu svoje harmonike. Za realan signal ti kompleksni koeficijenti imaju konjugiranu (Hermitsku) simetriju — polovica negativnih frekvencija jednostavno zrcali pozitivnu polovicu i ne nosi dodatne informacije. Zato iz kompleksnih koeficijenata uvijek možemo prijeći na realne nenegativne amplitude Ak i faze θk iz formule (1) — i upravo taj amplitudni spektar prikazuju programi za analizu.

 

Suština:
Matematika osnova spektralne analize signala je Fourierova transformacija.

Fourierova transformacija omogućuje predstavljanje kontinuirane funkcije f(x) (signala) definirane na intervalu {0, T} kao zbroj beskonačnog broja (beskonačne serije) trigonometrijskih funkcija (sinusa i/ili kosinusa) s određenim amplitudama i fazama također uzetih na intervalu {0, T}. Takva se serija naziva Fourierova serija.

Zabilježite još nekoliko točaka, čije je razumijevanje potrebno za ispravnu primjenu Fourierove transformacije u analizi signala. Ako razmotrimo Fourierovu seriju (zbir sinusoida) na cijeloj osi X, vidjet ćemo da će se izvan intervala {0, T} funkcija Fourierove serije periodično ponavljati našu funkciju.

Na primjer, u grafikonu na slici 7 izvorna funkcija definirana je na intervalu {-T/2, +T/2}, a Fourierova serija predstavlja periodičnu funkciju definiranu na cijeloj osi x.

To je zato što su same sinusoide periodične funkcije, pa će i njihov zbir također biti periodična funkcija.

Dakle:

Naša izvorna funkcija je neprekidna, neperiodična funkcija definirana na nekom segmentu duljine T.
Spektar ove funkcije je diskretan, tj. prikazan je kao beskonačan niz harmonijskih komponenti – Fourierov niz.
Zapravo, Fourierova serija definira neku periodičnu funkciju koja se podudara s našom funkcijom na intervalu {0, T}, ali za nas ta periodičnost nije bitna.

Sljedeće.

Periodi harmonijskih komponenti su višekratnici intervala {0, T}, na kojem je početna funkcija f(x) definirana. Drugim riječima, periodi harmonika su višekratnici trajanja mjerenja signala. Na primjer, period prve harmonike u Fourierovoj seriji jednak je intervalu T u kojem je funkcija f(x) definirana. Period druge harmonike u Fourierovoj seriji jednak je intervalu T/2. I tako dalje (vidi Sliku 8).

Accordingly, the frequencies of harmonic components are multiples of 1/T. That is, frequencies of harmonic components Fk are Fk= k\T, where k runs values from 0 to ∞, for example, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (at zero frequency, a constant component).

Neka naša početna funkcija bude signal snimljen tijekom T=1 s. Onda će period prve harmonike biti jednak trajanju našeg signala T1=T=1 s, a frekvencija harmonike iznosi 1 Hz. Period druge harmonike bit će jednak trajanju našeg signala podijeljenom s 2 (T2=T/2=0,5 s), a frekvencija je jednaka 2 Hz. Za treću harmoniku, T3=T/3 s i frekvencija je 3 Hz. I tako dalje.

Korak između harmonika u ovom je slučaju 1 Hz.

Dakle, signal trajanja 1 sekunde može se razložiti na harmonijske komponente (za dobivanje spektra) s frekvencijskom razlučivošću od 1 Hz.
Da bi se rezolucija povećala za faktor 2, na 0,5 Hz, potrebno je povećati trajanje mjerenja za faktor 2, na 2 s. Desetsekundni signal može se razložiti na harmonijske komponente (spektrum) s frekvencijskom rezolucijom od 0,1 Hz. Ne postoje drugi načini za povećanje frekvencijske razlučivosti. Ovaj odnos možete istražiti s našim Kalkulator FFT rezolucije.

Postoji način umjetnog povećanja trajanja signala dodavanjem nule u niz uzoraka. Ali to ne povećava stvarnu razlučivost frekvencije.

Diskretni signali i diskretna Fourierova pretvorba

S razvojem digitalne tehnologije načini pohrane mjernih podataka (signala) su se promijenili. Dok se ranije signal mogao snimiti na magnetofonsku vrpcu i pohraniti u analognom obliku, sada se signali digitaliziraju i pohranjuju u datotekama u računalnoj memoriji kao skup brojeva (brojeva).

Uobičajeni postupak mjerenja i digitalizacije signala izgleda ovako.

Mjerni pretvarač —- Normalizator signala —- ADC —– Računalo
(Sl. 9 Shematski prikaz mjernog kanala)

Signal s mjernog pretvarača ide u ADC tijekom vremena T. Očitanja signala (uzorkovanje) primljena tijekom vremena T prenose se na računalo i spremaju u memoriju.

Koji su zahtjevi za signalne parametre digitalizacije? Uređaj koji pretvara ulazni analogni signal u diskretni kod (digitalni signal) naziva se analogno-digitalni pretvarač (ADC) (© Wiki).

Jedan od osnovnih parametara ADC-a je maksimalna frekvencija uzorkovanja – frekvencija uzorkovanja signala koji je kontinuiran u vremenu. Frekvencija uzorkovanja mjeri se u hercima. ((© Wiki))

Prema Kotelnikovljevu teoremu, ako kontinuirani signal ima spektar ograničen frekvencijom Fmax, može se potpuno i jednoznačno rekonstruirati iz diskretnih uzoraka uzetih u vremenskim intervalima Δt ≤ 1/(2*Fmax), tj. s frekvencijom uzorkovanja Fd ≥ 2*Fmax, gdje je Fd – frekvencija uzorkovanja; Fmax – najveća frekvencija spektra signala. Drugim riječima, frekvencija digitalizacije signala (frekvencija uzorkovanja ADC-a) mora biti najmanje dvostruko veća od najveće frekvencije signala koji želimo mjeriti.

A što će se dogoditi ako uzimamo uzorke frekvencijom nižom od one koju zahtijeva Kotelnikovljev teorem?

U ovom slučaju postoji “aliasiranjeIn this case there is an “aliasing” effect (aka stroboscopic effect, moiré effect), in which a high frequency signal after digitization turns into a low frequency signal, which in fact does not exist. In Fig. 11 the red sine wave of high frequency is the real signal. The blue sine wave of lower frequency is a fictitious signal, arising due to the fact that during the sampling time has time to pass more than half a period of the high-frequency signal.

 

Kako bi se izbjegao aliasing efekt, poseban anti-alias filter (propusni filtar) se postavlja ispred ADC-a. Propušta frekvencije niže od polovice frekvencije uzorkovanja ADC-a i presijeca više frekvencije.

Kako bi se izračunao spektar signala na temelju njegovih diskretnih uzoraka, diskretni Fourierova transformacija (DFT) se koristi. Ponovno primijetite da je spektar diskretnog signala “po definiciji” ograničen na frekvenciju Fmax manju od polovice frekvencije uzorkovanja Fd. Stoga se spektar diskretnog signala može predstaviti zbrojem konačan broja harmonika, za razliku od beskonačnog zbroja u Fourierovu nizu kontinuiranog signala, čiji spektar može biti neograničen. Prema Kotelnikovljevom teoremu, najveća frekvencija harmonika mora biti takva da na nju otpadaju najmanje dva uzorka, pa je broj harmonika jednak polovici broja uzoraka diskretnog signala. To jest, ako u uzorku ima N uzoraka, broj harmonika u spektru bit će N/2.

Razmotrite sada diskretnu Fourierovu pretvorbu (DFT).

Uspoređivanje s Fourierovim nizom

 

Kao što vidimo, oni se podudaraju, osim što je vrijeme u FFT-u diskretno i broj harmonika ograničen na N/2, što je polovica broja uzoraka.

DFT formule su napisane u bezdimenzionalnim cjelobrojnim varijablama k i s, gdje je k broj uzoraka signala, a s broj spektralnih komponenti.
Vrijednost s pokazuje broj punih harmonijskih oscilacija u periodu T (trajanje mjerenja signala). Diskretna Fourierova transformacija koristi se za numeričko pronalaženje amplituda i faza harmonika, tj. “na računalu”.

Kao što je već rečeno, kada se neperiodična funkcija (naš signal) razlaže na Fourierovu seriju, dobivena Fourierova serija zapravo odgovara periodičnoj funkciji s periodom T (slika 12).

 

 

Kao što se može vidjeti na slici 12, funkcija f(x) je periodična s periodom T0. Međutim, zbog činjenice da duljina mjernog uzorka T nije jednaka periodu funkcije T0, funkcija dobivena Fourierovom serijom ima diskontinuitet u točki T. Kao rezultat, spektar ove funkcije sadržavat će velik broj visokofrekventnih harmonika. Ovaj fenomen je poznat kao spektralno curenje, a u praksi se smanjuje za prozori signal prije transformacije. Ako je trajanje mjernog uzorka T bilo jednako periodu funkcije T0, tada bi spektar dobiven Fourierovom transformacijom sadržavao samo prvu harmoniku (sinusoidu s periodom jednakom trajanju uzorka), jer je funkcija f(x) sinusoida.

Drugim riječima, DFT program “ne zna” da je naš signal “isječak sinusnog vala”, nego ga pokušava prikazati kao niz periodične funkcije koja ima diskontinuitet zbog diskontinuiteta pojedinačnih dijelova sinusnog vala.

Kao rezultat, u spektru se pojavljuju harmonici, koji bi u cjelini trebali predstavljati oblik funkcije, uključujući ovu diskontinuitet.

Dakle, da bi se dobio “ispravan” spektar signala koji je zbroj nekoliko sinusoida različitih perioda, potrebno je da cijeli broj perioda Svaka sinusoida treba biti prisutna tijekom mjernog razdoblja signala. U praksi se ovo stanje može ispuniti dovoljno dugim trajanjem mjerenja signala.

 

 

At shorter duration the picture will look “worse”:

 

 

 

 

U praksi može biti teško razumjeti gdje su “stvarne komponente”, a gdje “artefakti” uzrokovani nepodudarnošću perioda komponenti i trajanja uzorkovanja signala ili “skokovima i prekidima” u valnom obliku. Naravno, riječi “stvarne komponente” i “artefakti” stavljene su pod navodnike s razlogom. Prisutnost mnogih harmonika na grafu spektra ne znači da se naš signal doista sastoji od njih. To je kao da mislimo da se broj 7 “sastoji” od brojeva 3 i 4. Broj 7 može se promatrati kao zbroj 3 i 4 – i to je točno.

So also our signal… or rather not even “our signal”, but a periodic function composed by repeating our signal (sample) can be represented as a sum of harmonics (sine waves) with certain amplitudes and phases. But in many cases important for practice (see figures above) it is indeed possible to relate the harmonics obtained in the spectrum also to real processes having cyclic character and contributing significantly to the form of the signal.

Neki rezultati

1. Stvarni mjereni signal trajanja T sekundi, digitaliziran ADC-om, tj. predstavljen skupom diskretnih uzoraka (N komada), ima diskretni neperiodični spektar predstavljen skupom harmonika (N/2 komada).

2. Signal je prikazan skupom realnih vrijednosti. Njegov DFT spektar je skup kompleksnih koeficijenata s konjugiranom simetrijom; iz njih se dobiva amplitudni spektar — skup realnih nenegativnih amplituda (i faza) na pozitivnim frekvencijama, i upravo se taj jednostrani amplitudni spektar u praksi prikazuje. Dvostrani kompleksni oblik s negativnim frekvencijama i jednostrani oblik amplitude/faze ekvivalentni su prikazi istog spektra — za analizu signala obično je praktičnije raditi s jednostranim amplitudnim spektrom.

3. Signal izmjeren tijekom vremena T određen je samo unutar vremena T. Što se događalo prije početka mjerenja signala i što će se dogoditi nakon toga, znanosti je nepoznato. A u našem slučaju to nije ni važno. FFT vremenski ograničenog signala daje njegov “stvarni” spektar, u smislu da pod određenim uvjetima omogućuje izračun amplitude i frekvencije njegovih komponenti.