A Fourier-transzformáció alkalmazása rezgésjelek elemzésére.

Andrej Shelkovenko. A Vibromera egyik fejlesztője és alapítója.
A cikk fordítása pontatlanságokat tartalmazhat.

1. Fourier-transzformáció és jelspektrum
   Sok esetben a jel spektrumának kinyerése (kiszámítása) a következő feladat. Van egy ADC, amely Fd mintavételi frekvenciával a T idő alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet digitális mintákra - N darabra - alakítja át. Ezután ezt a mintatömböt betápláljuk valamilyen programba (pl. FourierScope), amely N/2 numerikus értéket ad ki.
   Hogy ellenőrizzük, hogy a program helyesen működik-e, képezzünk egy mintatömböt két sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) összegeként, és tápláljuk be a programba. A program a következőket rajzolta ki:

 

 

A spektrumgrafikonon két felharmonikus van - 5 Hz 0,5 V amplitúdóval és 10 Hz 1 V amplitúdóval, minden úgy van, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben van, a grogram helyesen működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszoid keverékéből álló valós jelet táplálunk az ADC bemenetére, akkor egy hasonló, két felharmonikusból álló spektrumot kapunk.

Tehát, a mi valódi mért jel 5 másodperces időtartamú, az ADC által digitalizálva, azaz ábrázolva diszkréten minták, van egy diszkrét nem periodikus spektrum.
Matematikai szempontból - hány hiba van ebben a mondatban?

Most próbáljuk meg ugyanazt a jelet 0,5 másodpercig mérni.

 

 

Itt valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus normálisan kirajzolódik, és az 5 Hz-es felharmonikus helyett néhány tisztázatlan felharmonikus van.

Az interneten azt mondják, hogy a minta végéhez nullákat kell hozzáadni, és a spektrum normálisan kirajzolódik.

 

 

Egyáltalán nem erről van szó. Az elmélettel kell foglalkoznom. Menjünk a wikipedia - a tudás forrása.

2. Folyamatos függvény és Fourier-soros ábrázolása
Matematikailag a T másodperces időtartamú jelünk egy f(x) függvény, amely a {0, T} intervallumon van megadva (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

k a trigonometrikus függvény száma ( a harmonikus komponens száma, a harmonikus száma)
T - szegmens, ahol a függvényt definiálják (a jel időtartama)
Ak- a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk- a k-edik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent az, hogy "a függvényt a sorozatok összegeként ábrázoljuk"? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sorozat harmonikus komponenseinek értékeit minden egyes pontban összeadva megkapjuk a függvényünk értékét az adott pontban.
(Szűkebb értelemben a sorozat f(x) függvénytől való átlagos négyzetes eltérése nullához fog tendálni, de az átlagos négyzetes konvergencia ellenére egy függvény Fourier-sorozatának általában nem kell pontról pontra konvergálnia hozzá. )
Ez a sorozat a következő formában is leírható:

 

 

 

ahol , a k-adik komplex amplitúdó.

 

vagy

 

 

 

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletek fejezik ki:

 

 

 

 

Megjegyezzük, hogy a Fourier-sorok mindhárom ábrázolása tökéletesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorozatokkal dolgozunk, kényelmesebb a szinuszok és koszinuszok helyett a képzetes argumentumú exponenseket használni, azaz a Fourier-transzformációt komplex formában használni. Számunkra azonban kényelmes az (1) képlet használata, ahol a Fourier-sorozatot a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal rendelkező koszinuszok összegeként ábrázoljuk. Mindenesetre téves azt mondani, hogy a valós jel Fourier-transzformációjának eredménye komplex harmonikus amplitúdók lesznek. Ahogy a Wiki helyesen írja: "A Fourier-transzformáció (ℱ) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét egy másik, szintén valós változójú függvényre képezi le".

 

A lényeg:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a {0, T} intervallumon definiált f(x) folytonos függvényt (jelet) a szintén a {0, T} intervallumon meghatározott amplitúdóval és fázissal rendelkező, végtelen számú (végtelen sorozat) trigonometrikus függvény (szinusz és/vagy koszinusz) összegeként ábrázoljuk. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezzük.

Megjegyzünk még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelelemzésben. Ha a Fourier-sorozatot (szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen vizsgáljuk, akkor azt látjuk, hogy a {0, T} intervallumon kívül a Fourier-sorozat függvénye periodikusan ismétli a függvényünket.

Például a 7. ábrán látható grafikonon az eredeti függvényt a {-T\2, +T\2} intervallumon definiáljuk, és a Fourier-sorozat egy periodikus függvényt reprezentál, amelyet a teljes x-tengelyen definiálunk.

Ez azért van így, mert maguk a szinuszoidok periodikus függvények, így összegük is periodikus függvény lesz.

Így:

Az eredeti függvényünk egy folytonos, nem periodikus függvény, amelyet egy T hosszúságú szakaszon definiálunk.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus összetevők végtelen sorozataként - Fourier-sorozatként - jelenik meg.
Valójában a Fourier-sorok definiálnak egy periodikus függvényt, amely egybeesik a mi függvényünkkel a {0, T} intervallumon, de számunkra ez a periodicitás nem lényeges.

Következő.

A harmonikus komponensek periódusai a {0, T} intervallum többszörösei, amelyen a kezdeti f(x) függvényt definiáljuk. Más szóval, a harmonikusok periódusai a jelmérés időtartamának többszörösei. Például egy Fourier-sorozat első harmonikusának periódusa egyenlő azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvényt definiálták. A Fourier-sorozat második harmonikusának periódusa egyenlő a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd a 8. ábrát).

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái az 1/T többszörösei. Vagyis az Fk harmonikus komponensek frekvenciája Fk= k\T, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;..... Fk= k\T (nulla frekvencián, állandó komponens).

Legyen a kezdeti függvényünk egy T=1 sec alatt rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa megegyezik a T1=T=1 sec jelünk időtartamával, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 sec), és a frekvencia 2 Hz. A harmadik harmonikus esetében T3=T/3 sec, és a frekvencia 3 Hz. És így tovább.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 másodperces időtartamú jel 1 Hz-es frekvenciafelbontással harmonikus összetevőkre bontható (spektrumot kapunk).
A felbontás 2-szeresére, 0,5 Hz-re történő növeléséhez a mérés időtartamát 2-szeresére, 2-2 másodpercre kell növelni. Egy 10 másodperces jelet 0,1 Hz frekvenciafelbontással harmonikus összetevőkre (spektrumra) lehet bontani. A frekvenciafelbontás növelésére nincs más lehetőség.

A jel időtartamát mesterségesen megnövelhetjük úgy, hogy nullákat adunk hozzá a minták sorához. Ez azonban nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier-transzformáció
A digitális technológia fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módja megváltozott. Míg korábban egy jelet magnószalagra lehetett rögzíteni és analóg formában szalagon tárolni, ma már a jeleket digitalizálják és számok (számlálások) halmazaként fájlokban tárolják a számítógép memóriájában.

A jelmérés és a digitalizálás szokásos sémája a következőképpen néz ki.

Mérőátalakító -- Jel normalizáló -- ADC -- Számítógép
(9. ábra A mérőcsatorna vázlata)

A mérőátalakítóból érkező jel T ideig az ADC-be kerül. A T idő alatt kapott jelek (mintavételezés) a számítógépbe kerülnek, és a memóriába kerülnek.

Milyen követelmények vonatkoznak a digitalizálási paraméterek jelzésére? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC) nevezzük (© Wiki).

Az ADC egyik alapvető paramétere a maximális mintavételi sebesség - az időben folyamatos jel mintavételezésének gyakorisága. A mintavételi sebességet hertzben mérik. ((© Wiki))

A Kotelnyikov-tétel szerint, ha egy folyamatos jel spektruma az Fmax frekvencia által korlátozott, akkor a T = 1/2*Fmax időközönként vett diszkrét mintákból teljes mértékben és egyértelműen rekonstruálható, azaz Fd ≥ 2*Fmax frekvenciával, ahol Fd - mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szóval a jel digitalizálásának frekvenciája (az ADC mintavételi frekvenciája) legalább 2-szer nagyobb kell, hogy legyen, mint a mérni kívánt jel maximális frekvenciája.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által előírtnál kisebb gyakorisággal veszünk mintát?

Ebben az esetben "aliasing" hatás (más néven stroboszkópikus hatás, moiré hatás) lép fel, amelyben a magas frekvenciájú jel a digitalizálás után olyan alacsony frekvenciájú jellé alakul át, amely valójában nem is létezik. A 11. ábrán a magas frekvenciájú piros szinuszhullám a valódi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy fiktív jel, amely azért keletkezik, mert a mintavételezési idő alatt a nagyfrekvenciás jelnek több mint fél periódusa van ideje eltelni.

 

Az aliasing hatás elkerülése érdekében egy speciális anti-alias szűrő (aluláteresztő szűrő) kerül az ADC elé. Az ADC mintavételi frekvenciájának felénél alacsonyabb frekvenciákat átengedi, a magasabb frekvenciákat pedig levágja.

A jel spektrumának diszkrét minták alapján történő kiszámításához a diszkrét Fourier-transzformációt (DFT) használják. Ismét megjegyezzük, hogy a diszkrét jel spektruma "definíció szerint" az Fd mintavételi frekvencia felénél kisebb Fmax frekvenciára korlátozódik. Ezért egy diszkrét jel spektruma a következő összegekkel ábrázolható egy véges felharmonikusok száma, ellentétben egy folytonos jel Fourier-sorozatának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. Kotelnyikov tétele szerint egy felharmonikus maximális frekvenciájának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát tegyen ki, így a felharmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha a mintában N minta van, akkor a spektrumban a felharmonikusok száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier-transzformációt (DFT).

Összehasonlítva a Fourier-sorozattal

 

Amint láthatjuk, egybeesnek, kivéve azt a tényt, hogy az FFT-ben az idő diszkrét, és a felharmonikusok száma N/2-re korlátozódik, ami a minták számának fele.

A DFT-képleteket dimenziótlan egész számú k, s változókban írjuk fel, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s érték a teljes harmonikus rezgések számát mutatja T periódusonként (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikusan, azaz "a számítógépen" történő meghatározására használják.

Mint fentebb már említettük, amikor egy nem periodikus függvényt (a jelünket) Fourier-sorozatokra bontunk, az így kapott Fourier-sorozat valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

 

 

Amint a 12. ábrán látható, az f(x) függvény T0 periódusú periodikus. Mivel azonban a T mérési minta hossza nem egyenlő a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorozatként kapott függvénynek a T pontban van egy szakadása. Ennek eredményeképpen a függvény spektruma nagyszámú nagyfrekvenciás felharmonikust fog tartalmazni. Ha a T mérési minta T időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrum csak az első harmonikust (a minta időtartamával megegyező periódusú szinuszoidot) tartalmazná, mivel az f(x) függvény egy szinuszoid.

Más szóval, a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám szelete", hanem megpróbál egy periodikus függvényt sorozatban ábrázolni, amely a szinuszhullám különálló darabjainak szakadozottsága miatt diszkontinuitást mutat.

Ennek eredményeképpen a spektrumban harmonikusok jelennek meg, amelyeknek összességében a függvény alakját kell reprezentálniuk, beleértve ezt a diszkontinuitást is.

Így ahhoz, hogy egy olyan jel "helyes" spektrumát kapjuk, amely több különböző periódusú szinuszoid összegéből áll, szükséges, hogy egy egész számú periódusok száma minden egyes szinusznak jelen kell lennie a jel mérési periódusában. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamával teljesíthető.

 

 

Rövidebb időtartamnál a kép "rosszabbul" fog kinézni:

 

 

 

 

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hogy hol vannak a "valódi komponensek" és hol a "műtermékek", amelyeket a komponensek periódusainak és a jel mintavételezési időtartamának következetlensége vagy a hullámforma "ugrásai és szünetei" okoznak. Természetesen a "valódi komponensek" és a "műtermékek" szavak nem véletlenül vannak idézőjelben. A sok felharmonikus jelenléte a spektrumgrafikonon nem jelenti azt, hogy a jelünk valóban ezekből áll. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és 4-es számokból "áll". A 7-es számot a 3 és a 4 összegeként lehet elképzelni - ez így van rendjén.

Tehát a jelünk is... vagy inkább nem is "a mi jelünk", hanem a jelünk (mintánk) ismétléséből összeállított periodikus függvény bizonyos amplitúdókkal és fázisokkal rendelkező felharmonikusok (szinuszok) összegeként ábrázolható. De sok, a gyakorlat szempontjából fontos esetben (lásd a fenti ábrákat) valóban lehetséges a spektrumban kapott felharmonikusokat a jel alakjához jelentősen hozzájáruló, ciklikus jellegű valós folyamatokhoz is kapcsolni.

Néhány eredmény
1. A T másodperces időtartamú, ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták (N darab) által reprezentált valós mért jelnek van egy diszkrét, nem periodikus spektruma, amelyet a harmonikusok (N/2 darab) halmaza reprezentál.

2. A jelet az érvényes értékek halmaza, a spektrumát pedig az érvényes értékek halmaza reprezentálja. A felharmonikusok frekvenciái pozitívak. Csak azért, mert matematikailag kényelmesebb a spektrumot komplex formában, negatív frekvenciákkal ábrázolni, még nem jelenti azt, hogy "ez a helyes" és "mindig így kell csinálni".

3. A T időpontban mért jelet csak a T időpontban határozzuk meg. Hogy mi történt a jel mérése előtt, és mi fog történni utána, azt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben nem is érdekes. Az időben korlátozott jel FFT-je megadja annak "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi az összetevők amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.