クロススペクトラムの理解
クロススペクトル — クロスパワースペクトルまたはクロススペクトル密度とも呼ばれる — は、同時に測定された2つの信号間の関係を周波数領域で表したものである 振動 信号。これは、 FFT 一方の信号を、もう一方のFFTの複素共役で除したものである。ここで、 オートスペクトル は単一チャンネルの周波数成分を示し、クロススペクトルはどの周波数が common 両方の信号と 段階 あらゆる周波数における両者の関係。
これにより、クロススペクトルは高度なマルチチャンネル解析の数学的基礎となる： 伝達関数 estimation, 一貫性 分析、および動作たわみ形状（ODS) 測定はすべてこれに基づいています。実用的な観点から見ると、これにより技術者は、振動が構造体内でどのように伝播するかを把握し、測定地点間の因果関係を特定することが可能になります。これは、単一チャンネルの スペクトラム どうしてもできない。
1. 数学的定義
計算
定義関係はコンパクトです：
Gxy(f) = X(f) × Y*(f)
- X(f) は信号 x(t) のFFTである。
- Y*(f) は、信号 y(t) のFFTの複素共役である。
- 結果は複素数であり、絶対値と位相の両方を持ちます。
コンポーネント
- 大きさ — |Gxy(f)|: は、2つの信号が共有する周波数成分の強さを示しています。
- Phase — ∠Gxy(f): 各周波数における信号間の位相差を示しています。
- Real part: 同相成分、あるいは共スペクトル成分。
- 虚数部： 直交成分、すなわち90°位相差のある成分。
2. Properties
クロススペクトルは、よく知られたオートスペクトルとは3つの点で異なり、そのいずれもが解釈において重要な意味を持ちます。
それは複素数である
- 実数のみからなるオートスペクトルとは異なり、クロススペクトルは複素数からなる。
- したがって、これには振幅と位相の両方が含まれている。
- その位相情報こそが肝心な点であり、それによって2つの信号が時間的にどのように関連しているかが明らかになるのです。
対称ではない
- 一般に Gxy(f) ≠ Gyx(f).
- 順序が重要です。どのシグナルを基準として扱うかによって、結果が変わってきます。
- Formally, Gyx(f) は G の複素共役であるxy(f) であるため、位相は単に符号が反転する。
平均化が必要
- 単一のクロススペクトルはノイズが多く、信頼性が低い。
- 多数のクロススペクトルを平均化することで、安定した推定値が得られる。
- 相関のないノイズ成分は、ブロックごとに位相がランダムであるため、平均するとゼロになる。
- 真に相関している成分は位相が一致し、互いに補強し合う。まさにそのために、平均化を行うことで推定値が精緻化されるのである。
3.アプリケーション
伝達関数の計算
これが最も重要な用途です：
H(f) = Gxy(f) / Gxx(f)
- ここで、xは入力、yは出力です。
- この結果は、システムが励起に対してどのように応答するかを示している。
- その振幅は、各周波数における増幅または減衰を示しています。
- その位相には時間遅れが生じ、 共振 behaviour.
- これは、 モーダル解析 および構造力学、これは 周波数応答関数.
コヒーレンスの計算
- 「コヒーレンス」とは、次のように定義される |Gxy|² / (Gxx × Gええ).
- 各周波数における2つの信号間の相関を測定します。
- その値は0から1の範囲で、1は完全な相関を、0は全く相関がないことを意味します。
- 測定の品質を検証し、ノイズによって結果が歪められている箇所を特定します。これは、 バンプテスト またはモーダル調査。
位相関係の決定
- クロススペクトルから得られる位相は、時間遅れや共鳴を直接示している。
- 0°: 信号は同相で、一斉に動いている。
- 180°： 信号は位相がずれており、互いに逆方向に動いている。
- 90°： 直交、これは共振または純粋な時間遅延を示している。
- これが、以下の診断の根拠となります モード形状 および振動伝達の追跡のため。
コモンモード除去比
- クロススペクトルは、両方のチャンネルに共通する周波数成分を抽出します。
- 相関のないノイズは、平均化によって打ち消される。
- 真の、共通の信号成分が背景から浮かび上がる。
- 実際のメリットは、S/N比の向上です。
4. 実用的な測定シナリオ
2つのセンサーが実際の機械に取り付けられた瞬間、抽象的なアイデアが具体的な形となります。3つの日常的な設置例がその価値を物語っています。
ベアリング比較
- 信号X：ベアリング1の振動。信号Y：ベアリング2の振動。
- クロススペクトルには、両方のベアリングに同時に影響を与える周波数が示されています。
- これにより、ローターに関連する共通の問題と、特定のローターに固有の問題とを区別することができます ベアリング.
産業連関分析
- シグナルX：入力側の力または振動 — カップリングまたはドライバーベアリング。
- 信号Y：出力側の応答――駆動される機器側。
- クロススペクトルにより、両者間の伝送特性が明らかになる。
- こうして導出された伝達関数は、振動がどのように伝播するかを正確に定量化するものである。 カップリング.
構造伝達
- 信号X：ベアリングハウジングの振動。信号Y：基礎またはフレームの振動。
- クロススペクトル図は、実際に構造体に到達する周波数を示しています。
- これは、隔離や補強に関する判断の指針となり、直接的に 基礎の剛性 そして 構造共鳴 問題。
5. クロススペクトルの解釈
特定の周波数における高い振幅
- その周波数における信号間に強い相関があることを示しています。
- これは、両地点に共通の発生源があるか、あるいは両地点の間に強い関連性があることを示唆している。
- その成分は、両方の信号に確かに含まれています。
特定の周波数における振幅が小さい
- 相関がほとんどないことを示している — 結合が弱い、あるいは共通の要因がない。
- ある信号にはそのコンポーネントが含まれているが、別の信号には含まれていない場合がある。
- あるいは、単に異なる発生源による相関のないノイズである可能性もあります。
フェーズ情報
- 0°: 信号は連動して動く――剛体接続、あるいは共振以下の動作である。
- 180°： 信号は逆方向に動く――共鳴点より上、あるいは対称軸を越えて。
- 90°： 直交 — 共振時、または特定の幾何学的形状に起因して生じる。
- 周波数依存位相： 位相が周波数とともに変化する様子は、構造体の動的挙動を明らかにする。
6. 高度な応用
多重入力・出力解析
- 複数の基準信号が、複数の応答信号と対応付けられている。
- その結果、クロススペクトルの完全な行列が得られる。
- 複数の同時伝送経路を特定します。
- これが、真に複雑なシステムの特徴です。
動作たわみ形状
- 機械の周囲にある多数の測定点間でクロススペクトルが取得される。
- それらの位相関係によって、偏向パターンが決まります。
- こうして、構造物全体の動きを視覚化し、アニメーション化することができます。
- 結果からは、共振モードがはっきりと確認できる。
7. フィールド・バランシングにおけるクロス・スペクトル
クロススペクトルは主にモード解析や構造解析に関連付けられていますが、その根底にある2チャンネルの数学的原理は、日常の フィールドバランシング. 以下のようなポータブルな2チャンネル計測器 バランセット-1A 2つの軸受面での振動を同時に記録し、それらを1回転ごとに発生するタコメーターパルスに同期させることで、各面における1×成分の振幅と位相を解析し、相互結合を算出することができる 影響係数 ある平面での荷重と、もう一方の平面での応答とを結びつけるものです。この2チャンネルの位相参照関係は、概念的には走行速度に焦点を当てたクロススペクトルであり、まさにこれこそが、正しい2平面 ダイナミックバランシング 組み立て済みのマシンでも可能です。
要するに、クロススペクトルは周波数解析の対象を単一のチャネルから複数のチャネルへと拡大し、信号間の関係を明らかにすることで、伝達関数の算出、コヒーレンスの検証、さらには振動が機械本体やその支持構造をどのように伝播するかの理解を可能にします。オートスペクトルよりも高度な解析を要しますが、モード解析、構造力学、および多点測定に依存する高度な診断においては不可欠な手法です。
