Aplicação da transformada de Fourier à análise de sinais de vibração.

Andrei Shelkovenko. Um dos criadores e fundador da Vibromera.
A tradução do artigo pode conter imprecisões.

1. Transformada de Fourier e espetro de sinal
   Em muitos casos, a tarefa de obter (calcular) o espetro de um sinal é a seguinte. Existe um ADC que, com uma frequência de amostragem Fd, transforma o sinal contínuo, que chega à sua entrada durante o tempo T, em amostras digitais - N partes. Depois, este conjunto de amostras é enviado para um programa (por exemplo FourierScope) que produz N/2 alguns valores numéricos.
   Para verificar se o programa funciona corretamente, formamos uma matriz de amostras como uma soma de dois sen(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e introduzimo-la no programa. O programa desenhou o seguinte:

 

 

Há dois harmónicos no gráfico do espetro - 5 Hz com amplitude de 0,5 V e 10 Hz com amplitude de 1 V, tudo como na fórmula do sinal original. Tudo está bem, o grograma funciona corretamente.

Isto significa que se alimentarmos a entrada do ADC com um sinal real de uma mistura de duas sinusóides, obteremos um espetro semelhante constituído por dois harmónicos.

Assim, o nosso real sinal medido de 5 seg. de duraçãodigitalizado pelo ADC, ou seja, representado por discreto amostras, tem um discreto não periódico espetro.
De um ponto de vista matemático, quantos erros existem nesta frase?

Agora vamos tentar medir o mesmo sinal durante 0,5 segundos.

 

 

Há algo de errado aqui! A harmónica a 10 Hz é desenhada normalmente e, em vez da harmónica a 5 Hz, há algumas harmónicas pouco claras.

Na Internet diz-se que é necessário acrescentar zeros no final da amostra e o espetro será desenhado normalmente.

 

 

Não é nada disso. Vou ter de lidar com a teoria. Vamos ao wikipedia - a fonte do conhecimento.

2. Função contínua e sua representação em série de Fourier
Matematicamente, o nosso sinal com duração de T segundos é uma função f(x) dada no intervalo {0, T} (X, neste caso, é o tempo). Esta função pode sempre ser representada como uma soma de funções harmónicas (seno ou cosseno) da forma:

k é o número da função trigonométrica (o número da componente harmónica, o número da harmónica)
T - segmento onde a função é definida (a duração do sinal)
Ak- amplitude do k-ésimo componente harmónico,
θk- a fase inicial do k-ésimo componente harmónico
O que significa "representar a função como a soma das séries"? Significa que, somando os valores das componentes harmónicas da série de Fourier em cada ponto, obtemos o valor da nossa função nesse ponto.
(Mais estritamente, o desvio quadrático médio da série em relação à função f(x) tenderá a zero, mas apesar da convergência quadrática média, a série de Fourier de uma função não precisa, em geral, de convergir para ela ponto a ponto. )
Esta série também pode ser escrita sob a forma:

 

 

 

onde , a k-ésima amplitude complexa.

 

ou

 

 

 

A relação entre os coeficientes (1) e (3) é expressa pelas fórmulas seguintes:

 

 

 

 

Note-se que todas estas três representações de séries de Fourier são perfeitamente equivalentes. Por vezes, ao trabalhar com séries de Fourier, é mais conveniente utilizar expoentes de argumento imaginário em vez de senos e cossenos, ou seja, utilizar a transformada de Fourier na forma complexa. Mas é conveniente para nós utilizar a fórmula (1), onde a série de Fourier é representada como uma soma de cossenos com as correspondentes amplitudes e fases. Em qualquer caso, é errado dizer que o resultado da transformada de Fourier do sinal real será uma amplitude harmónica complexa. Como a Wiki diz corretamente, "A transformada de Fourier (ℱ) é uma operação que mapeia uma função de uma variável real para outra função também de uma variável real."

 

Conclusão:
A base matemática para a análise espetral de sinais é a transformada de Fourier.

A transformada de Fourier permite representar uma função contínua f(x) (sinal) definida no intervalo {0, T} como uma soma de um número infinito (série infinita) de funções trigonométricas (seno e/ou cosseno) com amplitudes e fases definidas também consideradas no intervalo {0, T}. Esta série designa-se por série de Fourier.

Note mais alguns pontos, cuja compreensão é necessária para a correcta aplicação da transformada de Fourier à análise de sinais. Se considerarmos a série de Fourier (soma de sinusóides) em todo o eixo X, veremos que fora do intervalo {0, T} a função da série de Fourier repetirá periodicamente a nossa função.

Por exemplo, no gráfico da Fig. 7, a função original é definida no intervalo {-T\2, +T\2}, e a série de Fourier representa uma função periódica definida em todo o eixo x.

Isto deve-se ao facto de as próprias sinusóides serem funções periódicas, pelo que a sua soma também será uma função periódica.

Assim:

A nossa função original é uma função contínua, não periódica, definida num segmento de comprimento T.
O espetro desta função é discreto, ou seja, é representado por uma série infinita de componentes harmónicos - uma série de Fourier.
De facto, a série de Fourier define uma função periódica, que coincide com a nossa função no intervalo {0, T}, mas para nós esta periodicidade não é essencial.

Seguinte.

Os períodos dos componentes harmónicos são múltiplos do intervalo {0, T}, no qual a função inicial f(x) é definida. Por outras palavras, os períodos dos harmónicos são múltiplos da duração da medição do sinal. Por exemplo, o período da primeira harmónica de uma série de Fourier é igual ao intervalo T no qual a função f(x) está definida. O período da segunda harmónica de uma série de Fourier é igual ao intervalo T/2. E assim por diante (ver Figura 8).

Assim, as frequências dos componentes harmónicos são múltiplos de 1/T. Ou seja, as frequências dos componentes harmónicos Fk são Fk= k\T, em que k tem valores de 0 a ∞, por exemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;.... Fk= k\T (na frequência zero, uma componente constante).

Seja a nossa função inicial, um sinal registado durante T=1 seg. Então o período da primeira harmónica será igual à duração do nosso sinal T1=T=1 seg. e a frequência da harmónica é igual a 1 Hz. O período da segunda harmónica será igual à duração do nosso sinal dividido por 2 (T2=T/2=0,5 seg.) e a frequência é igual a 2 Hz. Para a terceira harmónica, T3=T/3 seg. e a frequência é de 3 Hz. E assim por diante.

O passo entre harmónicas neste caso é de 1 Hz.

Assim, um sinal com uma duração de 1 segundo pode ser decomposto em componentes harmónicos (para obter um espetro) com uma resolução de frequência de 1 Hz.
Para aumentar a resolução por um fator de 2 para 0,5 Hz, é necessário aumentar a duração da medição por um fator de 2 para 2 segundos. Um sinal de 10 segundos pode ser decomposto em componentes harmónicos (espetro) com uma resolução de frequência de 0,1 Hz. Não existem outras formas de aumentar a resolução de frequência.

Existe uma forma de aumentar artificialmente a duração do sinal, adicionando zeros à matriz de amostras. Mas isso não aumenta a resolução real da frequência.

3. Sinais discretos e transformada discreta de Fourier
Com o desenvolvimento da tecnologia digital, as formas de armazenamento de dados de medição (sinais) mudaram. Enquanto anteriormente um sinal podia ser gravado num gravador e armazenado numa fita em formato analógico, agora os sinais são digitalizados e armazenados em ficheiros na memória do computador como um conjunto de números (contagens).

O esquema habitual de medição e digitalização de sinais é o seguinte

Transdutor de medição -- Normalizador de sinal -- ADC -- Computador
(Fig.9 Esquema do canal de medição)

O sinal do transdutor de medição vai para o ADC durante um período de tempo T. As leituras de sinal (amostragem) recebidas durante o tempo T são transmitidas para o computador e guardadas na memória.

Quais são os requisitos para os parâmetros de digitalização de sinais? Um dispositivo que converte o sinal analógico de entrada num código discreto (sinal digital) é designado por conversor analógico-digital (ADC) (© Wiki).

Um dos parâmetros básicos do ADC é a taxa de amostragem máxima - a frequência de amostragem de um sinal que é contínuo no tempo. A taxa de amostragem é medida em hertz. ((© Wiki))

De acordo com o teorema de Kotelnikov, se um sinal contínuo tem um espetro limitado pela frequência Fmax, pode ser reconstruído de forma completa e única a partir das suas amostras discretas recolhidas em intervalos de tempo T = 1/2*Fmax, ou seja, com uma frequência Fd ≥ 2*Fmax, onde Fd - frequência de amostragem; Fmax - a frequência máxima do espetro do sinal. Por outras palavras, a frequência de digitalização do sinal (frequência de amostragem do ADC) deve ser pelo menos 2 vezes superior à frequência máxima do sinal que queremos medir.

E o que acontecerá se recolhermos amostras com uma frequência inferior à exigida pelo teorema de Kotelnikov?

Neste caso, existe um efeito de "aliasing" (também conhecido como efeito estroboscópico, efeito moiré), em que um sinal de alta frequência após a digitalização se transforma num sinal de baixa frequência, que na realidade não existe. Na Fig. 11, a onda sinusoidal vermelha de alta frequência é o sinal real. A onda sinusoidal azul de frequência mais baixa é um sinal fictício, que surge devido ao facto de, durante o tempo de amostragem, ter passado mais de meio período do sinal de alta frequência.

 

Para evitar o efeito de aliasing, é colocado um filtro anti-aliasing especial (filtro passa-baixo) antes do ADC. Passa frequências inferiores a metade da frequência de amostragem do ADC e corta as frequências mais elevadas.

Para calcular o espetro do sinal através das suas amostras discretas, é utilizada a transformada discreta de Fourier (DFT). Note-se novamente que o espetro de um sinal discreto está "por definição" limitado a uma frequência Fmax inferior a metade da frequência de amostragem Fd. Portanto, o espetro de um sinal discreto pode ser representado pela soma de um finito número de harmónicos, ao contrário da soma infinita para a série de Fourier de um sinal contínuo, cujo espetro pode ser ilimitado. De acordo com o teorema de Kotelnikov, a frequência máxima de um harmónico deve ser tal que corresponda a pelo menos duas amostras, pelo que o número de harmónicos é igual a metade do número de amostras de um sinal discreto. Ou seja, se houver N amostras na amostra, o número de harmónicos no espetro será N/2.

Consideremos agora a transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparando-a com a série de Fourier

 

Como podemos ver, coincidem, exceto pelo facto de o tempo na FFT ser discreto e o número de harmónicos estar limitado a N/2, que é metade do número de amostras.

As fórmulas da DFT são escritas em variáveis inteiras sem dimensão k, s, em que k é o número de amostras do sinal e s é o número de componentes espectrais.
O valor s indica o número de oscilações harmónicas completas por período T (duração da medição do sinal). A transformada discreta de Fourier é utilizada para encontrar as amplitudes e fases dos harmónicos numericamente, ou seja, "no computador".

Como já foi dito acima, quando se decompõe uma função não periódica (o nosso sinal) em séries de Fourier, a série de Fourier resultante corresponde de facto a uma função periódica com período T (Fig.12).

 

 

Como se pode ver na Fig. 12, a função f(x) é periódica com período T0. No entanto, devido ao facto de o comprimento da amostra de medição T não ser igual ao período da função T0, a função obtida como uma série de Fourier tem uma descontinuidade no ponto T. Como resultado, o espetro desta função conterá um grande número de harmónicas de alta frequência. Se a duração da amostra de medição T coincidisse com o período da função T0, então o espetro obtido após a transformada de Fourier conteria apenas o primeiro harmónico (uma sinusoide com um período igual à duração da amostra), porque a função f(x) é uma sinusoide.

Por outras palavras, o programa DFT "não sabe" que o nosso sinal é uma "fatia de uma onda sinusoidal", mas tenta representar como uma série uma função periódica que tem uma descontinuidade devido à descontinuidade de partes separadas da onda sinusoidal.

Como resultado, aparecem harmónicos no espetro, que devem, no total, representar a forma da função, incluindo esta descontinuidade.

Assim, para obter um espetro "correto" de um sinal que é uma soma de várias sinusóides com períodos diferentes, é necessário que um número inteiro de períodos de cada sinusoide deve estar presente no período de medição do sinal. Na prática, esta condição pode ser satisfeita com uma duração suficientemente longa da medição do sinal.

 

 

Com uma duração mais curta, a imagem parecerá "pior":

 

 

 

 

Na prática, pode ser difícil perceber onde estão os "componentes reais" e onde estão os "artefactos" causados pela inconsistência dos períodos dos componentes e das durações de amostragem do sinal ou por "saltos e quebras" na forma de onda. É claro que as palavras "componentes reais" e "artefactos" são colocadas entre aspas por uma razão. A presença de muitos harmónicos no gráfico do espetro não significa que o nosso sinal seja realmente constituído por eles. É como pensar que o número 7 "consiste" nos números 3 e 4. O número 7 pode ser considerado como a soma de 3 e 4 - isso está correto.

Assim, também o nosso sinal... ou melhor, nem sequer o "nosso sinal", mas uma função periódica composta pela repetição do nosso sinal (amostra) pode ser representada como uma soma de harmónicas (ondas sinusoidais) com determinadas amplitudes e fases. Mas em muitos casos importantes para a prática (ver figuras acima) é possível relacionar os harmónicos obtidos no espetro também com processos reais com carácter cíclico e que contribuem significativamente para a forma do sinal.

Alguns resultados
1. Um sinal real medido com uma duração de T segundos digitalizado por um ADC, ou seja, representado por um conjunto de amostras discretas (N partes), tem um espetro discreto não periódico representado por um conjunto de harmónicas (N/2 partes).

2. O sinal é representado por um conjunto de valores válidos e o seu espetro é representado por um conjunto de valores válidos. As frequências dos harmónicos são positivas. O facto de ser matematicamente mais conveniente representar o espetro na forma complexa usando frequências negativas não significa que "isto está certo" e "é assim que se deve fazer sempre".

3. O sinal medido no momento T é determinado apenas no momento T. O que aconteceu antes de começarmos a medir o sinal e o que acontecerá depois disso é desconhecido para a ciência. E no nosso caso não é interessante. A FFT do sinal limitado no tempo fornece o seu espetro "real", no sentido em que, sob certas condições, permite calcular a amplitude e a frequência dos seus componentes.