कंपन संकेतन के विश्लेषण में फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग

Andrei Shelkovenko. Vibromera के विकासकर्ता आ संस्थापक लोग में से एगो।
एह लेख के अनुवाद में अशुद्धि हो सकेला।

फूरियर रूपांतरण आ संकेत स्पेक्ट्रम

बहुत मामिला में प्राप्त (गणना) कइल जाए के काम स्पेक्ट्रम एगो संकेत के एह तरह होला। एगो ADC बा, जवन सैंपलिंग फ्रीक्वेंसी Fd से ओकर इनपुट में T समय के दौरान अवे वाला निरंतर संकेत के डिजिटल सैंपल में बदल देला – N गो टुकड़ा। ओकरा बाद ई सैंपल सभ के array कवनो प्रोग्राम में भेजल जाला (जइसे कि FourierScope) जवन N/2 गो कुछ संख्यात्मक मान आउटपुट करेला।

प्रोग्राम सही से काम करत बा कि ना, ई जांचे खातिर, हमनी sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) के जोड़ के सैंपल सभ के एगो array बनावत बानी आ ओकरा प्रोग्राम में डालत बानी। प्रोग्राम ई बनवलस:

 

 

दू गो बा हार्मोनिक्स स्पेक्ट्रम ग्राफ पर – 0.5 V के आयाम वाला 5 Hz आ 1 V के आयाम वाला 10 Hz, सब कुछ मूल संकेत के सूत्र के अनुसार बा। सब ठीक बा, प्रोग्राम सही से काम करत बा।

एकर मतलब ई बा कि जदि हमनी दू गो साइनसॉइड के मिश्रण से बनल असली संकेत के ADC इनपुट में भेजब त हमनी के दू गो हार्मोनिक से बनल अइसने स्पेक्ट्रम मिली।

त, हमनी के असली मापल गइल संकेत 5 सेकंड के अवधि के, ADC द्वारा डिजिटल कइल गइल, यानी दर्शावल गइल असतत द्वारा सैंपल सभ के, एकर एगो बा असतत गैर-आवधिक स्पेक्ट्रम।
गणितीय दृष्टिकोण से – एह वाक्य में कतना गलती बा?

आवा अब ओही संकेत के 0.5 सेकंड खातिर मापे के कोशिश कइल जाव।

 

 

इहाँ कुछ गड़बड़ बा! 10 Hz वाला हार्मोनिक सामान्य रूप से बनल बा, बाकी 5 Hz वाला हार्मोनिक के जगह कुछ अस्पष्ट हार्मोनिक सभ बा।

इंटरनेट पर लोग कहेला कि सैंपल के अंत में जीरो जोड़ल जरूरी बा आ स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से बन जाई।

 

 

ई त बिल्कुल भी सही नइखे। हमरा के सिद्धांत के बारे में जाने के पड़ी। आवा चलल जाव wikipedia – ज्ञान के स्रोत पर।

निरंतर फंक्शन आ ओकर फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व

गणितीय रूप से, हमनी के T सेकंड के अवधि वाला संकेत {0, T} अंतराल पर परिभाषित कवनो फंक्शन f(x) होला (एह में X समय बा)। अइसन फंक्शन के हमेशा एह रूप के हार्मोनिक फंक्शन सभ (साइन भा कोसाइन) के जोड़ के रूप में देखावल जा सकेला:

k त्रिकोणमितीय फंक्शन के संख्या ह (हार्मोनिक घटक के संख्या, हार्मोनिक के संख्या)
T – खंड जहाँ फंक्शन परिभाषित बा (संकेत के अवधि)
Ak- k-वाँ हार्मोनिक घटक के आयाम,
θk- k-वाँ हार्मोनिक घटक के प्रारंभिक चरण
“फंक्शन के श्रृंखला के जोड़ के रूप में देखावल” के का मतलब ह? एकर मतलब ई बा कि फूरियर श्रृंखला के हार्मोनिक घटक सभ के हर बिंदु पर मान जोड़ के, हमनी के ओह बिंदु पर आपन फंक्शन के मान मिल जाला।
(अउरी सटीक रूप से कहल जाव त, श्रृंखला के f(x) फंक्शन से माध्य वर्ग विचलन शून्य के ओर बढ़ी, बाकी माध्य वर्ग अभिसरण के बावजूद, कवनो फंक्शन के फूरियर श्रृंखला के, आमतौर पर, बिंदु दर बिंदु ओहमे अभिसरित होखल जरूरी नइखे। )
एह श्रृंखला के एह रूप में भी लिखल जा सकेला:

 

 

 

जहाँ , k-वाँ जटिल आयाम।

 

भा

 

 

 

गुणांक (1) आ (3) के बीच के संबंध निम्नलिखित सूत्र सभ से व्यक्त होला:

 

 

 

 

ध्यान दीं कि फूरियर श्रृंखला के ई तीनों प्रतिनिधित्व बिल्कुल समतुल्य बा। कबो-कबो फूरियर श्रृंखला के साथ काम करत घरी, साइन आ कोसाइन के बजाय काल्पनिक तर्क वाला एक्सपोनेंट के इस्तेमाल करल, यानी जटिल रूप में फूरियर रूपांतरण के इस्तेमाल करल, ढेर सुविधाजनक होला। बाकी हमनी खातिर सूत्र (1) के इस्तेमाल करल सुविधाजनक बा, जहाँ फूरियर श्रृंखला के संबंधित आयाम आ चरण वाला कोसाइन सभ के जोड़ के रूप में देखावल जाला। सख्ती से कहल जाव त, असली संकेत के फूरियर रूपांतरण जटिल गुणांक (रूप (3)) पैदा करेला: हर गुणांक अपना हार्मोनिक के आयाम आ चरण दुनो ले चलेला। असली संकेत खातिर ई जटिल गुणांक सभ में संयुग्मी (हर्मिटियन) सममिति होला — ऋणात्मक-आवृत्ति वाला आधा हिस्सा बस धनात्मक-आवृत्ति वाला आधा हिस्सा के प्रतिबिंब होला आ एमे कवनो अतिरिक्त जानकारी नइखे होत। एही से, जटिल गुणांक सभ से, हमनी हमेशा सूत्र (1) के असली गैर-ऋणात्मक आयाम Ak आ चरण θk पर आ सकत बानी — आ ई ओही आयाम स्पेक्ट्रम ह जेकरा के विश्लेषण प्रोग्राम सभ प्लॉट करेला।

 

निष्कर्ष:
सिग्नल के स्पेक्ट्रल विश्लेषण के गणितीय आधार फूरियर ट्रांसफॉर्म बा।

फूरियर ट्रांसफॉर्म से अंतराल {0, T} पर परिभाषित सतत फलन f(x) (सिग्नल) के अनंत संख्या (अनंत श्रेणी) के त्रिकोणमितीय फलन सभ (साइन आ/या कोसाइन) के योग के रूप में प्रस्तुत कइल जा सकेला, जिनकर निश्चित आयाम आ फेज भी अंतराल {0, T} पर विचारित होखेला। अइसन श्रेणी के फूरियर श्रेणी कहल जाला।

कुछ अउरी बिंदु नोट करीं, जिनके समझल फूरियर ट्रांसफॉर्म के सिग्नल विश्लेषण में सही ढंग से लागू करे खातिर जरूरी बा। अगर हमनी के पूरा X-अक्ष पर फूरियर श्रेणी (साइनसॉइड सभ के योग) पर विचार करीं त देखब कि अंतराल {0, T} के बाहर फूरियर श्रेणी वाला फलन हमनी के फलन के आवर्ती रूप से दोहरावत रही।

उदाहरण खातिर, चित्र 7 के ग्राफ में, मूल फलन अंतराल {-T\2, +T\2} पर परिभाषित बा, आ फूरियर श्रेणी पूरा x-अक्ष पर परिभाषित एगो आवर्ती फलन के दर्शावेला।

इ एह से बा कि साइनसॉइड खुद आवर्ती फलन होखेलें, एह से इनकर योग भी आवर्ती फलन होई।

एह तरह से:

हमनी के मूल फलन T लंबाई के कुछ खंड पर परिभाषित एगो सतत, गैर-आवर्ती फलन बा।
एह फलन के स्पेक्ट्रम असतत होला, यानी एकरा के हार्मोनिक घटक सभ के अनंत श्रेणी – फूरियर श्रेणी के रूप में दर्शावल जाला।
असल में, फूरियर श्रेणी कुछ आवर्ती फलन के परिभाषित करेला, जे अंतराल {0, T} पर हमनी के फलन से मेल खाला, बाकिर हमनी खातिर इ आवर्तिता जरूरी नइखे।

आगे।

हार्मोनिक घटक सभ के आवर्तकाल अंतराल {0, T} के गुणज होला, जेह पर मूल फलन f(x) परिभाषित बा। दोसरा शब्दन में, हार्मोनिक सभ के आवर्तकाल सिग्नल मापन के अवधि के गुणज होला। उदाहरण खातिर, फूरियर श्रेणी में पहिला हार्मोनिक के आवर्तकाल ओह अंतराल T के बराबर होला जेह पर फलन f(x) परिभाषित बा। फूरियर श्रेणी में दोसरा हार्मोनिक के आवर्तकाल अंतराल T/2 के बराबर होला। आ अइसहीं आगे (चित्र 8 देखीं)।

एह अनुसार, हार्मोनिक घटक सभ के आवृत्ति 1/T के गुणज होला। यानी, हार्मोनिक घटक सभ के आवृत्ति Fk, Fk= k\T होला, जहाँ k के मान 0 से ∞ तक चलेला, उदाहरण खातिर, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (शून्य आवृत्ति पर, एगो नियत घटक)।

मान लीं कि हमनी के मूल फलन, T=1 सेकंड के दौरान रिकॉर्ड कइल गइल एगो सिग्नल बा। तब पहिला हार्मोनिक के आवर्तकाल हमनी के सिग्नल के अवधि T1=T=1 सेकंड के बराबर होई आ हार्मोनिक के आवृत्ति 1 Hz के बराबर होई। दोसरा हार्मोनिक के आवर्तकाल हमनी के सिग्नल के अवधि के 2 से भाग कइला के बराबर होई (T2=T/2=0.5 सेकंड) आ आवृत्ति 2 Hz के बराबर होई। तीसरा हार्मोनिक खातिर, T3=T/3 सेकंड आ आवृत्ति 3 Hz होई। आ अइसहीं आगे।

एह मामिला में हार्मोनिक सभ के बीच के अंतराल 1 Hz बा।

एह तरह से, 1 सेकंड के अवधि वाला सिग्नल के 1 Hz के आवृत्ति रिजॉल्यूशन के साथ हार्मोनिक घटक सभ में विघटित कइल जा सकेला (स्पेक्ट्रम पावे खातिर)।
रिजॉल्यूशन के 2 गुना बढ़ा के 0.5 Hz करे खातिर, मापन के अवधि के 2 गुना बढ़ा के 2 सेकंड करे के जरूरत बा। 10-सेकंड के सिग्नल के 0.1 Hz के आवृत्ति रिजॉल्यूशन के साथ हार्मोनिक घटक सभ (स्पेक्ट्रम) में विघटित कइल जा सकेला। आवृत्ति रिजॉल्यूशन बढ़ावे के अउरी कवनो तरीका नइखे। रउआ एह संबंध के हमनी के FFT रिज़ॉल्यूशन कैलकुलेटर.

नमूना सभ के सरणी में शून्य जोड़ के सिग्नल के अवधि के कृत्रिम रूप से बढ़ावे के एगो तरीका बा। बाकिर एहसे असली आवृत्ति रिजॉल्यूशन नइखे बढ़त।

असतत सिग्नल आ असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म

डिजिटल तकनीक के विकास के साथ मापन डाटा (सिग्नल) के भंडारण के तरीका बदल गइल बा। पहिले जहाँ सिग्नल के टेप रिकॉर्डर पर रिकॉर्ड कइल जा सकत रहे आ एनालॉग रूप में टेप पर संग्रहित कइल जा सकत रहे, ओहिजा अब सिग्नल के डिजिटाइज कइल जाला आ कंप्यूटर मेमोरी में फाइल सभ में संख्या (काउंट) के सेट के रूप में संग्रहित कइल जाला।

सिग्नल मापन आ डिजिटाइजेशन के सामान्य योजना एह प्रकार बा।

मापन ट्रांसड्यूसर —- सिग्नल नॉर्मलाइजर —- ADC —– कंप्यूटर
(चित्र 9 मापन चैनल के योजनाबद्ध चित्र)

मापन ट्रांसड्यूसर से सिग्नल T समय अवधि खातिर ADC में जाला। T समय के दौरान प्राप्त सिग्नल रीडिंग (सैंपलिंग) कंप्यूटर में भेजल जाला आ मेमोरी में सेव कइल जाला।

सिग्नल डिजिटाइजेशन पैरामीटर सभ खातिर का जरूरत बा? जवन उपकरण इनपुट एनालॉग सिग्नल के असतत कोड (डिजिटल सिग्नल) में बदलेला ओकरा के एनालॉग-टू-डिजिटल कन्वर्टर (ADC) कहल जाला (© Wiki)।

ADC के एगो बुनियादी पैरामीटर बा अधिकतम सैंपलिंग रेट – समय में सतत सिग्नल के सैंपलिंग के आवृत्ति। सैंपल रेट के हर्ट्ज में मापल जाला। ((© Wiki))

कोटेलनिकोव’स प्रमेय के अनुसार, अगर कवनो सतत सिग्नल के स्पेक्ट्रम आवृत्ति Fmax से सीमित बा, त एकरा के असतत नमूना सभ से पूरा तरह आ अद्वितीय रूप से पुनर्निर्मित कइल जा सकेला, जे समय अंतराल Δt ≤ 1/(2*Fmax) पर लिहल गइल होखे, यानी सैंपलिंग आवृत्ति Fd ≥ 2*Fmax के साथ, जहाँ Fd – सैंपलिंग आवृत्ति; Fmax – सिग्नल स्पेक्ट्रम के अधिकतम आवृत्ति। दोसरा शब्दन में, सिग्नल डिजिटाइजेशन के आवृत्ति (ADC के सैंपलिंग आवृत्ति) कम से कम ओह सिग्नल के अधिकतम आवृत्ति से दुगुना होखे के चाहीं जेकरा के हमनी के मापल चाहत बानी।

आ का होई अगर हमनी कोटेलनिकोव’स प्रमेय के जरूरत से कम आवृत्ति पर नमूना लीं?

एह मामिला में एगो “एलियासिंग” प्रभाव होला (जेकरा के स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव, मॉयर प्रभाव भी कहल जाला), जेह में डिजिटाइजेशन के बाद उच्च आवृत्ति सिग्नल कम आवृत्ति सिग्नल में बदल जाला, जे असल में मौजूद नइखे। चित्र 11 में उच्च आवृत्ति के लाल साइन तरंग असली सिग्नल बा। कम आवृत्ति के नीला साइन तरंग एगो काल्पनिक सिग्नल बा, जे एह से पैदा होला कि सैंपलिंग समय के दौरान उच्च आवृत्ति सिग्नल के आधा आवर्तकाल से जादे समय बीत जाला।

 

एलियासिंग प्रभाव से बचे खातिर, एगो विशेष एंटी-एलियास फिल्टर (लो-पास फिल्टर) ADC से पहिले लगावल जाला। इ ADC सैंपलिंग आवृत्ति के आधा से कम आवृत्ति सभ के गुजरे देला आ जादे आवृत्ति सभ के काट देला।

सिग्नल स्पेक्ट्रम के ओकर असतत नमूना सभ से गणना करे खातिर असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) के इस्तेमाल कइल जाला। फेर से नोट करीं कि असतत सिग्नल के स्पेक्ट्रम “परिभाषा के अनुसार” सैंपलिंग आवृत्ति Fd के आधा से कम आवृत्ति Fmax तक सीमित होला। एह से, असतत सिग्नल के स्पेक्ट्रम के एगो सीमित संख्या के हार्मोनिक सभ के योग से दर्शावल जा सकेला, एकर विपरीत सतत सिग्नल के फूरियर श्रेणी खातिर अनंत योग होला, जेकर स्पेक्ट्रम असीमित हो सकेला। कोटेलनिकोव’स प्रमेय के अनुसार, हार्मोनिक के अधिकतम आवृत्ति अइसन होखे के चाहीं कि ओमे कम से कम दू नमूना शामिल होखें, एह से हार्मोनिक सभ के संख्या असतत सिग्नल के नमूना सभ के संख्या के आधा के बराबर होला। यानी, अगर नमूना में N नमूना बाड़ें, त स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक सभ के संख्या N/2 होई।

अब असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) पर विचार करीं।

एकरा के फूरियर श्रेणी से तुलना करत

 

जइसे हमनी देख सकत बानी, इ दुनो मेल खाला, सिवाय एकरा कि FFT में समय असतत होला आ हार्मोनिक सभ के संख्या N/2 तक सीमित होला, जे नमूना सभ के संख्या के आधा बा।

DFT सूत्र सभ आयामरहित पूर्णांक चर k, s में लिखल जालें, जहाँ k सिग्नल नमूना सभ के संख्या बा, s स्पेक्ट्रल घटक सभ के संख्या बा।
मान s आवर्तकाल T (सिग्नल मापन अवधि) प्रति पूरा हार्मोनिक दोलन सभ के संख्या के दर्शावेला। असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म के इस्तेमाल हार्मोनिक सभ के आयाम आ फेज के संख्यात्मक रूप से पावे खातिर कइल जाला, यानी “कंप्यूटर पर”।

जइसे पहिलहीं ऊपर कहल गइल, जब गैर-आवर्ती फलन (हमनी के सिग्नल) के फूरियर श्रेणी में विघटित कइल जाला, त परिणामी फूरियर श्रेणी असल में T आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन से मेल खाला (चित्र 12)।

 

 

जइसे चित्र 12 में देखल जा सकेला, फलन f(x) आवर्तकाल T0 के साथ आवर्ती बा। बाकिर, एह से कि मापन नमूना के लंबाई T फलन आवर्तकाल T0 के बराबर नइखे, फूरियर श्रेणी के रूप में प्राप्त फलन में बिंदु T पर एगो असातत्य होला। परिणामस्वरूप, एह फलन के स्पेक्ट्रम में बड़ी संख्या में उच्च आवृत्ति के हार्मोनिक शामिल होई। एह घटना के जानल जाला स्पेक्ट्रल लीकेज, आ व्यवहार में एकरा के कम कइल जाला विंडोइंग ट्रांसफॉर्म से पहिले सिग्नल के। अगर मापन नमूना के अवधि T फलन के आवर्तकाल T0 से मेल खात, त फूरियर ट्रांसफॉर्म के बाद प्राप्त स्पेक्ट्रम में सिर्फ पहिला हार्मोनिक (नमूना के अवधि के बराबर आवर्तकाल वाला साइनसॉइड) शामिल होखत, काहेकि फलन f(x) एगो साइनसॉइड बा।

दूसरे शब्दन में, DFT प्रोग्राम “ई ना जानेला” कि हमनी के सिग्नल एगो “साइन वेव के टुकड़ा” बा, बलुक ऊ एगो पीरियोडिक फंक्शन के रूप में सिरीज बना के दर्शावे के कोसिस करेला, जवना में अलग-अलग साइन वेव के टुकड़न के बीच असंतति (discontinuity) के चलते एगो discontinuity रहेला।

एकर परिणाम में स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स देखाई देला, जे मिल के फंक्शन के आकार के, ई discontinuity समेत, दर्शावे के कोसिस करेला।

एह से, अलग-अलग पीरियड वाला कई गो साइनसॉइड के जोड़ से बनल सिग्नल के “सही” स्पेक्ट्रम पावे खातिर ई जरूरी बा कि पूरा-पूरा संख्या में पीरियड हर साइनसॉइड के सिग्नल के मापे वाला पीरियड में मौजूद होखे के चाहीं। व्यवहार में, सिग्नल के मापे के अवधि पर्याप्त लमहर राखल जाय त ई शर्त पूरा हो सकेला।

 

 

कम अवधि पर तस्वीर “खराब” लउकी:

 

 

 

 

व्यवहार में, ई समझल मुश्किल हो सकेला कि कहाँ “असली घटक” बा आ कहाँ घटक के पीरियड आ सिग्नल के सैंपलिंग अवधि के असंगति भा वेवफॉर्म में “कूद आ टूट” के चलते बनल “आर्टिफैक्ट” बा। जाहिर बा, “असली घटक” आ “आर्टिफैक्ट” शब्द के कोटेशन में एही कारण से राखल गइल बा। स्पेक्ट्रम ग्राफ पर बहुत रास हार्मोनिक्स के मौजूदगी के मतलब ई ना बा कि हमनी के सिग्नल असल में इनहीं से बनल बा। ई ओइसने बा जइसे ई सोचल जाय कि संख्या 7 संख्या 3 आ 4 से “बनल” बा। संख्या 7 के 3 आ 4 के जोड़ के रूप में सोचल जा सकेला – ई सही बा।

ओइसहीं हमनी के सिग्नल... भा असल में “हमनी के सिग्नल” ना, बलुक हमनी के सिग्नल (सैंपल) के बार-बार दोहरा के बनल एगो पीरियोडिक फंक्शन के, कुछ निश्चित एम्प्लीट्यूड आ फेज वाला हार्मोनिक्स (साइन वेव) के जोड़ के रूप में दर्शावल जा सकेला। बाकिर व्यवहार खातिर कई गो महत्वपूर्ण मामिला में (ऊपर के चित्र देखीं) स्पेक्ट्रम में मिलल हार्मोनिक्स के असली, चक्रीय प्रकृति वाला आ सिग्नल के आकार में काफी योगदान देवे वाला प्रक्रिया से भी जोड़ल जा सकेला।

कुछ नतीजा

1. T सेकंड के अवधि वाला असली मापल सिग्नल, जवन ADC से डिजिटाइज कइल गइल बा, माने असतत (discrete) सैंपल के सेट (N गो) के रूप में दर्शावल गइल बा, ओकर एगो असतत गैर-पीरियोडिक स्पेक्ट्रम बा जवन हार्मोनिक्स के सेट (N/2 गो) के रूप में दर्शावल गइल बा।

2. सिग्नल असली मान (real values) के सेट से दर्शावल जाला। एकर DFT स्पेक्ट्रम कॉन्जुगेट सिमेट्री वाला कॉम्प्लेक्स गुणांक (complex coefficients) के सेट होला; एह से एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम निकालल जाला – धनात्मक आवृत्ति (positive frequencies) पर असली गैर-ऋणात्मक एम्प्लीट्यूड (आ फेज) के सेट, आ व्यवहार में यही एक-तरफा एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम प्लॉट कइल जाला। ऋणात्मक आवृत्ति वाला दू-तरफा कॉम्प्लेक्स रूप आ एक-तरफा एम्प्लीट्यूड/फेज रूप एकही स्पेक्ट्रम के बराबर निरूपण हवें – सिग्नल विश्लेषण खातिर आमतौर पर एक-तरफा एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम से काम करल जादे सुविधाजनक होला।

3. T समय पर मापल सिग्नल केवल T समय पर ही निर्धारित बा। हमनी के सिग्नल मापे शुरू करे से पहिले का भइल आ ओकरा बाद का होई, ई विज्ञान के मालूम नइखे। आ हमनी के मामिला में ई दिलचस्प भी नइखे। समय-सीमित सिग्नल के FFT ओकर “असली” स्पेक्ट्रम देला, एह मायने में कि कुछ खास शर्तन के तहत ई ओकर घटक के एम्प्लीट्यूड आ आवृत्ति के गणना करे में सक्षम बनावेला।