Чичиргээний дохиог шинжлэхэд Фурье хувиргалтыг хэрэглэх

Andrei Shelkovenko. Vibromera-ийн хөгжүүлэгчдийн нэг, үүсгэн байгуулагч.
Өгүүллийн орчуулгад алдаа буруу байж болно.

Фурье хувиргалт болон дохионы спектр

Олон тохиолдолд (тооцоолох) авах үүрэг спектр дохионы хувьд дараах байдалтай байна. ADC байдаг бөгөөд дээж авах давтамж Fd давтамжтайгаар T хугацаанд оролт руу нь ирж буй тасралтгүй дохиог дижитал дээжүүд болгон хувиргана – N ширхэг. Дараа нь энэ дээжүүдийн массивыг зарим програм руу (жишээлбэл FourierScope) оруулдаг бөгөөд энэ нь N/2 тоон утгыг гаргана.

Програм зөв ажиллаж байгаа эсэхийг шалгахын тулд бид sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) хоёр нийлбэрээр дээжүүдийн массивыг үүсгээд програмын оролт руу оруулна. Програм дараах зүйлийг зуржээ:

 

 

Хоёр гармоник спектрийн график дээр байна – 0.5 В амплитудтай 5 Гц болон 1 В амплитудтай 10 Гц, анхны дохионы томьёотой ижил бүх зүйл байна. Бүх зүйл сайн, програм зөв ажиллаж байна.

Энэ нь хоёр синусоидын хольцоос бүрдсэн бодит дохиог ADC-ийн оролт руу оруулбал бид хоёр гармоникийн нэгдмэл спектрийг авна гэсэн үг юм.

Тэгэхээр, бидний бодит хэмжсэн дохио 5 секундын үргэлжлэлтэй, ADC-ээр дижиталчлагдсан, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэгдсэн дискрет дээжүүдээр, дискрет периодгүй спектр.
Математикийн хувьд – энэ өгүүлбэрт хэдэн алдаа байна вэ?

Одоо ижил дохиог 0.5 секундын турш хэмжиж үзье.

 

 

Энд ямар нэгэн зүйл буруу байна! 10 Гц-ийн гармоник хэвийн зурсан бол 5 Гц-ийн гармонийн оронд тодорхойгүй гармоникүүд байна.

Интернет дээр дээжийн төгсгөлд тэгүүдийг нэмбэл спектр хэвийн зурагдана гэж хэлдэг.

 

 

Үүнтэй огт адилгүй. Би онолын асуудлыг шийдэх хэрэгтэй боллоо. Явъя wikipedia – мэдлэгийн эх сурвалж.

Тасралтгүй функц болон түүний Фурье цувааны илэрхийлэл

Математикийн хувьд T секундын үргэлжлэлтэй бидний дохио нь {0, T} завсарт өгөгдсөн f(x) функц юм (энэ тохиолдолд X нь цаг хугацаа). Ийм функцийг үргэлж дараах хэлбэрийн гармоник функцүүдийн (синус эсвэл косинус) нийлбэр болгон илэрхийлж болно:

k нь тригонометрийн функцийн дугаар (гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн дугаар, гармонийн дугаар)
T – функц тодорхойлогдсон хэсэг (дохионы үргэлжлэл)
Ak- k-р гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн амплитуд,
θk- k-р гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн анхны фаз
“Функцийг цувааны нийлбэр болгон илэрхийлэх” гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь Фурье цувааны гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгуудыг цэг бүрт нэмж байгаагаар бид тухайн цэг дээрх бидний функцийн утгыг авна гэсэн үг юм.
(Илүү нарийвчлалтай хэлбэл, цувааны f(x) функцээс хазайх дундаж квадрат хазайлт тэг рүү тэмүүлнэ, гэхдээ дундаж квадрат нийлэгдэлтэйгээс үл хамааран, ерөнхийдөө функцийн Фурье цуваа цэг бүрээр түүнд нийлэгдэх албагүй.)
Энэ цувааг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно:

 

 

 

энд , k-р комплекс амплитуд.

 

эсвэл

 

 

 

(1) болон (3) коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах томьёонуудаар илэрхийлнэ:

 

 

 

 

Фурье цувааны эдгээр гурван илэрхийлэл бүгд төгс тэнцүү гэдгийг анзаарна уу. Заримдаа Фурье цуваатай ажиллахад синус, косинусын оронд төсөөллийн аргументын зэргүүдийг ашиглах, өөрөөр хэлбэл комплекс хэлбэрийн Фурье хувиргалтыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Гэхдээ бидэнд (1) томьёог ашиглах нь тохиромжтой, энд Фурье цувааг харгалзах амплитуд, фазтай косинусуудын нийлбэр болгон илэрхийлсэн. Хатуу хэлбэл, бодит дохионы Фурье хувиргалт нь комплекс коэффициентүүдийг үүсгэдэг (3 хэлбэр): коэффициент бүр өөрийн гармонийн амплитуд болон фазыг агуулдаг. Бодит дохионы хувьд эдгээр комплекс коэффициентүүд нь хос (Гермит) тэгш хэмтэй байдаг — сөрөг давтамжийн хагас нь эерэг давтамжийн хагасыг тусгаж, нэмэлт мэдээлэл агуулдаггүй. Тиймээс, комплекс коэффициентүүдээс бид үргэлж (1) томьёоны бодит сөрөг биш амплитуд Ak болон фаз θk руу шилжиж болно — мөн яг энэ амплитудын спектрийг шинжилгээний програм зурдаг.

 

Үндсэн дүгнэлт:
Дохионы спектрийн шинжилгээний математик үндэс нь Фурьегийн хувиргалт юм.

Фурьегийн хувиргалт нь {0, T} завсарт тодорхойлогдсон тасралтгүй функц f(x) (дохио)-г тодорхой далайц, фазтай тригонометрийн функцүүд (синус ба/эсвэл косинус)-ийн хязгааргүй олон тооны (хязгааргүй цуваа) нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Ийм цувааг Фурьегийн цуваа гэж нэрлэдэг.

Дохионы шинжилгээнд Фурьегийн хувиргалтыг зөв хэрэглэхийн тулд дараах зүйлсийг ойлгох шаардлагатай. Хэрэв бид Фурьегийн цувааг (синусоидуудын нийлбэр) бүх X тэнхлэг дээр авч үзвэл {0, T} завсрын гадна талд Фурьегийн цувааны функц бидний функцийг үе үе давтаж байгааг харна.

Жишээлбэл, 7-р зурагт үзүүлсэн графикт анхны функц нь {-T\2, +T\2} завсарт тодорхойлогдсон бол Фурьегийн цуваа нь бүх x тэнхлэг дээр тодорхойлогдсон үечилсэн функцийг илэрхийлнэ.

Энэ нь синусоидууд өөрсдөө үечилсэн функцүүд тул тэдгээрийн нийлбэр мөн үечилсэн функц болно гэсэн үг юм.

Иймд:

Бидний анхны функц нь T урттай зарим хэсэг дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй, үечилшгүй функц юм.
Энэ функцийн спектр нь дискрет буюу гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хязгааргүй цуваагаар илэрхийлэгдэнэ – Фурьегийн цуваа.
Үнэндээ Фурьегийн цуваа нь {0, T} завсарт бидний функцтэй давхцдаг зарим үечилсэн функцийг тодорхойлдог ч бидэнд энэ үечилсэн чанар чухал биш юм.

Дараа нь.

Гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үе нь анхны функц f(x) тодорхойлогдсон {0, T} завсарын олон үржвэрүүдтэй тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үе нь дохионы хэмжилтийн хугацааны олон үржвэрүүдтэй тэнцүү. Жишээлбэл, Фурьегийн цувааны эхний гармоникын үе нь функц f(x) тодорхойлогдсон T завсартэй тэнцүү байна. Фурьегийн цувааны хоёр дахь гармоникын үе нь T/2 завсартэй тэнцүү байна. Ингэсээр (8-р зургийг үз).

Иймд гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж нь 1/T-ийн олон үржвэрүүдтэй тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж Fk нь Fk= k\T байх бөгөөд энд k нь 0-ээс ∞ хүртэлх утгыг авна, жишээлбэл, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T;k=3 F3=3\T;…. Fk= k\T (тэг давтамж дээр тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг).

Бидний анхны функц нь T=1 сек хугацаанд бүртгэгдсэн дохио гэж үзье. Тэгвэл эхний гармоникын үе нь бидний дохионы хугацаатай тэнцүү T1=T=1 сек, гармоникын давтамж нь 1 Гц-тэй тэнцүү байна. Хоёр дахь гармоникын үе нь бидний дохионы хугацааг 2-т хуваасантай тэнцүү (T2=T/2=0.5 сек.) бөгөөд давтамж нь 2 Гц-тэй тэнцүү байна. Гурав дахь гармоникын хувьд T3=T/3 сек, давтамж нь 3 Гц байна. Ингэсээр.

Энэ тохиолдолд гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын алхам нь 1 Гц байна.

Иймд 1 секундын хугацаатай дохиог 1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектрийг авахын тулд) задалж болно.
Нарийвчлалыг 2 дахин нэмэгдүүлж 0.5 Гц болгохын тулд хэмжилтийн хугацааг 2 дахин нэмэгдүүлж 2 сек болгох шаардлагатай. 10 секундын дохиог 0.1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектр) задалж болно. Давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх өөр арга байхгүй. Та энэ хамаарлыг бидний FFT нягтралын тооцоолуур.

Дижитал дээжүүдийн массив руу тэг нэмж дохионы хугацааг хиймэлээр нэмэгдүүлэх арга байдаг. Гэхдээ энэ нь жинхэнэ давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэггүй.

Дискрет дохио болон дискрет Фурьегийн хувиргалт

Дижитал технологийн хөгжлийн дагуу хэмжилтийн өгөгдөл (дохио)-г хадгалах аргауд өөрчлөгдсөн. Өмнө нь дохиог магнитофон дээр бичиж, лент дээр аналог хэлбэрээр хадгалж болох байсан бол одоо дохиог дижитал хэлбэрт шилжүүлж, компьютерын санах ой дээр тоон олонлог (тооллого) хэлбэрээр хадгалдаг.

Дохиог хэмжих, дижитал хэлбэрт шилжүүлэх ердийн схем нь дараах байдалтай байна.

Хэмжих хувиргагч —- Дохионы нормчлагч —- АЦХ —– Компьютер
(9-р зураг. Хэмжилтийн сувгийн схем)

Хэмжих хувиргагчаас ирсэн дохио нь T хугацаанд АЦХ-д очно. T хугацаанд авсан дохионы уншилт (дээжлэлт) нь компьютерт дамжуулагдаж, санах ой дээр хадгалагдана.

Дохиог дижитал хэлбэрт шилжүүлэх параметрүүдэд ямар шаардлага тавигддаг вэ? Оролтын аналог дохиог дискрет код (дижитал дохио) руу хувиргадаг төхөөрөмжийг аналог-дижитал хувиргагч (АЦХ) гэж нэрлэдэг (© Wiki).

АЦХ-ийн үндсэн параметрүүдийн нэг нь хамгийн их дээжлэх хурд – цаг хугацаагаар тасралтгүй дохиог дээжлэх давтамж юм. Дээжлэх хурдыг герцээр хэмждэг. ((© Wiki))

Котельниковын теоремоор хэрэв тасралтгүй дохионы спектр нь Fmax давтамжаар хязгаарлагдмал бол түүнийг Δt ≤ 1/(2*Fmax) хугацааны интервалуудаар авсан дискрет дээжүүдээс бүрэн, нэгдмэлээр сэргээж болох бөгөөд өөрөөр хэлбэл Fd ≥ 2*Fmax дээжлэх давтамжтайгаар, энд Fd – дээжлэх давтамж; Fmax – дохионы спектрийн хамгийн их давтамж. Өөрөөр хэлбэл, дохиог дижитал хэлбэрт шилжүүлэх давтамж (АЦХ-ийн дээжлэх давтамж) нь бид хэмжихийг хүссэн дохионы хамгийн их давтамжаас дор хаяж хоёр дахин их байх ёстой.

Котельниковын теоремоор шаардагдахаас бага давтамжтайгаар дээж авбал ямар үр дагавар гарах вэ?

Энэ тохиолдолд “давтамжийн хуулбарлалт” эффект (өөр нэрээр стробоскоп эффект, муар эффект) үүсэх бөгөөд үндэсний өндөр давтамжтай дохио дижитал хэлбэрт шилжсэний дараа үнэндээ оршин байдаггүй бага давтамжтай дохио болж хувирна. 11-р зурагт өндөр давтамжтай улаан синусоид нь жинхэнэ дохио юм. Бага давтамжтай цэнхэр синусоид нь дээжлэх хугацаанд өндөр давтамжтай дохионы хагас үэснээс илүү хугацаа өнгөрөхөд үүсэх хуурмаг дохио юм.

 

Алиасингийн эффектийг зайлсхийхийн тулд АЦХ-ийн өмнө тусгай анти-алиас шүүлтүүр (доод давтамж дамжуулах шүүлтүүр) байрлуулдаг. Энэ нь АЦХ-ийн дээжлэх давтамжийн хагасаас бага давтамжуудыг дамжуулж, өндөр давтамжуудыг тасалдаг.

Дохионы спектрийг түүний дискрет дээжүүдээр тооцоолохын тулд дискрет Фурьегийн хувиргалт (DFT) ашиглагддаг. Дискрет дохионы спектр нь “тодорхойлолтоор” дээжлэх давтамж Fd-ийн хагасаас бага Fmax давтамжаар хязгаарлагддаг гэдгийг дахин анхаарна уу. Иймд дискрет дохионы спектрийг хязгаарлагдмал тооны гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь спектрийн хязгааргүй байж болох тасралтгүй дохионы Фурьегийн цувааны хязгааргүй нийлбэртэй харьцуулахад ялгаатай. Котельниковын теоремоор гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн хамгийн их давтамж нь дор хаяж хоёр дээжийг тооцсон байх ёстой тул гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо нь дискрет дохионы дээжүүдийн тооны хагастай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, дээжид N дээж байвал спектрийн гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо N/2 байна.

Одоо дискрет Фурьегийн хувиргалт (DFT)-ыг авч үзье.

Үүнийг Фурьегийн цуваатай

 

Бид харж байгаагаар, тэдгээр нь FFT-д хугацаа нь тасралтгүй бөгөөд гармоникүүдийн тоо нь N/2, өөрөөр хэлбэл дээжүүдийн тооны талд хязгаарлагддаг гэсэн зүйлээс бусад бүх зүйлд таарч байна.

DFT-ийн томьёог хэмжээсгүй бүхэл тоон k, s хувьсагчаар бичдэг бөгөөд k нь дохионы дээжийн тоо, s нь спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгийн тоо юм.
DFT-ийн томьёонууд нь хэмжээсгүй бүхэл тоон хувьсагч k, s-ээр бичигддэг бөгөөд энд k нь дохионы дээжүүдийн тоо, s нь спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо юм.

s утга нь T үеийн (дохионы хэмжилтийн хугацаа) нэг үед бүтэн гармоник хэлбэлзлийн тоог харуулдаг. Дискрет Фурьегийн хувиргалт нь гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц, фазыг тоон аргаар олоход ашиглагддаг буюу “компьютер дээр”.

 

 

12-р зурагт харагдаж байгаагаар, f(x) функц нь T0 мөчлөгтэй мөчлөгтэй байна. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн дээжийн урт T нь функцийн мөчлөг T0-тэй тэнцүү биш учраас Фурьегийн цуваагаар олсон функц нь T цэг дээр тасралтгүй байдалтай байна. Үр дүнд нь энэ функцийн спектр нь олон тооны өндөр давтамжийн гармоник агуулна. Энэ үзэгдлийг спектрийн нэвтрэлт 12-р зурагт харагдаж байгаагаар f(x) функц нь T0 үетэй үечилсэн байна. Гэхдээ хэмжилтийн дээжийн урт T нь функцийн үе T0-тэй тэнцүү биш тул Фурьегийн цуваагаар авсан функц нь T цэг дээр тасралттай байна. Үр дүнд нь энэ функцийн спектр нь олон тооны өндөр давтамжтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулна. Энэ үзэгдлийг цонхлох хувиргалтаас өмнөх дохио. Хэрэв хэмжилтийн дээжийн хугацаа T нь функцийн мөчлөг T0-тэй таарсан бол Фурьегийн хувиргалтын дараа олсон спектр нь зөвхөн эхний гармоник (дээжийн хугацаатай тэнцүү мөчлөгтэй синусоид) агуулна, учир нь f(x) функц нь синусоид юм.

Өөрөөр хэлбэл, ДХХ (DFT) програм манай дохио нь "синусоидын хэсэг" гэдгийг "мэддэггүй" боловч синусоидын тусдаа хэсгүүдийн тасралтаас шалтгаалан тасралттай байх үеийн функцийг цуваагаар илэрхийлэхийг оролддог.

Үр дүнд нь спектрийг бүрдүүлэх ёстой гармоникүүд гарч ирдэг бөгөөд эдгээр нь уг тасралтыг багтаасан функцийн хэлбэрийг нийтдээ илэрхийлэх ёстой.

Иймд өөр өөр үеийн хэд хэдэн синусоидын нийлбэрээс бүрдсэн дохионы "зөв" спектрийг авахын тулд үеийн бүхэл тоо дохионы хэмжилтийн үеийн туршид синусоид бүрийн бүхэл тооны үе байх ёстой. Практикт энэ нөхцөлийг дохионы хэмжилтийн хангалттай урт хугацаагаар хангаж болно.

 

 

Илүү богино хугацаанд зураг "муу" харагдана:

 

 

 

 

Практикт гармоникүүдийн үе болон дохионы дискретчилсэн хугацааны зөрүү эсвэл долгионы хэлбэрийн "үсрэлт, тасралтууд"-аас үүдэлтэй "бодит бүрэлдэхүүн хэсгүүд" хаана байгааг, "артефактууд" хаана байгааг ойлгоход хэцүү байж болно. Мэдээж "бодит бүрэлдэхүүн хэсгүүд" болон "артефактууд" гэсэн үгсийг ишлэлийн тэмдэгтэй бичсэн нь учиртай. Спектрийн график дээр олон гармоник байгаа нь манай дохио бодит байдал дээр тэдгээрээс бүрддэг гэсэн үг биш юм. Энэ нь 7 тоо нь 3 ба 4 тооноос "бүрддэг" гэж бодохтой адил юм. 7 тоог 3 ба 4-ийн нийлбэр гэж үзэж болно - энэ нь зөв.

Тэгэхээр манай дохио ч... эсвэл илүү нарийвчлан "манай дохио" биш, харин манай дохиог (дээж) давтахаар бүрдсэн үеийн функцийг тодорхой далайц, фазтай гармоник (синусоид) -уудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Гэхдээ практикт чухал олон тохиолдолд (дээрх зургуудыг үзэх) спектрийг авсан гармоникүүдийг мөн мөчлөгт шинж чанартай бодит үйл явцуудтай холбож, дохионы хэлбэрт чухал нөлөө үзүүлж байгааг тодорхойлж болдог.

Зарим үр дүн

1. ADC-аар дискретчилсэн, өөрөөр хэлбэл дискрет дээжүүдийн олонлогоор (N ширхэг) илэрхийлэгдсэн T секунд үргэлжлэх хугацаатай бодит хэмжигдсэн дохио нь гармоникүүдийн олонлогоор (N/2 ширхэг) илэрхийлэгдсэн дискрет үеийн спектртэй байна.

2. Дохиог бодит утгуудын олонлогоор илэрхийлнэ. Түүний ДХХ (DFT) спектр нь хос тэгш хэмтэй комплекс коэффициентүүдийн олонлого юм; эдгээрээс далайцын спектрийг авна - эерэг давтамж дээрх бодит сөрөг биш далайцуудын (болон фазуудын) олонлого бөгөөд практикт яг энэ нэг талт далайцын спектрийг зурдаг. Сөрөг давтамжтай хоёр талт комплекс хэлбэр болон нэг талт далайц/фазын хэлбэр нь ижил спектрийн тэнцэхүйц илэрхийллүүд юм - дохионы шинжилгээний хувьд ихэвчлэн нэг талт далайцын спектрийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

3. T хугацаанд хэмжсэн дохио нь зөвхөн T хугацаанд тодорхойлогддог. Бид дохиог хэмжихээсээ өмнө юу болсон, дараа нь юу болох нь шинжлэх ухаанд мэдэгдэхгүй. Мөн бидний хувьд энэ нь сонирхолгүй. Хугацаагаар хязгаарлагдмал дохионы ХХХ (FFT) нь тодорхой нөхцөлд түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц, давтамжийг тооцоолох боломжийг олгодог утгаараа түүний "бодит" спектрийг өгдөг.